Sol 02 Cinemática

Cinemática
01. Un cuerpo parte del reposo y se mueve con aceleración constante. En un momento dado
tiene una velocidad de 9,14 m/s, y 48,8 metros más lejos lleva una velocidad de 15,2 m/s.
Calcula:
a) La aceleración.
b) El tiempo empleado en recorrer los 48,8 m.
c) El tiempo necesario para alcanzar la velocidad de 9,14 m
d) La distancia recorrida desde que arranca hasta que alcanza la velocidad de 9,14 m/s.
Para el tramo recorrido vF2  v 20  2ae;
15,22  9,14 2  2a·48,8;
el tiempo en el que recorre ese espacio es t 
si parte del reposo tarda t 
a  1,51ms2
vF  v 0
 4,01s
a
vF  v 0
 6,05s en alcanzar los 9,14 m/s y recorre e  12,14m
a
02. Un coche de policía detecta con el radar un coche que se mueve a 90 km/h en zona urbana
100 m por delante. Arranca en su persecución 10 s después de detectarlo, y acelera hasta
alcanzar una velocidad de 108 km/h en 20 s, la cual mantiene constante a partir de ese
momento. Calcula:
a) Tiempo que tarda el coche de policía en alcanzar al otro.
b) Espacio recorrido por el coche de policía.
100 m
unif
acelerado
COCHE
unif
el policía tiene una aceleración a 
POLICIA
v C  25ms1;
vP  30ms1;
vF  v 0
 1,5ms2
t
el espacio recorrido por los dos coches es el mismo
eCOCHE  100  25·t


 100  25·t  300  30t  300; t  20s
1
2
ePOLICIA  1,5·20  30(t  10)
2

el espacio recorrido es ePOLICIA  300  30(20  10)  600m
03. Las aguas de un río de 300 m de anchura se desplazan con una velocidad de 7 m/s. Una barca
cruza el río de orilla a orilla, manteniéndose perpendicular a la corriente. La barca se mueve
con una velocidad constante de 10 m/s. Calcular:
a) Tiempo necesario para cruzar el río.
b) Desviación sufrida por la barca debido a la corriente.
c) Dirección en la que tiene que moverse la barca para que la trayectoria sea
perpendicular a la orilla del río.
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desviación
a) en vertical el movimiento es uniforme
t
e VERT 300

 30 s
v barca
10
b) en ese tiempo, en horizontal
300 m
eHOR  vriot  210m
vTOT
vbarca
c) el ángulo, respecto a la vertical es
vrio
v
  arcsen rio    44,43º
v barca
04. Un cuerpo se deja caer libremente desde lo alto de un rascacielos. Al cabo de un tiempo t,
pasa por un punto A. Cinco segundos más tarde, pasa por un punto B. La velocidad del cuerpo en
B es 6 veces mayor que en A. Hallar:
a) El tiempo t.
O
b) Distancia entre los puntos A y B.
c) Altura desde la que cae el cuerpo
t
v A  v 0  gt  10t


v B  v 0  g(t  5)  10t  50 
A
t+5
v B  6v A
10t  50  60t  t  1s
la distancia entre A y B es:
1
1
AB  OB  OA  10·62  10·12  175m
2
2
El cuerpo cae desde el punto O y cuando llega a B ha recorrido 180 m
B
05. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Cinco
segundos más tarde se dispara otro proyectil en la misma vertical y con la misma velocidad
inicial. Calcula:
a) Cuánto tiempo tarda el segundo proyectil en alcanzar al primero.
b) A qué altura lo alcanza.
c) Qué velocidad tiene cada proyectil en el momento del encuentro
El segundo alcanza al primero cuando estén a la misma altura. Como la velocidad es la misma,
uno estará subiendo y el otro bajando


625  50t; t  12,5s
2
h2  100(t  5)  5(t  5) 

en ese momento están a una altura h  100t  5t2  100·12,5  5·12,52  468,75m
h1  100t  5t2
y las velocidades serán
v1  100  10·12,5  25ms1
v 2  100  100(12,5  5)  25ms1
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06. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de diferencia, el
primero con una velocidad inicial de 50 m·s-1 y el segundo con 80 m·s-1. Calcula el tiempo
transcurrido hasta que estén los dos a la misma altura. ¿A qué altura se encuentran? ¿Qué
velocidad tiene cada cuerpo en ese instante?
Cuando se encuentran la altura es la misma. ¡Ojo! El segundo está en el aire 2 s menos.
1

h1  50·t  10t2

2

1
2
h2  80(t  2)  10(t  2)

2
2
La altura es h1  h2  50·t  5·t  115,2m
50·t  5·t2  80(t  2)  5(t  2)2
t  3,6 s
1

 v1  50  10·3,6  14 ms
1

 v 2  80  10·1,6  64 ms
La velocidad de cada cuerpo será: 
07. Se lanza desde el suelo una pelota, formando un ángulo de 30° con la horizontal, y cae justo
en el borde de una terraza de un edificio situado a 30 m de distancia del punto de lanzamiento.
La terraza está a 10 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la pelota.
Si la pelota sale desde el origen de coordenadas, la terraza está en el punto (30,10). Las
coordenadas de ese punto cumplen la ecuación del tiro parabólico:
y  xtg 
gx 2
;
2v 20 cos2 
10  30tg30 
10·302
;
2v 20 cos2 30
v 0  28,63ms1
08. Un jugador de béisbol lanza una pelota con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de
elevación de 30°. En ese mismo instante, otro jugador situado a 150 m del primero en la misma
dirección que lleva la pelota, empieza a correr con velocidad constante de 10 m/s para intentar
cogerla. ¿Llegará a coger la pelota?.
La pelota sube hasta que v y  0  50·sen30  10t; t  2,5s
por lo que está 5s en el aire. En ese tiempo recorre en
horizontal un espacio ex  50 cos30·t  216,5m
150 m
x
El segundo jugador tiene que recorrer 216,5  150  66,5m
en 5s. Tiene que correr a 13,3 m/s por lo que no llega.
09. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente desde 900 hasta 800 rpm en 5
s. Calcula la aceleración angular, el número de vueltas que da la rueda en ese tiempo, y calcula
el tiempo necesario para que la rueda se pare.
0  900rpm  30 rad·s1 
F  0
2





 rad·s2
La aceleración de frenado es:

80
1
t
3
F  800rpm 
 rad·s 
3

1 2
2 2 40
 rad  6,66 vueltas
el ángulo recorrido es:   0 t  t  30  ·5 
2
3
3
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para que se pare F  0  t; 0  30 
2
t; t  45s
3
10. Un punto material describe una circunferencia de 25 cm de radio, aumentando su velocidad
de una forma constante. En un momento dado, su velocidad es de 0,9 m/s, y 0,25 seg. más tarde
es de 1,0 m/s. Calcula el módulo, dirección y sentido de la aceleración en el primer instante.
En el instante t, v  v 0  at  0,9
 at  0,9

2

 a  4 ms
En el instante t  0,25, v  v 0  a(t  0,25)  1,0  at  0,25a  1
La dirección es tangente a la trayectoria en el sentido del movimiento.
11. Las ecuaciones paramétricas de un movimiento son x=2t, y=3sent. Escribir la ecuación de la
trayectoria, y representarla gráficamente entre los instante t=0 y t=2π. Calcular, en ese
intervalo, los instantes en los que el cuerpo está parado y en los que la aceleración es nula.
4
2
x
x  2t 
x
 y  3sen  
y  3sent 
2
dy 3
x
 cos   ; se anula para x  
la velocidad es v 
dt 2
2
la aceleración es a 
dv
3
x
  sen   ;se anula para x=0
dt
4
2
12. Un coche se aleja de una torre de 300 m de altura con una velocidad de 72 km/h. Calcula la
velocidad con la que se aleja de la cima de la torre cuando se encuentra a 400 m de la base de
la misma. ¿Tiene aceleración el movimiento?
la distancia entre el observador que está en el punto
más alto de la torre y el coche es x:
300
x
x  3002  202 t2  90000  400t2
v
y la velocidad con respecto al observador será
v
vt=20t
dx
d

dt dt


90000  400t2 
800t
2 90000  400t2
(1)
Cuando el coche está a 400 m de la torre han pasado t=20 s desde que comenzó el movimiento,
luego sustituyendo en la expresión anterior, la velocidad en ese punto es:
v
800·20
2 90000  400·20
2
 16ms1
El movimiento sí tiene aceleración porque la derivada de la velocidad (1) con respecto al tiempo
no es nula. La aceleración no es constante.
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13*. Dos velas de la misma altura h, se encuentran a una distancia a. La distancia entre cada
vela y la pared más próxima es a. Calcular la velocidad con la que se mueven las sombras sobre
las paredes. Dato: la primera vela se quema con una velocidad v1 y la segunda con v2.
Cuando ha pasado un tiempo t, la altura de cada vela es
la indicada en la figura. La línea de sombras es la que
B
pasa por los puntos A y B. La ecuación de esa recta es
A
h-v1t
s1
a
a
h-v2t
A(a,h  v1t) 

B(2a,h  v 2 t)
s2
y  y A yB  y A
y  h  v1t h  v 2t  h  v 1t



x  x A xB  x A
x a
2a  a
y
a
v1t  v 2t
(x  a)  h  v1t
a
La altura de la sombra 1 es el valor de la y de esa recta cuando x=0 y la de la sombra 2 es el
valor de y cuando x=3a.
s1  v 2 t  v1t  h  v1t  v 2t  2v1t  h
s2  2v1t  2v 2t  h  v1t  v1t  2v 2t  h
La velocidad con la que se mueve cada sombra será la derivada de su valor con respecto al
tiempo:
ds1
 v 2  2v1
dt
ds
 2  v1  2v 2
dt
v SOMBRA1 
v SOMBRA 2
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