MATEM´ATICAS ESPECIALES I - Curso 2015 PR´ACTICA 7 1

MATEMÁTICAS ESPECIALES I - Curso 2015
PRÁCTICA 7
1. Determinar cuáles de las siguientes sucesiones convergen.
(a) zn = −2 +
i(−1)n
,n≥1
n2
in
,n≥0
3n
n
(c) zn = n , n ≥ 1
2i
(b) zn =
2. Comprobar la convergencia de la sucesión zn =
1
, n ≥ 1, usando el criterio de Cauchy
(1 + i)n
3. Sea α un número complejo.
(a) Si |α| < 1, cuál es el lı́mite cuando n → ∞ de αn ?
(b) Si |α| > 1, existe el lı́mite cuando n → ∞ de αn ?
(c) Si |α| = 1, existe el lı́mite cuando n → ∞ de αn ? (Sugerencia: escribir α = eiθ , θ ∈ [0, 2π)).
4. Comprobar que la serie dada por 1 + a + a2 + a3 + · · · es absolutamente convergente para |a| < 1.
5. Analizar la convergencia de las siguientes series
(a)
in
n n+1
n≥1
(b)
X
X
n≥1
(c)
X
n≥2
√
n
1
2
+ 21 i
√
n n+1
1
n2 +
1
2
+ 21 i
2
6. Para qué valores de a complejos la serie
an
(n + 1)3
n≥1
X
converge absolutamente y para cuáles
diverge?
7. Considere la sucesión ϕn (z) = 1 − z 2n , n ≥ 1.
(a) Comprobar que converge puntualmente a ϕ(z) = 1 si |z| < 1.
(b) Comprobar que la convergencia es uniforme en el disco |z| ≤ a, ∀a < 1.
(c) Comprobar que ϕ′n (z) converge uniformemente a ϕ′ (z) en el disco |z| ≤ a, ∀a < 1.
8. Considere la serie dada por z(1 − z) + z 2 (1 − z) + z 3 (1 − z) + · · ·
(a) Demostrar que converge puntualmente para |z| < 1 y encontrar su suma.
(b) Probar que converge uniformemente a su suma en |z| ≤ 1/2. Converge uniformemente en
|z| ≤ 1?
1
(c) Comprobar que su suma es discontinua en z = 1.
9. Demostrar que las series
(a)
zn
√
n n+1
n≥1
(b)
X
X
n≥2
n2
1
+ z2
son absoluta y uniformemente convergentes en |z| ≤ 1.
10. Calcular el radio de convergencia de las siguientes series de potencias y estudiar, si corresponde,
el comportamiento en el borde del disco de convergencia.
(a)
X (1 + 2i)n
nn
n≥1
(b)
zn
X (z + 2)n
n≥1
4n (n + 1)3
11. Considere la serie dada por 1 + az + a2 z 2 + a3 z 3 + · · ·
(a) Para qué valores de z converge puntualmente?
(b) Cuál es su suma? Converge uniformemente a su suma?
(c) Esta suma, define una función holomorfa?
12. Dadas las siguientes funciones, hallar su desarrollo en series de potencias positivas alrededor del
punto z0 = 0 y determinar su región de convergencia en cada caso.
(a) f (z) = sinh z
1
,
(b) f (z) =
az + b
(c) f (z) = ze2z
b 6= 0
13. Desarrollar sinh z en series de Taylor alrededor del punto z0 = iπ.
14. Desarrollar cos z en series de Taylor alrededor del punto z0 = π/2.
15. Desarrollar cosh z en series de Taylor alrededor del punto z0 = 0 usando la serie hallada en el
ejercicio 10 (a)
16. Sea f (z) = ln(1 + z) y considere la rama para la cual f (0) = 0.
(a) Encontrar el desarrollo en series de Taylor de f (z) alrededor de z0 = 0.
(b) Determinar la región de convergencia para la serie hallada.
(c) Encontrar el desarrollo en series de Taylor para la función g(z) = ln
z0 = 0.
2
1+z
1−z
alrededor de