1. (a) Suponga que G es un grafo 1000 vértices y 3000 aristas. ¿Es G planar?
Definición: Un grafo es planar si se puede dibujar en una hoja de papel de manera que no se crucen
las aristas.
Teorema: Si G es un grafo plano con 𝑛 ≥ 3 vértices, entonces 𝑎 ≤ 3𝑛 – 6
En este caso:
𝑛 = 1000; 𝑛 ≥ 3 𝑦 𝑎 = 3000
Reemplazando:
3000 ≤ 3 ∗ 1000 − 6
3000 ≤ 3000 − 6
3000 ≤ 2994
Como se llega a una contradicción, entonces se concluye que el grafo no es G planar por el teorema.
(b) Encuentre, si existe, un grafo G con la sucesión de grados (4,4,3,3,3,3) tal que
i. G sea planar.
Es planar porque ninguna de sus aristas se cruza.
ii. G no sea planar.
Es no planar porque tiene dos aristas que se cruzan.
(c) Demuestre que un grafo con a lo más tres ciclos es planar.
Pues siempre se pueden formar tres ciclos que no sean isomorfos a 𝑘3,3 o 𝑘5 y unirlos de tal forma
que no se corten las aristas de los ciclos:
2. Para cada uno de los siguientes grafos encuentre en número cromático. Justifique sus respuestas.
(a)
Es bipartido por lo
que su número
cromático es 2:
𝜒(𝐺) = 2
(b)
Tiene dos ciclos pares,
por lo que también es
bipartito y por ende su
número cromático es 2:
𝜒(𝐺) = 2
(c)
Este no es un grafo
completo por lo que
por el teorema de
Brooks
𝜒(𝐺) ≤ 4
Como el grafo contiene
triangulo o 𝑘3 ,
entonces se tiene que:
𝜒(𝐺) ≥ 𝜒(𝑘3 ) ≥ 3
(d)
Este es un grafo
completo por lo que
por el teorema de
Brooks
𝜒(𝐺) > 4
Utilizando el
algoritmo voraz se
llega a que la cota
superior es 5:
Utilizando el algoritmo
voraz se llega a que la
cota superior es 3:
𝜒(𝐺) ≤ 5
𝜒(𝐺) ≤ 3
Por lo que se concluye
que el número
cromático es:
𝜒(𝐺) = 3
Por lo que se
concluye que el
número cromático
es:
𝜒(𝐺) = 5
3. ¿Existe un poliedro convexo cuyas caras sean tres triángulos y seis pentágonos? ¿Y tres triángulos,
seis pentágonos y cinco heptágonos? Explique.
Las aristas están compartidas si se forma un poliedro, por lo que se tendría (3 ∗ 3 + 6 ∗ 5)/2 aristas.
𝑎 = (3 ∗ 3 + 6 ∗ 5)/2
𝑎 = (9 + 30)/2
𝑎 = 39/2
𝑎 = 29.5
Como la cantidad de aristas posibles no es entera, entonces se deduce que no se puede formar el
poliedro.
Para los 3 triángulos, los 6 pentágonos y los 5 heptágonos:
𝑎 = (3 ∗ 3 + 6 ∗ 5 + 5 ∗ 7)/2
𝑎 = (9 + 30 + 35)/2
𝑎 = 74/2
𝑎 = 36
Con esto se tiene que es posible que se pueda formar el poliedro.
Se debe cumplir:
𝑐+𝑣−𝑎 =2
Con 𝑐 = 3 + 6 + 5 = 14
𝑐+𝑣−𝑎 =2
𝑣 = 2+𝑎−𝑐
𝑣 = 2 + 36 − 14
𝑣 = 24
Pero para que sea un grafo se debe cumplir que:
𝑎 = 2𝑣
Pero tenemos que:
36 ≠ 2 ∗ 24
36 ≠ 48
Tampoco se puede formar un poliedro con estas figuras.
4. Explique detalladamente porque cada uno de los siguientes grafos no son planares.
Se ha resaltado cuatro vértices a los que se le llamaron a, b, c y d. la arista {a, d} se cruza con la arista
{c, d}.
También se tiene que se puede encontrar un subgrafo 𝐾5 formado por el camino <a, e, g, f, b, a>
En este es más fácil ver el subgrafo 𝐾5 formado por el camino <a, b, c, d, e, a>, y
5. En un colegio se está preparando el horario de clases para un curso donde se ofrecerán 7
asignaturas: A, B, C, D, E, F y G. Cada asignatura se dicta en una hora de clase. Un estudiante no
puede tomar dos materias cuyas clases se dicten simultáneamente. El coordinador del curso elabora
la siguiente tabla donde ha marcado con una x si hay al menos un alumno que toma las dos materias
que corresponden al cruce de filas y columnas correspondientes a las materias indicadas.
¿Cuál es el mínimo de horas en que se pueden ofrecer las clases?
Primero construimos el grafo correspondiente:
Ahora se halla el número cromático.
Organizando el grafo se tiene que:
Este no es un grafo completo por lo que por el teorema de Brooks
𝜒(𝐺) ≤ 4
Como el grafo contiene triangulo o 𝑘3 , entonces se tiene que:
𝜒(𝐺) ≥ 𝜒(𝑘3 ) ≥ 3
Utilizando el algoritmo voraz se llega a que la cota superior es 3:
𝜒(𝐺) ≤ 4
Por lo que se concluye que el número cromático es:
𝜒(𝐺) = 4
Respuesta: las clases se pueden ofrecer mínimo de 4 horas.
