Ensayo 1 teoría de control I

Murguia Ochoa Jaime
Ensayo 2 control I
Ingeniería de control moderna
Katsuhiko Ogata
Para realizar el análisis en los sistemas de control al emplear ecuaciones
diferenciales es bastante complicado debido a la multiplicidad de entradas y salidas ya
que un sistema puede contar con centenares de entradas y salidas. Para simplificar las
expresiones de los sistemas de ecuaciones, es ventajoso utilizar la notación vectorialmatricial, que es en el trabajo teórico una forma más sencilla.
Una matriz se define como un conjunto rectangular de elementos que pueden ser
valores complejos, números reales, funciones u operadores.
Se dice que dos matrices son iguales si y solo si cada uno de los elementos
correspondientes son iguales. Existen los vectores fila n y los vectores columna m.
matriz cuadrada es aquella que el numero de filas es exactamente igual en cantidad al
numero de columnas. La diagonal es: si los elementos que están afuera de la matriz
principal de una matriz cuadrada A son cero se dice que A es una matriz diagonal.
La matriz identidad o la matriz unidad es una matriz cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales a la unidad y los demás elementos son igual a cero.
Las propiedades de una matriz son:
1. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas cualesquiera, el
valor determinante cambia de signo.
2. Si cualquier fila o columna tiene todos sus elementos igual a cero, el
valor del determinante es cero
3. Si los elementos de cualquier fila o columna son exactamente k veces los
de otra fila o de otra columna, el valor del determinante es igual a cero.
4. Si a cualquier fila o columna se le suma otra fila o columna multiplicada
por una constante, el determinante permanece inalterado.
5. Si se multiplica un determinante por una constante, solo una fila o
columna es multiplicada por esa constante. Nótese, sin embargo, que el
determinante de k veces una matriz A de n x n kn veces el determinante
de A, o sea /kA/ = kn/A/.
6. El determinante de dos matrices cuadradas A y B es el producto de dos
determinantes, o sea /AB/ = /A//B/.
Se dice que cuando el determinante asociado es igual a cero es una matriz
singular y la matriz no singular su determinante no asociado no es igual a cero, también
existe la transpuesta, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz conjugada,
conjugada transpuesta, la hermitica y la anti-hermitica.
En este tipo de matrices anteriormente señaladas se aplican todas las operaciones
aritméticas.
Los sistemas que se deberán cumplir para hacer un análisis de un sistema de
control ya sea neumático, hidráulico, mecánico o eléctrico son:
1. Plantear la ecuación diferencial del sistema.
2. Tomar la transformada de Laplace de la ecuación diferencial suponiendo
todas las condiciones iniciales en cero.
3. Hallar la relación de la salida Y(s) respecto a la entrada X(s), esto es la
función de transferencia, desde luego el sistema deberá ser lineal e
invariante en el tiempo.
Para poder determinar que un sistema es lineal se toman los dos criterios de
linealidad que sea homogéneo y lo que implica el principio de superposición. Es
importante señalar que para sistemas de redes eléctricas a menudo se encuentra muy
conveniente escribir directamente las ecuaciones transformadas de Laplace sin plantear
directamente las ecuaciones diferenciales.
En un sistema de control es necesario diseñar un diagrama de bloques. Un
diagrama de bloques es la representación grafica del sistema, y muestra la interrelación
que existe entre los componentes del sistema, señalando también el sentido del flujo de
las señales de tal forma que tendremos un acercamiento mas próximo al flujo real.
Existen diferentes tipos de análisis en diagrama de bloques por ejemplo el de un
sistema de lazo cerrado, el de lazo cerrado sometido a una perturbación, etc.
Para trazar un diagrama de bloques de un sistema primero se escriben las
ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente, luego se
toman las transformadas de Laplace de esas ecuaciones, suponiendo condiciones
iniciales de cero y se representan individualmente cada ecuación de transformada de
Laplace en forma de bloques y finalmente se juntan los elementos en un diagrama de
bloque completo.
Gráficos de flujo de señal, para un sistema muy complicado de proceso de
reducción del diagrama de bloque se hace muy laborioso, una alternativa para resolver
este tipo de problemas es el proceso grafico de flujo de señal debido a S. J. Masón.
Gracias a que existe la formula de ganancia denominada formula de ganancia de
Masón la cual da las relaciones entre las variables del sistema sin requerir una reducción
de grafico.
Las partes de un grafico de flujo de señal son: nudo, transmitancía, rama, nudo
de entrada o fuente, nudo de salida o sumidero, nudo mixto o trayecto, lazo, ganancia de
lazo, lazos disjuntos, trayecto directo, ganancia de trayecto directo.