Actividad Didáctica 15 Coloreado de grafos y número cromático

Actividad Didáctica 15
Coloreado de grafos y número cromático
Introducción
Un coloreado propio de un grafo G ocurre cuando se asignan colores a los vértices de G de modo
que si vi y vj son adyacentes, entonces vi y vj tengan colores distintos asignados. El número
mínimo de colores necesarios para un coloreado propio de un grafo es lo que se conoce como
número cromático del grafo.
Por ejemplo, en el siguiente grafo de observa que el número cromático es 4 (rojo, azul,
verde y amarillo), pues la mínima cantidad de colores para la coloreado.
Una forma fácil de determinar el número cromático de un grafo simple es analizando los
Autovalores asociados a su matriz de adyacencia. Un grafo es simple si a lo sumo sólo una arista
une dos vértices cualesquiera. Es decir, un grafo sin ciclos ni aristas paralelas.
La matriz de adyacencia depende de la ordenación de los vértices. No obstante, siempre
será una matriz simétrica con diagonal principal nula.
El procedimiento para calcular los Autovalores o Eigenvalores es relativamente sencillo
pero se debe mantener el orden y evitar confusiones. Dicho procedimiento es el siguiente:
Se crea el polinomio característico que es de la siguiente forma:
p( ) = determinante (A
I)
Esto se hace armando la matriz A restando
en cada uno de los componentes de la
diagonal. Debes tener en cuenta que I es la matriz identidad, es decir la matriz que tiene todos 1 en
la diagonal y todos 0 en las otras posiciones de la matriz.
Se encuentran las raíces
igualando el polinomio característico a cero. De esta forma se
encuentran todos los Autovalores para esta matriz.
Ejemplo: El grafo
y como
tiene como matriz de adyacencia
entonces
=
Del determinante se obtiene el polinomios característico
y
= (
)(
) = 0, entonces
, son los Autovalores.
Como la matriz de adyacencia es simétrica, los Autovalores asociados a la misma son
siempre números reales. Por lo tanto, éstos pueden ser ordenados de menor a mayor. Además el
grafo debe ser conexo.
Sea
el autovalor más grande y
el autovalor más pequeño. Si x es el número cromático
de un grafo simple, entonces se cumple:
En el caso del ejemplo
por lo tanto el número cromático es 2
Actividad:
con
Wiris
y
. Aplicando la desigualdad se tiene que
.
(http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/index.html),
Scilab
(http://www.scilab.org/), Maxima, Octave (http://www.gnu.org/software/octave/),
determinar el número cromático del siguiente grafo; mostrando los cálculos
efectuados. Además con Windisc (math.exeter.edu/rparris/windisc.html) comprobar
que dicho número es correcto, dibujando el grafo coloreado correspondiente.
Número
cromático
Grafo
A
G
F
E
D
B
C
Cálculos efectuados
Representación gráfica
del grafo coloreado