Matemáticas, 2º de ESO Bloque de contenido: Números. Cuadrados

Matemáticas, 2º de E. S. O.
Bloque de contenido: Números. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproxi-
madas.
Alumno/a:
1. Extraer la raíz cuadrada de un número es la operación inversa de elevar al cuadrado otro. Por ejemplo, si
elevamos el número 3 al cuadrado obtenemos 9:
de 9, que nos devuelve al 3:
√
9 = 3.
32 = 9 .
La operación inversa es calcular la raíz cuadrada
Por tanto, para calcular la raíz cuadrada de un número nos tenemos
que preguntar qué otro número multiplicado por sí mismo (elevado al cuadrado) nos da el primero. Así,
(−3)
descubrimos que no sólo el 3 multiplicado por sí mismo da 9, sino que también
(−3) (−3) = 9.
mismo es igual a 9:
siguiente modo:
√
La raíz cuadrada de nueve puede ser
+3
y
−3,
multiplicado por sí
lo que se suele escribir del
9 = ±3.
Completa las frases que siguen al ejemplo que puedes leer a continuación:
La raíz cuadrada de 9,
√
9,
vale
+3
−3,
y
porque
3 · 3 = 32 = 9
y
2
(−3) (−3) = (−3) = 9
La raíz cuadrada de 25, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
La raíz cuadrada de 16, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
La raíz cuadrada de 64, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
La raíz cuadrada de 36, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
La raíz cuadrada de 49, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
La raíz cuadrada de 100, ......, vale ...... y ......, porque .................... y ......................
2. Has podido observar que cuando escribimos la raíz de un número utilizamos una expresión particular. El símbolo de la raíz es
√
. El número cuya raíz calculamos se escribe debajo del símbolo y se denomina radicando.
El índice de la raíz indica el exponente al que hay que elevar otro número para obtener el radicando. Cuando
ese exponente es 3 estamos calculando una raíz cúbica y se escribe
√
4
, cuando es 5, de una raíz quinta,
√
5
√
3
. Cuando es 4, se trata de una raíz cuarta,
, y así sucesivamente. En el caso de las raíces cuadradas el índice es 2,
pero no se escribe, sólo se utiliza el símbolo de la raíz,
√
. Indica cuál sería el índice y el radicando y cómo se
leería cada una de estas raíces:
a ) Ejemplo:
√
3
27
Índice: 3
Radicando: 27
Se leería raíz cúbica de veintisiete.
b)
c)
d)
e)
√
256
√
4
88
√
5
510
√
6
900
3. A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les llama cuadrados perfectos. Obtener un cuadrado perfecto
es fácil, basta con elegir un número y elevarlo al cuadrado. Por ejemplo, si elegimos el número 11:
112 = 121,
podemos decir que 121 es un cuadrado perfecto, puesto que tiene raíz cuadrada exacta.
Calcula cinco cuadrados perfectos eligiendo números entre el 50 y el 75.
Ejemplo: si elegimos el 52, calculamos
522 = 2704,
y decimos que el número 2704 es un cuadrado perfecto.
4. Cuando en el radicando hay una operación entre números podemos proceder de dos maneras. Si se trata
de una suma o una resta, hemos de hacer esta operación y después calcular la raíz cuadrada del resultado.
Si es un producto o una división, podemos hacer lo mismo que antes, pero si los factores son cuadrados
perfectos también puede resultar cómodo calcular sus raíces cuadradas y operar con los resultados. Veámoslo
con ejemplos:
a ) Una suma o una resta:
resultado:
√
9+7=
√
√
9 + 7.
Tenemos que hacer primero la suma y después la raíz cuadrada del
16 = ±4.
b ) Un producto o una división de cuadrados perfectos:
√
9 · 16
Podemos hacer primero la multiplicación del radicando y luego la raíz cuadrada del resultado:
√
144 = ±12.
O calcular primero las raíces cuadradas de los factores y multiplicarlas después:
√
9 · 16 =
√
√
9 · 16 =
9·
√
16 =
(±3) (±4) = ±12.
Como puedes comprobar, el resultado es el mismo.
Calcula las siguientes:
c)
d)
e)
f)
√
32 − 7 =
√
4 · 49 =
q
100
25 =
√
64 + 17 =
5. Una estrategia para calcular rápido una raíz cuadrada exacta puede ser descomponer el radicando en un
producto de cuadrados perfectos. Supongamos que sabemos que la raíz de 196 es exacta y que queremos saber
cuánto vale. Buscamos dos cuadrados perfectos sencillos que multiplicados den 196. Vamos a ver qué factores
primos tiene el número 196 y tratar de construir con ellos dos cuadrados perfectos:
196
2
98
2
49
7
7
7
Si nos jamos bien, en los factores de 196 hay dos cuadrados perfectos:
1
el 49 de
7 · 7.
√
Podemos escribir:
196 =
√
4 · 49 =
√
4·
√
49 = (±2) (±7) = ±14.
Haz lo mismo para calcular estas raíces cuadradas exactas:
a)
b)
c)
d)
√
√
√
√
100 =
900 =
400 =
484 =
4
y
49.
El 4 sale de
2 · 2,
y