el grafo de visibilidad

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Un mapeo entre series temporales y redes comlejas: el grafo de visibilidad
Lucas Lacasa∗ , Bartolo Luque, Fernando Ballesteros, Jordi Luque y Juan Carlos Nuño
Departamento de Matemática Aplicada
ETSI Aeronáuticos, Universidad Politécnica de Madrid
Figura 1. Ejemplo del algoritmo de visibilidad, por el cual
una serie se transforma en un grafo. Cada dato de la serie
se asocia con un nodo, y dos nodos se conectan mediante un
link si en la serie, esos datos se pueden ’ver’, es decir si existe
una linea recta que los una tal que esa recta no corte a ningun
dato intermedio.
40
20
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
8
α = 2.0
-20
7
6
D
P(k)
B(t)
5
4
-40
0
1000
t
2000
3000
4000
10
-1
10
-2
10
1
k
10
2
10
3
2000
500000
1E+06
N
120
100
3000
a(n) - n/2
En esta contribución presentamos una nueva herramienta de análisis de series temporales. Se trata de una
familia de algoritmos que convierten de forma unı́voca
una serie temporal en un grafo o red. Por construcción, la red extraı́da por estos métodos hereda o captura
propiedades estructurales de la serie de partida. Ası́, por
ejemplo, si la serie temporal es periódica, el grafo asociado es regular; si la serie es aleatoria, la red asociada
presenta una distribución de conectividades exponencial;
o si la serie es fractal, la red correspondiente es libre de escala. Medidas sobre del grafo asociado, como la distribución de conectividades, la distancia media entre nodos y
su scaling con el número de nodos/datos, el clustering,
las correlaciones de grado-grado o el espectro de su matriz de adyaciencia, algunas desarrolladas recientemente
en la teorı́a de redes complejas, permiten caracterizar de
forma no trivial la serie temporal. Pretendemos implementar estos métodos como una nueva herramienta de
análisis series temporales y aplicarlos a la mayor variedad de ejemplos artificiales y naturales posibles. Pensamos que su eficiencia computacional puede ser superior
en ciertos casos a otros métodos clásicos, y que existen
diversas aplicaciones del algoritmo entre los que se encuentran: (i) una nueva herramienta para la estimación
de exponentes de Hurst en series fractales y (ii) un localizador espacial de bifurcaciones inversas en sistemas
dinámicos caóticos.
α = 1.2
80
60
40
10-3
D
P(k)
10-4
20
1000
10-5
0
0
N
50000
100000
10-6
10
1
k
10
2
10
3
10
3
10
4
N
10
Figura 2. Dos series temporales fractales (movimiento
browniano (arriba), y serie de Conway (abajo), y asociado
a su respectivo grafo de visibilidad, distribuciones de conectividad (libres de escala en ambos casos) y camino medio de la
red (el movimiento browniano evidencia effecto Small-World
mientras que la serie de Conway tiene un grafo fractal).
∗
1
FisEs08 27–29 de Marzo de 2008, Salamanca
[email protected]
L Lacasa, B Luque, F Ballesteros, J Luque & JC Nuño, in
revision.
Pruebas de la contribución
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