y,...,``y,`y,y,xf e3ycos senx )`y(x y = + +

ECUACIONES DIFERENCIALES.
Existen dos tipos de ecuaciones diferenciales:
- Ecuaciones diferenciales ordinarias: Dependen únicamente de una
variable independiente.
- Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: dependen de dos o
más variables independientes.
Una ecuación diferencial ordinaria implica una relación entre una variable
independiente x, una función y(x), y sus derivadas primera y’(x), segunda
y’’(x), ... n-ésima y(n)(x):
(
)
f x , y , y' , y' ' ,..., y ( n ) = 0
donde f es algún tipo de relación funcional.
y ( iv ) + x( y' )2 + senx cos y = 3e x
Ejemplo:
Resolver una ecuación diferencial consiste en hallar la forma matemática
de la función y.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más
alta que interviene en ella. La ecuación anterior es de cuarto orden.
Una ecuación diferencial lineal tiene la forma:
f n ( x ) y ( n ) + f n −1 ( x ) y ( n −1 ) + ... + f 0 ( x ) y = g ( x )
donde las f y g son distintas funciones de x. Una ecuación diferencial que
no tiene esta forma se llama no lineal.
Si en la ecuación anterior g(x)=0, la ecuación es una ecuación diferencial
lineal homogénea. Si g(x)≠0 es no homogénea.
La ecuación de Shrödinger monodimensional es una ecuación diferencial
de segundo orden lineal y homogénea del tipo:
f 2 ( x ) y' ' + f 1 ( x ) y' + f 0 ( x ) y = 0
Dividiendo por f2(x):
y' ' + P( x ) y' +Q( x ) y = 0
Supongamos que tenemos dos soluciones independientes (que una no es
simplemente múltiplo de la otra) y1 e y2 que satisfacen la ecuación
diferencial. Entonces hay una solución más general que también satisface la
ecuación:
y = c1 y1 + c2 y 2
Sustituyéndola:
c1 y1' ' + c2 y'2' + P( x )c1 y1' + P( x )c2 y'2 + Q( x )c1 y1 + Q( x )c2 y 2
(
) (
= c1 y1' ' + P( x ) y1' + Q( x ) y1 + c2 y'2' + P( x ) y'2 + Q( x ) y 2
= c1 ·0 + c2 ·0 = 0
)
La solución general y de una ecuación diferencial de orden n tiene n
constantes arbitrarias. Para fijar esas constantes haremos uso de las
condiciones límite o condiciones de contorno, que son valores de las
variables independientes para los que se conoce el valor de y o de algunas
de sus derivadas. Por ejemplo, si y representa el desplazamiento de una
cuerda que vibra sujeta por los extremos, sabemos que en los dos extremos
y debe ser 0.
Un caso especial es la ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden de coeficientes constantes:
y' ' + py' + qy = 0
donde p y q son dos valores constantes. Para resolver esta ecuación
debemos hallar una función cuyas derivadas, multiplicadas por constantes,
anulen la función original. Este tipo de funciones son de la forma y=esx.
Sustituyendo:
s 2 e sx + pse sx + qe sx = 0
s 2 + ps + q = 0
Esta ecuación se llama ecuación auxiliar que es una ecuación cuadrática
con dos raíces s1 y s2, que si son distintas dan dos soluciones
independientes para la ecuación diferencial:
− p + p 2 − 4q
s1 =
2
y1 = e s 1 x
− p − p 2 − 4q
s2 =
2
y2 = e s2 x
La solución general:
y = c1e s1 x + c2 e s 2 x
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.
The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.