La ecuación de la circunferencia

UNIDAD 3.
La Circunferencia.
La ecuación de la circunferencia
Juan Adolfo Álvarez Martínez
Autor
LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia podemos decir de manera informal que es el conjunto de
puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un
punto dado llamado centro.
Y como definición formal de geometría analítica podemos decir que es:
El lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia (conocida como
radio) a un punto fijo llamado centro es constante.
Cabe aclarar que El centro no es un punto de la circunferencia.
La siguiente figura trazada con el apoyo del software Geogebra en un plano
cartesiano muestra de manera precisa la definición.
En esta Figura el centro se ubica en el origen del sistema de coordenadas y el
radio es igual a 2 unidades.
Se enfatiza el hecho de que es importante tener el programa Geogebra en tu
computadora, el cual puedes descargar de la sección de recursos para poder
realizar la comprobación de las graficas.
Continuando con la explicación del tema, como ya sabes una forma de dibujar
la circunferencia es por medio de un compás, y para lo cual el centro nos
permite ubicar la posición a partir de donde se traza la circunferencia y el radio
la extensión de dicha figura. Por ello la definición dada inicialmente cumple con
esta condición.
La circunferencia en conjunto con otras figuras que son la elipse, la parábola y
la hipérbola pertenecen a un conjunto llamado cónicas el cual se estudia en
geometría analítica desde hace muchos siglos.
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Pergamo,
las Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar
un cono cualquiera por diversos planos.
La siguiente figura muestra el corte del cono y su obtención de la
circunferencia.
Anteriormente a este trabajo realizado por Apolonio ya existían estudios
elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a
las generatrices de un cono obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas
según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso,
respectivamente.
Sin embargo, si bien no se disponía de la geometría analítica como hoy la
conocemos, Apolonio hizo un tratamiento detallado de las mismas.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta
que Fermat y Descartes, inventores de la geometría analítica fundamentaron
con precisión su estudio.
Veamos algunos ejemplos de circunferencias con sus respectivas ecuaciones.
Hay que poner especial atención en identificar dos aspectos que son:


La posición del centro de la circunferencia, así como su radio.
La ecuación que le corresponde.
Grafica 1:
Ahora en la segunda grafica localiza las coordenadas del centro y
determina la medida del radio únicamente por medio de la observación.
Grafica 2:
Si haces una comparación de las graficas, te darás cuenta de que al cambiar
la posición del centro de la circunferencia se modifica la ecuación, por lo tanto
es importante conocer los datos tanto de las coordenadas del centro como del
radio ya que de eso depende la ecuación y por supuesto la grafica en el plano
cartesiano.
En particular, esta segunda circunferencia tiene por coordenadas del centro al
punto (1,2) y su radio mide 3 unidades. Los cuales son números que se ven
incluidos en la ecuación.
A manera de anotación, vamos a definir entonces la ecuación que corresponde
a cada tipo de grafica iniciando con:
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN.
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones con su respectiva grafica.
Ejemplo 1.
Representar gráficamente la circunferencia que tiene como ecuación:
x2+y2 - 4= 0
En primer lugar lo que se debe hacer es escribir la expresión en forma de la
ecuación ordinaria, es decir de la forma: x2+y2 =r2, de manera que podamos
identificar el valor del radio, y como ya se mencionó anteriormente, este tipo de
ecuación es la que tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas.
Luego escribimos el 4 del otro lado de la ecuación quedando:
x2+y2 =4
contrario.
….recordando que si estaba con signo negativo pasa con signo
Además para determinar el valor del radio, tenemos que al comparar con:
x2+y2 =r2 es claro que r2= 4, por lo que r=2, es decir corresponde a la raíz
cuadrada.
Por tanto el valor del radio r=2, y las coordenadas del centro son (0,0)
resultando entonces la grafica como sigue.
Ejemplo 2.
Representar la circunferencia que tiene como ecuación:
x2+y2 = 32
En este caso ya tenemos la expresión en la forma ordinaria, es decir como
x2+y2 =r2, de manera que así podemos identificar el valor del radio.
Luego como se ha dicho, este tipo de ecuación es la que tiene su centro en el
origen del sistema de coordenadas, por tanto como el 3 está elevado al
cuadrado significa que r=3 quedando la ecuación desarrollada como:
x2+y2 = 9 o bien podemos escribirla como x2+y2 -9=0
y procedemos a representar la grafica de la circunferencia con centro en (0,0)
quedando entonces:
Además para determinar el valor del radio, tenemos que al comparar con:
x2+y2 =r2 es claro que r2= 9, por lo que r=3, es decir corresponde a la raíz
cuadrada.
Es importante recordar los conceptos básicos de lo que significa elevar un
número al cuadrado, que en estos dos primeros ejemplos han sido: 22= 4 y 32=
9.
Ahora pasemos al caso contrario donde vamos a dar la grafica de una
circunferencia y se trata de obtener la ecuación ordinaria.
Ejemplo 3
Con la siguiente grafica mostrada, obtener la ecuación de la circunferencia.
Al poner atención a los puntos por donde pasa la circunferencia, se observa
que el radio es de r= 1 unidad. Así entonces usamos la expresión:
x2+y2 =r2 , de manera que si el radio r=1 entonces al cuadrado: r 2= 1y nos
queda:
x2+y2 =1 que podemos escribir también como:
x2+y2 -1 = 0
Antes de pasar a la siguiente sección hay que decir algo muy importante
respecto al radio, lo que se refiere a que el valor no puede ser en ningún
caso un número negativo.
Esta situación la podemos observar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.
Representaren el plano cartesiano la grafica de la ecuación x2+y2 +16=0
En este caso, también vamos a reescribir la ecuación en forma ordinaria,
pasando el término independiente al otro lado de la ecuación recordando que
es con signo contrario, quedando:
x2+y2 = -16 , luego puede verse que el radio al cuadrado en este caso es r 2= 16 es un numero negativo y como no se puede obtener una raíz cuadrada
negativa, la ecuación NO ES UNACIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON
CENTRO FUERA DEL ORIGEN.
Si hacemos una comparación de las dos ecuaciones; la que tiene su centro en
el origen:
x2+y2 =r2
….ecuación 1
y la de centro fuera del origen (x-h)2+(y-k)2=r2
…. Ecuación 2
Se puede ver que las coordenadas (h,k) para el primer caso son (0,0) por lo
tanto si sustituimos en la ecuación 2 estos valores queda:
(x-0)2+(y-0)2=r2
que simplificando queda
x2+y2=r2
Resultando entonces la primera ecuación, es decir aquella que tiene su centro
en el origen.
Por lo tanto podemos decir que la ecuación de la circunferencia con centro en
el origen es un caso particular donde las coordenadas del centro están
localizadas en:
(h=0,k=0)
Ahora bien, pasemos a estudiar algunos ejemplos sobre la ECUACION DE LA
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.
Es importante recordar que en este tema se debe hacer un manejo correcto de
los productos notables de la asignatura de algebra. Específicamente se va a usar
el concepto de cuadrado de un binomio.
Ejemplo 1.
Obtener la ecuación general y la grafica de la circunferencia de la
circunferencia cuyo centro es el punto (1, 3) y su radio es 2 unidades.
Para dar respuesta a lo que se solicita primero escribimos la formula que es:
(x-h)2+ (y-k)2=r 2 y sustituimos los datos, con lo cual se obtiene:
(x-1)2+ (y-3)2=2 2 Aclaramos antes de continuar que el centro se encuentra en
el primer cuadrante, así como también que h=1; k=3, luego tenemos que
desarrollar cada binomio obteniendo:
(X2-2x+1)+ (y2-6y+9)=4 considerando que cada binomio resulta de:
-
Cuadrado del primer término, luego con el Signo del binomio
El segundo termino resulta de multiplicar los dos términos y duplicando
la cantidad.
Finalmente el tercer término se obtiene elevando al cuadrado el segundo
término del binomio. Es decir de (x-1)2 resulta:
X al cuadrado: x2, y el signo es menos –
El segundo termino es: (x) por (1) y duplicamos quedando 2x;
Finalmente el segundo término del binomio al cuadrado es: 1 2 = 1, con lo
que conjuntando todo tenemos: x2-2x+1.
El mismo procedimiento aplicamos para el siguiente binomio (y-3)2 del
que se obtiene y2-6y+9 resultado de:
“y” al cuadrado= y2 luego el signo también es negativo
Seguimos con (y) por (3)= 3y que duplicando queda: 6y
Finalmente el 3 al cuadrado es: 9, que como ya se ha mencionado es
efectivamente lo que teníamos escrito.
Prosiguiendo con nuestro procedimiento una vez explicado el desarrollo
de cada binomio tenemos que ordenar los términos en forma de lo que
se conoce como ecuación general de segundo grado con dos variables,
de la forma:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 que significa que escribimos primero los términos
de segundo grado, luego los de primero y finalmente reducimos los
semejantes.
Procedemos de esta forma entonces con la ecuación
(x2-2x+1)+ (y2-6y+9)=4 , ordenamos:
x2+ y2-2x-6y+1+9-4=0, ahora reducimos los términos independientes:
Ahora la grafica de la circunferencia la obtenemos usando el programa
Geogebra con los datos del centro y el radio que como ya sabemos son: c(h,k)
= (1, 3) y su radio es 2 unidades, quedando:
Ejemplo 2.
Obtener la ecuación general y la grafica de la circunferencia de la
circunferencia cuyo centro es el punto (-3, 2) y su radio es 1 unidad.
Como en el caso anterior, para dar respuesta a lo que se solicita primero
escribimos la formula que es:
(x-h)2+ (y-k)2=r 2 y sustituimos los datos, con lo cual se obtiene:
(x- (-3))2+ (y-2)2=12 Aclaramos antes de continuar que el centro se encuentra
en el segundo cuadrante, así como también que h=-3; k=2, luego tenemos que
desarrollar cada binomio obteniendo:
(x2+6x+9)+ (y2-4y+4)=1 considerando que cada binomio resulta de:
-
Cuadrado del primer término, luego con el Signo del binomio
El segundo termino resulta de multiplicar los dos términos y duplicando
la cantidad.
Finalmente el tercer término se obtiene elevando al cuadrado el segundo
término del binomio.
Es importante mencionar que en el primer binomio se aplica la ley de los signos
respecto a la multiplicación ya que el valor de h= -3, por lo tanto al sustituir en
la formula queda un singo positivo; Es decir x2+6x+9
Luego Prosiguiendo con nuestro procedimiento una vez explicado esto
tenemos que ordenar los términos en forma de lo que se conoce como ya
hemos dicho ecuación general de segundo grado con dos variables:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
Por lo que escribimos primero los términos de segundo grado, luego los
de primero y finalmente reducimos los semejantes.
Procedemos de esta forma entonces con la ecuación
(x2+6x+9)+ (y2-4y+4)=1 … ordenamos:
x2+ y2 +6x-4y +9+4-1 =0, luego reducimos
Y la grafica de la circunferencia la obtenemos con los datos del centro y el radio
que ya teníamos conocidos desde el inicio, que son: c(h,k) = (-3,2) y su radio
es 1 unidad quedando:
Ahora analizaremos algunos ejemplos de circunferencias donde se trata de
obtener su respectiva ecuación pero proporcionando solamente la grafica u
otros datos como lo es el diámetro. De esta información se procede a obtener
los datos de las coordenadas del centro y el radio.
Ejemplo 3
Dada la grafica de la circunferencia, obtener las coordenadas del centro, el
radio, así como la ecuación ordinaria y general.
Procedemos en primer lugar a localizar el centro de la circunferencia, que como
se observa se ubica en el punto A(4,-2), es decir en el 40 cuadrante con h= 4,
k=-2, y el radio identificamos que es de 3 unidades, por lo que al usar la
formula tenemos:
(x-h)2+ (y-k)2=r 2 y sustituimos los datos, con lo cual resulta:
(x-4)2+ (y-(-2))2=3 2
ecuación ordinaria.
Que para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios
obteniéndose:
(x2-8x+16)+ (y2+4y+4)=9… y ordenamos:
x2+ y2 -8x+4y +16+4-9 =0, luego reducimos:
Ejemplo 4
Obtener la grafica y ecuación general de la circunferencia que tiene como uno
de sus diámetros la recta que une los puntos extremos cuyas coordenadas
son: (-1,1) y (3,1).
Como primer paso vamos a localizar en el plano cartesiano estos puntos para
poder identificar la posición de la circunferencia y obtener el radio y el centro.
El siguiente plano nos muestra los puntos dados y contiene
diámetro cuya longitud se puede observar es 4 unidades.
el trazo del
Luego como es sabido que el radio equivale a la mitad del diámetro entonces
éste mide 2 unidades.
Por la misma razón por la que sabemos el valor del radio, de manera
inmediata si se pone atención a las coordenadas del centro se puede
comprobar que es el punto (1,1)
Con esta información procedemos a aplicar el procedimiento conocido donde
primero tenemos: (h,k)= (1,1) y r=2
De manera que la ecuación resulta ser aplicando la formula:
(x-h)2+ (y-k)2=r 2 y sustituimos los datos;
(x-1)2+ (y-1)2=2 2
ecuación ordinaria.
Que para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios
obteniéndose:
(x2-2x+1)+ (y2-2y+1)=4… luego ordenamos:
x2+ y2 -2x-2y +1+1-4 =0, y reducimos logrando quedar como:
La grafica de la circunferencia es entonces la mostrada a continuación.
USOS DE LA CIRCUNFERENCIA EN DIFERENTES
AREAS DEL CONOCIMIENTO.
a) Una de las aplicaciones de la circunferencia es la detección de los
fenómenos sísmicos que ocurren y así identificar el epicentro como se
puede mostrar en las siguientes figuras.
b) Otra de los usos importantes es en el funcionamiento de los sonares los
cuales son sistemas de detección de objetos marinos los cuales abarcan
grandes distancias en kilómetros a la redonda a partir del punto donde
se emite una señal, así como lo muestra la siguiente imagen.