Problemas

Introducción al Espacio de Estados
Problema 1 Encuentra un vector de estados apropiado y determina las ecuaciones de estados y
salidas correspondientes a las siguientes ecuaciones de estado y de salidas donde ai , bi ∈ R son
parámetros dados:
(i) z̈(t) + a1 ż(t) + a0 z(t) = u(t),
y(t) = ż(t).
(ii) y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + · · · + a1 y (1) (t) + a0 y(t) = u(t),
...
(iii) y (t) + a2 ÿ(t) + a1 ẏ(t) = b1 u̇(t) + b0 u(t)
y (i) (t) =
di y
.
dt
Problema 2 Los balances de masa se utilizan en ingenierı́a para realizar modelos compartimentales.
En esencia establecen que la variación de la masa en un compartimento es igual al flujo de masa en= ṁe − ṁs (para más información véase
trante menos el de la saliente por unidad de tiempo; i.e. dm
dt
la Lección 7 de los apuntes de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales en www.ehu.es/izaballa)
Usando un balance de masa, determina un sistema de ecuaciones que modelice la altura de los
depósitos en la figura en cada instante de tiempo suponiendo que el lı́quido que fluye es agua. El
área de cada depósito es ai > 0, el flujo de agua entre los depósitos es proporcional a la diferencia x1 (t) − x2 (t) con una constante 1/R1 y el flujo de salida del segundo depósito es proporcional a x2 (t) con una constante 1/R2 . Especifica los items del correspondiente sistema dinámico
Σ = (T , U, U, X, Y, ψ, η) suponiendo que inicialmente los depósitos están vacı́os, que a partir de ese
instante el agua fluye continuamente y que el caudal de entrada es tal que los depósitos nunca se
llenan ni vacı́an completamente.
Problema 3 .- Para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales ẋ(t) = A(t)x(t) demuestra las
siguientes propiedades de su matriz de transición de estados Φ(t, t0 ):
(i) Para cada t, τ, σ se verifica Φ(t, τ ) = Φ(t, σ)Φ(σ, τ ).
(ii) Para cada t, τ se verifica Φ(t, τ )−1 = Φ(τ, t).
(iii) La matriz de transición de estados del sistema adjunto ż(t) = −A(t)T z(t) es Φ(t0 , t)T .
Rt
(iv) Para cada t, τ se tiene det Φ(t, τ ) = e
τ
tr A(s) ds
.
(Indicación: Para los apartados (i) y (iii) basta usar que Φ(t, t0 ) es la única solución del problema de
condición inicial Ẋ(t) = A(t)X(t), X(t0 ) = In . El apartado (ii) se deduce del (i) fácilmente usando
el concepto de inversa y que Φ(t0 , t0 ) = In . La propiedad del apartado (iv) se conoce con el nombre
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de identidad de Jacobi cuya demostración se puede ver en muchos libros clásicos (y en internet). Se
deb3 comprobar primero que la condición equivale a que det Φ(t, τ ), para τ fijo pero arbitrario, es la
única solución de la ecuación ẋ(t) = (tr A(t))x(t) con la condición inicial x(τ ) = 1. A continuación
se trata de calcular la derivada de det Φ(t, τ ) para τ fijo.
t −1
Problema 4 Considera el sistema ẋ(t) = A(t)x(t) con A(t) =
. Calcula la matriz de
1 t
transición de estados. (Indicación: si x1 , x2 denotan las componentes de x, haz el cambio z = x1 +ix2
para convertir el sistema en una ecuación diferencial lineal de coeficientes complejos.
Resuelve la
0 −1
ecuación y deshaz el cambio. Otra posibilidad es observar que A(t) = tI +
y buscar un
1 0
cambio de variables independiente de t que lleve A(t) a forma diagonal.)
−3t t
Problema 5 Sea A(t) =
. Calcula la matriz de transición de estados del sistema ẋ(t) =
2t −4t
1
A(t)x(t) y la solución de esta sistema con la condición inicial x(0) =
. (Indicación: Observa
2
−3 1
que A(t) =
t).
2 −4
Problema 6 Considera el sistema lineal
ẋ = cos(4t) x + (sen(4t) − 2) y,
ẏ = (sen(4t) + 2) x − cos(4t) y.
Calcula una la matriz de transición d estados con estado inicial en t = 0 y la solución que en t = 0
vale (1, −1). (Indicación: La calve está en observar que los valores propios de A(t) sonconstantes;
es decir, los mismos para todo t).
• Problema 7 Considera el sistema de segundo orden
ẍ(t) + 0.5ẋ(t) + x = au̇(t) + u(t)
y supongamos que en t = 0 el sistema está en reposo.
(a) Prueba que la pendiente de la respuesta al salto unidad en t = 0 es a. ¿ Qué significa que
a < 0?
(b) Muestra que el estado estacionario es independiente de a. ¿ Cuál es su valor?
(c) Muestra que hay puntos de la respuesta al salto unidad cuyos valores son independientes de a.
Es decir, hay valores de t = t1 , t2 , . . . en los que x(tk ) toma el mismo valor cualquiera que sea
a. ¿ Cuál es, cualitativamente, el efecto de a en la solución?
(d) Simula la respuesta del sistema y explora el efecto de a en el tiempo de subida y el overshoot.
(Indicación: Para los apartados (b)-(c) puedes (y conviene) usar MATLAB como ayuda. La simulación del apartado (d) debes hacerla con MATLAB. Para el apartado (c) es muy conveniente trabajar
con las soluciones reales (no complejas), entre otras razones, para que el sistema sea fśicamente realizable).
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Problema 8 Resuelve los apartados (a) y (c) del Ejercicio 5.8 del capı́tulo 5 del libro de K. J.
Astrom y R. M. Murray: Feedback Systems. An introduction for Scientists and Engineers. Los
apartados (b) y (d) pueden resolverse con el material que se presenta en el Capı́tulo 5.
Problema 9 Resuelve el Ejercicio 5.9 del capı́tulo 5 del libro de K. J. Astrom y R. M. Murray:
Feedback Systems. An introduction for Scientists and Engineers. Los parámetros a y b que aparecen
en el ejercicio están explicados en el Ejercicio 2.4 del Capı́tulo 2 del libro.
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