0.1. Homomorfismos de Grupos

0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
0.1.
1
Homomorfismos de Grupos
Definición 1 Sean (G, ·) y (H, ◦) dos grupos. Una función f de G a H
f :G→H
se dice ser
a) Un homomorfismo si f (x · y) = f (x) ◦ f (y), ∀x, y ∈ (G, ·), se puede
prescindir de las operaciones y escribir simplemente f (xy) = f (x)f (y).
b) Un monomorfismo si es un homomorfismo inyectivo de G en H.
c) Un epimorfismo si es un homomorfismo sobreyectivo de G en H.
d) Un isomorfismo de H en G si es un homomorfismo biyectivo entre estos
dos grupos. G y H se dicen isomorfos, y se escribe G ∼
= H.
e) Un automorfismo si es un isomorfismo de G en G.
Ejemplo 1.
Sea h : (IR, +) −→ (IR − {0}, ·), se define h(x) = 3x . Vemos que
h(x + y)
= 3x+y ,
= 3x 3y ,
= h(x)h(y).
Ası́ h es un homomorfismo. Por otro lado, se tiene que
dh(x)
= ln3 · 3x > 0, ∀x ∈ IR,
dx
esto significa que h es creciente estrictamente y por lo tanto inyectiva, ası́ que
h es un monomorfismo.
Ejemplo 2.
Sea A cualquier grupo abeliano definimos h(a) = a2 , esta función es un
homomorfismo de éste grupo en si mismo. En efecto,
h(ab)
= (ab)2 ,
= a2 b 2 ,
= h(a)h(b).
¿Puede ser la propiedad de conmutatividad omitida aquı́?.
2
Ejemplo 3.
Consideremos h, una función definida por:
h : (ZZ, +) −→ ({1, −1}, ·),
n
−→ h(n) = (−1)n .
Es claro que h(m + n) = (−1)m+n = (−1)m (−1)n = h(m)h(n). Evidentemente no es un monomorfismo. ¿Por qué ?.
Ejemplo 4.
Consideremos los grupos de C y el grupo Klein cuyas tablas damos a
continuación:
C:
e
x
x2
x3
e
e
x
x2
x3
x
x
x2
x3
e
x2
x2
x3
e
x
x3
x3
e
x
x2
K:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Asumamos que exista un isomorfismo de h : C −→ K, entonces deberı́a ser
que: h(x) = e, a, b, ó c, entonces h(x2 ) = e2 , a2 , b2 ó c2 . Supongamos que
h(x) = e, entonces
:
h(x2 ) = h(x)h(x) = e2 = e,
h(x3 ) = h(x2 )h(x) = e3 = e,
asi que h(e) = h(e2 ) = h(e)h(e) = e =⇒ h no puede ser inyectivo.
Ejemplo 5.
Sea G = {e, g, g 2 } un grupo cı́clico de orden 3 con
e
g
g2
e
e
g
g2
g
g
g2
e
g2
g2
e
g
y h : G −→ G definido por
h(e)
h(g)
h(g 2 )
= e,
= g2,
= g.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
3
h es un isomorfismo de G en si mismo. Veamos primero que es un homomorfismo. En efecto,
h(ee) = h(e)h(e)
= e2 = e
h(eg) = h(e)h(g)
= eg 2 = g 2 ,
h(eg 2 ) = h(e)h(g 2 ) = eg = g,
h(gg 2 ) = h(g)h(g 2 ) = g 2 g = e,
Claramente es inyectiva y sobreyectiva, ası́ que h es un automorfismo.
Ejemplo 6.
El siguiente es un ejemplo de un automorfismo de grupos. Sea a ∈ G, y
sea fa : G −→ G la función definida por
fa (g) = a−1 ga para todo g ∈ G.
Pruebe que fa es un homomorfismo
Prueba
En efecto, pues
fa (gg1 ) =
=
=
de grupos.
a−1 gg1 a,
(a−1 ga)(a−1 g1 a),
fa (g)fa (g1 ).
Finalmente para demostrar que fa es un isomorfismo y por lo tanto un automorfismo es suficiente ver que fa−1 es el inverso de fa . Dejamos este último
hecho como un ejercicio al lector.
Ejemplo 7.
Si A es un grupo abeliano finito de orden n, y m.c.d(n,k) = 1, muestre
f : A −→ A definido por f (a) = ak es un isomorfismo.
Prueba
Si se muestra que f es sobreyectivo, entonces f es inyectivo, ya que A es un
conjunto finito y f va de A en A. En efecto, sea a un elemento cualquiera en
A considerado como conjunto de llegada del homomorfismo y tomemos ad en
A conjunto de salida y entonces calculemos
f (ad )
=
=
=
=
=
(ad )k ,
akd anc ,
akd+nc ,
a1 ,
a,
4
ya que (ac )n = e, donde e es elemento neutro de A, y del hecho de que
kd + nc = 1.
Nota
El siguiente teorema es especialmente útil para determinar cuando dos grupos
no son isomorfos. En general para demostrar que dos grupos no son isomorfos se muestra que uno de ellos tiene una propiedad estructural y el otro no.
Ası́ por ejemplo algunas propiedades estructurales posibles son que uno de
los grupos sea cı́clico, abeliano, el número de subgrupos, el ser grupo finito
o no, el orden del grupo, que el grupo tenga por ejemplo exactamente dos
elementos de un orden dado, o que por ejemplo la ecuación x2 = a, tenga
exactamente una solución para cada a en el grupo.
Por otro lado no son propiedades estructurales que el grupo contenga al número
5 como elemento, que todos elementos sean números , que la operación del
grupo se llame composición, que los elementos del grupo sean permutaciones,
que el grupo sea un subgrupo de (IR, +).
Teorema 1 Si h es un isomorfismo de un grupo G en un grupo H, entonces
1. h(e) = e.
2. h(x−1 ) = (h(x))−1 .
3. h(xk ) = (h(x))k , ∀ k ∈ ZZ, k > 0
4. Si g y g 0 conmutan en G ⇐⇒ h(g) y h(g 0 ) conmutan en H.
5. G es abeliano ⇐⇒ H es abeliano.
6. g k = g 0 en G ⇐⇒ (h(g))k = h(g 0 ) en H.
7. g y h(g) tienen el mismo orden.
8. xk = g tiene el mismo número de soluciones en G que h(g) = xk en
H.
9. G y H tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo número de
elementos.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
5
Prueba
1. Dado que e2 = e, se tiene que h(e) = h(e2 ) = (h(e))2 , se sabe que en
un grupo si un elemento x2 = x =⇒ x = e, ası́ si tomamos x = h(e)
en H concluimos que e = h(e).
2. Si xx−1 = e =⇒ h(xx−1 ) = h(e) = e = h(x)h(x−1 ). Pero h(x) tiene
un inverso único, ası́ que h(x−1 ) = (h(x))−1 .
3. h(xk ) = (h(x))k ∀k entero. Si k es negativo, entonces
h(x−k ) = h((x−1 )k ) = h((h(x))−1 )k = (h(x))−k .
4. (=⇒) Si gg 0 = g 0 g =⇒ h(g)h(g 0 ) = h(g 0 g) = h(g 0 )h(g), ası́ si g y g 0
conmutan implica que h(g) y h(g 0 ) conmutan.
(⇐=) Por otro lado si h(g)h(g 0 ) = h(g 0 )h(g), entonces h(gg 0 ) =
h(g 0 g) y dado que h es inyectivo, entonces gg 0 = g 0 g.
5. (=⇒) Sean f, f 0 dos elementos cualesquiera del grupo H, existen g, g 0
en G tales que h(g) = f y h(g 0 ) = f 0 dado que h es sobreyectivo. Luego
f f 0 = h(g)h(g 0 ) = h(gg 0 ) = h(g 0 g) = h(g 0 )h(g) = f 0 f , esto significa
que H es abeliano. Este argumento es válido en el sentido inverso.
6. g k = g 0 en G =⇒ (h(g))k = h(g k ) = h(g 0 ) ∈ H aplicando
h−1 a (h(g))k = h(g k ) dado que g k = g 0 .
7. Sea k el menor entero para el que g k = e, entonces por la parte anterior
esto es equivalente a (h(g))k = h(e) = e.
8. (=⇒) Si a satisface xk = g, entonces ak = g, ası́, de donde
(h(a))k = h(g), de modo que h(a) satisface la ecuación xk = h(g) en
H. Este argumento es válido en el sentido inverso.
9. G y H tienen la misma cardinalidad.
Ejemplo 8.
Consideremos el conjunto de matrices
(
Gl(2, IR) =
a b
c d
!
)
| a, b, c, d
∈ IR, donde ad − bc 6= 0 .
6
Gl(2, IR) con la multiplicación usual de matrices es un grupo, y (IR, +) no
son isomorfos por la parte (4) del teorema anterior.
Ejemplo 9.
El grupo de Klein K y D4 no son isomorfos por la parte (8) del teorema
precedente.
Ejemplo 10.
Consideremos los grupos siguientes (Q
l −{0}, ·) no son isomorfos a (ZZ, +)
2
por la parte (8), dado que x = 4 tiene dos soluciones en (Q
l − {0}, ·). Pero
como h(4) = k para algún entero k, y del hecho que x2 = x · x = k, se
convierte en x + x = 2x en (ZZ, +), la que tiene a lo más una solución en
(ZZ, +).
Ejemplo 11.
El grupo (IR − {0}, ·) no es isomorfo a (IR, +) ya que x + x = a siempre
tiene solución para cada a ∈ IR, 2x = a =⇒ x = a2 , mientras x · x = a, que
es la ecuación equivalente no tiene siempre solución en (IR − {0}, ·), tómese
a = −1.
Ejemplo 12.
Los grupos (Cl −{0}, ·) (IR−{0}, ·) no son isomorfos ya que x2 = −1 tiene
dos soluciónes {i, −i} en (Cl − {0}, ·), mientras que no tiene en (IR − {0}, ·).
Ejemplo 13.
Sea G cualquier grupo, la función identidad de un grupo en si mismo
definida por I : G −→ G, i(g) = g es un automorfismo de G.
Ejemplo 14.
El grupo de Klein, es isomorfo a (ZZ2 , +) × (ZZ2 , +).
En efecto, sea K = {e, a, b, c} y ZZ2 × ZZ2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)},
entonces se define:
f (e) = (0, 0),
f (a) = (1, 0),
f (b) = (0, 1),
f (c) = (1, 1).
obviamente es inyectivo y sobreyectivo.Para ver que es homomorfismo revisar
f (x2 ) y f (xy) con x 6= y, y ası́ se comprobara que es un isomorfismo.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
7
Otra manera de probar lo mismo es observando que (ZZ2 × ZZ2 ) no tiene
elementos de orden cuatro y ası́ este no puede ser cı́clico de modo que la
única posibilidad es que sea isomorfo al grupo de Klein.
Ejemplo 15.
Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y H = {e, g} un grupo de orden
2. Definimos h : K −→ H por
h(e) = e,
h(a) = e,
h(b) = g,
h(c) = g.
evidentemente no es un isomorfismo. Veamos sin embargo que es un homomorfismo.
h(a ◦ b) = h(c) = g mientras que h(a) ◦ h(b) = e ◦ g = g también,
h(e ◦ b) = h(b) = g y h(e) ◦ h(b) = e ◦ g = g, mientras que
h(b) ◦ h(c) = g ◦ g = e, · · ·, hay que verificar en total 16 productos.
Ejemplo 16.
Sea (ZZ, +) y sea H = {e, g} el grupo cı́clico de orden 2. Definimos
(
h(n) =
e , si n es par,
g , si n es impar.
evidentemente h no puede ser un isomorfismo ya que no es inyectivo. Para
ver que es homomorfismo veamos dos casos:
1) Si n y m son ambos pares o impares, entonces n+m es par y h(n+m) = e
mientras que
(
h(n)h(m) =
ee = e
gg = e
si n y m son pares,
si n y m son impares.
2) Si n es par y m es impar, entonces n + m es impar y ası́ h(n + m) = g
mientras que h(n)h(m) = eg = g. El caso en que n es impar y m es par es
similar. Ası́ que h define un homomorfismo de grupos.
8
Ejemplo 17.
Sean G = {a, a2 , a3 , · · · , a11 , a12 = e} este grupo es cı́clico y su subgrupo
G0 = {a2 , a4 , a6 , · · · , a12 = e} se ve que
G : −→ G0 ,
an −→ h(an ) = a2n .
es un homomorfismo de G en G0 . (pruébelo!)
Ejemplo 18.
Demostrar que el grupo G, cuya tabla se da continuación
·
1
-1 -1
1 1
-1
1
-1
y el grupo H del cual también damos su tabla
0 1
0 0 1
1 1 0
son isomorfos. En efecto, basta definir h(1) = 0, h(−1) = 1 claramente h
es una función biyectiva, solo debemos comprobar que h es un homomorfismo.
a)
b)
c)
d)
h(1 · 1)
h(−1 · 1)
h(−1 · −1)
h(1 · −1)
=
=
=
=
h(1)h(1),
h(−1)h(1),
h(−1)h(−1),
h(1)h(−1).
ası́ que G ∼
= H.
Definición 2 Sea G un grupo, entonces
A(G) = {f : G −→ G | f es un isomorfismo},
es decir, A(G) es el conjunto de automorfismos de G en G.
Ejemplo 19.
Si f, g ∈ A(G), entonces f ◦ g ∈ A(G), donde ◦ es operación composición
de funciones A(G). Es claro que (A(G), ◦) es un grupo.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
9
Prueba
Probemos que ◦ es una operación cerrada en A. Primero notemos que f ◦ g es
una biyección de G en G ya que la composición de dos funciones biyectivas
es una función biyectiva. Verifiquemos que f ◦ g es un homomorfismo de A
en A. se tiene que mostrar que
(f ◦ g)(ab)
= (f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b),
∀a, b ∈ G.
En efecto,
(f ◦ g)(ab)
=
=
=
=
f (g(ab)),
f (g(a)g(b)),
f (g(a))f (g(b)),
(f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b).
con lo que se prueba que ” ◦ ” es una operación binaria sobre A(G), las demás
propiedades de grupo se dejan como ejercicio.
Nota Las propiedades de los grupos de automorfismos son muy interesantes.
Ası́ si G, H son grupos tales G ∼
= H, entonces A(G) ∼
= A(H) también. Es
importante hacer notar que el recı́proco no es cierto.
Ejemplo 20.
Consideremos el siguiente
grupo
· a
a a
(a)
b b
conjunto G = {a, b} con siguiente tabla es un
b
b
a
(b)
·
a
b
a b
a b
b a
Encuentre el grupo de automorfismos de (G, ·). Mostremos que la función
identidad, es el único automorfismo posible ya que la otra posibilidad serı́a:
h(a)
h(b)
= b,
= a.
Ahora bien h(bb) = h(a) = b, pero h(b)h(b) = aa = a, de donde se sigue
que h(bb) 6= h(b)h(b) y de este modo h no es un homomorfismo y ası́ el único
automorfismo es la identidad.
Teorema 2 Sean H y G grupos tales que H ∼
= G, entonces A(G) ∼
= A(H).
10
Prueba
Dado que G ∼
= H, entonces existe f : G −→ H la cual es un isomorfismo de
G en H. Para cualquier h ∈ A(G), definimos Tf por
= f ◦ h ◦ f −1 .
Tf (h)
Claramente f −1 es un isomorfismo de H en G, ya que f lo es de G en H.
Por lo tanto, es claro Tf (h) ∈ A(H), y ası́ Tf , es un isomorfismo de A(G) en
A(H), con lo que A(G) ∼
= A(H).
0.1.1.
Imágen y núcleo de un homomorfismo
Definición 3 Sean G y H grupos y considere un homomorfismo
f : G −→ H
se define
a) Imágen de F como el conjunto de las imagenes del homomorfismo f , es
decir
I(f ) = {f (g) | g ∈ G}
b) Núcleo de f ,o kernel de f como el conjunto de preimagenes del neutro eH
de H, es decir
N(f ) = {g ∈ G | f (g) = eH }
Nota El N(f ) 6= ∅ siempre, ya que e ∈ G, f (e) = e.
Ejemplo 21.
Volvamos al ejemplo del homomorfismo h : K = {e, a, b, c} −→ {e, g}
donde h(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g.
Ası́ el núcleo de está función es N(h) = {e, a}, mientras que el conjunto
imágen es I(h) = {e, g}
Ejemplo 22.
El homomorfismo h : ZZ −→ {e, g} definido por:
(
h(n) =
N(h) = {2n | n ∈ ZZ}.
e
g
si n
si n
es par,
es impar.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
11
Ejemplo 23.
Sea G = {e, g, g 2 } el grupo cı́clico de orden 3
e
g
g2
e
e
g
g2
g
g
g2
e
g2
g2
e
g
definimos h : {e, g, g 2 } −→ S3 por:
h(e) = f0 ,
h(g) = f3 ,
h(g 2 ) = f4 ,
cuyo núcleo es {e}. Muestre que h es un homomorfismo, probando que los
nueve productos de pares de elementos de G son preservados por h.
I(h) = {h(g) | g ∈ G} = {f0 , f3 , f4 }.
Ejemplo 24.
Considere (ZZm , +) y (ZZn , +) grupos aditivos donde n|m. Se define la
función
f : ZZm −→ ZZn
donde
f (a) = a (mod m) y (mod n) respectivamente a ∈ ZZ.
Probaremos que la función es un isomorfismo, y hallaremos su núcleo.
Prueba
a) En primer lugar notemos que f está bien definido, es decir,
a (mod m) = a0 (mod m)
,entonces f (a) (mod n) = f (a0 ) (mod n). En efecto,
a (mod m)
=⇒ m|(a0 − a),
=⇒ n|(a0 − a),
=⇒ a0 (mod n)
=⇒ f (a0 ) (mod m)
= a0 (mod m),
= a (mod n),
= f (a) (mod m).
12
Se ha mostrado ası́ que f está bien definida.
b) Ahora mostremos que f es un homomorfismo. En efecto, sean a, b ∈ ZZm
f (a + b)
=
=
=
=
f (a + b),
(a + b) (mod n),
a (mod n) + b (mod n),
f (a) + f (b).
c) Es claro que f es sobreyectivo. ¿Por qué?
d) Para analizar la inyectividad hay analizemos el núcleo. En efecto, sea
a (mod n) ∈ núcleo de f ,
=⇒ f (a (mod n)) = 0 (mod n),
=⇒ a (mod n)
= 0 (mod n),
=⇒ n|a.
Por lo tanto, si escribimos m = nd, entonces núcleo de f consiste en los
siguientes d elementos
{0, n, 2n, 3n, · · · , (d − 1)n}
el cual es un subgrupo normal de ZZm .
Teorema 3 Si f : G −→ H un homomorfismo de grupos, entonces
a) La imágen de f es un subgrupo de H
b) El núcleo de f es un subgrupo normal de G.
Prueba
a)Sean f (g1 ), f (g2 ) ∈ Im(f ), entonces
f (g1 )[f (g2 )]−1 = f (g1 )f (g2−1 ) = f (g1 g2−1 )
lo cual pertenece a Im(f ), pues g1 g2−1 ∈ G. Por lo tanto I(f ) es un subgrupo
de H.
b) Hay que demostrar que si g1 , g2 ∈ N(f ), entonces g1 ◦ g2−1 ∈ N(f ). Si tanto
g1 como g2 ∈ N(f ), entonces esto significa que f (g1 ) = e, f (g2 ) = e, donde
e es el elemento identidad de H. Ası́:
f (g1 g2−1 )
=
=
=
=
f (g1 )f (g2−1 ),
f (g1 )(f (g2 ))−1 ,
ee,
e,
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
13
lo cual implica que g1 g2−1 ∈ N(f ) y por lo tanto N(f ) es un subgrupo de G.
Mostremos ahora que I(f ) es un subgrupo normal de G.
Sea g ∈ G y sea n ∈ N(f ), entonces
f (g −1 ng) = f (g −1 )f (n)f (g) = [f (g)]−1 ef (g) = e
por lo que g −1 ng ∈ N(f ) y como n, g eran arbitrarios, se cumple que g −1 N(f )g ⊆
N(f ), o sea que N(f ) G.
Teorema 4 Si f : G −→ H un homomorfismo de grupos, entonces f es un
monomorfismo ⇔ N(f ) = {eG }
Prueba
⇒ Supongamos que f es inyectiva, y sea g ∈ N(f ), entonces
f (g) = eH = f (eG ) ⇒= eG ⇒ N(f ) = {eG }
⇐ Supongamos ahora que N(f ) = {eG }. Entonces si
f (g1 ) = f (g2 ) ⇒ f (g1 )[f (g2 )]−1 = eH
0.1.2.
⇒ f (g1 )f (g2−1 ) = eH ,
⇒ f (g1 g2 )−1 = eH ,
⇒ g1 g2−1 ∈ N(f ),
⇒ g1 g2−1 = eG ,
⇒ g1 = g2
Grupos cı́clicos e isomorfismos
Teorema 5 Dos grupos cı́clicos del mismo orden son isomorfos.
Prueba
Sean C = < c > y D = < d > dos grupos cı́clicos de orden n, es decir,
| D | = | C | = n, definimos:
f : C −→ D,
ck
−→ f (ck ) = dk .
para 0 ≤ k ≤ n−1, es sobreyectivo por teorema anterior y como | C | = | D |,
entonces es inyectivo y por lo tanto biyectivo, y ası́ un isomorfismo.
14
Corolario Sea C = < c > tal que | C | = n, entonces C es isomorfo a
(ZZn , +).
Nota Ası́ hemos contestado algunas preguntas con respecto a los grupos
cı́clicos.
(a) ¿ Son cı́clicos los subgrupos de los grupos cı́clicos?
(b) ¿ Cuántos subgrupos distintos se obtienen a partir de un grupo cı́clico
(con orden menor que el orden del grupo)?
(c) Un hecho interesante que puede responderse acerca de los grupos cı́clicos es la siguiente: ¿ Existen grupos cı́clicos de cualquier orden m para
cualquier entero (finito) m > 0 ?. La respuesta es afirmativa como se
muestra a continuación,
Cm =
2
=
Cm
m
=
Cm
1
2
1
3
1
1
2
3
2
4
2
2
···
···
···
···
···
···
!
m−1 m
,
m
1
!
m−2 m−1 m
,
m!
1
2
m
= I.
m
2
m−1
Es claro que todos los elementos {I, σm , σm
, · · · , σm
} son distintos y
H = < σm > es cı́clico de orden m.
(d) ¿Existen dos grupos cı́clicos de orden m, que sean esencialmente diferentes?. Dicho de otro modo: si dos grupos cı́clicos son de orden m, ¿
son estos isomorfos ?. Ya sabemos cual es la respuesta.
Teorema 6 Todos los grupos cı́clicos de orden infinito son isomorfos.
Prueba
Sean G = < g > y H = < h > dos grupos cı́clicos infinitos cualesquiera.
Definimos
f : H −→ G,
hk
−→ f (hk ) = g k , ∀k ∈ ZZ.
es evidente que f es una función, la cual es sobreyectiva ya que si g m ∈<
g >, existe el correspondiente hm ∈ H tal que f (hm ) = g m también es
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
15
suficientemente claro que
f (hk hl )
=
=
=
=
f (hk+l ),
g k+l ,
gk gl ,
f (hk )f (hl ),
es decir, f es un homomorfismo. Veamos que f es inyectivo, En efecto, si
=⇒
=⇒
f (hm ) = f (hn ),
gm
= gn,
m
= n,
(por teorema anterior y su corolario) =⇒ hm = hn =⇒ f es inyectivo y por
lo tanto un isomorfismo.
Corolario Sea G = < g >, un grupo cı́clico infinito, entonces < g > es
isomorfo en (ZZ, +).
Prueba
Consideremos
f : ZZ −→ < g >,
n
−→ g n = f (n).
NOTA: a) Ası́ solo hay esencialmente un grupo cı́clico de orden 2.
b) Solo existe un grupo cı́clico de orden 3.
c) Existen al menos dos grupos de orden 4 distintos, el Klein y el cı́clico de
orden 4.
d) Existen al menos dos grupos diferentes de orden 6, (ZZ6 , +) y (S3 , ◦).
f) Los grupos (ZZ, +) y (Ql , +) no son isomorfos ya que ZZ = < 1 > es
cı́clico y (Q
l , +) no lo es.
Ejemplo 25.
Considere ZZ2 × ZZ3 , con el producto directo usual de grupos, el cual
sabemos tiene 2 · 3 = 6 elementos,
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1) y (1, 2). Afirmamos ZZ2 × ZZ3 es cı́clico. En
efecto,
1(1, 1)
2(1, 1)
3(1, 1)
4(1, 1)
5(1, 1)
6(1, 1)
=
=
=
=
=
=
(1, 1),
(1, 1) + (1, 1) = (0, 2),
(1, 1) + (1, 1) + (1, 1) = (1, 3),
3(1, 1) + (1, 1) = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1),
4(1, 1) + (1, 1), = (0, 1) + (1, 1) = (1, 2),
5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0).
16
Ası́ que (1, 1) genera a (ZZ2 × ZZ3 ) y tiene orden 6, entonces ZZ2 × ZZ3 ∼
= ZZ6 .
Ejemplo 26.
Consideremos el grupo cociente ZZ/3ZZ, (ZZ, +) y
N = 3ZZ, de donde {3ZZ, 1 + 3ZZ, 2 + 3ZZ} = ZZ/3ZZ, es un grupo cı́clico
de orden 3, isomorfo a ZZ3 . Construya la tabla.
Ejemplo 27.
El grupo (ZZ4 × ZZ6 )/ < (0, 1) > aquı́ < (0, 1) > es un subgrupo cı́clico
de ZZ4 × ZZ6 generado por (0, 1), ası́
< (0, 1) > = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}.
Dado que ZZ4 × ZZ6 tiene 24 elementos y H = < (0, 1) > tiene 6 elementos,
entonces (ZZ4 , ×ZZ6 )/H debe tener orden 4. Dado que ZZ4 × ZZ6 , es abeliano,
ası́ (ZZ4 × ZZ6 )/H es abeliano también, además note que
(ZZ4 × ZZ6 )/H = {(0, 0) + H, (1, 0) + H, (2, 0) + H, (3, 0) + H},
que es isomorfo a ZZ4 .
Ejemplo 28.
Halle un isomorfismo entre el grupo cı́clico general de orden 4 y (ZZ4 , +).
En efecto, sea < a > el grupo cı́clico de orden cuatro; ası́:
<a>
ZZ4
0
1
2
3
=
f
−→
−→
−→
−→
−→
{e, a, a2 , a3 },
< a >,
a0 = f (0) = e,
a1 = f (1),
a2 = f (2),
a3 = f (3).
es claramente un isomorfismo, en realidad basta 1 ←→ a.
Teorema 7 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, y h : G −→ G/N,
el cual se define h(g) = gN, entonces h es llamado el homomorfismo canónico
de G en G/N.
Prueba
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
17
h es sobreyectivo, para xN ∈ G/N, h(x) = xN. Que h es homomorfismo. En
efecto,
h(g1 g2 )
= g1 g2 N,
= g1 N · g2 N,
= h(g1 )h(g2 ).
Ejemplo 29.
Sea G = {e, g, g1 } y H = {e, h, h1 } y consideremos los grupos de orden
3 asociados a estos grupos dados en la siguiente tabla.
◦
e
g
g1
e
e
g
g1
g
g
g1
e
g1
g1
e
g
◦
e
h
h1
e
e
h
h1
h
h
h1
e
h1
h1
e
h
Es claro que ”e” es la identidad de G y F es la identidad de H. Se nota
en las tablas de estos grupos su similitud desde el punto estructural y y
el hecho de que pueden ser sustituidos e por e, g por h, g1 por h1 para
ası́ obtener exactamente la tabla de H. En otras palabras estos grupos son
esencialmente el mismo. Lo importante es saber que no siempre es posible
identificar dos grupos con el mismo número de elementos como en presente
ejemplo. Ası́ podemos definir la función f de G en F tal que
f (x ◦ y) = f (x) ◦ f (y) ∀x, y ∈ G
del siguiente modo
f (e) = e, f (g) = h, f (g1 ) = h1 ,
18
y además
f (e) ◦ f (e)
= e◦e
f (e) ◦ f (g)
= e◦h
f (g) ◦ f (e)
= h◦e
f (e) ◦ f (g1 ) = e ◦ h1
f (g1 ) ◦ f (e) = h1 ◦ e
f (g) ◦ f (g1 ) = h ◦ h1
f (g1 ) ◦ f (g) = h1 ◦ h
f (g) ◦ f (g)
= h◦h
f (g1 ) ◦ f (g1 ) = h1 ◦ h1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
e
h
h
h1
h1
e
e
h1
h
=
=
=
=
=
=
=
=
=
f (e ◦ e),
f (e ◦ g),
f (g ◦ e),
f (e ◦ g1 ),
f (g1 ◦ e),
f (g ◦ g1 ),
f (g1 ◦ g),
f (g ◦ g),
f (g1 ◦ g1 ).
De modo que f es biyectivo, y por lo tanto un isomorfismo de grupos G y H.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
19
Ejercicios Propuestos
1. Determine cual de las siguientes funciones son homomorfismos:
a) h : ZZ −→ IR ambos conjuntos con la suma y h(n) = n,
b) h : IR −→ ZZ ambos conjuntos con la suma y
h(x) = el mayor entero menor o igual a x,
c) h : IR∗ → IR∗ con la multiplicación y h(x) = |x|,
d) h : ZZ6 −→ ZZ2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre 2,
e) h : ZZ9 −→ ZZ2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre 2.
2. Halle todos los automorfismos de un grupo cı́clico de orden 3.
3. Halle todos los automorfismos del grupo de Klein en si mismo.
4. Sean grupos G1 y G2 , considere la función h1 : G1 × G2 −→ G1 dada
por h1 (x, y) = x. Muestre que h1 es un homomorfismo. ¿Cúal es el
núcleo?.
5. Determine cuales de las siguientes funciones son homomorfismos. Si la
función es un homomorfismo, describa su núcleo y la imagen de este.
a) h : ZZ −→ IR ambos grupos bajo la suma usual y donde
h(n) = n.
b) h : IR −→ ZZ ambos grupos bajo la suma usual y donde
h(n) = el entero más grande ≤ x.
6. Pruebe que un automorfismo queda totalmente determinado por su
definición en el generador del grupo, si este es cı́clico.
7. Muestre que hx : G −→ G, definido por f (g) = g −1 para cada g ∈ G,
es un automorfismo si y solo si G es abeliano.
8. Si A es un grupo abeliano de orden n y h un homomorfismo de A en
A definido por h(a) = ak , donde k es un entero, muestre que:
(a) h es un homomorfismo.
(b) h es un isomorfismo si m.c.d(n,k) = 1.
R: Recuerde que existen c, d ∈ ZZ tal que a1 = anc+kd . Esto ayudara a
mostrar que h es sobreyectivo y por lo tanto inyectivo.
20
9. Sea G el grupo de polinomios de grado n con coeficientes en IR si
h : G −→ G, definido por
n
X
h(
ai x i ) = (
i=1
n
X
n−1
X
ai xi )0 = (
i=1
iai x−i )
i=1
a) Determine si h es o no un homomorfismo.
b) Determine si inyectivo. Si es sobreyectivo.
10. Si G = IR3 , y G = IR2 , con la suma como aperación para ambos para
h : IR3 −→ IR2 , se define por f (a, b, c) = (a, b) determine si f es o no
un homomorfismo. Determine su núcleo.
11. Sea h : (IR, +) −→ GL(2, IR) definido por
h(x) =
cos(x) sin(x)
− sin(x) cos(x)
!
.
Muestre que h es un homomorfismo sobreyectivo.
12. ¿Cúal de los siguientes grupos son isomorfos entre si?
(ZZ, +), (2ZZ, +), (ZZ20 , +), (Q
l + , +), (Ql + , ·), (ZZ8 , +), D4 , GL(2, IR).
R: Resulta que D4 y GL(2, IR) no son isomorfos a ninguno de los otros
grupos, pues todos los otros grupos son abelianos mientras que estos
dos no lo son. Por otro lado los grupos ZZ20 , ZZ8 , D4 y GL(2, IR) son
isomorfos solo a ellos mismos, mientras ZZ y 2ZZ son isomorfos ya que
puede, definirse h : ZZ −→ 2ZZ por medio de h(n) = 2n. Por otro lado
x2 = 2 en (Q
l + , ·) y h(2) = 2x muestran que (Q
l + , ·) y (Q
l , +) no son
isomorfos entre si. Dado que ninguno de los grupos anteriores es cı́clico
entonces estos no pueden ser isomorfos a (ZZ, +).
13. Sea G un grupo.
a) Si es un homomorfismo tal que h(0, 1) = k, encuéntrese h(m, n).
b) Sean l, q ∈ G y sea g : ZZ × ZZ −→ G definida por g(m, n) = lm q n .
Dése un condición necesaria y suficiente para que g un isomorfismo.
Prúebese la condición.
14. Muestre que no es posible hallar un isomorfismo entre los grupos (IR, +)
y (IR − {0}, ·).
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
21
15. Muestre que la condición de ser isomorfismo entre grupos, define una
relación de equivalencia sobre el conjunto de todos los grupos.
√
16. Muestre que los elementos G = {m + n 2 | m, n ∈ ZZ}, es un grupo G
bajo la adición. Muestre que S, = {5k 3l | l, k ∈ ZZ} es un grupo S con
la multiplicación. ¿Es G isomorfo a S?
R: Si son isomorfos.
17. Sea h : G −→ G0 un isomorfismo del grupo G en el grupo G0 . Muestre
que h−1 : G0 −→ G, definida por
h−1 (x0 ) = x,
tal que h(x) = x0 para x0 ∈ G0 , es una función bien definida la cual
resulta ser un isomorfismo.
18. ¿Cúantos isomorfismos de ZZ2 en ZZ2 distintos pueden definirse?. La
misma pregunta con ZZ6 , ZZ8 , ZZ, ZZ17 . R: 1, 2, 4, 2, 16
19. Sea (G, ·) un grupo. Considere la operación binaria definida sobre el
conjunto G por a ∗ b = b · a para cada a, b ∈ G. Muestre que (G, ∗) es
un grupo y que este es isomorfo a (G, ·).
R: Considere la función h(g) = g −1 .
20. Pruebe que el grupo S3 y el grupo (ZZ6 , +) no son isomorfos y que salvo
isomorfismos no existen otros grupos de orden 6 más que estos.
21. Sea p número primo, entonces salvo isomorfismo, existe un único grupo
de orden p, simplemente el grupo cı́clico de orden p.
∗
, ·) cı́clicos de orden 10. Encuentre un
22. Sean los grupos (ZZ10 , +) y (ZZ11
isomorfismo:
∗
h : ZZ10 −→ ZZ11
para el cual: (i) h(1) = 2 , (ii) h(1) = 3. Halle tantos isomorfismos
como sea posible entre estos grupos.
R: i) Si; h(1) = 2 , h(2) = 4 , h(3) = 8, h(4) = 5 , h(5) =
10 , h(6) = 9 , h(7) = 7 , h(8) = 3 , h(9) = 6 , h(0) = 1.
23. Considere cada uno de los siguientes grupos y en cada caso describa los
automorfismos posibles que se puedan construir, ¿Cúantos hay en cada
22
caso?:
a) (ZZ, +),
b) (ZZ7 , +),
c) El grupo cı́clico de orden p, con p primo, con la operación de multiplicación y con a a como generador,
d) El grupo S3 ,
e) El grupo cı́clico con generador a y de orden n,
f) De dos argumentos para mostrar que el grupo de klein K no es
isomorfo a ZZ4 .
24. Complete cada una de las siguientes lista de proposiciones:
a) ZZ3 × ZZ4 tiene orden,
b) El elemento (4, 2) de ZZ12 × ZZ8 tiene orden,
c) El grupo K de Klein es isomorfo a ZZ × ZZ,
d) El grupo ZZ2 × ZZ4 tiene elementos de orden finito
25. Comprobar que el núcleo del homomorfismo canónico del grupo de los
enteros (ZZ, +) sobre ZZ/2ZZ es 2ZZ.
26. Demostrar que si G es un grupo cı́clico de orden n, y si p|n, entonces
existe un homomorfismo de G sobre el grupo cı́clico de orden p. ¿Cúal
es el núcleo de este homomorfismo?.
27. Demostrar que si h : G −→ K es un homomorfismo y |G| < ∞,
entonces |h(G)| divide al orden de G.
28. Súpongase que G y H son dos grupos. Súpongase que G no puede ser
generado por dos elementos pero que H sı́. Demostrar que G y H no
pueden ser isomorfos.
29. a) ¿Cúantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de ZZ −→ ZZ?,
b) ¿Cúantos homomorfismos distintos inyectivos hay de ZZ −→ ZZ?,
c)¿Cúantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de ZZ −→ ZZ8 ?,
d) ¿Cúantos homomorfismos distintos hay de ZZ −→ ZZ8 ?.
e) ¿Cúantos epimorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ5 ?,
f) ¿Cúantos homomorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ6 ?,
g) ¿Cúantos epimorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ6 ?,
h) ¿Cúantos homomorfismos sobreyectivos hay de ZZ12 −→ ZZ14 ?,
i) ¿Cúantos homomorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ16 ?.
0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
23
30. a) ¿Cúantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 ?,
b) ¿Cúantos homomorfismos sobreyectivos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 ?,
c) ¿Cúantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ6 ?,
d) ¿Cúantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 × ZZ2 × ZZ2 ?,
d) ¿Cúantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 × ZZ2 × ZZ4 ?.
31. Diga si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones:
( ) Cualesquiera dos grupos con el mismo orden son isomorfos
( ) Cualesquier función biyectiva es un isomorfismo
( ) Un grupo de orden 30 puede ser isomorfo a uno de orden 72.
( ) Cada homomorfismo es un isomorfismo
( ) Cada isomorfismo es un homomorfismo
( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda
tener 4 elementos
( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo pueda
tener 12 elementos
( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de
orden 12
( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno de
orden 10
( ) Cualquiera dos grupos de orden tres son isomorfos
( ) Existe solo un grupo cı́clico de orden finito salvo isomorfismo
( ) La propiedad de ser cı́clico es una propiedad algebraı́ca.
( ) Es posible tener un homorfismo de un grupo infinito en un grupo
finito.
( ) Puede ser que un grupo G cı́clico no trivial sea isomorfo a uno de
sus subgrupos propios.
32. Pruebe que conjunto de automorfismos de ZZ es isomorfo a (ZZ2 , +), es
decir, A(ZZ) = ∼
= ZZ2 .
33. Si G = hgi y h ∈ A(G), entonces G = hh(g)i.
34. Si hxi = hyi = G, entonces la función h(xn ) = y n , para cada n ∈ ZZ
es un automorfismo. Por lo tanto si G es cı́clico, entonces |A(G)| es
igual al número de generadores de G.
∗
.
35. Pruebe que A(ZZm ) ∼
= ZZm
24
36. Muestre que si G = hgi es cı́clico de orden finito, entonces h(g n ) = g −n
es un automorfismo de G en G.