función cuadrática - educacionquintanormal

Liceo Polivalente
“Juan Antonio Ríos“
Quinta Normal
Guía de aprendizaje Nº 2
NIVEL : TERCERO MEDIO
Unidad Temática: FUNCION CUADRATICA
Objetivo General: Graficar y analizar las raices de la funcion cuadratica.
Contenidos: Funcion cuadratica
Analisis de las raices de la funcion cuadratica
Subsector: MATEMÁTICA
-
Docente: Gloria Ramirez
Función cuadrática
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es
una función polinómica de grado dos definida como:
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.
Para la representación gráfica en el plano XY hacemos:
esto es:
La curva de la ecuación cuadrática es una parábola vertical, orientada hacia arriba
o hacia abajo según el signo de ( a ) sea positivo o negativo,
respectivamente.Como podemos observar en la figura 1.
Figura 1.
En la función y = x2+x+1
de la figura 1, ( a= 1
positivo, entonce la parábola queda orientada hacia
arriba)
de la figura 1,
En la función y = - x2+4x+5
( a = - 1 , negativo, entonce la parábola queda
orientada hacia abajo )
Forma factorizada
Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:
se puede factorizar como:
siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como
factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1.
x1 y x2 representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante ∆ sea
igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir:
En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
Forma canónica
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio
de la siguiente manera:
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente
principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para
llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente
procedimiento:
Dado:
Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.
Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la
igualdad.
Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.
sustituyendo:
la expresión queda:
Estudio de la función y sus intersecciones con los ejes coordenados X e Y.
(cortes ejes y e x)
]Corte con el eje y
La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el
eje y cuandox vale cero (0):
lo que resulta:
la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la
función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen
Corte con el eje x
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:
tendremos que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte
con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:
donde:
se le llama discriminante, ∆:
según el signo del discriminante podemos distinguir:
Discriminante positivo
∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en
dos puntos: x1 y x2.
Veamos por ejemplo la función:
que cortara el eje x cuando:
que tendrá por solución general:
en este caso:
que resulta:
Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:
y por tanto tiene dos soluciones:
operando:
Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la
figura.
Discriminante nulo(0)
∆ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en
común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la
parábola confluyen.
si la función cuadrática:
que cortara al eje de las x si:
su solución sera:
Operando los valores, tendremos:
la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una
única solución:
El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es
tangencial de la función con el eje, ver figura.
Discriminante negativo
∆ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.
Si tenemos la función siguiente:
que corta el eje x cuando:
para encontrar su solución haremos:
Haciendo las operaciones, tendremos:
Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar
haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte
con el eje x, como se ve en la figura.
Si tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar
las siguientes operaciones:
Continuando con las operaciones:
dando como solución:
Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún
punto, esa misma ecuación estudiada dentro de losnúmeros complejos presenta
dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema fundamental del álgebra.
A la/s intersección/es de la gráfica de la función con el eje x se las llama Ceros o
Raíces de la función
Extremos relativos
Para localizar los extremos relativos, se calcula
.
En la vertical que pasa por este valor de x se encontrará el valor máximo o mínimo
relativo de la función; cuando a sea positivo la parábola tendrá concavidad hacia
arriba, siendo un punto mínimo; si a es negativo la concavidad es hacia abajo por lo
tanto su valor es máximo. Otra manera de hallar el vértice seria utilizando la
formula canónica
En esta fórmula h es la coordenada x del vértice y k es la coordenada y del vértice.
Cuando a< 0,
entonces k es el valor máximo, dado que para hallar f(x) a k hay que sumarle un
número negativo, salvo cuando x=h, en ese caso f(x)=k. Análogamente , si a>0
, k es el valor mínimo y se alcanza cuando x=h
EJERCICIOS : Dadas las siguientes funciones.
1.
2.
y = -2x2+4x-1
y=
5. .
5x2-4x+2
6.
y = - 5x2-4x+2
y=
2x2-4x-16
3.
y = x2-3x
.
7.
y=
-2x2+8x-8
4.
y = -x2+4
.
8.
y=
x2+x+1
a) Grafica las funciones cuadráticas para los valores de ( X = -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5)
b) Determina las intersecciones con los ejes X e Y en cada caso
c) Analisa el discriminante en cada función ,si es positivo, cero o negativo