Espacios normados y variable compleja. Relación de ejercicios n. 2

Espacios normados y variable compleja.
Relación de ejercicios n. 2.
1. Pruebe que (X, d) es un espacio métrico en cada uno de los siguientes casos
e indique el significado p
de convergencia de una sucesión.
a) X = R, d(x, y) = |x − y|, (x, y ∈ R).
b) X el conjunto formado por todas las sucesiones {xn }∞
n=1 de complejos y
∞
d({xn }∞
n=1 , {yn }n=1 ) =
∞
X
n=1
2−n
|xn − yn |
,
1 + |xn − yn |
(xn , yn ∈ C,
para todo n).
2. Sean (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) dos espacios métricos. Pruebe que ρ, ρ1 y ρ2 son
distancias en X1 × X2 .
ρ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ).
ρ1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2
1/2
.
ρ2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max {d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )} .
¿Son estas distancias equivalentes?
◦
3. Determine A, A y ∂A en cada uno de los siguientes casos.
a) A = (0, 1) ∪ (2, 3] ∪ {6} en R. b) A = Q en R.
c) A = Q en C. d) A = (0, 1)∪(2, 3]∪{6} en C. e) A = {z ∈ C : |z| < 1}\[0, 1]
en C.
4. Sea (x, d) un espacio métrico y sean A, B ⊂ X. Pruebe que A ∪ B = A ∪ B,
A ∩ B ⊂ A ∩ B.
Si es posible, dé ejemplos en que la última inclusión sea estricta.
5. Sea (X, d) un espacio métrico. Una familia F de subconjuntos abiertos de
X se dice que es una base de la topologı́a de X si cualquier abierto de X puede
expresarse como unión de elementos de la familia F.
(a) Sea (X, d) un espacio métrico. Pruebe que (X, d) es separable si y sólo si su
topologı́a tiene una base numerable.
(b) Pruebe que si a, b ∈ R y a < b entonces el espacio B([a, b]) de las funciones
acotadas de [a, b] en C con la norma del supremo no es separable.
∞
6. Sean {xn }∞
n=1 e {yn }n=1 dos sucesiones de Cauchy en un espacio métrico
(X, d). Para cada n sea an = d(xn , yn ). Pruebe que la sucesión numérica {an } es
convergente.
7. a) Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea {Fn }∞
n=1 una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados y no vacı́os de X con diam(Fn ) → 0. Pruebe
n→∞
que ∩∞
n=1 Fn es un conjunto no vacı́o y que contiene un único elemento.
¿Qué sucede si se omite la hipótesis de que los Fn son cerrados? ¿Qué sucede si
se omite la hipótesis de que diam(Fn ) → 0?
n→∞
b) Sea (X, d) es un espacio métrico con la propiedad de que para toda sucesión
decreciente de subconjuntos cerrados Fn de X con diam(Fn ) → 0 se tiene que
n→∞
∩∞
n=1 Fn es un conjunto no vacı́o y que contiene un único elemento. ¿Puede asegurarse que (X, d) es completo?
8. Demuestre que para 1 ≤ p ≤ ∞ el espacio `p es un espacio de Banach.
9. Sea 0 < p < 1.
1
2
(i) Demuestre que (1 + x)p ≤ 1 + xp , para todo x > 0.
(ii) Demuestre que (a + b)p ≤ ap + bp , para todo par de números a, b > 0.
(iii) Dado z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Cn definimos
kzkp =
n
X
!1/p
|zk |p
.
k=0
Compruebe que k·kp no es una norma en Cn pero dp definida por dp (z, z 0 ) = kz−z 0 kpp
es una distancia en Cn .
(iv) De forma análoga, si z = {zn }∞
n=1 es una sucesión de complejos, definimos
kzkp =
∞
X
!1/p
p
|zk |
.
k=0
Se define `p como el espacio de las sucesiones z = {zn }∞
n=1 de complejos con kzkp <
∞. Compruebe que `p es un espacio vectorial complejo, que k · kp no es una norma
en `p pero que
dp : `p × `p → R
definida por
dp (z, z 0 ) = kz − z 0 kpp
es una distancia completa en `p .
|x−y|
(x, y ∈ R). Diga
10. Sea d la distancia en R definida por d(x, y) = 1+|x−y|
razonadamente si (R, d) es completo, totalmente acotado y/o compacto.
11. Sea I = [0, 1]. Para cada n ∈ {3, 4, 5, . . . } sea fn :→ R definida por
fn (x) = 1, si 0 ≤ x ≤
1
,
2
1
1
+ ≤ x ≤ 1,
2 n
1
1
1
fn (x) = αn x + βn , si
≤x≤ + ,
2
2 n
fn (x) = 0, si
αn y βn son números reales tales que fn es continua. Diga razonadamente si la
sucesión {fn }∞
n=3 es de Cauchy y/o convergente en:
(a) (C(I), k · k∞ ).
(b) (C(I), k · k1 ).
12. Si X es un espacio normado y A y B son subconjuntos de X se define
A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Pruebe que:
(a) Si uno de los conjuntos A o B es abierto entonces A + B es abierto.
(b) Si A y B son compactos, entonces A + B es compacto.
(c) Si A es compacto y B es cerrado, entonces A + B es cerrado.
(d) Encuentre dos subconjuntos cerrados de R tales que A + B no sea cerrado.
13. Pruebe que en un espacio normado la adherencia de la bola abierta de centro
x y radio r es la bola cerrada del mismo centro y radio.