Conjuntos de Vectores Linealmente Dependientes

Álgebra Lineal
Ma1010
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Departamento de Matemáticas
ITESM
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Álgebra Lineal - p. 1/37
Objetivos
Después del concepto de espacio generado, el siguiente concepto
en importancia es el de dependencia lineal. Este concepto será
introducido en esta lectura. Los principales apartados son:
■ El concepto de conjunto de vectores linealmente dependiente.
■
El proceso para verificar cuando un conjunto de vectores es
linealmente dependiente.
■
La relación entre independencia lineal y sistemas de ecuaciones
lineales.
La meta final es analizar las razones por las que un sistema de
ecuaciones tiene infinitas soluciones. Nuestra conclusión será que
se debe a que las columnas de la matriz de coeficientes forman un
conjunto de vectores linealmente dependiente. Si fuera conjunto
independiente, la solución sería única en caso de haber solución.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 2/37
Motivación
La motivación de este concepto surge del análisis
de un sistema de ecuaciones lineales.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 3/37
Motivación
La motivación de este concepto surge del análisis
de un sistema de ecuaciones lineales. Considere
el sistema
Ax = b
Supongamos que el sistema sea consistente y que
x0 sea una solución al mismo.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 3/37
Motivación
La motivación de este concepto surge del análisis
de un sistema de ecuaciones lineales. Considere
el sistema
Ax = b
Supongamos que el sistema sea consistente y que
x0 sea una solución al mismo. Es decir,
Ax0 = b
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 3/37
Motivación
La motivación de este concepto surge del análisis
de un sistema de ecuaciones lineales. Considere
el sistema
Ax = b
Supongamos que el sistema sea consistente y que
x0 sea una solución al mismo. Es decir,
Ax0 = b
Supongamos también que x1 sea otra solución al
sistema, entonces
Ax1 = b
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 3/37
Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:
Ax0 − Ax1 = b − b = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 4/37
Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:
Ax0 − Ax1 = b − b = 0
Factorizando el lado izquierdo tenemos:
A (x0 − x1 ) = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 4/37
Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:
Ax0 − Ax1 = b − b = 0
Factorizando el lado izquierdo tenemos:
A (x0 − x1 ) = 0
Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a
Ax = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 4/37
Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:
Ax0 − Ax1 = b − b = 0
Factorizando el lado izquierdo tenemos:
A (x0 − x1 ) = 0
Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a
Ax = 0
el cual se conoce como sistema homogéneo
asociado al sistema Ax = b.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 4/37
Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos:
Ax0 − Ax1 = b − b = 0
Factorizando el lado izquierdo tenemos:
A (x0 − x1 ) = 0
Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a
Ax = 0
el cual se conoce como sistema homogéneo
asociado al sistema Ax = b. Para el sistema
homogéno asociado, por ser homogéneo,
podemos decir que siempre es consistente: todas
las variables igualadas a cero es una solución.
Esta solución se conoce como la solución trivial.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 4/37
Si el sistema homogéneo asociado sólo tiene la
solución 0 entonces x0 − x1 = 0, y por tanto
x0 = x1 . Es decir, si el sistema homogéneo
asociado tiene sólo la solución trivial, entonces el
sistema A x = b tiene solución única. Por otro
lado, si el sistema homogéneo A x = 0 tiene otra
solución diferente de 0, digamos xh , entonces:
A (xo + xh ) = Axo + Axh = b + 0 = b
Es decir, si xh es una solución diferente de 0 al
sistema homogéneo, entonces x0 + xh es una
solución a A x = b diferente de xo . Es decir, que si
A x = 0 tiene infinitas soluciones entonces el
sistema consistente A x = b también tendrá
infinitas soluciones.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 5/37
el sistema y su sistema homogéneo asociado
Esto se puede resumir en el siguiente resultado
que dice que la unicidad de la solución en un
sistema consistente queda determinada por la
unicidad del sistema homogéneo:
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 6/37
el sistema y su sistema homogéneo asociado
Esto se puede resumir en el siguiente resultado
que dice que la unicidad de la solución en un
sistema consistente queda determinada por la
unicidad del sistema homogéneo:
Teorema
Suponga el sistema consistente:
Ax = b
Entonces: el sistema tiene solución única si y
sólo si el sistema homogéneo asociado tiene
solución única.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 6/37
el sistema y su sistema homogéneo asociado
Esto se puede resumir en el siguiente resultado
que dice que la unicidad de la solución en un
sistema consistente queda determinada por la
unicidad del sistema homogéneo:
Teorema
Suponga el sistema consistente:
Ax = b
Entonces: el sistema tiene solución única si y
sólo si el sistema homogéneo asociado tiene
solución única. Equivalentemente: el sistema
no tiene solución única si y sólo si el sistema
homogéneo asociado tiene otra solución
diferente de la solución trivial.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 6/37
Idea Clave
De acuerdo con este resultado, la clave para saber
si un sistema de ecuaciones lineales puede tener
infinitas soluciones está en el análisis del sistema
homogéneo asociado
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 7/37
Idea Clave
De acuerdo con este resultado, la clave para saber
si un sistema de ecuaciones lineales puede tener
infinitas soluciones está en el análisis del sistema
homogéneo asociado , y esto hace que nos
interesemos en saber si los sistemas homogéneos
tienen otra solución además de la solución trivial.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 7/37
Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T
entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el
sistema:
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 8/37
Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T
entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el
sistema:
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0
Por consiguiente, la pregunta:
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 8/37
Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T
entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el
sistema:
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0
Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema
homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de
la solución trivial?
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 8/37
Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T
entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el
sistema:
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0
Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema
homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de
la solución trivial? se convierte en:
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 8/37
Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T
entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el
sistema:
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0
Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema
homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de
la solución trivial? se convierte en: ¿hay forma de
combinar linealmente los vectores ai para que den
el vector 0 donde no todos los coeficientes sean cero?
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 8/37
Dependencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es
linealmente dependiente
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 9/37
Dependencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es
linealmente dependiente si existen constantes c1 ,
c2 ,. . . ,ck no todos ceros
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 9/37
Dependencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es
linealmente dependiente si existen constantes c1 ,
c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que:
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 9/37
Dependencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es
linealmente dependiente si existen constantes c1 ,
c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que:
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0.
Un conjunto de vectores que no es linealmente
dependiente se dice linealmente independiente
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 9/37
Dependencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es
linealmente dependiente si existen constantes c1 ,
c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que:
c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0.
Un conjunto de vectores que no es linealmente
dependiente se dice linealmente independiente :
es decir, cuando la única combinación lineal de los
vectores que da el vector cero es la que tienen
todos sus coeficientes cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 9/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente independiente:

 
 



4
1
−1 


 
 


x1 =  6  , x2 =  3  , x3 =  −2 



1
4
−2 
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 10/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente independiente:

 
 



4
1
−1 


 
 


x1 =  6  , x2 =  3  , x3 =  −2 



1
4
−2 
Solución
Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2
y c3 para que:
c1 x 1 + c2 x 2 + c3 x 3 = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 10/37
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al
reducirla queda:




1 0 0 0
4 1 −1 0




→
0
0
6
3
−2
0
1
0




1 4 −2 0
0 0 1 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 11/37
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al
reducirla queda:




1 0 0 0
4 1 −1 0




→
0
0
6
3
−2
0
1
0




1 4 −2 0
0 0 1 0
Como el sistema tiene solución única c1 = 0,
c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de
combinar los vectores x’s para que den el vector
cero es la que tiene todos los coeficientes cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 11/37
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al
reducirla queda:




1 0 0 0
4 1 −1 0




→
0
0
6
3
−2
0
1
0




1 4 −2 0
0 0 1 0
Como el sistema tiene solución única c1 = 0,
c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de
combinar los vectores x’s para que den el vector
cero es la que tiene todos los coeficientes cero.
Por tanto, el conjunto de vectores es linealmente
independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 11/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente independiente:








0
5
15 








x1 =  −3  , x2 =  −2  , x3 =  −15 



3
−2
3 
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 12/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente independiente:








0
5
15 








x1 =  −3  , x2 =  −2  , x3 =  −15 



3
−2
3 
Solución
Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2
y c3 para que:
c1 x 1 + c2 x 2 + c3 x 3 = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 12/37
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al
reducirla queda:




1 0 3 0
0
5
15 0




→
0
0
−3
−2
−15
0
1
3




3 −2
3 0
0 0 0 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 13/37
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al
reducirla queda:




1 0 3 0
0
5
15 0




→
0
0
−3
−2
−15
0
1
3




3 −2
3 0
0 0 0 0
Como el sistema tiene infinitas soluciones se
deduce que además de la solución c1 = 0, c2 = 0 y
c3 = 0 debe tener otras soluciones y en estas otras
al menos un coeficiente c debe ser diferente de
cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 13/37
Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero
de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:
c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y
c2 = −3c3 .
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 14/37
Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero
de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:
c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y
c2 = −3c3 . Dando a c3 un valor diferente de cero
(por ejemplo c3 = −1) se pueden obtener
coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3)
que hacen que la combinación lineal de el vector
cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 14/37
Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero
de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene:
c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y
c2 = −3c3 . Dando a c3 un valor diferente de cero
(por ejemplo c3 = −1) se pueden obtener
coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3)
que hacen que la combinación lineal de el vector
cero. Por tanto, el conjunto de vectores es
linealmente dependiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 14/37
Criterio de dependencia lineal
El principal resultado para caracterizar conjuntos
de vectores linealmente independientes es el
siguiente:
Teorema
Sea A = {v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto de
vectores en Rn . Son equivalentes los
siguientes hechos.
■ El conjunto A es linealmente
independiente.
■ Tiene solución única el sistema
[v1 v2 · · · vk |0]
■ Tiene k pivotes la matriz reducida obtenida
de [v1 v2 · · · vk ]
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 15/37
Conjuntos de dos vectores
El resultado previo indica que para determinar si
un conjunto es linealmente independiente habrá
que reducir una matriz. Sin embargo, hay
situaciones donde no es requerido tal proceso.
Teorema
Son equivalentes los siguientes hechos:
a. El conjunto formado por los dos vectores
es l.d.
b. Un vector es un múltiplo escalar del otro.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 16/37
Tamaño de un conjunto independiente
Otra situación donde es fácil verificar si un
conjunto es linealmente dependiente es cuando el
número de elementos rebasa la dimensión del
espacio que los contiene:
Teorema
Si conjunto de vectores v1 , v2 ,. . . , vk es
linealmente independiente en Rn entonces
k ≤ n.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 17/37
Tamaño de un conjunto independiente
Otra situación donde es fácil verificar si un
conjunto es linealmente dependiente es cuando el
número de elementos rebasa la dimensión del
espacio que los contiene:
Teorema
Si conjunto de vectores v1 , v2 ,. . . , vk es
linealmente independiente en Rn entonces
k ≤ n. Equivalentemente, todo conjunto en
Rn con más de n vectores es linealmente
dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 17/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:
("
# " # "
# "
#)
6
0
1
2
,
,
,
−1
4
−5
−7
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 18/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:
("
# " # "
# "
#)
6
0
1
2
,
,
,
−1
4
−5
−7
Solución
Puesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 es
linealmente dependiente:
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 18/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:
("
# " # "
# "
#)
6
0
1
2
,
,
,
−1
4
−5
−7
Solución
Puesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 es
linealmente dependiente: Número de vectores (4)
> dimensión del espacio donde están (2).
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 18/37
Algunas Pruebas de Dependencia Lineal
Algunas pruebas de Dependencia Lineal
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 19/37
Algunas Pruebas de Dependencia Lineal
Algunas pruebas de Dependencia Lineal
1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto
es lineamente dependiente si y sólo si el vector
es el vector cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 19/37
Algunas Pruebas de Dependencia Lineal
Algunas pruebas de Dependencia Lineal
1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto
es lineamente dependiente si y sólo si el vector
es el vector cero.
2. Si el vector cero pertence a un conjunto de
vectores, el conjunto es linealmente
dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 19/37
Algunas Pruebas de Dependencia Lineal
Algunas pruebas de Dependencia Lineal
1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto
es lineamente dependiente si y sólo si el vector
es el vector cero.
2. Si el vector cero pertence a un conjunto de
vectores, el conjunto es linealmente
dependiente.
3. Si en un conjunto de vectores aparecen
vectores repetidos el conjunto es linealmente
dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 19/37
Algunas Pruebas de Dependencia Lineal
1.
2.
3.
4.
Algunas pruebas de Dependencia Lineal
Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto
es lineamente dependiente si y sólo si el vector
es el vector cero.
Si el vector cero pertence a un conjunto de
vectores, el conjunto es linealmente
dependiente.
Si en un conjunto de vectores aparecen
vectores repetidos el conjunto es linealmente
dependiente.
Si el conjunto consta de más de dos vectores: el
conjunto es linealmente dependiente si y
solamente si un vector del conjunto es
combinación lineal de los restantes.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 19/37
5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es
múltiplo escalar de otro el conjunto es
linealmente dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 20/37
5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es
múltiplo escalar de otro el conjunto es
linealmente dependiente.
6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y
el primer vector no es el vector cero: el conjunto
es linealmente dependiente si y solamente si un
vector del conjunto es combinacion lineal de los
vectores anteriores en el conjunto.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 20/37
5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es
múltiplo escalar de otro el conjunto es
linealmente dependiente.
6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y
el primer vector no es el vector cero: el conjunto
es linealmente dependiente si y solamente si un
vector del conjunto es combinacion lineal de los
vectores anteriores en el conjunto.
7. Si un conjunto de vectores contiene un
subconjunto de vectores que es linealmente
dependiente, el conjunto es a su vez
linealmente dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 20/37
5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es
múltiplo escalar de otro el conjunto es
linealmente dependiente.
6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y
el primer vector no es el vector cero: el conjunto
es linealmente dependiente si y solamente si un
vector del conjunto es combinacion lineal de los
vectores anteriores en el conjunto.
7. Si un conjunto de vectores contiene un
subconjunto de vectores que es linealmente
dependiente, el conjunto es a su vez
linealmente dependiente.
8. Si un conjunto de vectores es linealmente
independiente, entonces cualquier subconjunto
de él también será linealmente independiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 20/37
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Álgebra Lineal - p. 21/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:






−3
−9 






x1 =  0  , x2 =  0 



1
3 
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 22/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:






−3
−9 






x1 =  0  , x2 =  0 



1
3 
Solución
El conjunto es linealmente dependiente porque el
segundo vector es múltiplo escalar del
primero.(x2 = 3x1 ) Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 22/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:



 



4
0
−1 




 


x1 =  −1  , x2 =  0  , x3 =  4 



−2
0
3 
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 23/37
Ejemplo
Indique si el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente:



 



4
0
−1 




 


x1 =  −1  , x2 =  0  , x3 =  4 



−2
0
3 
Solución
El conjunto es linealmente dependiente porque el
vector cero está en el conjunto: x2 = 0 · x1 Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 23/37
Ejemplo
¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de
vectores es linealmente dependiente?
("
# " #)
1
6
,
−2
a
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 24/37
Ejemplo
¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de
vectores es linealmente dependiente?
("
# " #)
1
6
,
−2
a
Solución
Al formar la matriz aumentada y escalonar
tenemos:
"
#
"
#
1 6 0
1
−2 0
→
−2 a 0
0 12 + a 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 24/37
El sistema tendrá solución infinitas cuando
12 + a = 0, es decir, cuando a = −12.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 25/37
El sistema tendrá solución infinitas cuando
12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto,
para a = −12 el conjunto es linealmente
dependiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 25/37
El sistema tendrá solución infinitas cuando
12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto,
para a = −12 el conjunto es linealmente
dependiente. Mientras que para a 6= −12 es
linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 25/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente independiente. ¿Será el conjunto
{v4 , v3 , v2 }
linealmente independiente?
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 26/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente independiente. ¿Será el conjunto
{v4 , v3 , v2 }
linealmente independiente?
Solución
Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente
independiente, cualquier subconjunto de él será
linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 26/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v3 , v1 , v2 , }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
linealmente dependiente?
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 27/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v3 , v1 , v2 , }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
linealmente dependiente?
Solución
Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente
dependiente, cualquier conjunto que lo contenga será
linealmente dependiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 27/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v3 , v5 , v4 }
linealmente independiente?
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 28/37
Ejemplo
Suponga que el conjunto
{v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto
{v3 , v5 , v4 }
linealmente independiente?
Solución
No se puede deducir ninguna conclusión definitiva:
El conjunto puede ser linealmente dependiente o
independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 28/37
Ejemplo
Suponga que los vectores v1 y v2 forman un
conjunto linealmente independiente. ¿Será el
siguiente conjunto linealmente independiente?
{y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 }
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 29/37
Ejemplo
Suponga que los vectores v1 y v2 forman un
conjunto linealmente independiente. ¿Será el
siguiente conjunto linealmente independiente?
{y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 }
Solución
Buscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2
para que:
c1 y 1 + c2 y 2 = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 29/37
Ejemplo
Suponga que los vectores v1 y v2 forman un
conjunto linealmente independiente. ¿Será el
siguiente conjunto linealmente independiente?
{y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 }
Solución
Buscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2
para que:
c1 y 1 + c2 y 2 = 0
Es decir
c1 (−2 v1 − 2 v2 ) + c2 (2 v1 − 3 v2 ) = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 29/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente
independiente los coeficientes de la combinación
lineal anterior deben ser cero:
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente
independiente los coeficientes de la combinación
lineal anterior deben ser cero:
− 2c1 + 2c2 = 0
− 2c1 − 3c2 = 0
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente
independiente los coeficientes de la combinación
lineal anterior deben ser cero:
− 2c1 + 2c2 = 0
− 2c1 − 3c2 = 0
Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente
independiente los coeficientes de la combinación
lineal anterior deben ser cero:
− 2c1 + 2c2 = 0
− 2c1 − 3c2 = 0
Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.
Por tanto, la única combinación lineal de los
vectores y que da el vector 0 es la que tiene
coeficientes cero.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Desarrollando esto queda:
(−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0
Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente
independiente los coeficientes de la combinación
lineal anterior deben ser cero:
− 2c1 + 2c2 = 0
− 2c1 − 3c2 = 0
Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0.
Por tanto, la única combinación lineal de los
vectores y que da el vector 0 es la que tiene
coeficientes cero. Por tanto, el conjunto {y1 , y2 } es
linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 30/37
Ejemplo
Considere el sistema A x = b. Si las columnas de
A forman un conjunto l.d., entonces el sistema
A no se sabe si tiene solución.
B
tiene infinitas soluciones.
C
tiene solución única.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 31/37
Ejemplo
Considere el sistema A x = b. Si las columnas de
A forman un conjunto l.d., entonces el sistema
A no se sabe si tiene solución.
B
tiene infinitas soluciones.
C
tiene solución única.
Solución
Recuerde que la consistencia no depende de si
las columnas de A son un conjunto linealmente
independiente. Lo que se tiene es que si A x = b
es consistente entonces habrá solución única si y
sólo si las columnas de A forman un conjunto li.
En este caso, la respuesta más conveniente es
A : no se sabe si tiene solución Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 31/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b tiene soluciones
infinitas para un vector b particular. ¿El conjunto
de las columnas de la matriz de coeficientes será
linealmente dependiente?
A Falso
B
No hay suficiente información para concluir
C
Cierto
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 32/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b tiene soluciones
infinitas para un vector b particular. ¿El conjunto
de las columnas de la matriz de coeficientes será
linealmente dependiente?
A Falso
B
No hay suficiente información para concluir
C
Cierto
Solución
El dato es que A x = b tiene soluciones infinitas.
Por tanto, A x = 0 tiene soluciones infinitas. Por
tanto, es cierto que las columnas de A son
dependientes Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 32/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b es tal que el conjunto de las
columnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente,
qué se puede decir de la solución al sistema?
Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones
A
B
Que si acaso existe solución, entonces es única
C
Que sí existen infinitas soluciones
D
Que sí existe y además es única
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 33/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b es tal que el conjunto de las
columnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente,
qué se puede decir de la solución al sistema?
Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones
A
B
Que si acaso existe solución, entonces es única
C
Que sí existen infinitas soluciones
D
Que sí existe y además es única
Solución
Nuevamente, el dato sólo sirve para describir el comportamiento de
las soluciones en caso de haber. La respuesta es que A Que si
acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 33/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b n × n es tal que tiene solución
única para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente
el sistema A x = b1 ?
A Consistente o inconsistente, si consistente solución única.
B
Consistente o inconsistente, si es consistente puede tener
infinitas.
C
Consistente sin importar b1 y tiene solución única.
D
No hay información para saber si es consistente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 34/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b n × n es tal que tiene solución
única para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente
el sistema A x = b1 ?
A Consistente o inconsistente, si consistente solución única.
B
Consistente o inconsistente, si es consistente puede tener
infinitas.
C
Consistente sin importar b1 y tiene solución única.
D
No hay información para saber si es consistente.
Solución
Si tiene solución única para un b se deduce que las columnas de A
son linealmente independientes. Por tanto, y como A tiene n
columnas, si a A se le aplica rref quedan n pivotes. Como A tiene
n renglones entonces en la reducida de A quedarán pivotes en
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
cada renglón. Por tanto, las columnas de A generan todo Rn . Por
n
consiguiente, para cualquier otro vector b
n1 de R el sistema será
Dependencia e Independencia Lineal en R
Álgebra Lineal - p. 34/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b n × n tiene infinitas soluciones
para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el
sistema A x = b1 ?
A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tendrá solución única.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
puede tener soluciones infinitas.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones
infinitas..
D
No hay información para saber si es consistente.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tiene soluciones infinitas.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 35/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b n × n tiene infinitas soluciones
para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el
sistema A x = b1 ?
A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tendrá solución única.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
puede tener soluciones infinitas.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones
infinitas..
D
No hay información para saber si es consistente.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tiene soluciones infinitas.
Solución
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Dado que tiene infinitas soluciones para un b se deduce que las
columnas
de A son linealmente
dependientes.
Por tanto, y como A
Dependencia
e Independencia
Lineal
en Rn
Álgebra Lineal - p. 35/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b m × n (con n > m) es
inconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 será
consistente el sistema A x = b1 ?
A Será siempre inconsistente.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
puede tener soluciones infinitas o solución única.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones
infinitas.
D
No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas o
única.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tiene soluciones infinitas.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 36/37
Ejemplo
Suponga que el sistema A x = b m × n (con n > m) es
inconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 será
consistente el sistema A x = b1 ?
A Será siempre inconsistente.
B
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
puede tener soluciones infinitas o solución única.
C
El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones
infinitas.
D
No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas o
única.
E
Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente
tiene soluciones infinitas.
Solución
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Dado que el número de columnas de A es mayor que el número de
renglones,
entonces después
de reducir
m
Dependencia
e Independencia
Lineal
en RnA quedarán a lo más
Álgebra Lineal - p. 36/37
Resultados teóricos
Veremos ahora un par de resultados que servirán
para elaborar la teoría de la dimensión y que son
relativos al concepto de dependencia lineal:
Teorema
Si el conjunto S1 = {v1 , v2 , . . . , vk } es
linealmente independiente entonces:
a. Cualquier vector y en el generado por S,
se puede escribir en forma única como
combinación lineal de los vectores
v1 ,. . . ,vk .
b. Si vk+1 no pertenece al generado por S1 ,
entonces el nuevo conjunto
S2 = {v1 , v2 , . . . , vk , vk+1 } es linealmente
independiente.
Dependencia e Independencia Lineal en Rn
Objetivos
Motivación
Resultado clave 1
Idea Clave
Dependencia
Lineal
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultado clave 2
Conjuntos de dos
vectores
Tamaño de un
Conjunto L.I.
Ejemplo 3
Pruebas L.D.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo
Resultados
Teóricos
Álgebra Lineal - p. 37/37