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Guía de estudio
Razones de cambio
Unidad C: Clase 40-41
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván
Restrepo Ochoa1.
Razones de cambio
Se ha visto cómo usar la derivada para determinar la pendiente. La derivada
también puede utilizarse para determinar la razón de cambio de una variable
con respecto a otra. La razón de cambio se emplea en una gran variedad de
campos. Algunos ejemplos son tasa de crecimiento poblacionales, tasas de
producción, flujo de agua, velocidad y aceleración.
Un uso común de la razón de cambio es en la descripción del movimiento en
línea recta de un objeto. En tales problemas, para representar la recta del
movimiento se acostumbra utilizar una recta horizontal o vertical en la que se
marca un origen. En tales rectas, el movimiento a la derecha (o hacia arriba)
se considera un movimiento en dirección positiva y el movimiento a la
izquierda (o hacia abajo) se considera un movimiento en dirección negativa.
La función s = s (t ) se llama función de posición, donde s es el
desplazamiento del objeto respecto al origen, en el instante t . Si, en un
periodo ∆t , el cambio en la posición es ∆s = s ( t + ∆t ) − s ( t ) , entonces, la
velocidad promedio es
velocidad =
desplazamiento s ( t + ∆t ) − s ( t )
=
tiempo
∆t
Es decir, la velocidad promedio se puede definir como
Cambio de posición ∆s
=
Cambio en tiempo
∆t
Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección
electrónica: [email protected]. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad
de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected]. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected].
1
239
Ejemplo 3
Si una bola de billar se deja caer desde una altura de 100 metros, su altura s
en el tiempo t está dada por la función de posición
s = −16t 2 + 100
donde s está dada en metros y t está dada en segundos. Encuentre la
velocidad promedio en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo.
a. [1, 2]
b.
[1,1.5]
c.
[1,1.1]
Solución
2
a. En el intervalo [1, 2] , el objeto cae desde la altura s (1) = −16 (1) + 100 = 84
2
metros hasta una altura de s ( 2 ) = −16 ( 2 ) + 100 = 36 metros. La velocidad
promedio es
∆s 36 − 84 −48
=
=
= −48
∆t
2 −1
1
metros por segundo.
b. En el intervalo [1,1.5] , el objeto cae desde una altura de 84 metros hasta
una altura de 64 metros. La velocidad promedio es
∆s 64 − 84 −20
=
=
= −40
∆t 1.5 − 1
0.5
metros por segundo.
c. En el intervalo [1,1.1] , el objeto cae desde una altura de 84 metros hasta una
altura de 80.64 metros. La velocidad promedio es
∆s 80.64 − 84 −3.36
=
=
= −33.6
∆t
1.1 − 1
0.1
metros por segundo.
Observe que aquí las velocidades promedio son negativas, lo cual indica que el
objeto se mueve hacia abajo.
Definición velocidad instantánea
Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición
s = s (t ) entonces su velocidad instantánea en el instante de tiempo t es
s (t + ∆t ) − s (t )
= s′(t )
∆t → 0
∆t
v(t ) = lim
Esto significa que la velocidad instantánea en el instante t es igual a la
pendiente de la recta tangente.
Es decir, la función velocidad es la derivada de la función de posición. La
velocidad puede ser negativa, positiva o cero. La rapidez de un objeto es el
valor absoluto de su velocidad. La rapidez no puede ser negativa.
240
La posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire)
bajo la influencia de la gravedad puede representarse mediante la ecuación
1 2
Función de posición
gt + v0t + s0
2
Donde s0 es la altura inicial del objeto, v0 es la velocidad inicial del objeto y g
s (t ) =
es la aceleración debida a la gravedad. En la tierra el valor de
g
es
aproximadamente -32 pies por segundo por segundo o -9.8 metros por
segundo por segundo.
EJEMPLO 4
En el tiempo t = 0 , un clavadista salta desde un trampolín que se encuentra a
una altura de 32 pies sobre el agua (ver figura 2.22). La posición del clavadista
está dada por
s ( t ) = −16t 2 + 16t + 32
Función de posición
donde s está dada en pies y t está dado en segundos.
a. ¿Cuál es el tiempo en el que el clavadista choca con el agua?
b. ¿Cuál es la velocidad del clavadista en el momento del impacto?
Solución
a. Para hallar el tiempo t en el que el clavadista choca con el agua, se hace
s = 0 y se despeja t .
−16t 2 + 16t + 32 = 0
Igualar con cero la función de
posición
−16 ( t + 1)( t − 2 ) = 0
Factorizar
t = −1 o 2
Despejar t
Como t ≥ 0 , se elige el valor positivo y se concluye que el clavadista choca con
el agua en t = 2 segundos.
b. La velocidad en el tiempo t está dada por la derivada s′ ( t ) = −32t + 16 . Por lo
tanto la velocidad en el tiempo t = 2 es
s′ ( 2 ) = −32 ( 2 ) + 16 = −48 pies por segundo.
Ejemplo 5
Un fabricante produce camisetas, y estima que el ingreso de producir y vender
x unidades de estas camisetas será I ( x ) = 0.25x 2 + 2 x − 1 millones de pesos.
a. ¿A qué razón cambia el ingreso respecto al nivel de producción x cuando se
producen 4 unidades.
b. ¿está aumentando o disminuyendo el ingreso?
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Solución
a. Como x representa el número de unidades producidas entonces x ≥ 0 y
I '( x ) = 0.5 x + 2 ⇒ I '( 4 ) = 2 + 2 = 4
Entonces se deduce que el ingreso cambia a razón de $4’000.000 por unidad
respecto al nivel de producción cuando se producen 4 unidades de camisetas.
b. El ingreso está aumentando ya que I '( 4) = 4 es positivo, es decir la
pendiente de la recta tangente es positiva y por tanto el ingreso es creciente
en x = 4 .
Referencia
•
Haeussler, Ernest F, Jr. y Richard, S. Paul. Matemáticas para
administración y economía. Pearson – Prentice Hall. Décima segunda
edición, 2008
•
Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial
CEGANGE Learning. Primera edición, 2010.
•
Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson Prentice-Hall. Novena edición, 2007.
•
Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill.
Segunda Edición, 2002.
•
Stewart, James. Cálculo conceptos y contextos. International Thomson
Editores, 1998.
•
Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. Cálculo para administración,
economía y ciencias sociales, Mc Graw Hill. Séptima edicón, 2001.
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