Determinantes: un apunte teórico

Determinantes: un apunte teórico-práctico
Definición
A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.
El determinante de A se denota por |A| o por det(A).
Cálculo de determinantes
Para una matriz de 1x1 el determinante es simplemente el valor de elemento.
Por ejemplo: si A = 3 entonces el det( A) = 3
[]
Para una matriz de 2x2 el determinante se calcula así:
a b 
A=
 entonces det( A) = a ⋅ d − c ⋅ b
c d 
− 2 11
Ejemplo: si A = 
 entonces det( A) = (−2) ⋅ 5 − (−3) ⋅11 = −10 + 33 = 23
− 3 5 
Si
Para una matriz de 3x3 el determinante se calcula fácilmente, haciendo uso de la Regla de Sarrus:
a11 a12 a13 


Si A = a 21 a 22 a 23 entonces para calcular el det(A)


a31 a32 a33 
hacemos:
1) Se calculan los productos de las diagonales positivas
y negativas, como muestra la figura.
2) Se suman todos estos productos (cada uno con su
signo).
Entonces det( A) = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21a32 − a11a 23 a32 − a12 a 21a33 − a13 a 22 a31
Otra forma de hallar un determinante de orden 3 es repetir las dos primeras columnas de la siguiente
manera:
Luego trazamos las diagonales positivas y negativas, llegando al mismo resultado que con el método
anterior:
3
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices: P = 
9
5 − 5 − 1
− 2


; Q = 12 11 2



17 
0 7 − 1
Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática II (Lic. en Turismo, Hotelería, Administración) – UNRN – Año 2010
1
Otra forma de calcular un determinante de orden 3 (o superior)
Desarrollo por Cofactores
Primero definiremos:
1) Menor complementario del elemento
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por mij y es el
determinante de la matriz cuadrada de orden (n-1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j de la
matriz original.
Por ejemplo, sea la siguiente matriz de orden 3:
2 − 5 − 1
M = 10 − 3 7 
0 − 9 4
Entonces:
m11 (el menor complementario de a11 ) es el determinante
−3 7
= (−3) ⋅ 4 − (−9) ⋅ 7 = −12 + 63 = 51
−9 4
m12 (el menor complementario de ) a12 es el determinante
m11 =
m12 =
10
7
0
4
m13 =
10 − 3
0
−9
10
7
0
4
= 10 ⋅ 4 − 0 = 40
m13 (el menor complementario de a13 ) es el determinante
−3 7
−9 4
10 − 3
0
−9
= 10 ⋅ (−9) − 0 = −90
Completar:
m21 =
=
m22 =
=
m23 =
=
m31 =
=
m32 =
=
m33 =
=
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2
2) Cofactor del elemento
aij de una matriz cuadrada de orden n se denota por Cij y es el menor
complementario anteponiéndole el signo (+) o (–) según si la suma de los subíndices
También se le llama adjunto del elemento
(i + j ) sea par o impar.
aij .
Entonces:
C11 (el cofactor o adjunto de
a11 ) es + 51 pues 1+1=2 (par)
C12 (el cofactor o adjunto de a12 ) es − 40 pues 1+2=3 (impar)
C13 (el cofactor o adjunto de a13 ) es + ( −90) = −90 pues 1+3=4 (par)
Ejercicio: Hallar los cofactores de los demás menores complementarios de la matriz
anterior.
C 21 =
C 22 =
C 23 =
C31 =
C32 =
C33 =
M del ejemplo
Como vemos el menor complementario y el cofactor de un mismo elemento de la matriz difieren sólo en el
signo.
Cálculo del determinante por Desarrollo por Cofactores
El determinante de una matriz cuadrada de orden n se puede calcular multiplicando los elementos de
cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes.
Es decir, para cada 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n se tiene que:
det( A) = a1 j C1 j + a 2 j C 2 j + ... + a nj C nj desarrollo por cofactores a lo largo de la j-ésima columna
det( A) = ai1Ci1 + ai 2 Ci 2 + ... + ain Cin desarrollo por cofactores a lo largo de la i-ésima fila
Entonces, para la matriz M dada anteriormente, el determinante será:
Si tomamos la primer fila:
det( M ) = a11C11 + a12 C12 + a13C13 = 2 ⋅ 51 + (−5) ⋅ (−40) + (−1) ⋅ (−90) = 102 + 200 + 90 = 392
Importante!
En general la mejor estrategia para evaluar un determinante mediante cofactores, es hacer el desarrollo a
lo largo de la fila o la columna con mayor cantidad de ceros.
Ejercicios:
1) Hallar el determinante de la misma matriz M mediante desarrollo por
cofactores a lo largo de la primer columna, de la segunda fila y de la tercer fila.
2) Hallar el determinante de la siguiente matriz S , mediante desarrollo por
cofactores. (Rta.:30)
 1
 3
S=
− 1

 3
1 2 0
1 0 2 
0 0 2

1 5 2
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3
Matriz Adjunta
Dada una matriz A de orden n se llama Matriz Adjunta de A o Matriz de Cofactores de A, a la matriz en
la cual cada elemento de A se reemplaza por el cofactor correspondiente.
Es decir:
a11
a
 21
Si A = aij = a31

.....
a n1

[ ]
a12
a 22
a32
an 2
... a1n 
c11

c
... a 2 n 
 21

... a3n entonces Adj ( A) = cij = c31



.....
cn1
... a nn 

[ ]
c12
c22
c32
cn 2
... c1n 
... c2 n 
... c3n 


... cnn 
2 − 5 − 1


Ejercicio: escribir la matriz adjunta de la matriz anterior M = 10 − 3 7


0 − 9 4
Propiedades de los determinantes
Propiedad 1
Un determinante es nulo si la matriz:
a) Tiene dos filas (o dos columnas) iguales.
b) Todos los elementos de una fila (o columna) son ceros.
c) Los elementos de una fila (o columna) proceden del producto de un número por los elementos de otra fila
(o columna).
Propiedad 2
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de su diagonal principal.
Propiedad 3
El determinante de una matriz es igual al determinante de la traspuesta de la misma matriz. Es decir:
A = AT
Propiedad 4
Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Propiedad 5
Si se multiplica una fila (o columna) por un escalar, el determinante también se multiplica por ese escalar.
Propiedad 6
Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un escalar, el determinante no
varía.
Propiedad 7
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de las
matrices. Es decir:
A⋅ B = A ⋅ B
Propiedad 8
Si la matriz
A es invertible entonces el determinante de su inversa es igual determinante de A elevado a
1
−1
−1
la (-1). Es decir: A = A =
A
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4
Ejercicios:
1) Supongamos que el determinante de la matriz
determinante si:
A es igual a 8. Calcular cuánto valdrá el
a) Intercambio la fila 1 con la fila 3.
a b c 
A = d e f 
 g h i 
b) Intercambio la fila 1 con la fila 3 y la columna 1 con la columna 2.
c) Multiplico a la columna 2 por el número 4.
d) La tercer fila está formada por ceros.
e) Multiplico la primer fila por 3 y la sumo a la segunda fila.
f) ¿Cuánto vale
A −1 ?
g) ¿Cuánto vale
AT ?
2) Utilizando la propiedad 2 anterior, calcular el determinante de la matriz
T:


T =



3 
2 7 0 6 
0 6 3 0

7 3 1 − 5
1 0 0
Teorema (uno de los más importantes del Algebra Lineal)
Una matriz cuadrada
A es invertible si y solamente si su determinante es distinto de cero.
Ejercicio:
Indicar si las siguientes matrices son invertibles o no. Justificar en cada caso.
5 
1 6 0 
9 1 4 
3 0 0 
2 5 4 
− 1 4
5 4 0 ; 2 9 0 ; 7 4 0 ; 5 7 10 ; − 2 0
 ; 3
8
9











9 7 0
9 1 4 
5 5 2 
3 − 6 6 
 3 − 12 − 15
2  0
;
6 9
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0 
− 2
5
Un tercer método para hallar la inversa: por determinantes
Si A es una matriz invertible entonces se cumple que
A −1 =
1
T
⋅ ( Adj ( A) )
A
2 0 1 
0 1 / 3 0 




−1
Ejemplo: A = 3 0 0 Probar que A = − 1 − 1 1




5 1 1
1 − 2 / 3 0
Primero calculamos el determinante de la matriz. En este caso, haciendo el desarrollo por la primera fila
vemos que el det( A) = 3 .
A continuación debemos calcular la matriz adjunta de A. Para ello hallamos los cofactores de cada elemento
de A, obteniendo:
0 − 3 3 
Adj ( A) = 1 − 3 − 2
0 3 0 
Luego hallamos la traspuesta de esta última matriz:
T
( Adj ( A) )
1
0

= − 3 − 3
3 − 2
0
3
0 
Por último, dividimos cada elemento de esta última matriz por el determinante de A, es decir, por 3,
obteniendo la inversa de A:
1/ 3
0
1
T

A = ( Adj ( A) ) = − 1 − 1
A
1 − 2 / 3
−1
0
1 
0 
0 1
0
− 3 / 8 1 / 8 1 / 4 




−1
Ejercicio: con este método probar que la inversa de M = 4 − 2 1 es M = − 1 / 4 − 1 / 4 1 / 2




2 1 1
 1
0
0 
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