Distancia entre dos números complejos

Universidad Nacional de Quilmes
Álgebra y Geometría Analítica-2013
Distancia entre dos números complejos
La distancia entre dos números complejos z = x1 + 𝕚 ∗ y1 y w = x2 + 𝕚 ∗ y2 se calcula como:
𝑑 𝑧, 𝑤 =
𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
Ecuación 1
Por otro lado, si calculamos el módulo de la diferencia entre z y w tenemos la siguiente expresión:
𝑧 − 𝑤 = (𝑥1 − 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2 ) =
𝑥1 − 𝑥2
2
+ 𝑦1 − 𝑦2
2
Ecuación 2
Como podemos ver, la ecuación 1 representa lo mismo que |z-w|, por lo tanto, tenemos una
nueva forma de expresar la distancia entre dos un número complejo z y otro w.
𝒅 𝒛, 𝒘 = 𝒛 − 𝒘
Ecuación 3
Por ejemplo si quisiéramos hallar todos los complejos z=x+i*y tales que su distancia hasta otro
complejo w=2+i*3 sea 4, podríamos utilizar la ecuación 1 como sigue: 4 =
2−𝑥
2
+ 3 − 𝑦 2.
Pero como estamos hablando de números complejos, conviene utilizar la ecuación 3, ya que solo
se utilizan los números complejos z y w. De esta forma queda:
4 = 𝑧 − (2 + i ∗ 3)
Ahora bien, ¿qué representa esta ecuación y cómo podemos plasmarla sobre el plano complejo?
Si expresamos desarrollamos queda: 4 =
𝑥−2
→ 42 = 𝑥 − 2
2
2
+ 3−𝑦
+ 3−𝑦
2
2
𝐿𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 4 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑤
Representación gráfica: los z que están a una
distancia 4 de w son los que están sobre la
circunferencia de radio 4, centrada en w.
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Distancia entre dos números complejos- Regiones del plano
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¿De qué forma podríamos expresar a todos los z tales que la distancia hasta otro complejo w sea
menor que 4?
De la misma manera que utilizamos la ecuación 3 (donde la distancia debe ser igual a 4), podemos
expresar a los complejos z que están a una distancia (de w= 2 + i ∗ 3 ) menor que 4 de este modo:
𝑧−𝑤 <4
¿Qué representa esta inecuación?
Si reemplazamos 𝑧 − 2 + i ∗ 3
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑥−2
𝑝𝑜𝑟
2
+ 3−𝑦
𝑥−2
2
2
+ 3−𝑦
<4 → 𝑥−2
Lo que representa el interior de la circunferencia 𝑥 − 2
2
2
2
+ 3−𝑦
+ 3−𝑦
2
2
< 16
= 16
Gráficamente:
La circunferencia se marca con línea punteada, sombreando el interior de dicha circunferencia.
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