aletos MECÁNICA Física para Ciencias e Ingeniería CINEMÁTICA 1 Contacto: [email protected] Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta. Su aceleración viene dada por a = 32–4v. Las magnitudes están medidas en el S.I. de unidades. Las condiciones iniciales son: Para t =0 , x = 0 y v = 4 m/s. Calcúlese: a) v en función de t. b) x en función de t. c) x en función de v. SOLUCIÓN: a) Puesto que el movimiento es rectilíneo, la aceleración dada es la aceleración tangencial, que se define como a = at = dv dt [1] Sustituyendo a por la expresión dada en el enunciado, dv = 32 − 4v dt Ordenando términos y agrupando variables, dv = dt 32 − 4v [2] expresión que se puede escribir en la forma, 1 −4dv − × = dt 4 32 − 4v [3] Integrando en forma indefinida, 1 − ln (32 − 4v) = t +C 1 [4] 4 La constante de integración C1 se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales establecidas en el enunciado: Para t = 0, es v = 4 m/s. Sustituyendo valores: 1 1 1 C 1 = − ln 16 = − ln 24 = − × 4 × ln 2 = − ln 2 [5] 4 4 4 Sustituyendo [5] en [4], 1 − ln (32 − 4v) = t − ln 2 4 [6] Operando y agrupando términos se obtiene: v = 8 − 4 e −4t [7] b) Para calcular x en función de t, basta recordar que, por definición, es: v= dx dt [8] e igualando los segundos miembros de [7] y [8]. dx = 8 − 4 e −4t dt [9] de donde, despejando dx e integrando en forma indefinida, se obtiene: 1 dt = 8t −4 (− e −4t ) = 8t +e −4t +C 2 [10] 4 La constante de integración C2 se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales establecidas en el enunciado: Para t = 0, es x = 0. Sustituyendo valores y despejando C2: x = ∫ (8 − 4 e −4t )dt = ∫ 8dt −4 ∫ e −4t C 2 = −1 Sustituyendo [11] en [10], [11] 2 MECÁNICA aletos CINEMÁTICA Física para Ciencias e Ingeniería [12] x = 8t +e −4t −1 c) Para calcular x en función de v podemos multiplicar y dividir por dx el tercer miembro de [1] y asociar términos en la forma siguiente: dv dx dx dv dv = =v dt dx dt dx dx Sustituyendo a por la expresión dada en el enunciado, dv v = 32 − 4v dx Ordenando términos y agrupando variables, v dx = dv 32 − 4v a= [13] [14] [15] Para descomponer la fracción del segundo miembro basta efectuar la división del numerador por el denominador: 1 8 v =− + 4 −4v + 32 32 − 4v [16] 1 8 dx = − + dv 4 −4v + 32 [17] Sustituyendo [16] en [15], Integrando [17] en forma indefinida, x= 1 2 1 ∫ − 4 + −v + 8 dv = − 4 v + 2− ln (−v + 8) +C [18] 1 La constante de integración se calcula teniendo en cuenta las condiciones iniciales. Para x = 0, es v = 4 m/s, y sustituyendo en [18], 1 0 = − × 4 + 2 − ln (−4 + 8) +C 1 4 [19] C 1 = 1+ 2 ln 4 = 1+ 2 ln 22 = 1+ 4 ln 2 [20] 1 x = − v − 2 ln (−v + 8)+1+ 4 ln 2 4 [21] De donde, Sustituyendo [20] en [18], se obtiene: que puede expresarse en la forma, 2 22 1 4 −v 4 −v 24 4 −v 4 −v 22 x = − v +1− 2 ln (−v + 8)+ 4 ln 2 = − ln (8 −v)2 + ln 24 = + ln = + ln = + 2 ln 8 −v 4 4 4 4 4 8 −v (8 −v)2 O bien, x= 4 −v 4 4 −v 8 −v + 2 ln = − 2 ln 4 8 −v 4 4 Se puede comprobar fácilmente que se cumplen las condiciones establecidas en el enunciado. [22]