Extensiones de cuerpos

Ampliación Matemática Discreta Justo Peralta López U  Aı́ D  Á  A́ M́ Extensiones de Cuerpos 1 Introducción Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo Sea f (x ) = x 2 + x + 1 sobre GF (2). Como se puede observar no tiene raı́ces en GF (2), pero si en la extensión del cuerpo GF (22 ). Llamemos α a dicha raı́z. Luego f (α) = 0 = α2 + α + 1, es decir, α2 = −α − 1 = α + 1 (GF (22 ) tiene caracterı́stica 2). A esta última ecuación le llamamos ecuación caracterı́stica. Luego GF (22 ) = {0, α0 = 1, α1 = α, α2 = α + 1}. Obsérvese que GF (22 )∗ es un grupo multiplicativo generado por α, lo cual simplifica la búsqueda del inverso de cualquier elemento del cuerpo. Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo Sea ahora f (x ) = x 2 + 2x + 2 un polinomio irreducible sobre GF (3). Sea α su raı́z en GF (32 ). Entonces α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 = = = = = = = = = 1 α 1+α α(1 + α) = α + α + 1 = 2α + 1 αα3 = 2α2 + α = 2(α + 1) + α = 2α + 2 + α = 2 αα4 = 2α αα5 = 2 + 2α αα6 = α(2α + 2) = 2α2 + 2α = 2(α + 1) + 2α = 2α + 2 + 2α = α + 2 αα7 = α2 + 2α = α + 1 + 2α = 1 Luego GF (32 ) = {0, 1, α, α2 = 1 + α, α3 = 2α + 1, α4 = 2, α5 = 2α, α6 = 2α + 2, α7 = α + 2}. Escrito de esta forma y teniendo en cuenta que α8 = 1, la búsqueda de cualquier inverso es muy sencillo. Por ejemplo, el inverso de 2α + 2 = α6 es α2 = 1 + α. Ya que α6 α2 = (2 + 2α)α2 = 2α2 + 2α3 = 2(1 + α) + 2(2α + 1) = 2 + 2α + 4α = 6α + 4 = 1 Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Definición Sea α una raı́z de f (x ), un polinomio irreducible de grado m sobre GF (q). Si α genera GF (qm )∗ , todos los elementos no nulos de GF (qm ), entonces α es un elemento primitivo de GF (qm ) y f (x ) un polinomio primitivo. Ejemplo Sea f (x ) = x 2 + 1 irreducible en GF (3). Si α es su raı́z en GF (32 ), entonces f (α) = 0 = α2 + 1 y la ecuación caracterı́stica es α2 = 2. El grupo cı́clico generado por α viene dado por < α >= {α, α2 = 2, α3 = 2α, α4 = 1} Luego α no genera a GF (32 )∗ y por lo tanto no es un elemento primitivo. Aun ası́, el conjunto S = {0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2} bajo la adición y multiplicación módulo f (x ) = α2 + 1, tiene la misma estructura que GF (32 ). Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo SEa f (x ) = x 4 + x + 1 irreducible sobre F2 [x ], podemos construir el cuerpo GF (24 ). Sea α es la raı́z de f (x ) en GF (2), los elementos de GF (24 ) viene dados por Vector 0000 0001 0010 0100 1000 0011 0110 1100 1011 0101 1010 0111 1110 1111 1101 1001 Polinomio 0 1 Elemento 0 1 α α2 α3 α+1 α2 + α α3 + α2 α3 + α + 1 α2 + 1 α3 + α α2 + α + 1 α3 + α2 + α α3 + α2 + α + 1 α3 + α2 + 1 α3 + 1 α α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14 Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Teorema Sea β un elemento no nulo de un cuerpo de cardinal q, entonces βq−1 = 1. Lema Si α tiene orden r en un grupo multiplicativo, entonces αi tiene orden i /(r , i ) Teorema El orden de un elemento no nulo de GF (q) es un divisor de q − 1. Estos quiere decir que en un cuerpo finito de caracterı́stica q, los elementos α y αq tienen el mismo orden. Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Teorema En todo cuerpo finito existe un elemento primitivo. Si α es un elemento primitivo de un m−1 2 también lo son. cuerpo con caracterı́stica q, entonces los elementos αq , αq , . . . , αq Teorema (Fermat) Si q es la caracterı́stica de un cuerpo finito F, entonces todo elemento de F es raı́z de la ecuación x q = x y por lo tanto Y (x − α) xq − x = α∈F Teorema 1 2 3 Todos los cuerpos finitos tienen tamaño q = p n para algún primo p. El cardinal de un subcuerpo de GF (p m ) es p s , siendo s un divisor positivo de m. Recı́procamente, si s |m, entonces GF (p s ) ⊆ GF (p m ) Además, si α es un elemento primitivo de GF (p m ), entonces β = αt , t = (p m − 1)/(p s − 1), es un elemento primitivo de GF (p s ), y s GF (p s ) = {β ∈ GF (p m ) : βp = β} Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Definición Sea F un subcuerpo de C. El polinomio mı́nimo Mα (x ) con α ∈ C sobre F es el polinomio mónico de menor grado con coeficientes en F que admite a α como raı́z. Ejemplo Polinomios primitivos de los elementos de GF (24 ) del último ejemplo. Elemento 0 1 α, α2 , α4 , α8 α3 , α6 ., α9 , α12 α5 , α10 α7 , α11 , α13 , α14 Ampliación Matemática Discreta Polinomio Mı́nimo x 1+x x4 + x + 1 x4 + x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 x4 + x3 + 1 Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Teorema Sea GF (p m ) una extensión de GF (p ), y sea α un elemento de GF (p m ) con polinomio mı́nimo Mα (x ) en Fp [x ]. 1 Mα (x ) es irreducible y único en Fp [x ]. 2 Si g (x ) es un polinomio de Fp [x ] y g (α) = 0, entonces Mα (x ) divide a g (x ). 3 Mα (x ) divide a x p − x. 4 El grado de Mα (x ) es un divisor de m. 5 El polinomio mı́nimo de un elemento primitivo de GF (p m ) es de grado m. m Definición El elemento polinomio mı́nimo de un elemento primitivo es un polinomio primitivo. Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Teorema Sean f (x ) un polinomio con coeficientes en GF (q) y α una raı́z de f (x ) en la extensión GF (qm ). 1 2 αq es una raı́z de f (x ) en GF (qm ). Si α tiene orden n y t es el orden multiplicativo de q módulo n, entonces α, α, . . . , αq son raı́ces distintas de f (x ) en GF (qm ). t −1 Definición Al conjunto Ci = {i , iq, . . . , iqd −1 } donde d es el menor entero tal que iqd −1 ≡n i es el conjunto q-ciclotómico de i módulo n. Nota Como se observa en el último teorema, el polinomio mı́nimo con raı́z αi , también tendrá como raı́ces a los elementos del conjuntos Aαi = {αi , αiq , . . . , αiq d −1 } cuyos exponentes son los asociados al conjunto q-ciclotómico de i módulo n, Ci . Y por lo tanto el polinomio mı́nimo viene dado por el siguiente teorema. Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Teorema Sea GF (qs ) una extensión de GF (q) y sea α una raı́z primitiva n-ésima en GF (qs ). 1 El polinomio mı́nimo de αs sobre GF (q) es Mαs (x ) = Y ( x − αi ) i ∈Ci siendo Ci el conjunto q-ciclotómico de i módulo n. m 2 xp − 1 = Q j Mαj (x ), donde j recorre todos los conjuntos ciclotómicos. Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo GF (22 ), p (x ) = x 2 + x + 1 Elementos 00 01 10 11 Conjuntos Ciclotómicos Polinomio Mı́nimo {0} {1, 2} x +1 x2 + x + 1 0 1 α α2 Ejemplo GF (23 ), p (x ) = x 3 + x + 1 Elementos: 000 001 010 100 0 1 α α2 011 110 111 101 α3 α4 α5 α6 Ampliación Matemática Discreta C. Ciclotómicos P. Mı́nimo {0} {1, 2, 4} {3, 6, 5} x +1 x3 + x + 1 x3 + x2 + 1 Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo GF (24 ), p (x ) = x 4 + x + 1 Elementos 0000 0001 0010 0100 1000 0011 0110 1100 0 1 α α2 α3 α4 α5 α6 1011 0101 1010 0111 1110 1111 1101 1001 α7 α8 α9 αlO αll αl2 αl3 αl4 Ampliación Matemática Discreta C.Ciclotómicos P.Mı́nimo {0} {1, 2, 4, 8} {3, 6, 12, 9} {5, lO } {7, 14, 13, 11} x +1 x4 + x + 1 x4 + x3 + x2 + x + 1 x2 + x + 1 x4 + x3 + 1 Extensiones de Cuerpos Extensiones de Cuerpos Introducción Ejemplo GF (25 ), p (x ) = x 5 + x 2 + 1 Elementos 00000 00001 00010 00100 01000 10000 00101 01010 10100 01101 11010 10001 00111 01110 11100 11101 0 1 α α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14 11111 11011 10011 00011 00110 01100 11000 10101 01111 11110 11001 10111 01011 10110 01001 10010 α15 α16 α17 α18 α19 α20 α21 α22 α23 α24 α25 α26 α27 α28 α29 α30 C.Ciclotómicos P.Mı́nimo {0} {1, 2, 4, 8, 16} {3, 6, 12, 24, 17} {5, 10, 20, 9, 18} {7, 14, 28, 25, 19} {11, 22, 13, 26, 21} {15, 30, 29, 27, 23} x +1 x5 + x2 + 1 x5 + x4 + x3 + x2 + 1 x5 + x4 + x2 + x + 1 x5 + x3 + x2 + x + 1 x5 + x4 + x3 + x + 1 x5 + x3 + 1 Ampliación Matemática Discreta Extensiones de Cuerpos

Extensiones de cuerpos

Documentos relacionados

Productos

Apoyo

Extensiones de cuerpos

Documentos relacionados

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib