propiedades de los determinante

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2. |A| = 0 Si:
a) Posee dos filas (o columnas)
iguales.
b) Todos los elementos de una fila
(o una columna) son nulos.
c) Los elementos de una fila (o una
columna) son combinación lineal
de las otras.
F3 = F1 + F2
3. Un determinante de matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los
elementos de la diagonal principal.
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo
cambia de signo.
5. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra
multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las
demás, el valor del determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un número real (escalar), queda multiplicado por
dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos,
dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las
demás filas (o columnas) permanecen invariantes. (asócielo como una propiedad
distributiva)
8. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
|A · B| =|A| · |B|
Sean
con
y
y
El producto
Y su determinante es
Entonces
.
9. Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón
de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A,
det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
Sea
cuyo determinante
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se
obtiene la matriz B siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
10. El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno).
I=
det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
11. El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0
(cero)
J=
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.