Notas escritas por Miguel Ángel Guadarrama Ayala

ÁLGEBRA MODERNA
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
TOMÓ ESTAS NOTAS: MIGUEL ANGEL GUADARRAMA AYALA
FECHA: MIÉRCOLES 11 DE MAYO DE 2016
Índice
1.
Extensiones Normales
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1.
Extensiones Normales
Estas son las notas de la segunda clase sobre Extensiones Normales.
En la clase pasada se demostró la existencia de un campo de descomposición para cualquier conjunto de
polinomios no constantes sobre un campo F . En estas notas se presentan las herramientas para probar que
dicho campo de descomposición es único, salvo isomorfismo.
La siguiente definición servirá para agilizar un poco la notación.
Definición 1. Un homomorfismo de campos es un homomorfismo de anillos unitarios de un campo a otro.
De manera análoga se define un isomorfismo de campos.
Observación 1. Si τ : F → F 0 es un homomorfismo de campos, se denotará por τ̂ al homomorfismo de
P
P
anillos unitarios inducido F [X] → F 0 [X], dado por τ̂ ( ai xi ) =
τ (ai )xi . Al ser τ̂ un homomorfismo de
anillos, si f = (x − a1 ) · · · (x − an ) es un elemento de F [X], entonces τ̂ (f ) = (x − τ (a1 )) · · · (x − τ (an )).
Esta relación será de utilidad para lo que resta de la sección.
Los siguientes 2 lemas constituyen el primer paso para demostrar la unicidad, salvo isomorfismo, de los
campos de descomposición.
Lema 2. Supongamos que E | F y L | K son extensiones de campos, que σ : F → K es un isomorfismo
de campos, que α ∈ E es algebraico sobre F y que β ∈ L es una raíz de σ̂(minF (α)). Entonces existe
exactamente un isomorfismo de anillos τ : F (α) → K(β) tal que τ (α) = β y τ F = σ.
Demostración. La prueba de este lema se encuentra en las notas de la clase pasada.
Lema 3. Sean E | F y L | K extensiones de campos, τ : E → L un isomorfismo de campos tal que
τ (F ) = K y S un subconjunto no vacío de F [X]. Si E es un campo de descomposición de S sobre F ,
entonces τ (E) es un campo de descomposión de τ̂ (S) sobre K.
Demostración. Sea g ∈ τ̂ (S). Entonces existe f ∈ S tal que τ̂ (f ) = g. Ya que E es un campo de descomposición de S sobre F , existen α ∈ E, β1 , . . . , βt ∈ E tales que f = α(x − β1 ) · · · (x − βt ).
Al aplicar τ̂ a f , se obtiene g = τ (α)(x − τ (β1 )) · · · (x − τ (βt )) con τ (α), τ (β1 ), . . . , τ (βt ) ∈ τ (E). Por lo
que g se descompone sobre τ (E).
Además, si ZS := {α ∈ E | α es raíz de algún f ∈ S}, entonces E = F (Z) y τ (Z) = {β ∈ L | β es raíz de
algún g ∈ τ̂ (S)}. Así τ (E) = τ (F (Z)) = K(τ (Z)) .
Date: 19 de mayo de 2016.
Key words and phrases. Extensiones normales, Teoría de Galois.
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TOMÓ ESTAS NOTAS: MIGUEL ANGEL GUADARRAMA AYALA FECHA: MIÉRCOLES 11 DE MAYO DE 2016
El Lema 2 es muy importante a la hora de demostrar la siguiente proposición.
Proposición 4. Sea K | F una extensión algebraica finita. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. K | F es normal.
2. Si M es una cerradura algebraica de K y τ : K → M es un homomorfismo F -lineal de campos,
entonces τ (K) = K.
3. Si F ⊆ L ⊆ K ⊆ N son campos y σ : L → N es un homomorfismo F -lineal de campos, entonces
σ(L) ⊆ K .
4. Para todo f ∈ F [X] que sea irreducible en F [X] si f tiene una raíz en K, entonces f se factoriza
en K[X] como producto de polinomios de grado 1.
Demostración. [1 ⇒ 2] Sea M una cerradura algebraica de K, y sea τ : K → M un homomorfismo de
campos. Si K es campo de descomposición de algún subconjunto no vacío de F [X] sobre F , por el Lema 2,
τ (K) es también campo de descomposición de S = τ̂ (S) sobre F . Como K y τ (K) son generados sobre F
por el mismo conjunto de raíces, se tiene que τ (K) = K.
[2 ⇒ 3] Supongamos que F ⊆ L ⊆ K ⊆ N son campos y σ : L → N es un homomorfismo F -lineal. Sean
N 0 la cerradura algebraica de F en N y M una cerradura algebraica de N 0 .
Ya que K | F una extensión algebraica, se cumple K ⊆ N 0 . De donde se puede concluir que M es también
una cerradura algebraica de K. Además L ⊆ K, por lo que L | F es una extensión algebraica. Así, al ser
σ un homomorfismo F -lineal, se cumple que los elementos de σ(L) ⊆ N son algebraicos sobre F. En otras
palabras σ(L) ⊆ N 0 .
Como K | F es una extensión finita, existen α1 , . . . , αt ∈ K tales que K = F (α1 , . . . , αt ).
Sea β1 ∈ M una raíz de σ̂(minL (α1 )). En vista del Lema 2, el siguiente diagrama se satisface:
L(α1 )
L
F
∃!σ1
σ
1F
σ(L)(β1 )
σ(L)
F
M
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Aplicando un razonamiento inductivo se puede concluir que el siguiente diagrama se satisface:
L(α1 , . . . , αt ),
L(α1 , . . . , αt−1 )
σt
σt−1
..
.
L(α1 )
L
F
σ(L)(β1 , . . . , βt )
M
σ(L)(β1 , . . . , βt−1 )
..
.
σ1
σ
1F
σ(L)(β1 )
σ(L)
F
De la condición 2 se sigue σt (K) = K. Además, al estar L contenido en K se tiene que σt (L) ⊆ K.
Finalmente, ya que σt L = σ, se concluye σ(L) ⊆ K.
[3 ⇒ 4] Sea f ∈ F [X] irreducible sobre F y supóngase que f tiene una raíz α ∈ K. Sean L := F (α)
y N una cerradura algebraica de K. Si β ∈ N es cualquier raíz de f , entonces existe σ : L → N tal que
σ(α) = β y σ F = 1F . De la condición 3 se sigue que σ(L) ⊆ K. En particular β ∈ K. Por lo que todas la
raíces de f son elementos de K.
[4 ⇒ 1] Ya que minF (α) es irreducible sobre F para cada α ∈ K, la condición 4 permite concluir que K
es un campo de descomposición de {minF (α) | α ∈ K} sobre F . Así, K es normal sobre F .
Observación 2. La Proposición 4 sigue siendo válida si la extensión K | F no es finita. La demostración de
este hecho hace uso del Lema de Zorn al momento de probar la implicación [2 ⇒ 3].
Los resultados anteriores son necesarios para demostrar el siguiente teorema. Este a su vez, prueba la
unicidad de los campos de descomposición. Es de importancia mencionar que la principal utilidad de este
resultado está en construir automorfismos de un campo.
Teorema 5. (Teorema de Extensión de Isomorfismo) Sea F un campo, f ∈ F [X] \ F , E un campo
de descomposición de f sobre F , σ : F → K un isomorfismo de campos y L un campo de descomposición
de σ̂(F ) sobre K. Entonces existe un isomorfismo de campos τ : E → L tal que τ F = σ. Además, para
cada α ∈ E fijo y cada raíz β ∈ L de σ̂(minF (α)) existe un isomorfismo de campos τα,β : E → L tal que
τα,β (α) = β y τα,β F = σ .
Demostración. La prueba del teorema se presenta en las notas de la siguiente clase.
Observación 3. En el caso particular F = K, E = L y σ el homomorfismo identidad, el teorema anterior
asegura la existencia un elemento τ de Gal(E/F ).
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
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