Propuesta de Trabajo Fin de Grado en Matemáticas Tutor/a: José

Propuesta de Trabajo Fin de Grado en Matemáticas
Tutor/a: José Luis López Fernández
Departamento: Matemática Aplicada
Área de conocimiento: Matemática Aplicada
Cotutor/a:
Departamento:
Área de conocimiento:
(Rellenar sólo en caso de que la propuesta esté realizada a través de un alumno/a)
Alumno/a que propone el trabajo: Pilar Muñoz González
Título del trabajo: Modelado y animación: de la representación por B-splines al método de
subdivisión de superficies
Descripción, resumen de contenidos y actividades a desarrollar:
Con este trabajo se pretende ahondar en algunos mecanismos numéricos (propios típicamente de la
Teoría de Aproximación) que vienen demostrando ser altamente eficaces en lo concerniente al Diseño Asistido por Ordenador y, más concretamente, a la construcción de imágenes animadas. En la
actualidad, los algoritmos de subdivisión en que se basan estos métodos han servido para traer a la
luz auténticos prodigios visuales, como es el caso de Bichos (A bug's life, John Lasseter y Andrew
Stanton, 1988) o Toy Story 2 (John Lasseter, Ash Brannon y Lee Unkrich, 1999). De hecho, están
en la base de las herramientas informáticas comerciales más frecuentadas en los ámbitos del diseño y la modelización así como en el corazón de la tecnología de los videojuegos.
El objetivo principal del trabajo radica en comprender y analizar la idea común a esta
metodología, consistente grosso modo en el suavizado progresivo de las superficies a tratar
mediante la intro- ducción de mallas poliédricas que se van refinando sucesivamente (conviene
hacer notar que, para pasar de una malla a la siguiente, los vértices son desplazados conforme a un
conjunto de reglas que producen vértices nuevos) para que los perfiles así generados se parezcan
cada vez más a la imagen que desea construirse. Una de las grandes ventajas matemáticas de estos
algoritmos estriba en que la superficie última obtenida mediante este proceso es topológicamente
equivalente a la primera malla considerada (esto es, la menos fina). Los métodos de subdivisión de
superficies han reemplazado exitosamente en la actualidad a un método más primitivo conocido
como NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), que había sido empleado por vez primera en
Toy Story (John Lasseter, 1995). Ambos métodos convivieron, curiosamente, durante la producción de Toy Story 2, para la que se emplearon NURBS en relación con los personajes que procedían de la aventura anterior y subdivisión de superficies para los nuevos.
Materias del grado relacionadas con el trabajo: Métodos Numéricos I, Topología I, Topología II
Nivel de dificultad estimado (bajo, medio, alto o gradual según objetivos): gradual según
objetivos
Objetivos planteados
(añadir cuando se considere oportuno una estimación del nivel de dificultad)
Objetivo
Nivel de dificultad
Revisión de algunos conceptos básicos en teoría de aproximación:
curvas de Bézier y B-splines
Bajo
Algoritmos de subdivisión. Extensión eficiente de los algoritmos
unidimensionales de subdivisión al caso de superficies: el método
de Catmull-Clark
Alto
Bibliografía:
1- Dana Mackenzie (con la colaboración de los especialistas Ingrid Daubechies, Daniel Kleppner,
Stéphane Mallat, Yves Meyer, Mary Beth Ruskai y Guido Weiss), Wavelets: Seeing the forest and
the trees, para Beyond discovery: The path from research to human benefit, un proyecto de la
National Academy of Sciences.
2- José Luis López, La cuadratura del celuloide – Una visión científica del cine y viceversa,
Pasaje a la Ciencia n. 13 (Ciencia y Arte), junio 2010, ISSN: 1699-6305; y La cuadratura del
celuloide, José Luis López Fernández Ed. 2012, 526 páginas, ISBN: 978-14-7168-0861.
3- E. Catmull y J. Clark, Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes,
Computer-Aided Design, 10:350-355, 1978.
4- T. DeRose, M. Kass y T. Truong, Subdivision Surfaces in Character Animation, SIGGRAPH'
98, Proceedings of the 25th annual conference on Computer Graphics and Interactive Techniques.
5- J. E. Schweitzer, Analysis and Application of Subdivision Surfaces, PhD Thesis, 1996.
6- P. Schröder, D. Zorin, Subdivision for Modeling and Animation, SIGGRAPH 2000 Course
Notes.
Granada, 25 de junio de 2013