IMPLICACIONES CIRCUITOS LÓGICOS ∼ p j → ≡ ↔

La LOGICA es el estudio de las reglas, leyes,
modos y formas de razonamiento, que permiten al
espíritu alcanzar la verdad.
También puede entenderse como la ciencia formal
que estudia la validez de la inferencia.
[(p↔q)∧(q↔r)]→(p↔r)
(6) Dilema Constructivo (D. C.):
{ [ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ] ∧ ( p ∨ r ) }→ ( q ∨ s )
(7) Dilema Destructivo (D. D.):
TIPO
SCHOL
Z
PEANO
RUSSEL
L
Neg
∼
∼
no
•
…y…
Conj
Disy
débil
Disy
∧
SE LEE
EJEMPLO
{[(p → q) ∧ (r → s)] ∧ (∼q ∨ ∼ s)}→ (∼ p ∨ ∼ r)
Juan no es
abogado
∼p
Los peces y
los reptiles
son árboles
p ∧ q
(8) Conjunción (Conj.):
p → ( p ∨ q ) ó q → ( q ∨ p) ó r → ( r ∨ s );
∨
∨
…o…
j
≢
o…o
O vas lunes o
vas martes
pjq
(10) Simplificación (Simp.):
Si entrenas,
ganas
p→ q
O también
Es rectángulo
si y sólo si
es un cuadrado
p ↔q
y así sucesivamente.
si…
Bicon
(9) Adición (AD.):
Estudias o juegas
p ∨ q
fuerte
Cond
p∧q →(p∧q)
→
↔
⊃
≡
entonc
es
…si y
sólo
si…
y así sucesivamente.
(p∧q)→p ó (p∧q)→q
: ( p ∧ q ∧ r ) → p ó ( p ∧ q ∧ r ) → r;
(11) Leyes del Absurdo (L.A.):
a) [ ∼ p → ( q ∧ ∼q )] → p
b) [ p → (q ∧ ∼q )] → ∼p
LEYES TAUTOLÓGICAS
Las tautologías que son proposiciones
CONDICIONALES o BICONDICIONALES, son
proposiciones notables, llamadas
IMPLICACIONES O EQUIVALENCIAS
NOTABLES. Entre las más usuales tenemos:
:
[(p→q)∧p]→q
(2) Modus Tollens (M. T.)
CIRCUITOS LÓGICOS
II.- En paralelo:
IMPLICACIONES
(1) Modus Ponens (M. P.)
c) [ ( ∼p → q ) ∧ ( ∼p → ∼q )] → p
1)
+
A
:
[(p→q)∧∼q]→∼p
2)
+
A
3)
+
(4) Silogismo Hipotético (S. H.):
(5) Transitividad Simétrica (T. S.):
q
5)
B
q
+
A
p
–
q
p
6)
B
+
A
+
–
q
A
p
q
r
–
q
B
p
–
q
B
r
7)
B
+
A
r
4)
p
r
r
A
[(p→q)∧(q→r)→(p→r)
–
r
(3) Silogismo Disyuntivo (S. D.):
[ ( p ∨ q ) ∧ ∼ p ]→ q ó [ ( p ∨ q ) ∧ ∼ q ] → p
p
p
–
q
B
r
–
B
8)
+
A
–
q
B
r
Trabajo hecho por MAM/
DESCRIPCIÓN DE ZONAS SOMBREADAS
Completa la siguiente tabla, para tres interruptores
conectados en paralelo:
p
q
r
cerrado
cerrado
cerrado
cerrado
cerrado
abierto
¿Pasará eléct.
de A a B?
…………
…………
cerrado
abierto
cerrado
…………
…………
cerrado
abierto
abierto
abierto
cerrado
cerrado
…………
abierto
cerrado
abierto
…………
abierto
abierto
cerrado
…………
abierto
abierto
abierto
…………
Usando la simbología anterior podemos describir
figuras sombreadas, así:
S
U
P
S P = Φ (Todo S es P)
U
S
RESPUESTA: Sólo es “no” cuando los tres
interruptores están abiertos, en todos los otros casos
la respuesta es “sí”.
DIAGRAMAS DE CLASES Y
LENGUAJE BOOLEANO
S
P
P S = Φ (Todo S es P)
S
P
U
III.- PARA TRES CONJUNTOS (S, P, R)
CONVENIO
El complemento de un conjunto S lo denotaremos
con S
La intersección de dos conjuntos lo denotamos,
escribiendo seguidas, las letras que simbolizan a
dichos conjuntos.
Así: SP, significa S ∩ P;
SP = Φ (Ningún S es P)
S
P
U
x
S P, significa S ∩ P
PARA DOS CONJUNTOS
P
S
SP ≠ Φ (Algunos S son P)
U
S
SP
SP
SP
P
U
x
S P
S P ≠ Φ (Algunos S no son P)
PARA TRES CONJUNTOS
P
S
S PR
SP R
S PR
U
S
P
U
x
SPR
S PR
SPR
SPR
SP R
R
S P ≠ Φ (Algunos P no son S)
Trabajo hecho por MAM/
CUADRO DE BOECIO
EJEMPLOS
a
CONTRARIAS
SUBALTERNANTE
e
SUBALTERNANTE
CONTRADICTORIAS
SUBALTERNA
SUBALTERNA
i
SUBCONTRARIAS
Primera figura:
PM
Pm
___
C
Toda fruta es vegetal
Toda naranja es fruta
________________
Toda naranja es vegetal
FaV M P
NaF S M
_____ _____
NaV S P
o
Segunda figura:
El cuadro anterior, se llama también cuadro de
oposiciones, y es atribuido al filósofo de la edad
media Boecio
PM
Pm
___
C
Toda ameba es protozoario
AaP
Ningún metazoario es protozoario M e P
__________________________ _____
Ningún metazoario es ameba
MeA
P M
S M
_____
S P
ESQUEMA DE LAS PROPOSICIONES
CATEGÓRICAS
Tercera figura:
FORMA
TÍPICA
SaP
FÓRMULA
BOOLEANA
OPERACIÓN
DE CONJUNTO
SP=
Φ
inclusión total
SeP
SP =
Φ
exclusión total
SiP
SP ≠
Φ
inclusión parcial
SoP
SP ≠
Φ
Todo trapecista es atleta T a A M P
Algún trapecista es cubano T i C M S
__________________________ ______
Algún cubano es atleta
CiAS P
Cuarta figura:
PM Algún hombre es niño
Pm Todo niño es alegre
___ ___________________
C
Algún alegre es hombre
exclusión parcial
CANT CAL FORMA
LÓG
U
A
Todo S
Es P
U
N
Ningún S
Es P
P
A
Algunos S
son P
P
N
Algunos S
no son P
PM
Pm
___
C
HiN
P M
NaA M S
_____ ______
AiH
S P
MODO
A.- PRUEBA DE VALIDEZ O INVALIDEZ DE
LOS SILOGISMOS POR LOS MODOS Y LAS
REGLAS
A
EJEMPLOS
E
I
O
SILOG
ISMO CATEGÓRICO
INFERENCIA CATEGÓRICA
Definición.- El silogismo categórico es una
inferencia mediata constituida por sólo dos
premisas, de las que se obtiene una tercera
proposición categórica llamada conclusión.
(1) P. N. Algunos animales no son carnívoros
M
P
U. A. Todos los mamíferos son animales
S
M
P. N. Algunos mamíferos no son carnívoros
S
P
oao − 1
SILOGISMO INVÁLIDO. INFRINGE LA REGLA Nº 3
(FALACIA DEL MEDIO ILÍCITO)
(2)U. N. Ningún hombre es ladrón
M
P
U. A. Todos los hombres son vertebrados
M
S
U. N. Ningún vertebrado es ladrón
S
P
eae − 3
SILOGISMO INVÁLIDO. INFRINGE LA REGLA Nº 4
(FALACIA DEL MENOR ILÍCITO)
Trabajo hecho por MAM/
14) U. N. Ningún minusválido es feliz
M
P
P. A. Algunos pobres son minusválidos
S
M
P. N. Algunos pobres no son felices
S
P
eio − 1
3º) Transformamos las formas típicas a fórmulas
booleanas
HM =Φ
PH ≠ Φ
________
PM ≠ Φ
a)PM
Pm
∴C
SILOGISMO VÁLIDO (FERIO)
15) P. A. Algunos arquitectos son docentes
M
P
U. A. Todos los arquitectos son creativos
M
S
P. A. ∴Algunos creativos son docentes
S
P
iai − 3
4º) Graficamos la premisas, haciéndolo primero
la proposición categórica universal, cuando una
es particular y la otra universal. Si la particular
se refiera a dos áreas, el aspa se coloca en la
línea común a ambas.
Cada símbolo de la proposición se refiere, por lo
general, a dos zonas, salvo el caso que una de
ellas ya esté diagramada.
SILOGISMO VÁLIDO (DISAMIS)
P. A.
P. N
Ningún inversionista es inseguro
P
M
Algunos inseguros son jóvenes
M
S
∴Algunos jóvenes no son inversionistas
S
P
a)
16) U. N.
Premisa
Mayor
H
P
P
Premisa
menor
eio − 4
1º) Determinamos premisas y conclusión
a) Si todo hombre es mortal, sin embargo algún
político es hombre. En consecuencia, algún político
es mortal.
a) PM
Pm
∴C
Todo hombre es mortal
M
P
Algún político es hombre
S
M
____________________
Algún político es mortal
S
P
M
x
H
SILOGISMO VÁLIDO (FRESISON)
B.-PRUEBA DE VALIDEZ O INVALIDEZ DE
UN SILOGISMO POR EL MÉTODO DE LOS
DIAGRAMAS DE VENN
M
5º) Determinamos si el silogismo es válido o
inválido, considerando: Si la conclusión está
graficada, con toda precisión, en el diagrama de
las premisas, es válido. Si no está representada
en dicho diagrama, el silogismo es inválido.
Así:
a) La conclusión: P i M (PM ≠ Φ )
Está graficada en el diagrama de las premisas
Por lo tanto:
El silogismo categórico
aii − 1 es válido.
2º) Expresamos la premisa y conclusión en su
forma típica
a)
PM
Pm
∴C
HaM
P i H
_____
P i M
Trabajo hecho por MAM/
MÁS EJEMPLOS
FALACIAS
f) Evaluar el siguiente silogismo:
Ningún arequipeño es puneño. Algunos camanejos
son arequipeños. Por lo tanto, algunos camanejos
no son puneños
Una falacia es un razonamiento incorrecto, que,
aparentemente, es correcto. Dicha incorrección sólo
es posible determinar después de un análisis
cuidadoso.
Solución
PM:
Ningún arequipeño es puneño
M
P
Algunos camanejos son arequipeño
S
M
_____________________________
Algunos camanejos no son puneños
S
P
Pm:
C:
S
P
MP = Φ
SM ≠ Φ
________
x
SP ≠Φ
M
Según el diagrama de Venn, el silogismo es válido,
porque la conclusión queda diagramada al graficar
la premisa menor.
g) Evaluar el siguiente silogismo:
Todos los tigres son ágiles. Algunos limeños son
ágiles. Por tanto, algunos limeños son tigres.
Solución
PM:
Todos los tigres son ágiles
P
M
Algunos limeños son ágiles
S
M
_____________________
Pm:
C:
Algunos limeños son tigres
S
P
S
P
x
M
PM =Φ
SM ≠ Φ
________
SP ≠ Φ
II.- FALACIAS DEL SILOGISMO
CATEGÓRICO
a) Falacia del mayor ilícito.
El término mayor aparece distribuido en la
conclusión pero no en la premisa mayor.
Todos los perros son vertebrados
M
P
Ningún loro es perro
S
M
__________________________
∴Ningún loro es vertebrado
S
P
b) Falacia del menor ilícito.
El término menor está distribuido en la conclusión
pero no en la premisa menor.
Todos los políticos son demócratas
M
P
Todos los políticos son malos
M
S
_____________________________
∴Todos los malos son demócratas
S
P
c) Falacia del medio ilícito.
El término medio no está distribuido en ninguna de
las dos premisas.
Algunos deportistas son jóvenes
P
M
Todos los bomberos son jóvenes
S
M
_____________________________
∴Algunos bomberos son deportistas
De acuerdo al diagrama, el silogismo es inválido,
porque el área que corresponde a la conclusión
resulta demasiado restringida con respecto a lo que
establecen las premisas.
(Las premisas establecen que hay elementos en
“SP”).
Trabajo hecho por MAM/