Radiación y potenciales

TEMA 6
Radiación electromagnética
Miguel Ángel Solano Vérez
Electrodinámica
Tema 6: Radiación electromagnética
Índice
6.1 Introducción
G
G
6.2 Potenciales A y F en el dominio de la frecuencia
G
6.2.1 El potencial vector A
G
6.2.2 El potencial vector F
G
G
6.3.3 Utilización de los potenciales vectores A y F
6.4.4 Construcción de las soluciones
G
6.3 Potenciales A y Φ en el dominio del tiempo
6.4 Multiplicidad de los potenciales
6.5 Potenciales de hertz
6.5.1 Potenciales de Hertz magnético en el dominio del tiempo
6.5.2 Potenciales de Hertz eléctrico en el dominio del tiempo
6.6 Solución de la ecuación de onda no homogénea
6.7 Potencial del campo electromagnético a gran distancia del emisor
6.8 Campo electromagnético de la radiación dipolar lejos de las fuentes
6.8.1 Expresiones para el campo electromagnético en la zona lejana
6.9 Referencias
2
3
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
TEMA 6: RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA
6.1 Introducción
En este tema se va hacer una introducción a la teoría de la radiación
electromagnética. Hasta ahora se han estudiado problemas de propagación en
medios infinitos en los que las fuentes están fuera del recinto a estudiar. Así las
ecuaciones de Maxwell o las ecuaciones de onda que hay que resolver para obtener
el campo electromagnético hay que tomarlas sin fuentes. Los problemas de
radiación son aquellos en los que las fuentes están dentro del recinto de estudio.
Las fuentes pueden ser de tipo eléctrico o de tipo magnético. Para realizar este
estudio se introduciarán los potenciales vectores, primeramente en el dominio de la
frecuencia y posteriormente (sólo uno de ellos) en el dominio del tiempo. Ello es
debido a que la resolución de la ecuación de onda para los potenciales en el dominio
del tiempo permite introducir perfectamente los potenciales retardados,
esenciales para comprender el comportamiento de la propagación de una onda
electromagnética y el concepto de acción no inmediata de una perturbación
electromagnética. Posteriormente, se expresará el campo electromagnético en
función de los potenciales y se obtendrán expresiones aproximadas más sencillas
para la región del espacio alejada de la fuentes, también llamada zona de radiación.
Es una práctica muy común en la resolución de problemas electromagnéticos
la utilización de potenciales auxiliares como ayuda en el cálculo de los campos
eléctrico y magnético. Existen dos conjuntos de vectores auxiliares: el de los
G
G
vectores A y F , denominados potencial vector magnético y eléctrico,
G
G
respectivamente y el de los vectores Π e y Π h , denominados vector de Hertz
eléctrico y magnético, respectivamente. El potencial vector magnético es análogo al
potencial de Hertz eléctrico y el potencial vector eléctrico es análogo al potencial
de Hertz magnético. Los campos eléctrico y magnético representan cantidades
físicamente medibles, sin embargo, los potenciales auxiliares sólo son herramientas
matemáticas útiles, sin ningún significado físico inmediato. La introducción de
estos potenciales, aún requieriendo de la introducción de funciones adicionales,
simplifica la resolución los problemas electromagnéticos.
Electrodinámica
6.2 Potenciales
Tema 6: Radiación electromagnética
G
y
A
G
4
en el dominio de la frecuencia
F
G
G
En este capítulo usaremos el par de vectores A y F .
G
6.2.1 El potencial vector A
G
En una región sin fuentes, la densidad de flujo magnético B es siempre
solenoidal; por lo tanto, se puede representar como el rotacional de otro vector
cualquiera
G
∇ . ∇x A = 0
(6.1)
G
donde A es un vector arbitrario. Así podemos definir
G
K
BA = µ HA = ∇x A
(6.2)
es decir
HA =
G
1
∇x A
µ
(6.3)
G
donde el subíndice A significa campos debidos al potencial A . Sustituyendo la
ecuación (6.3) en la ecuación de Faraday
G
G
∇xE A = − j ω µ HA
(6.4)
se obtiene
[
]
G
G
∇ x EA + j ω A = 0
lo que indica que el término entre corchetes es irrotacional, por lo que se podrá
poner como el gradiente de un escalar arbitrario Φe, así
G
∇ x − ∇ Φe = 0
(
)
⇒
G
G
G
EA + j ω A = − ∇ Φe
que se puede poner como
G
G
G
E A = − j ω A − ∇ Φe
(6.5)
5
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
Aplicando la identidad vectorial
( )
G G
G
G
∇x∇xA = ∇ ∇.A − ∇2 A
y la ecuación (6.2)
(
) ( )
G
G
G
G
∇x µ HA = ∇ ∇.A − ∇2 A
que para medios homoegéneos se puede poner como
G
G
( G)
G
µ ∇x HA = ∇ ∇.A − ∇2 A
(6.6)
y utilizando la ecuación de Ampére
G
G
G
∇ x HA = J + j ω ε E A
(6.7)
más la ecuación (6.5), la ecuación (6.6) se puede poner como
(
G G
G
G
G
∇2 A + k 2 A = − µ J + ∇ ∇. A + j ω ε µ Φe
)
(6.8)
donde k2=ω2µε.
Sabemos por el teorema de Helmholtz que un vector está definido si de él
G
se conoce su rotacional y su divergencia. El rotacional de A lo da la ecuación (6.2),
por lo que podemos definir la divergencia de forma libre. Con el ánimo de
simplificar la ecuación (6.8) definimos
G
∇. A = − j ω ε µ Φe
⇒
Φe = −
G
1
∇. A
j ωε µ
que se conoce como condición de Lorentz. Otras condiciones, igualmente válidas, se
pueden definir de forma análoga a la vista. Sustiuyendo esta condición en la
ecuación (6.8) queda
G
G
G
∇2 A + k 2 A = − µ J
(6.9)
G
que es la ecuación de onda para el potencial vector magnético A . Además, la
ecuación (6.5) para el campo eléctrico es
G
G
G
G
E A = − j ω A − ∇ Φe = − j ω A − j
( )
G
1 G
∇ ∇. A
ωµε
(6.10)
Electrodinámica
Tema 6: Radiación electromagnética
6
G
G
Una vez que se conoce A , se puede encontrar HA a partir de la ecuación
G
(6.4). El campo eléctrico EA se puede obtener de la ecuación (6.10) o bien a partir
G
de la ecuación de Maxwell-Ampère (6.7) con J = 0 . La ecuación de onda para el
potencial vector magnético es similar a la vista para el campo eléctrico o
magnético. Por lo tanto, sus soluciones en los sitemas de coordenadas
rectangulares, esféricas o cilíndricas son idénticas a las vistas en capítulos
anteriores.
G
6.2.2 El potencial vector F
De la misma manera que para el potencial vector magnético, se puede definir
G
el potencial vector eléctrico F . Para ello supongamos una región sin fuentes
G
eléctricas, es decir, una región donde en todos los puntos se cumpla que ∇. D = 0 .
Por lo tanto, el vector desplazamiento se puede poner como el rotacional de otro
vector porque se cumple la identidad vectorial
(
)
G
∇. − ∇x F = 0
G
G
donde F es un vector arbitrario. Así, podemos definir DF como
G
G
DF = − ∇ x F
(6.11)
G
donde el subíndice F indica campo debido al potencial vector eléctrico F . De la
relación de constitución y a partir de la ecuación (6.11)
G
G
1
EF = − ∇ x F
ε
(6.12)
Sustituyendo la ecuación (6.12) en la ecuación de Ampère
G
G
∇ x HF = j ω ε E F
se tiene
(
)
G
G
∇ x HF + j ω F = 0
luego el sumando entre paréntesis es irrotacional, con lo que se puede poner como
el gradiente de una función escalar arbitraria, es decir
7
Tema 6: Radiación electromagnética
G
Electrodinámica
G
G
HF = − ∇ Φ m − j ω F
(6.13)
dode Φm es el potencial magnético escalar, que es función únicamente de la
posición. Tomando el rotacional de (6.12) tenemos
(
G
G
G
G
1
1 G
∇ x EF = − ∇ x ∇ x F = −
∇ ∇ .F − ∇2 F
ε
ε
)
y junto con la ecuación de Maxwell-Faraday
G
G
G
∇ x EF = − M − j ω µ HF
se tiene que
G
G
G
G
G
∇2 F + j ω µ ε H F = ∇ ∇ . F − ε M
y sustituyendo (6.13) en la ecuación anterior queda
(
G
G
G G
G
∇2 F + k 2 F = − ε M + ∇ ∇ . F + j ω µ ε Φ m
)
(6.14)
haciendo
G
∇ . F = −j ω µ ε Φm
⇒
Φm = −
G
1
∇ .F
j ω µε
(6.15)
que es la condición de Lorentz para el potencial vector eléctrico, la ecuación (6.14)
queda
G
G
G
∇2 F + k 2 F = − ε M
(6.16)
G
que es la ecuación de onda para el potencial vector eléctrico F . La ecuación (6.13)
es entonces
G
G
HF = − j ω F −
(
G
j G
∇ ∇.F
ω µε
)
(6.17)
G
G
Una vez que el vector eléctrico F se conoce, el campo eléctrico E F se
G
puede encontrar usando la ecuación (6.12) y el campo magnético HF se obtiene de
la ecuación (6.17) o de la ecuación de Maxwell-Faraday con la densiddad de
G
corriente magnética M = 0 . Las soluciones de la ecuación de onda (6.16) son
similares a las vistas para el campo eléctrico o el magnético.
Electrodinámica
8
Tema 6: Radiación electromagnética
G
G
6.2.3 Utilización de los potenciales vectores A y F
En las dos secciones previas se han obtenido las expresiones necesarias
G
para calcular el campo electromagnético proveniente de un potencial vector A y
G
otro F . El campo total será la superposición de ambos. El procedimiento a seguir
es el siguiente
1. Especificar el problema electromagnético con las condiciones de contorno.
La región puede o no contener fuentes y hay que especificar el tipo de modo
o modos requeridos.
G
2. Obtener el potencial A a partir de
G
G
G
∇2 A + k 2 A = − µ J
(6.18)
donde k es el número de onda en el medio (k2=ω2µε).
G
Obtener el potencial F a partir de,
G
G
G
∇2 F + k 2 F = − ε M
(6.19)
G
G
G
G
G 1
1 G
E = EA + EF = − j ω A − j
∇ ∇. A − ∇ x F
ωµε
ε
(6.20)
3. El campo eléctrico es
( )
4. El campo magnético es
(
G
G
G
G
G
G
j G
1
H = HA + HF = ∇x A − j ω F −
∇ ∇ .F
µ
ω µε
6.2.4 Construcción de las soluciones
)
(6.21)
Para un problema electromagnético genérico de valores de contorno, existen
muchas configuraciones de campo electromagnético (modos) que cumplen las
ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno. Los modos más conocidos y
utilizados son los Transversales ElectroMagnéticos (TEM), Tranvsersales
Eléctricos (TE) y Transversales Magnéticos (TM).
Los modos TEM son modos cuyo campo electromagnéticos no tiene ninguna
componente en la dirección de propagación de la energía. De la misma manera, los
modos TE son los que no tienen componente de campo eléctrico en la dirección de
propagación, es decir, el campo eléctrico está contenido en un plano perpendicular
9
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
a la dirección de propagación. Análogamente para modos TM, pero en relación al
campo magnético.
También es conveniente nombrar un tipo de modos que no son ninguno de los
anteriores. Son los denominados modos híbridos, que tienen las seis componentes
de campo electromagnético. Cualquier modo híbrido puede ponerse como
combinación lineal de modos TEM, TE y TM.
Sistema de coordenadas rectangulares
El potencial vector magnético en coordenadas rectangulares es
G
G
G
G
A ( x , y , z ) = ax Ax ( x , y , z ) + ay Ay ( x , y , z ) + az Ay ( x , y , z )
y satisface la ecuación de onda sin fuentes
G
G
∇2 A + k 2 A = 0
(6.22)
que se puede desdoblar en componentes
∇2 Ax + k 2 Ax = 0
∇2 Ay + k 2 Ay = 0
∇2 Az + k 2 Az = 0
(6.23)
De la misma manera, para el potencial eléctrico tendremos
G
G
G
G G
G G
F ( x , y , z ) = ax Fx ( x , y , z ) + ay Fy ( x , y , z ) + az Fy ( x , y , z )
(6.24)
y satisface la ecuación de onda sin fuentes
K
K
∇2 F + k 2 F = 0
(6.25)
que se puede desdoblar en componentes
∇2 Fx + k 2 Fx = 0
∇2 Fy + k 2 Fy = 0
∇2 Fz + k 2 Fz = 0
Desdoblando en componentes la ecuación (6.20) se obtiene
(6.26)
Electrodinámica
G
⎧
G ⎪
E = ax ⎨− j ω Ax − j
G
+ ay
G
+ az
10
Tema 6: Radiación electromagnética
1
ω µε
2
⎛ 2
2
⎜ ∂ Ax ∂ A y ∂ Az
+
+
⎜
∂x ∂y ∂x ∂z
⎜ ∂x2
⎝
⎞
⎟ 1
⎟−ε
⎟
⎠
⎛ ∂ Fz ∂ Fy
⎜
−
⎜ ∂y
∂z
⎝
⎪
⎩
2
⎧
⎞
⎛
1 ⎜ ∂ 2 A x ∂ A y ∂ 2 A z ⎟ 1 ⎛⎜ ∂ Fx ∂ Fz
⎪
−
−
+
+
⎨− j ω Ay − j
ω µ ε ⎜⎜ ∂ x ∂ y
∂x
∂ y ∂ z ⎟⎟ ε ⎜⎝ ∂ z
∂y2
⎪
⎠
⎝
⎩
2
⎧
⎛
⎞
1 ⎜ ∂ 2 A x ∂ A y ∂ 2 A z ⎟ 1 ⎛⎜ ∂ Fy ∂ Fx
⎪
j
A
j
−
−
+
+
ω
−
⎨
z
⎟− ⎜
ω µ ε ⎜⎜ ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z
∂y
∂z 2 ⎟ ε ⎝ ∂x
⎪
⎝
⎠
⎩
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟
⎠⎪⎭
⎫
⎞⎪
⎟⎬
⎟
⎠⎪
⎭
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟
⎠⎪⎭
(6.27)
y haciendo lo mismo con la ecuación del campo magnético (6.21), tendremos
2
⎧
⎫
⎞
⎛
G ⎪
1 ⎜ ∂ 2 F x ∂ F y ∂ 2 F z ⎟ 1 ⎛⎜ ∂ Az ∂ Ay ⎞⎟⎪
H = ax ⎨− j ω Fx − j
−
−
+
+
⎬
ω µ ε ⎜⎜ ∂ x 2
∂ z ⎟⎠⎪
∂ x ∂ y ∂ x ∂ z ⎟⎟ µ ⎜⎝ ∂ y
⎪
⎠
⎝
⎩
⎭
2
⎧
⎫
⎞
⎛
G ⎪
1 ⎜ ∂ 2 F x ∂ F y ∂ 2 F z ⎟ 1 ⎛⎜ ∂ Ax ∂ Az ⎞⎟⎪
−
+ a y ⎨− j ω Fy − j
+
−
+
⎬
ω µ ε ⎜⎜ ∂ x ∂ y
∂ y ∂ z ⎟⎟ µ ⎜⎝ ∂ z
∂ x ⎟⎠⎪
∂y2
⎪
⎠
⎝
⎩
⎭
2
⎧
⎫
⎞
⎛
G ⎪
1 ⎜ ∂ 2 F x ∂ F y ∂ 2 F z ⎟ 1 ⎛⎜ ∂ Ay ∂ Ax ⎞⎟⎪
+ az ⎨− j ω Fz − j
+
−
+
⎬
⎟− ⎜
∂ y ⎟⎠⎪
ω µ ε ⎜⎜ ∂ x ∂ z ∂ y ∂ z
∂z 2 ⎟ µ ⎝ ∂x
⎪
⎠
⎝
⎩
⎭
G
(6.28)
Los modos TEM a la dirección z se obtienen a partir de
Ax = Ay = Fx = Fy = 0
∂
≠0
∂x
;
∂
≠0
∂y
(6.29)
Az = Az+ ( x , y ) e − j k z + Az− ( x , y ) e + j k z
(6.30)
Fz = Fz+ ( x , y ) e − j k z + Fz− ( x , y ) e + j k z
(6.31)
También se pueden obtener a partir de sólo la componente Az o de sólo la
componente Fz.
Los modos TE a la dirección z se obtienen a partir de
G
A =0
;
G
G
F = az Fz ( x , y , z )
con las ecuaciones de los campos dadas por
(6.32)
11
Tema 6: Radiación electromagnética
Ex = −
Ey =
1 ∂ Fz
ε ∂y
Hx = −j
1 ∂ Fz
ε ∂x
Hy = −j
Ez ≡ 0
Hz = − j
Electrodinámica
1 ∂2 F z
ω µε ∂x ∂y
1 ∂2 F z
ω µε ∂y ∂z
1
ω µε
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜ ∂z 2
⎝
(6.33)
⎞
⎟F
⎟ z
⎠
donde Fz debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Fz ( x , y , z ) + k 2 Fz ( x , y , z ) = 0
(6.34)
Los modos TE a la dirección x se obtienen a partir de
G
A =0
;
G
G
F = ax Fx ( x , y , z )
(6.35)
con las ecuaciones de los campos dadas por
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜∂x2
⎝
1 ∂2 F x
Hy = −j
ω µε ∂x ∂y
1 ∂2 F x
Hz = − j
ω µε ∂x ∂z
Ex ≡ 0
Ey = −
Ez =
Hx = −j
1 ∂ Fx
ε ∂z
1 ∂ Fx
ε ∂y
1
ω µε
⎞
⎟F
⎟ x
⎠
(6.36)
donde Fx debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Fx ( x , y , z ) + k 2 Fx ( x , y , z ) = 0
(6.37)
Los modos TE a la dirección y se obtienen a partir de
G
A =0
;
G
G
F = a y Fy ( x , y , z )
con las ecuaciones de los campos dadas por
(6.38)
Electrodinámica
Tema 6: Radiación electromagnética
2
1 ∂ Fy
Hx = − j
ω µ ε ∂x ∂z
1 ∂ Fy
Ex =
ε ∂z
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜∂y2
⎝
2
1 ∂ Fy
Hz = − j
ω µ ε ∂y ∂z
Ey ≡ 0
Ez = −
12
Hy = −j
1 ∂ Fy
ε ∂x
1
ω µε
⎞
⎟F
⎟ y
⎠
(6.39)
donde Fy debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Fy ( x , y , z ) + k 2 Fy ( x , y , z ) = 0
(6.40)
Los modos TM a la dirección z se obtienen a partir de
G
F =0
G
;
G
A = az Az ( x , y , z )
(6.41)
con las ecuaciones de los campos dadas por
Ex = −j
1 ∂2 A z
ω µ ε ∂x ∂z
Hx =
Ey = −j
1 ∂2 A z
ω µε ∂y ∂z
Hy = −
Ez ≡ − j
1
ω µε
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜ ∂z 2
⎝
⎞
⎟A
⎟ z
⎠
1 ∂A z
µ ∂y
1 ∂A z
µ ∂x
(6.42)
Hz ≡ 0
donde Az debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Az ( x , y , z ) + k 2 Az ( x , y , z ) = 0
(6.43)
Los modos TM a la dirección x se obtienen a partir de
G
F =0
;
G
G
A = ax Ax ( x , y , z )
con las ecuaciones de los campos dadas por
(6.44)
13
Tema 6: Radiación electromagnética
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜∂x2
⎝
1 ∂2 A x
Ey = −j
ω µε ∂x ∂y
1 ∂2 A x
Ez = − j
ω µ ε ∂x ∂z
Ex = −j
1
ω µε
⎞
⎟A
⎟ x
⎠
Electrodinámica
Hx ≡ 0
Hy =
1 ∂A x
µ ∂z
Hz = −
(6.45)
1 ∂A x
µ ∂y
donde Az debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Ax ( x , y , z ) + k 2 Ax ( x , y , z ) = 0
(6.46)
Los modos TM a la dirección y se obtienen a partir de
G
F =0
G
;
G
A = a y Ay ( x , y , z )
(6.47)
con las ecuaciones de los campos dadas por
2
1 ∂ Ay
Ex = −j
ω µε ∂x ∂y
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜∂y2
⎝
2
1 ∂ Ay
Ez = − j
ω µ ε ∂y ∂z
Ey = −j
1
ω µε
Hx = −
⎞
⎟A
⎟ y
⎠
1 ∂A y
µ ∂z
Hy ≡ 0
Hz =
(6.48)
1 ∂A y
µ ∂x
donde Ay debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Ay ( x , y , z ) + k 2 Ay ( x , y , z ) = 0
(6.49)
Sistema de coordenadas cilíndrico
Separando en componentes los potenciales tendremos
G
G
G
G
G
G
G
G
A ( ρ , φ , z ) = a ρ Aρ ( ρ , φ , z ) + aφ Aφ ( ρ , φ , z ) + az Az ( ρ , φ , z )
F ( ρ , φ , z ) = a ρ Fρ ( ρ , φ , z ) + aφ Fφ ( ρ , φ , z ) + az Fz ( ρ , φ , z )
y por tanto, los campos eléctrico y magnético son
(6.50)
(6.51)
Electrodinámica
G
G ⎧⎪
E = a ρ ⎨− j ω Aρ − j
⎪⎩
∂ ⎛1 ∂
1
1 ∂ Aϕ ∂A z
⎜
+
ρAρ +
⎜
∂z
ω µε ∂ ρ ⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
(
⎞ 1
⎟−
⎟ ε
⎠
)
G ⎧⎪
1 1 ∂ ⎛⎜ 1 ∂
1 ∂ Aϕ ∂A z
+ aφ ⎨− j ω Aφ − j
+
+
ρ
A
ρ
∂z
ω µ ε ρ ∂ φ ⎜⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
⎪⎩
(
(
G ⎧⎪
H = a ρ ⎨− j ω Fρ − j
⎪⎩
)
⎞ 1 ⎛ 1 ∂ Az ∂ Aφ
⎟− ⎜
−
⎟ µ ⎜ ρ ∂φ
∂z
⎝
⎠
G ⎧⎪
1 1 ∂ ⎛⎜ 1 ∂
1 ∂ Fϕ ∂F z
+ aφ ⎨− j ω Fφ − j
+
+
ρ
F
ρ
∂z
ω µ ε ρ ∂ φ ⎜⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
⎪⎩
)
G ⎧⎪
1
1 ∂ Fϕ ∂F z
∂ ⎛⎜ 1 ∂
ρ
F
+ az ⎨− j ω Fz − j
+
+
ρ
ω µ ε ∂ z ⎜⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
∂z
⎪⎩
(
)
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟⎪
⎠⎭
( )
)
(
⎛ ∂ Fρ ∂ Fz
⎜
⎜ ∂z − ∂ ρ
⎝
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟
⎠⎭⎪
∂ Fρ ⎞⎫⎪
⎞ 1 1 ⎛ ∂
⎜
⎟⎬
⎟−
−
F
ρ
φ
⎟ ε ρ ⎜∂ρ
⎟⎪
φ
∂
⎠
⎝
⎠⎭
(6.52)
∂ ⎛⎜ 1 ∂
1
1 ∂ Fϕ ∂F z
ρ
+
+
F
ρ
ω µ ε ∂ ρ ⎜⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
∂z
(
⎛ 1 ∂ Fz ∂ Fφ
⎜
−
⎜ ρ ∂φ
∂z
⎝
⎞ 1
⎟−
⎟ ε
⎠
)
G ⎧⎪
∂ ⎛1 ∂
1
1 ∂ Aϕ ∂A z
⎜
+ az ⎨− j ω Az − j
+
+
ρ
A
ρ
∂z
ω µ ε ∂ z ⎜⎝ ρ ∂ ρ
ρ ∂φ
⎪⎩
G
14
Tema 6: Radiación electromagnética
⎞ 1 ⎛ ∂ Aρ ∂ Az
⎟− ⎜
⎟ µ ⎜ ∂z − ∂ ρ
⎝
⎠
⎞⎫⎪
⎟
⎟⎬⎪
⎠⎭
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟⎪
⎠⎭
∂ Aρ
⎞ 1 1 ⎛ ∂
⎟−
⎜
A
ρ
−
φ
⎟ µ ρ ⎜∂ρ
∂φ
⎝
⎠
(
)
⎞⎫⎪
⎟⎬
⎟⎪
⎠⎭
(6.53)
Los modos TE a la dirección z se obtienen a partir de
G
A =0
;
G
G
F = az Fz ( ρ , φ , z )
(6.54)
con las ecuaciones de los campos dadas por
Eρ = −
Eφ =
1 ∂ Fz
ε ρ ∂φ
1 ∂ Fz
ε ∂ρ
Ez ≡ 0
H ρ = −j
1 ∂2 F z
ω µε ∂ ρ ∂z
Hφ = − j
1 ∂2 F z
ω µ ε ∂φ ∂ z
Hz = − j
1
ω µε
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜ ∂z 2
⎝
(6.55)
⎞
⎟F
⎟ z
⎠
donde Fz debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Fz ( ρ , φ , z ) + k 2 Fz ( ρ , φ , z ) = 0
(6.56)
15
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
Los modos TM a la dirección z se obtienen a partir de
G
F =0
G
;
G
A = az Az ( ρ , φ , z )
(6.57)
con las ecuaciones de los campos dadas por
E ρ = −j
1 ∂2 A z
ω µε ∂ ρ ∂z
Hρ =
1 ∂ Az
µ ρ ∂φ
Eφ = − j
1 1 ∂2 A z
ω µ ε ρ ∂φ ∂z
Hφ =
1 ∂ Az
µ ∂ρ
Ez = − j
1
ω µε
⎛ ∂2
⎜
+k2
⎜ ∂z 2
⎝
⎞
⎟A
⎟ z
⎠
(6.58)
Hz ≡ 0
donde Fz debe cumplir la ecuación de onda escalar
∇2 Az ( ρ , φ , z ) + k 2 Az ( ρ , φ , z ) = 0
6.3 Potenciales
G
A
(6.59)
y Φ en el dominio del tiempo
En esta sección se van a estudiar los potenciales vectores en el dominio del
G
tiempo. Nos centraremos en el potencial vector A y su potencial escalar eléctrico
asociado Φe que por comodidad denotaremos simplemente Φ.
A partir de la ley de Gauss
K
∇.B = 0
⇒
G
G
B = ∇x A
y de la ley de Faraday
G
∂B
G
G
∂A
∂
∇x E = −
=−
∇x A = − ∇ x
⇒ ∇x
∂t
∂t
∂t
G
(
)
G
⎡ G ∂A
⎢E +
∂t
⎢⎣
⎤
⎥ =0
⎥⎦
donde todas las cantidades son instantáneas, es decir, dependientes de la posición
y del tiempo. La cantidad entre corchetes en la última ecuación es irrotacional,
luego se puede poner como el gradiente de una función escalar arbitraira Φ,
G
G
G
G
G
∂A
∂A
E +
= −∇Φ ⇒ E = −∇Φ −
∂t
∂t
G
(6.60)
Electrodinámica
16
Tema 6: Radiación electromagnética
G
Para obtener las ecuaciones que verifican los potenciales A
utilizaremos la ley de Ampère generalizada
G
G
∇x H = J + ε
y Φ
G
∂E
∂t
Si se multiplica la ecuación anterior por µ y se sustituye el valor del campo
eléctrico de la ecuación (6.60) se tiene que
G
∂ ⎛⎜ G
∂A
∇ x µ H = µ J + µε
− ∇Φ −
∂ t ⎜⎝
∂t
G
G
⎞
⎟
⎟
⎠
( )
G
G
G G
G
G
Como ∇x µ H = ∇x B = ∇x∇xA = ∇ ∇.A − ∇2 A , la ecuación anterior se
puede poner como
G
G
G
∂2 A G ⎛ G
∂Φ ⎞
2
⎟ = −µ J
∇ A − µε
− ∇ ⎜⎜ ∇.A + µε
∂ t ⎟⎠
∂t 2
⎝
(6.61)
G ρ
G
G
∂
Mediante la ley de Gaus ∇.D = ρ ⇒ ∇. E = = −∇2 Φ −
∇.A , luego
ε
∂t
∇2 Φ +
G ρ
∂
∇.A =
∂t
ε
(6.62)
Las ecuaciones (6.61) y (6.62) son las ecuaciones de onda para los
G
potenciales A y Φ. Si se aplica la siguiente condición
G
∂Φ
∇.A + µε
=0
∂t
G
que se llama condición de Lorentz, las ecuaciones de onda para los potenciales A y
Φ satisfacen el mismo tipo de ecuación,
G
G
G
∂2 A
2
∇ A − µε
= −µ J
∂t 2
(6.63)
17
Tema 6: Radiación electromagnética
∇2 Φ − µε
Electrodinámica
∂2 Φ
ρ
=−
ε
∂t 2
(6.64)
G G
G
Si el medio se considera con una conductividad σ , es decir, J = σE + J' ,
G
donde J' es la densidad de corriente debida a las fuentes, las ecuaciones
anteriores quedan
G
∂Φ
∇.A + µε
− µσ Φ =0
∂t
→ Condición de Lorentz
G
G
G
G
∂2 A
∂A
2
∇ A − µε
− µσ
= −µ J
∂t
∂t 2
∇2 Φ − µε
∂2 Φ
∂Φ
ρ
− µσ
=−
∂t
ε
∂t 2
6.4 Multiplicidad de los Potenciales
Los potenciales definidos por las ecuaciones anteriores no son únicos.
G
G
G G
Consideremos un nuevo potencial A' definido como A' = A + ∇Ψ donde Ψ es una
G
función escalar arbitraria. Si asignamos a ese nuevo potencial A' un potencial
G
escalar eléctrico Φ’ , se obtendría un nuevo campo eléctrico E' dado por
(
)
G
G G
G
G
G⎛
∂Ψ
∂ A + ∇Ψ
∂ A'
E' = −∇Φ' −
= −∇⎜⎜Φ' +
= −∇Φ' −
∂t
∂t
∂t
⎝
G
de forma que si Φ' +
G
∂Ψ
∂t
G
⎞ ∂A
⎟−
⎟ ∂t
⎠
G
G
= Φ el campo eléctrico E' será igual a E . Por tanto, los
G
potenciales A' y Φ’ definen el mismo campo que los potenciales A y Φ. Además,
se puede obtener una ecuación que debe verificar Ψ en el caso en que los nuevos
potenciales cumplan la condición de Lorentz. Así
G
G
∂Φ
∂ Φ'
∂ 2Ψ
∇.A + µε
= 0 ⇒ ∇.A' − ∇2Ψ + µε
+ µε
=0
∂t
∂t
∂t 2
G
luego los potenciales A' y Φ’ cumplirán la condición de Lorentz siempre que
Electrodinámica
18
Tema 6: Radiación electromagnética
∇2Ψ + µε
∂ 2Ψ
=0
∂t 2
(6.65)
que, como se puede observar, es la ecuación de Hemlhotz homogénea.
6.5 Potenciales de Hertz
G
G
De la misma manera que los potenciales vectores A y F se pueden obtener
otro tipo de potenciales con las mismas características y utilidades que son los
G
G
potenciales de Hertz magnético Π m y eléctrico Π e . El desarrollo es muy similar
al realizado anterioremente, por lo que sólo se escribirán las ecuaciones
correspondientes.
G
6.5.1 Potencial de Hertz magnético Π m en el dominio del tiempo
En una región sin fuentes eléctricas,
desplazamiento es cero, luego se puede escribir
G
∇. D = 0
la
divergencia
del
vector
G
∂ Πm
⇒ D = −µ ε ∇ x
∂t
G
G
donde Π m es el potencial de Hertz magnético. Procediendo de la manera vista en
apartados anteriores se obtiene el campo magnético como
G
G
∂2 Π m
H = − ∇ Φm − µ ε
∂t 2
G
G
donde Φm es el potencial escalar magnético. Imponiendo la condición ∇. Π m = Φ m
G
el campo magnético se puede escribir sólo como función de Π m y la ecuación que
G
verifica Π m es (supuesto que no hay fuentes magnéticas)
G
∇2 Π
G
∂2 Π m
=0
m − µε
∂t 2
19
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
G
6.5.2 Potencial de Hertz eléctrico Π e en el dominio del tiempo
En una región sin fuentes magnéticas la divergencia de la inducción
magnética es cero, luego
G
∇. B = 0
G
∂Πe
⇒ B = µ ε ∇x
∂t
G
G
donde Π e es el potencial de Hertz eléctrico. Procediendo de la manera vista en
apartados anteriores se obtiene el campo eléctrico como
G
G
∂2 Π e
E = − ∇ Φe − µ ε
∂t 2
G
G
donde Φe es el potencial escalar eléctrico. Imponiendo la condición ∇. Π e = Φe el
G
campo eléctrico se puede escribir sólo como función de Π e y la ecuación que
G
verifica Π e es (supuesto que no hay fuentes eléctricas)
G
∇2 Π
G
∂2 Π e
=0
e − µε
∂t 2
El paso de estas ecuaciones al dominio de la frecuencia es inmediato.
6.6 Solución de la ecuación de onda no homogénea
Las ecuaciones de onda (6.9) y (6.16) que verifican los potenciales vectores
magnético y eléctrico son ecuaciones de Helmhotz no homogéneas cuyas soluciones
son formalmente iguales. En este apartado no se va a ver explícitamente el
desarrollo que conduce a la solución de dichas ecuaciones; sólo comentar que es un
proceso matemático que involucra el uso de la transformada de Fourier a través de
una función de Green (solución de una ecuación con fuente unidad) y por tanto del
método de superposición. La solución para el potencial vector magnético es
[JG(GrG'G) ] dv'
G
G
G G
µ0
J (r' ,t ± | r − r' | / c )
A ( r ,t ) =
dv
'
=
G
G
4π ∫
| r − r' |
4π
G G
µ0
V'
∫ R ( r , r' )
V'
(6.66)
Electrodinámica
1
Φ ( r ,t ) =
4 π ε0
G
20
Tema 6: Radiación electromagnética
G
∫
V'
G
G
ρ (r' , t ± | r − r' | / c )
1
dv ' =
G
G
| r − r' |
4 π ε0
[ρ (GrG' G) ]
∫ R ( r , r' )
dv ' (6.67)
V'
G G
G
G
G
donde R ( r , r' ) =| r − r' | , r es el vector de posición y r'
es el vector de
posición del punto fuente. Soluciones análogas se tienen con el potencial escalar
eléctrico y su potencial escalar magnético asociado.
La notación empleada en las ecuaciones anteriores indica lo siguiente:
cualquier cantidad entre corchetes está evaluada en uno de los tiempos siguientes
Notación :
[]
⇒
τ =t −
G
| r − r' |
;
c
τ* = t −
G
| r + r' |
c
Las ecuaciones (6.66) y (6.67) dan las denominadas ecuaciones de los
potenciales retardados (las que se evalúan en el tiempo retardado τ) y de los
potenciales avanzados (las que se evalúan en el tiempo avanzado τ*). Los potenciales
avanzados son una solución matemáticamente posible de la ecuación de onda no
homogénea. Sin embargo, no son físicamente posibles,l ya que si lo fueran
significaría que la respuesta a la excitación se produciría antes que la propia
excitación, lo cual no es posible. Por lo tanto, los únicos potenciales físicamente
posibles son los potenciales retardados. Su significado físico es esencial en el
desarrollo de la electrodinámica y de la iniciación a la teoría de la relatividad
G
especial. Si en un punto dado r' se produce una excitación electromagnética, su
G
G G
G
efecto en otro punto r separado de él una distancia R ( r , r' ) =| r − r' | sólo se
“verá” tras un tiempo “t”, que es el que tarda la onda electromagnética en
G
| r − r' | R
= ).
recorrerla (t =
c
c
6.7 Potencial del campo electromagnético a gran distancia
del emisor
Supongamos un volumen con una fuente electromagnética eléctrica y un
punto P fuera de ese volumen como indica la figura 6.1.
21
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
P
G
G
G
R = r − r'
G G
J ( r' ,t )
G
ρ( r' ,t )
V'
G
r
G
r'
L’
O
Figura 6.1.- Esquema de radiación de una fuente electromagnética
Las integrales dadas en las ecuaciones (6.66) y (6.67) son muy complicadas
ya que deben evaluarse en un instante de tiempo τ = t −
R
que es diferente para
c
cada punto fuente dentro del volumen V’. Supongamos que el punto campo P está
G
muy alejado de la fuente, es decir que | r | >> L' , donde L’ es la máxima dimensión
lineal del volumen V’. En general, es suficiente con tomar L' ≅| V' | 1 / 3 . El
denominador de
( 1 + x )n ≅ 1 +n x
(6.67)
si
se
puede
aproximar,
utilizando
la
aproximación
x << 1 , por
G
G
R −1 =| r − r' | −1 = ( r 2 − 2 r . r' +r' 2 ) −1 / 2 =
G
⎛
2 r . r' r' 2 ⎞⎟
= r −1 ⎜ 1 −
+
r2
⎜
⎝
−1 / 2
r 2 ⎟⎠
G
⎛
r . r' ⎞
⎟
≈ r −1 ⎜⎜1 +
⎟
⎝
r2 ⎠
con lo que el potencial escalar eléctrico será
1
Φ ( r ,t ) =
4 π ε0
G
1
=
4 π ε0
G
∫
V'
G
G G
⎛1
r . r'
⎜ +
⎜r
r2
V' ⎝
∫
⎞
G
G G
⎟ ρ (r' ,t − | r − r' | / c ) dv' =
⎟
⎠
G
ρ (r' ,t − | r − r' | / c )
1
dv' +
r
4 π ε0
G G
∫
V'
G
G
G
r . r' ρ (r' , t − | r − r' | / c )
r3
dv'
(6.68)
En esta ecuación hay que notar que el denominador del primer sumando
puede sacarse fuera de la integral pues no depende del punto fuente. Sin embargo,
Electrodinámica
el resto que es
22
Tema 6: Radiación electromagnética
G
G
G
∫ ρ (r' ,t − | r − r' | / c ) dv'
todavía no es la carga total del sistema
v'
porque la densidad de corriente hay que evaluarla en distintos instantes
temporales para cada diferente punto fuente. Por tanto, la integral es complicada
todavía de realizar.
Aproximemos el valor de R utilzando lo anterior
G
⎛
G
2 r . r' r' 2
2
2
1
/
2
⎜
=r 1 −
+
R =| r − r' | = ( r − 2 r . r' +r' )
⎜
r2
r2
⎝
G
1/ 2
⎞
⎟
≈r
⎟
⎠
G
⎛
r . r' ⎞
⎜1 −
⎟
⎜
⎟
2
r ⎠
⎝
con lo que el tiempo de retardo será
G
G
G
r . r'
R
| r − r' |
r r . r'
τ =t − =t −
≈t − +
= τ0 +
c
c
rc
c
rc
r
; donde τ 0 = t −
c
Por lo tanto el tiempo de retardo R/c está compuesto de dos partes
1. r/c: es el tiempo de retardo del sistema de referencia, es decir, el tiempo
que tarda la señal en recorrer la distancia que separa el origen del punto
campo P.
G
r . r'
2.
: se llama tiempo de retardo propio y es el tiempo que tarda la señal
rc
G
r . r'
L'
≈
.
en alcanzar los límites del sistema, ya que, aproximadamente
rc
c
Si r>>L’
implica que L’/c es muy pequeño comparado con r/c, por lo que se
G
G
r . r'
podrá desarrollar en serie de Taylor ρ( r' , τ ) respecto al parámetro
;
rc
así
G
G
G
∂ρ ⎤
r . r'
r . r'
ρ( r' , τ ) = ρ( r' , τ 0 +
) ≈ ρ( r' , τ 0 ) +
⎥ τ =τ 0 ∆ τ ; donde ∆ τ = τ − τ 0 =
∂ τ0 ⎦
rc
rc
G
G
es decir
G
r . r' . G
ρ( r' , τ ) ≈ ρ( r' , τ 0 ) +
ρ( r' , τ 0 )
rc
G
G
; donde
.
G
ρ( r' , τ 0 ) =
∂ρ ⎤
⎥ τ =τ 0
∂ τ0 ⎦
23
Tema 6: Radiación electromagnética
G
Electrodinámica
La aproximación dada por la ecuación anterior no será válida si en el tiempo
r . r'
(que recordemos es aproximadamente el tiempo que tarda la onda
rc
electromagnética en recorrer el sistema) la distribución de cargas que crea el
campo varía fuertemente. Esto significa que la carga en el instante τ 0 = t − r / c
(es decir, en el instante en que la señal ha llegado al punto campo P) y la carga en el
G
r . r'
instante τ 0 = t −
(es decir, en el instante en el que la señal ha alcanzado los
rc
límtes del sistema) son muy diferentes. En otras palabras, si las cargas se mueven
a una velocidad “v”, el espacio que recorren las cargas en el tiempo que tarda la
G
r . r'
L'
≈ )
señal en alcanzar los límites del sistema (tiempo de retardo propio
rc
será v
c
L'
. Por tanto, la aproximación será válida si la distancia que recorren las
c
cargas en ese tiempo no es significativa frente al tamaño del sistema, es decir, es
mucho menor que los límtes del sistema,
L'
<< L'
c
v
⇒
v << c
lo que indica, finalmente, que la aproximación dipolar de las ecuaciones anteriores
será válida siempre que la velocidad a la que se mueven las cargas sea mucho menor
que la velocidad a la que se propaga la energía electromagnética. Con esto, vemos
que el desarrollo teórico que estamos llevando a cabo no es válido para estudiar la
radiación de cargas se muevan a velocidades próximas a la de la luz.
Sustituyendo las aproximaciones para la corriente y para R en la expresión
(6.68) del potencial queda, después de despreciar el segundo sumando que es
mucho menor que el primero a distancias grandes del emisor (r>>L’)
G
Φ ( r ,t ) ≈
1
4π ε0 r
G
+
1
n
4π ε0 c r
∫
G
ρ (r' ,t − R / c ) dv' =
V'
G .
G
∫ r' ρ( r' , τ0 ) dv'
;
1
4π ε0 r
G
∫ ρ (r' , τ0 ) dv' +
V'
G
donde n =
V'
G
(6.69)
r
r
En esta expresión, el primer sumando sí que representa la carga total del
sistema pues se evalua la densidad de carga en cada punto del volumen V’ en el
mismo instante de tiempo τ0, es decir
G
∫ ρ (r' ,t − R / c ) dv' = QT
v'
Electrodinámica
24
Tema 6: Radiación electromagnética
Supongamos un sistema electricamente neutro, es decir, con carga total
nula. El potencial escalar eléctrico será
G
1
n
Φ ( r ,t ) =
4 π ε0 c r
G
G .
G
∫ r' ρ( r' , τ0 ) dv'
(6.70)
V'
y la integral será
G .
G
∫ r' ρ( r' , τ0 ) dv' =
V'
.
G ∂ ρ ∂t
∫ r'
V'
G
(
G G
)
dv' = − ∫ r' ∇'. J ( r , τ 0 dv'
∂t ∂ τ 0
v'
donde se ha aplicado la ecuación de continuidad y que ∂t ∂τ = 1 . Notar que en el
0
operador divergencia se ha denotado con “ ´” para indicar derivación respecto a las
coordenadas de las fuentes. Aplicando ahora la identidad vectorial
G G
(
)
∫∫
G
K
s
haciendo
G
G
F . G . n ds = ∫ F ∇.G dv +
G
G
G
F ≡ r' y G ≡ J
v
∫
G
G
( G . ∇ ) F dv
(6.71)
v
y considerando la integral de superficie exterior al
volumen V’ en una zona donde no hay corrientes, por lo tanto nula, tendremos
−
G G
G
∫
r' ∇' .J ( r' , τ 0 ) dv' =
v
G G
∫
G
( J ( r' , τ 0 ) . ∇' ) r' dv'
v
Como
G
G
⎛
∂
⎝
∂ x'
( J . ∇' ) r' = ⎜⎜ J x'
+ J y'
∂
∂ y'
+ J z'
(
G
G
G
= J x' ax + J y' a y + J z' az
podemos escribir
∫
v
luego
G G
G
( J ( r' , τ 0 ) . ∇' ) r' dv' =
)
G
G
G
∂ ⎞
⎟ x' ax + y' a y + z' az =
⎟
∂ z' ⎠
∫
v
G G
J ( r' , τ 0 ) dv'
25
Tema 6: Radiación electromagnética
G
1
n
Φ ( r ,t ) =
4πε0 cr
G
∫
Electrodinámica
G G
V'
J ( r' , τ 0 ) dv'
(6.72)
Análogamente, se obtendría para el potencial vector magnético
G G
µ 1
A ( r ,t ) = 0
4π r
Como c 2 = 1 µ ε
0 0
∫
G G
V'
J ( r' , τ 0 ) dv'
(6.73)
se cumplirá que
G
G G G
Φ ( r ,t ) = c n A ( r ,t )
(6.74)
De las ecuaciones anteriores se verifica
∫
v'
G .
G G
G
J ( r' , τ 0 ) dv' = ∫ r' ρ( r' , τ 0 ) dv' =
v'
∂
∂ τ0
G
G
.
∫ r' ρ( r' , τ0 ) dv' = p( τ0 )
v'
.
donde p( τ 0 ) es la derivada del momento dipolar respecto al tiempo en τ=τ0. Por lo
tanto las expresiones para los potenciales en función de la derivada del momento
dipolar son
G .G
1 n . p ( τ0 )
Φ ( r ,t ) =
4 π ε0
cr
G
.G
µ p ( τ0 )
A ( r ,t ) = 0
4π
r
G G
(6.75)
(6.76)
Las expresiones dadas por las ecuaciones (6.75) y (6.76) describen la
aproximación dipolar de los potenciales a gran distancia de las fuentes.
Electrodinámica
Tema 6: Radiación electromagnética
26
6.8 Campo electromagnético de la radiación dipolar lejos de
las fuentes
Tomando el rotacional de (6.76) se obtiene la inducción magnética,
.G
p ( τ0 )
µ
B = ∇x A ( r ,t ) = 0 ∇x
4π
r
G
G G
Aplicando la identidad vectorial
G
G G
G
∇.( Ψ F ) = Ψ ∇x F − ∇Ψ x F
y despreciando los término en 1/r2 queda
G
B ≈
.G
µ0
∇x p ( τ 0 )
4πr
Aplicando la identidad
G
G
dF
∇x F ( u ) = ∇ u x
[
]
G
du
se tiene
G
G
B = ∇ τ0 x
[
.
]
G G
G G
G
d
A ( r ,t ) = ∇ τ 0 x A ( r ,t )
d τ0
y mediante
G
G
G
G ⎛
r ⎞
1 G
1 r
n
∇ τ 0 = ∇ ⎜t − ⎟ = − ∇ r = −
= −
c
c ⎠
c r
c
⎝
se puede escribir
..G
G
.G
µ p ( τ0 ) x n
1 G
1 G G
B =− n x A = Axn = 0
c
c
4πc
r
G
(6.77)
El campo eléctrico se obtiene a partir de la ecuación (6.60), evaluada en el
instante de tiempo τ0. El gradiente de Φ se puede poner como
27
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
. nG
G
dΦ G
dΦ dΦ dt
dΦ .
∇Φ =
∇ τ0 = −Φ
; ya que
=
=
=Φ
d τ0
d t d τ0
dt
d τ0
c
por lo tanto
G
G
∂A
G ⎛ .G ⎞ .G
.G ⎞ .G
⎛
⎜ c A . nG ⎟ − A = nG . ⎜nG . A ⎟ − A =
⎜
⎟
⎜
⎟
c ∂t
⎝
⎠
⎝
⎠
.G ⎞
.G ⎞
⎛
⎞ G
G ⎛
G ⎛ G.
= n x ⎜n x A ⎟ = −⎜n x A ⎟ x n = ⎜ A x n ⎟ x n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
. nG
E = −Φ
+
=
n
c
donde se ha utilizado la ecuación (6.74). Sustiuyendo el valor del potencial vector
magnético
G G
E ( r ,t ) =
µ0
4πr
⎛ ..G
G⎞ G
1
⎜ p( τ ) x n ⎟ x n =
0
⎜
⎟
4 πε0 r c 2
⎝
⎠
⎛ ..G
G⎞
⎜ p( τ ) x n ⎟
0
⎜
⎟
⎝
⎠
(6.78)
Comparando las expresiones del campo eléctrico con la del magnético se
puede escribir
G G
G G
G
E ( r ,t ) = c B ( r ,t ) x n
(6.79)
lo que indica que el campo eléctrico el magnético y la dirección del vector radial
forman un triedo recto. Como los campos son función del momento dipolar (de su
segunda derivada) en el instante τ0=t-r/c, los módulos de los campos serán de la
forma
G G
f (t − r / c )
r
G G
f (t − r / c )
r
| E ( r ,t ) | = C1
| H ( r ,t ) | = C 2
Estas expresiones indican que los campos radiados por una fuente
electromagnética a gran distancia del emisor son ondas esféricas, ya que las
superficies de fase constante (aquellas que cumplen r=cte) son esferas.
Finalmente, es necesario apuntar que el desarrollo aquí realizado es el que
interesa para aplicar en el caso de estudiar la radiación de antenas lineales. Pero
de ninguna manera es el único caso que se puede plantear en la realidad. Por
ejemplo, uno se puede preguntar qué sucede si el momento dipolar es nulo:
¿existirá radiación?. La respuesta es que puede que sí. En efecto, la aproximación
Electrodinámica
28
Tema 6: Radiación electromagnética
dipolar realizada se basa en el desarrollo de las magnitudes apropiadas en
desarrollo en serie de Taylor hasta el segundo término, es decir, hasta el término
lineal. Existen particulas con la misma masa y cargas diferentes que radian energía
y sin embargo su momento dipolar es nulo. En este caso, las aproximaciones lineaes
realizadas se quedan “cortas” y es necesario tomar más términos en los
desarrollos. Así, se tiene que las expresiones aproximadas para los potenciales
tienen más términos, no sólo el que hemos calculado (o término correspondiente a
la radiación dipolar) sino otros correspondientes a la radiación dipolar magnética
(el potencial está dado en función del momento dipolar magnético) y a la radiación
cuadripolar eléctrica (el potencial está dado en función del momento cuadripolar
eléctrico)
6.8.1 Expresiones para el campo electronmagnético en la zona lejana
Vamos a obtener unas expresiones aproximadas para el campo
electromagnético en la zona lejana y en el dominio de la frecuencia, es decir, en
notación fasorial. Separando el fasor potencial vector magnético en componentes
G
G
G
G
A ( r , θ , φ ) = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ
por lo que la fasor inducción magnética es, a partir de la ecuación (6.77)
G
B = −j
G
G
G
G
G
ω G
ar x A = − j k0 ar x A = − j k0 Aθ aφ + Aφ aθ
c
(
)
es decir
k
ω
⇒ Hθ = j 0 Aφ = j
Aφ
µ0
Z0
Bθ = j k0 Aφ
k
ω
⇒ Hφ = − j 0 Aθ = − j
Aθ
µ0
Z0
Bφ = − j k0 Aθ
El campo eléctrico es
⎞ G
G ⎛ G.
G G
G
G
G
G
G
G
E = ⎜ A x n ⎟ x n = j ω A x ar x ar = j ω Aφ aθ − Aθ aφ x ar = − j ω Aθ aθ − Aφ aφ
⎜
⎟
⎝
(
⎠
)
(
)
(
)
de forma que se puede poner, abreviadamente, como
G
G
E = − j ω A ( excepto la componente radial )
(6.80)
29
Tema 6: Radiación electromagnética
Electrodinámica
Además,
Hθ = −
1
Eφ
Z0
;
Hφ =
1
Eθ
Z0
o lo que es lo mismo
G
H =
G
1 G
ar x E
Z0
(6.81)
G
donde E está dado por la ecuación (6.80). Notemos que en la zona lejana el campo
electromagnético no tiene componente radial y que la relación entre el campo
eléctrico y el magnético es la misma que la que se cumple en las ondas planas.
6.9 Referencias
Constantine A. Balanis:
Wiley&Sons, 1989.
“Advanced
engineering
electromagnetics”,
John
J.A. Stratton: "Electromagnetic theory", McGraw-Hill, 1941.
Panofski, W. & Phillips, M.: "Classical electricity and magnetism", AddisonWesley, 1962.
Levich, B.J.: "Theoretical Physics", Volume 1, North-Holland, 1970.
J. Vanderline: “Classical electromagnetic theory”, John Wiley&Sons, 1993.
I.S. Grant & W.R. Phillips: “Electromagtetism”, second edition, John
Wiley&Sons, 1990.