I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS M´ETRICOS

I. NOCIONES GENERALES
SOBRE ESPACIOS
MÉTRICOS
En este primer capı́tulo se recuerdan los conceptos topológicos básicos y se adopta la terminologı́a y notación que se manejarán a lo largo del curso; se introducen además los ejemplos que
servirán de modelo para las aplicaciones esenciales de la teorı́a a
desarrollar.
SECCIONES
1. Definiciones previas y primeros ejemplos.
2. Nociones topológicas en espacios métricos.
3. Aplicaciones entre espacios métricos.
4. Completitud en espacios métricos.
5. Compacidad en espacios métricos.
6. Ejercicios.
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1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.
La estructura más importante del análisis funcional es el espacio vectorial.
Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamarán
vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si
en X se definen dos operaciones, suma y multiplicación por escalar, con las
propiedades algebraicas siguientes:
(a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir:
a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x.
a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z).
a.3) Existe un único 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no
confundirlo con el neutro de E).
a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0.
(b) La multiplicación por escalar verifica:
b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x.
b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E).
b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x.
b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y.
Un espacio vectorial real es aquél donde E = R y un espacio vectorial complejo es aquél donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E,
entenderemos que se trata de R ó C.
Notación: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribiremos
A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B},
A − B = {x − y : x ∈ A, y ∈ B},
A \ B = {x : x ∈ A, x 6∈ B} (en particular Ac = X \ A),
λA = {λx : x ∈ A} (obsérvese que 2A 6= A + A),
A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Una familia finita de vectores {x1 , . . . , xn } ⊂ X se dice linealmente independiente cuando
α1 x1 + · · · + αn xn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0.
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Análogamente, una colección arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente.
Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Hamel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinación lineal
de elementos de A, es decir si existen escalares α1 , . . . , αn ∈ E y vectores
x1 , . . . , xn ∈ A tales que x = α1 x1 + · · · + αn xn . Entenderemos siempre las
combinaciones lineales finitas, aunque haya un número infinito de elementos
en la base. Se puede probar (como una aplicación del lema de Zorn) que
todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Además todas las bases
tienen el mismo número de elementos, llamado dimensión (algebraica) del
espacio.
Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es también espacio vectorial
(con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y sólo si 0 ∈ Y y
αY + βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de
X que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremos
por hU i.
Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1 , . . . , Mn , lo cual
denotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , si
X
X = M1 + · · · + Mn y Mi ∩
Mj = {0}, i = 1, . . . , n.
j6=i
Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma única como
suma x = m1 +· · ·+mn con mi ∈ Mi , i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior,
se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Y
con las operaciones usuales.
En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se
puede definir el concepto de métrica. Si además posee estructura de espacio
vectorial, ciertas métricas darán lugar a la noción de norma, como veremos
en el capı́tulo II.
1.1.- Definición. Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un
conjunto arbitrario no vacı́o y d : X × X → R una aplicación, llamada
distancia o métrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica:
(1) d(x, y) ≥ 0.
(2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(3) d(x, y) = d(y, x).
(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
De la definición son evidentes las siguientes propiedades:
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i) d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ), ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ X.
ii) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X.
iii) Si Y es un subconjunto del espacio métrico (X, d) y se define d0 (y1 , y2 ) =
d(y1 , y2 ), ∀y1 , y2 ∈ Y , entonces (Y, d0 ) es también un espacio métrico
y d0 se llama métrica inducida por d a Y .
1.2.- Ejemplos.
( 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicación d definida
1 si x 6= y
por d(x, y) =
es la llamada métrica trivial o discreta.
0 six = y,
2) Si X = R, d(x, y) = |x − y| es la distancia usual (euclı́dea).
p
3) Para X = R2 , d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 es también la distancia
euclı́dea.
Las aplicaciones d(x, y) = |x1 −y1 |+|x2 −y2 | y d(x, y) = máx{|x1 −y1 |, |x2 −
y2 |} son también métricas en X.
4) En X = Rn son distancias
dp (x, y) =
n
X
|xi − yi |p
1/p
(p ≥ 1), y
i=1
d∞ (x, y) =
máx |xi − yi |.
1≤i≤n
Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topologı́as equivalentes
(ver teorema 5.9, capı́tulo II)..
5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribir
a
como x = pα donde p no divide a a ni a b. Ası́ definimos el valor p-ádico
b
de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0.
De este modo, d(x, y) = |x − y|p es una métrica (ver [BN]).
6) En el espacio X = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N sucesión acotada}
definimos d(x, y) = supn |xn − yn |. Ası́ (X, d) es un espacio métrico y se
denota por `∞ .
P
p
7) En general, si llamamos `p = {x = (xn )n∈N : ∞
n=1 |xn | < ∞}, (p ≥
P∞
1/p
p
1), las aplicaciones dp (x, y) =
son también distann=1 |xn − yn |
cias.
El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su
estudio sobre las ecuaciones integrales y constituyó el primer ejemplo de los
que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert.
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Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) son
necesarias las desigualdades de Hölder y Minkowski que veremos posteriormente (capı́tulo II, sección 2). Como la desigualdad triangular falla precisamente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1.
8) Los espacios
c = {(xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N convergente} y
c0 = {(xn )n∈N : xn ∈ C, lı́m xn = 0},
n→∞
al ser subespacios de `∞ , son espacios métricos con la métrica inducida por
`∞ .
9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la aplicación d(f, g) = máxx∈[a,b] |f (x) − g(x)| define también una distancia en el
conjunto.
10) Más generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A,
d(f, g) = supx∈A |f (x) − g(x)| es también una distancia.
Dejamos como ejercicio la comprobación de los axiomas de espacio métrico
en los ejemplos anteriores.
2. NOCIONES TOPOLÓGICAS EN ESPACIOS MÉTRICOS.
Sea (X, d) un espacio métrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro x
y radio r es el conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}. Análogamente se
definen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
y las esferas S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. En general, se llama diámetro
de un conjunto A a diám A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
(
{x} si r ≤ 1,
Ejemplos. 1) Si d es la métrica trivial en X, B(x, r) =
X
si r > 1.
2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = {y ∈ R : |x − y| < r}.
2.1.- Definición. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A si
existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto
int A = {x ∈ A : x es punto interior de A}.
Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la colección de todos los
conjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades:
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P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒
S
P2) A1 , . . . , An ∈ A =⇒
α∈I
Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ı́ndices).
Tn
i=1 Ai
∈ A.
P3) ∅, X ∈ A.
Observación. Recordemos que un espacio topológico es aquél en el que
existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1),
(P2), (P3). De aquı́ se deduce que todo espacio métrico es a su vez un espacio
topológico.
2.2.- Definición. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de A
si
∀r > 0 : B(x, r) ∩ A 6= ∅.
El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes
propiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3)
A ∪ B = A ∪ B.
2.3.- Proposición. A es abierto si y sólo si Ac es cerrado.
Demostración. Supongamos que A es abierto. Entonces
x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ int A
=⇒
(como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac .
Esto quiere decir que Ac es cerrado.
El recı́proco también es directo.
♦
De esta proposición y de las propiedades análogas para los abiertos, se deducen las siguientes:
P1)
T Si {Ai }i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces
i∈I Ai es cerrado.
S
P2) Si {A1 , . . . , An } son cerrados, ni=1 Ai es cerrado.
P3) ∅, X son cerrados.
2.4.- Definición. Un punto x ∈ X es punto lı́mite (o de acumulación) de
A ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r) ∩ A contiene infinitos puntos de A (lo que es
equivalente a decir que contiene algún punto de A distinto de x). Se llama
conjunto derivado de A,
A0 = {x ∈ X : x es punto lı́mite de A}.
Es fácil comprobar que A es cerrado si y sólo si A0 ⊂ A.
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2.5.- Definición. Dada una sucesión (xn )n∈N de puntos de X, se dice que
converge al punto x, y se escribe xn → x, cuando
∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N.
La condición anterior equivale a que la sucesión de números reales {d(xn , x)}n∈N
converge a cero.
Análogamente, una sucesión de subconjuntos {An }n∈N de X converge a un
punto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ı́ndice m tal que
An ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que:
2.6.- Proposición. Dada una sucesión arbitraria (xn )n∈N en X, si llamamos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y sólo si Ak converge a x.
Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la métrica trivial. Si xn → x,
entonces xn = x, ∀n > N.
2) Sea Q con la distancia p-ádica. Dada la sucesión {pn }n∈N , d(0, pn ) =
|p|np = cn y como c < 1, pn → 0.
2.7.- Definición. Una sucesión (xn )n∈N en X es acotada cuando
sup{d(xn , xm ) : n, m ∈ N} < ∞.
En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0 , r) con
x0 arbitrario y r suficientemente grande.
Un concepto más general, y que relacionaremos posteriormente con el de
compacidad, es el siguiente:
2.8.- Definición. Un conjunto A de un espacio métrico X se dice totalmente
acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un número finito
de conjuntos A1 , . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y diám Ai ≤ ε, i =
1, . . . , p.
2.9.- Proposición. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado.
Demostración. Tomemos ε = 1; por hipótesis A = A1 ∪· · ·∪Ap con diám Ai ≤
1. Para cada i ∈ {1, . . . , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos
δ = máx{d(xi , xj ), i, j = 1, . . . , p}.
Dados x, y ∈ A, existirán i, j tales que x ∈ Ai , y ∈ Aj ; luego
d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ,
lo que prueba la acotación de A.
♦
El recı́proco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la
métrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 sólo posee un punto y A no
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puede cubrirse con un número finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo,
es evidente que se trata de un conjunto acotado.
2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio métrico.
a) Si (xn )n∈N es convergente, entonces está acotada y su lı́mite es único.
b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn , yn ) → d(x, y).
Demostración. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn , x) < 1, ∀n >
N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = máx{d(x1 , x), . . . , d(xN , x)}.
Entonces d(xn , x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn , xm ) ≤ 2(1 + a), ∀n, m.
Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0.
b) Por la desigualdad triangular, d(xn , yn ) ≤ d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ).
Entonces
|d(xn , yn ) − d(x, y)| ≤ d(xn , x) + d(y, yn ) → 0.
♦
Observación. En R con la métrica euclı́dea se verifica además que toda
sucesión monótona y acotada es convergente. Otro resultado importante es
el teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesión acotada en
R tiene alguna sub-sucesión convergente.
Muy útiles en lo sucesivo serán las siguientes caracterizaciones de la clausura
de un conjunto.
2.11.- Proposición. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n∈N ⊂ A tal que xn → x.
Demostración. Si x ∈ A, por definición, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimos
un punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Está claro que xn → x porque d(xn , x) <
1/n.
Recı́procamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N (r)
tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N (r), de donde B(x, r) ∩ A 6= ∅.
♦
2.12.- Corolario. A es cerrado si y sólo si dada cualquier sucesión (xn )n∈N
contenida en A y xn → x, entonces x ∈ A.
2.13.- Definición. Un subconjunto M de un espacio métrico X es denso
en X si M = X. El espacio X se dice separable si posee algún subconjunto numerable que es denso en X. En la práctica se prefieren los espacios
separables, más simples que los otros. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la métrica discreta, es separable si y
sólo si es numerable, pues ningún subespacio propio puede ser denso.
2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R.
3) C es separable pues {x + iy : x, y ∈ Q} es numerable y denso en C.
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4) Veamos que `∞ no es separable:
Sea M = {y = (yn )n∈N sucesión formada por ceros y unos}. Asociamos a
cada y otro número yb ∈ [0, 1] cuya representación binaria es y1 /2 + y2 /22 +
· · · + yn /2n + . . .
Ası́, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos yb, zb ∈ [0, 1] tienen
distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas
por ceros y unos es también no numerable. (Otra forma de ver que M es no
numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.)
Además, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y ∈ M }
es una familia no numerable de conjuntos disjuntos.
Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞ , cada una de esas bolas tendrı́a algún punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe
haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que
`∞ no es separable.
5) Los espacios `p , con 1 ≤ p < ∞, son separables:
En efecto, si M = {y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numerable.
∞
P
Además, ∀x = (xn )n∈N ∈ `p , dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) :
|xk |p <
k=n+1
εp /2 (por ser el resto de una serie convergente).
P
Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q : nk=1 |xk − yk |p < εp /2. Si definimos el
elemento y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ), entonces
d(x, y)p =
n
X
j=1
|xk − yk |p +
∞
X
|xk |p < εp =⇒ d(x, y) < ε.
j=n+1
Esto demuestra que M es denso en `p .
3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS MÉTRICOS.
3.1.- Definición. Sean (X, d), (Y, d0 ) espacios métricos. Se dice que una
aplicación f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando
∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε).
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Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicación continua. (Es evidente
que esta definición extiende el concepto de continuidad de funciones reales.)
3.2.- Proposición. f : X → Y es continua en x0 si y sólo si toda sucesión
(xn )n∈N que converge a x0 verifica f (xn ) → f (x0 ).
Demostración. a) Sea f continua en x0 . Entonces
∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε).
Si xn → x0 , dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0 , δ), ∀n > N. Entonces
f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε).
En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε), ∀n > N lo que significa
que f (xn ) → f (x0 ).
b) Si f no es continua en x0 , entonces
∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0 , δ) : f (y) 6∈ B(f (x0 ), ε).
Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesión (yn )n∈N tal que yn ∈
B(x0 , δn ) y f (yn ) 6∈ B(f (x0 ), ε). Entonces yn → x0 pero f (yn ) 6→ f (x0 ).
♦
3.3.- Proposición. Sean X e Y dos espacios métricos y f : X → Y . Son
equivalentes:
i) f es continua.
ii) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x), ∀x ∈ X.
iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f −1 (F ) ⊂ X es cerrado.
iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f −1 (A) ⊂ X es abierto.
Demostración.
i) =⇒ ii). Ya probado en la proposición anterior.
ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f −1 (F ).
Veamos que A ⊂ A.
Si x ∈ A, ∃(xn )n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposición 2.11).
Por hipótesis, f (xn ) → f (x), pero f (xn ) ∈ F =⇒ f (x) ∈ F . Como F es
cerrado, f (x) ∈ F =⇒ x ∈ f −1 (F ) = A.
iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hipótesis,
f −1 (Y \ A) es cerrado. Como f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A), entonces f −1 (A) es
abierto.
iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f (x), ε)
es abierto. Esto implica por hipótesis que f −1 (B(f (x), ε)) es abierto. Como
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x ∈ f −1 (B(f (x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), ε)).
De aquı́ se deduce que f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε), como querı́amos demostrar.
♦
4. COMPLETITUD EN ESPACIOS MÉTRICOS.
Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber qué tipo
de aplicaciones conservan dichas propiedades. Ası́, un isomorfismo preserva
la linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar los
dos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aquı́ un concepto similar
para los espacios métricos.
4.1.- Definición. Dados dos espacios métricos (X, d), (Y, d0 ), sea f : X →
Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f −1 son continuas),
f se llama homeomorfismo.
Los homeomorfismos preservan las propiedades topológicas esenciales: ası́ aplican abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A0 , f (x) ∈ f (A)0 .
4.2.- Definición. a) Si una aplicación f : X → Y entre dos espacios métricos verifica que
∀x1 , x2 ∈ X : d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )),
entonces f se llama isometrı́a.
b) Si existe una isometrı́a biyectiva f : X → Y , diremos que los espacios
métricos X e Y son isométricos.
Dos espacios isométricos son indistinguibles respecto a la métrica aunque
difieran en la naturaleza de sus puntos.
4.3.- Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Una aplicación T : X → X
se llama contracción si ∀x, y ∈ X, existe algún r ∈ (0, 1) tal que d(T x, T y) ≤
r · d(x, y).
4.4.- Proposición. Toda contracción T en un espacio métrico (X, d) es
continua.
Demostración. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos ver
que
∀B(T x0 , ε), ∃B(x0 , δ) : T (B(x0 , δ)) ⊂ B(T x0 , ε).
Sea pues x ∈ B(x0 , δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que T x ∈ B(T x0 , ε),
es decir d(T x, T x0 ) < ε. Como T es contracción, existe r ∈ (0, 1) tal
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que d(T x, T x0 ) ≤ r · d(x, x0 ) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que
d(T x, T x0 ) < ε, como querı́amos probar.
♦
4.5.- Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión (xn )n∈N es
de Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn , xm ) < ε, ∀n, m > N.
Es fácil comprobar que toda sucesión convergente es de Cauchy. Además,
en R ó C toda sucesión de Cauchy converge, pero en general esto no es
cierto.
4.6.- Definición (Fréchet, 1906). Un espacio métrico es completo si toda
sucesión de Cauchy es convergente.
4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la métrica trivial es completo.
2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo.
3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque la
sucesión {1/n}n∈N es de Cauchy pero su lı́mite es cero.
4) El conjunto X = Q con la métrica euclı́dea d(x, y) = |x−y| no es completo
(hay sucesiones de racionales cuyo lı́mite es irracional).
5) X = Q, con d(x, y) = |x − y|p , no es completo como muestra el siguiente
ejemplo:
k
P
Eligiendo p√= 5, la sucesión xn = 21 nk=0 (−1)k 1/2
k 5 es de Cauchy y
converge a −1 que no es racional.
6) Veamos que el espacio `∞ es completo:
(n)
(n)
Sea {x(n) }n∈N = {(x1 , x2 , . . . )}n∈N una sucesión de Cauchy en `∞ . Entonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N ,
(m)
d(x(m) , x(n) ) < ε =⇒ |xi
(n)
(m)
− xi | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(xi
, xi ) < ε.
Si llamamos x = (x1 , x2 , . . . ), entonces d(x(m) , x) ≤ ε, es decir x(m) →
x.
(m)
Por otra parte, como la sucesión (xi )m∈N converge a xi , está acotada, es
(m)
decir ∃k > 0 : |xi | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular,
(m)
|xi | ≤ |xi − xi
(m)
| + |xi
| < ε + k,
lo que significa que (xi )i∈N está acotada. Esto prueba que x ∈ `∞ .
7) También son completos los espacios `p , para 1 ≤ p < ∞.
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Para comprobarlo, sea {x(n) }n∈N una sucesión de Cauchy en `p . Entonces
∃N tal que, para n, m > N :
d(x(n) , x(m) ) =
X
(n)
|xi
(m) p 1/p
− xi
|
(n)
< ε =⇒ |xi
(m)
− xi
| < ε, ∀i.
i
(n)
(n)
Esto implica que {xi }n∈N es de Cauchy, por lo que xi
→ xi ∈ C.
Si llamamos x = (x1 , . . . xi , . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p :
P
(n)
(m)
Como ki=1 |xi − xi |p < εp , ∀k, entonces, haciendo m → ∞,
k
X
i=1
(n)
|xi
− xi |p ≤ εp =⇒
∞
X
(n)
|xi
− xi |p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p .
i=1
Por la desigualdad de Minkowski (capı́tulo II, sección 2), x = x(n) + (x −
x(n) ) ∈ `p .
P
(n)
p
p
(n) → x.
Además, d(x(n) , x)p = ∞
i=1 |xi − xi | ≤ ε =⇒ x
8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = máxx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, entonces X es completo:
Si {fn }n∈N es de Cauchy, máxx∈[a,b] |fn (x) − fm (x)| < ε, para n, m > N.
Entonces |fn (x) − fm (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de
convergencia de Cauchy, {fn }n∈N converge uniformemente en [a, b] y, como
fn son continuas, la función lı́mite también lo será. Ası́, X es completo.
R
1/2
b
9) X = C[a, b] con la métrica d(f, g) = a |f (x) − g(x)|2 dx
, ∀f, g ∈ X
no es completo.
Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesión {fn }n∈N definida
por


si − 1 ≤ x ≤ 0
0
fn (x) = nx si 0 < x ≤ 1/n,


1
si 1/n < x ≤ 1
13
(
0
es de Cauchy pero el lı́mite f (x) =
1
x = 0.
si − 1 ≤ x ≤ 0
no es continua en
si 0 < x ≤ 1,
10) X = {p : [a, b] → C : p polinomio} con d(p, q) = máxx∈[a,b] |p(x) − q(x)|
no es completo.
Para demostrarlo, basta tomar una sucesión de polinomios
P que nconverja
uniformemente a una función continua (por ejemplo, ex = n≥0 xn! ).
Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente caracterización.
4.8.- Proposición. Un subconjunto M de un espacio métrico completo X
es completo si y sólo si M es cerrado en X.
Demostración. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M , ∃{xn }n∈N con xn ∈
M, ∀n tal que xn → x. Pero como {xn }n∈N converge, es de Cauchy; por
tanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M.
Recı́procamente, sea M cerrado y {xn }n∈N de Cauchy en M . Por ser X
completo, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M.
♦
Ejemplo. El espacio c = {x = (xn )n∈N ∈ `∞ : (xn )n∈N converge en C} es
completo con la métrica inducida por `∞ .
En efecto, sea x = (xn )n∈N ∈ c. Entonces
∃yk = (ynk )n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |ynk − xn | ≤ d(yk , x) < ε/3, ∀k ≥ N.
Como {ynN }n∈N es convergente, es de Cauchy y |ypN − yqN | < ε/3, ∀p, q ≥ N1 .
Entonces
|xp − xq | ≤ |xp − ypN | + |ypN − yqN | + |yqN − xq | < ε.
Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c.
Un hecho importante de la completitud es que todo espacio métrico puede
verse como subespacio de un espacio métrico completo.
4.9.- Definición. Dado un espacio métrico (X, d), un espacio (X ∗ , d∗ ) se
llama compleción de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X ∗ tal que
(X, d) es isométrico a (X0 , d∗ ).
4.10.- Teorema. Todo espacio métrico tiene una compleción y dos compleciones de un mismo espacio métrico son isométricas.
Demostración (esquema):
Sea X ∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en
X, mediante la relación:
{xn }n∈N ∼ {yn }n∈N ⇐⇒: lı́m d(xn , yn ) = 0.
n
14
Se define d∗ : X ∗ × X ∗ → R como d∗ (x∗ , y ∗ ) = lı́mn d(xn , yn ) siendo {xn } ∈
x∗ , {yn } ∈ y ∗ .
Se debe probar:
a) Dicho lı́mite existe (para ello basta que {d(xn , yn )} sea de Cauchy en
R).
b) La definición no depende de los representantes elegidos.
c) d∗ es una métrica.
d) X ∗ contiene un subespacio X0 isométrico a X. Para ello definimos
X0 = {x∗ ∈ X ∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗ }
y f : X → X0 como f (x) = x∗ .
e) X0 = X ∗ .
f) X ∗ es completo.
g) Si (X ∗∗ , d∗∗ ) es compleción de X, ∃f : X ∗ → X ∗∗ isometrı́a.
Otra caracterización importante de los espacios completos, que sólo enunciaremos, viene dada en términos de sucesiones decrecientes de conjuntos o
encajes.
4.11.- Definición. Diremos que una sucesión {An }n∈N de subconjuntos de
X es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y diám An → 0.
4.12.- Proposición. Sea {An }n∈N un T
encaje de conjuntos no vacı́os. Entonces An converge a x si y sólo si x ∈ n∈N An .
4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espacio
métrico. Son equivalentes:
i) X es completo.
ii) Todo encaje {Fn }n∈N de conjuntos cerrados no vacı́os tiene intersección
no vacı́a.
iii) Todo encaje {An }n∈N de conjuntos no vacı́os converge a un punto x ∈
X.
15
5. COMPACIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS.
5.1.- Definición. Una familiaS{Ai }i∈I de conjuntos se llama cubrimiento
de un conjunto A cuando A ⊂ i∈I Ai . Dado un cubrimiento {Ai }i∈I de A,
se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {Ai }i∈J tal que J ⊂ I.
5.2.- Definición. Un subconjunto M de un espacio métrico X es compacto
si todo cubrimiento por abiertos de M posee algún subcubrimiento finito
(llamada propiedad de Borel-Lebesgue).
Ası́, por ejemplo, en R con la métrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no
es compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n ∈ N} no se puede extraer
ningún subcubrimiento finito.
Por otra parte, si un conjunto X posee la métrica discreta, ningún subconjunto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar la
familia de bolas abiertas {B(x, 1/2)}x∈M que es un cubrimiento de M pero
que no posee ningún subcubrimiento finito.
5.3.- Definición. Una familia {Xi }i∈I de conjuntos es un sistema centrado
o tiene la propiedad de intersección finita si toda subfamilia finita tiene
intersección no vacı́a.
Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo
T sistema centrado
{Fi }i∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que i∈I Fi 6= ∅.
5.4.- Proposición. Un conjunto A en un espacio métrico X es compacto
si y sólo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz.
(Ver la demostración en [CC], [KF].)
5.5.- Proposición. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es
a su vez compacto.
La siguiente caracterización de los conjuntos compactos será útil en lo sucesivo.
5.6.- Teorema. Sea X un espacio métrico y A ⊂ X. Son equivalentes:
i) A es totalmente acotado y completo.
ii) A es compacto.
iii) Toda sucesión {xn }n∈N contenida en A posee alguna subsucesión {xnk }k∈N
convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass).
Demostración. i) =⇒ ii): Sea {Ai }i∈I un cubrimiento por abiertos de A y
supongamos que ningún subconjunto finito cubre a A. Por hipótesis, dado
ε > 0, existen K1 , . . . , Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y diám Ki ≤ ε.
Además al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ningún sistema finito
16
de conjuntos de {Ai }i∈I ; digamos que es K1 . Por ser K1 ⊂ A, es también
totalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existirá K2 ⊂ K1 con
diám K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un número finito de conjuntos de
{Ai }i∈I . Formamos ası́ un encaje {Kn }n∈N de conjuntos contenidos en A
que es completo. Por
S el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge a
x. Como x ∈ A ⊂ i∈I Ai , existe A0 ∈ {Ai }i∈I con x ∈ A0 ; luego para n
grande será Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con un
número finito de conjuntos de {Ai }i∈I .
ii) =⇒ iii): Sea A compacto y {xn }n∈N una sucesión de elementos de A.
Definimos Xn = {xn , xn+1 , . . . }. Es evidente que {Xn }n∈N es una familia
con la propiedad de intersección finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A tal
que x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para algún m es x 6∈ Xm (en
caso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \ Xm , por la proposición
2.11, x es el lı́mite de alguna subsucesión de {xn }n∈N .
iii) =⇒ i): Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy en A; por hipótesis existe
una subsucesión convergente en A lo que implica que la propia sucesión
converge en A. Luego A es completo.
Si A no fuese totalmente acotado, existirı́a ε > 0 tal que A no puede cubrirse con un número finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A y
llamamos B1 = B(x1 , ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1 ; sea
B2 = B(x2 , ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesión
{xn }n∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1 ∪· · ·∪Bn−1 , es decir d(xi , xj ) ≥ ε/2
con lo que ninguna subsucesión de {xn }n∈N puede ser convergente. ♦
5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio métrico es cerrado y
acotado.
Demostración. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M . Entonces existe una
sucesión {xn }n∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M
(pues las subsucesiones deben tener el mismo lı́mite que {xn }n∈N ).
Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃{yn }n∈N sucesión en M no acotada tal
que d(yn , b) > n. Como {yn }n∈N no está acotada, no puede tener ninguna
sub-sucesión convergente.
♦
El recı́proco es falso, como muestra el siguiente ejemplo:
La sucesión {en }n∈N ⊂ `2 , donde en = (δnj )∞
j=1 , está acotada y es cerrada
pues se trata√ de un conjunto formado por puntos aislados para los que
d(xn , xm ) = 2. Sin embargo, no es compacto por la misma razón.
En el caso de espacios normados de dimensión finita el recı́proco también es
cierto como probaremos más adelante (capı́tulo II, teorema 5.7).
Hemos probado ası́ que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto.
17
Sin embargo su clausura sı́ puede serlo. Esto origina la siguiente definición.
5.8.- Definición. Un conjunto A de un espacio métrico X es relativamente
compacto si su clausura A es compacta.
Las siguientes caracterizaciones (cuya demostración omitiremos) serán útiles.
5.9.- Proposición. La condición necesaria y suficiente para que un conjunto
A de un espacio métrico completo X sea relativamente compacto, es que sea
totalmente acotado.
5.10.- Proposición. La condición necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio métrico X sea relativamente compacto es que sea
secuencialmente compacto, es decir que toda sucesión de elementos de A posea alguna subsucesión convergente (pero no necesariamente a un punto de
A).
En el análisis, uno de los espacios métricos más importantes es C[a, b] y un
criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (que
aplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales)
es el teorema de Arzelá-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptos
necesarios.
5.11.- Definición. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] se
llama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k,
∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todo
ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F ,
d(x1 , x2 ) < δ =⇒ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| < ε.
5.12.- Teorema (Arzelá-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamente
compacta en C[a, b] si y sólo si es equiacotada y equicontinua.
5.13.- Teorema (Arzelá-Ascoli generalizado). Dados dos espacios métricos
compactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = {f : X → Y : f es continua},
que es espacio métrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)). Una
condición necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) sea
relativamente compacto es que
∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1 , x2 ) < δ =⇒ d(f (x1 ), f (x2 )) < ε,
para cualesquiera f ∈ A, x1 , x2 ∈ X.
Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen comportarse como conjuntos finitos. Ası́ por ejemplo la imagen continua de un
compacto es un compacto.
18
5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicación continua y X, Y espacios
métricos. Si M es compacto en X, f (M ) es compacto en Y .
La prueba es directa.
5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X,
entonces f alcanza el máximo (y el mı́nimo) en algún punto de M .
Demostración. f (M ) ⊂ R es compacto, con lo que f (M ) es cerrado y acotado. Esto implica que ı́nf f (M ) ∈ f (M ) y sup f (M ) ∈ f (M ) y las imágenes
inversas de esos puntos están en M .
♦
19
6. EJERCICIOS.
1. Sea d una métrica en X . Determinar todas las constantes k para
las que
i) kd,
ii) d + k
es una métrica sobre X .
Resp.: i) Sea d0 = kd. Para que d0 (x, y) > 0, debe ser k > 0.
Para que d0 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0.
Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constante
k > 0 hace de d0 una métrica.
ii) Sea d00 = d + k. Para que d00 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta que
k = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d00 (x, y) = d(x, y) + k = k.
Ası́ pues, sólo para k = 0 es d00 un métrica.
2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de ceros
y unos, ¿cuál es la métrica inducida sobre A?
(
1
Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn | =
0
métrica discreta.
si x 6= y
se trata de la
si x = y,
3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mostrar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“número de lugares
en que x e y tienen valores diferentes.es una métrica sobre X .
(Esta es la llamada distancia de Hamming y es útil en teorı́a de
autómatas y códigos.)
Resp.: card X = 23 = 8.
i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0.
20
ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ningún valor diferente =⇒ x = y.
El recı́proco es similar.
iii) Por la simetrı́a de la definición, d(x, y) = d(y, x).
iv) Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ); debido a que
d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |, por la desigualdad triangular
en R se deduce que
d(x, y) =
=
3
X
i=1
3
X
i=1
|xi − yi | =
|xi − zi | +
3
X
i=1
3
X
|xi − zi + zi − yi | ≤
3
X
(|xi − zi | + |zi − yi |)
i=1
|zi − yi | = d(x, z) + d(z, y).
i=1
4. Determinar si la aplicación d : R × R → R definida por d(x, y) =
|x2 − y 2 | es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subconjunto de la recta en que sı́ lo sea. Dar el mayor de los conjuntos
que lo cumplen.
Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0.
Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y 2 , pero puede ser x = −y lo que
implica que d no es distancia. Si d está definida en R+ ∪{0} ó R− ∪{0},
x2 = y 2 =⇒ x = y.
En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y
d(x, y) = |x2 − y 2 | ≤ |x2 − z 2 | + |z 2 − y 2 | = d(x, z) + d(y, z),
de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R.
5. a) Encontrar una sucesión que converja a cero, pero no esté en
ningún `p , con 1 ≤ p < ∞.
b) Encontrar una sucesión que esté en `p con p > 1, pero no en
`1 .
Resp.: a) La sucesión (1/ ln n)n≥2 evidentemente converge a cero pero,
P
n)p
debido a que lı́mn→∞ 1/(ln
= ∞, ∀p ≥ 1, la serie
|1/(ln n)p | es
1/n
divergente.
21
P
b) La sucesión (1/n)n≥1 no está en `1P
, pues la serie
1/n es divergente, pero está en `p con p > 1 pues
1/np < ∞, ∀p > 1.
6. Sea (X, d) un espacio métrico cualquiera. Demostrar que la aplid(x,y)
es también
cación D : X × X → R definida por D(x, y) = 1+d(x,y)
una distancia sobre X .
Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) =
0 =⇒ x = y.
Por ser d distancia, también D(x, y) = D(y, x).
Por último, teniendo en cuenta que la función y =
resulta:
D(x, y) =
=
≤
x
1+x
es creciente,
d(x, z) + d(y, z)
d(x, y)
≤
1 + d(x, y)
1 + d(x, z) + d(y, z)
d(x, z)
d(y, z)
+
1 + d(x, z) + d(y, z) 1 + d(x, z) + d(y, z)
d(x, z)
d(y, z)
+
= D(x, z) + D(y, z).
1 + d(x, z) 1 + d(y, z)
7. Sea (X, d) un espacio métrico y P (X) el conjunto de partes de
X . Se define la aplicación D : P (X) × P (X) → R por D(A, B) =
ı́nf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
a) Probar que D no es una métrica en P (X).
b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A, B) = 0. ¿Qué se puede decir
del recı́proco?
c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x, B) = ı́nf b∈B d(x, b). Probar que
∀x, y ∈ X, |δ(x, B) − δ(y, B)| ≤ d(x, y).
Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A, B) = d(x, x) = 0. Sin
embargo A 6= B.
b) Si D(A, B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an , bn ) → 0, pero puede
ser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distancia
euclı́dea de R).
22
c) Sean b, b0 ∈ B; por la desigualdad triangular,
d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b0 ) + d(b0 , b).
Esto implica que
ı́nf d(x, b) ≤ d(x, y)+ ı́nf
d(y, b0 )+ ı́nf
d(b0 , b) = d(x, y)+ ı́nf
d(y, b0 ),
0
0
0
b ∈B
b∈B
b,b ∈B
b ∈B
o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B).
Análogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x, B) + d(x, y).
8. Si (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) son espacios métricos, probar que en el espacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las métricas siguientes:
d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ),
d(x, y) = máx{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )},
donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X.
Resp.:
i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0.
ii) De la definición se deduce también que:
d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0
⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y;
d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0
⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y.
iii) Es claro también que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x).
iv) En el caso de d, se prueba fácilmente que
d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )
≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) = d(x, z) + d(z, y).
Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sin
pérdida de generalidad, que d1 (x1 , y1 ) ≥ d2 (x2 , y2 ); ası́, d(x, y) =
d1 (x1 , y1 ). Entonces
d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 )
≤ máx{d1 (x1 , z1 ), d2 (x2 , z2 )} + máx{d1 (z1 , y1 ), d2 (z2 , y2 )}
=
d(x, z) + d(z, y).
23
9. En R definimos la distancia d(a, b) =
|a−b|
1+|a−b|
(ver ejercicio 6).
a) Determinar las bolas abiertas.
b) Hallar δ(2, A) donde A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
c) Hallar D(A, B) donde B = {x ∈ R : −2 < x < −1}.
(Las aplicaciones δ y D están definidas en el ejercicio 7.)
Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces
|x − a|
< r =⇒ |x − a| < r + r|x − a| =⇒ (1 − r) · |x − a| < r.
1 + |x − a|
- Si r < 1: |x − a| <
r
1−r
=⇒ B(a, r) = a −
r
1−r , a
+
r
1−r
.
- Si r = 1: B(a, r) = R.
- Si r > 1 se obtiene también que B(a, r) = R.
b) Por definición,
δ(2, A) = ı́nf d(2, x) = ı́nf
0≤x≤1
pues y =
2−x
3−x
0≤x≤1
2−x
1
|2 − x|
= ı́nf
= ,
1 + |2 − x| 0≤x≤1 3 − x
2
es una función decreciente en [0, 1].
c) D(A, B) = ı́nf{d(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1)}.
Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1), d(x, y) =
Como la derivada parcial
constante.
Análogamente, como
x es constante.
∂d
∂y
=
∂d
∂x
=
x−y
1+x−y .
1
(1+x−y)2
−1
(1+x−y)2
> 0, d es creciente si y es
< 0, entonces d es decreciente si
En el cuadrado [0, 1] × [−2, −1], el mı́nimo se alcanza en (0, −1) y vale
1/2.
24
10. Probar que la clausura B(x0 , r) de una bola abierta B(x0 , r) en
un espacio métrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0 , r).
Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la métrica discreta, y x0 ∈ X
arbitrario. Entonces B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < 1} = {x0 } =⇒
B(x0 , 1) = {x0 }; sin embargo, B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ 1} = X.
11. Demostrar que si X es un espacio métrico, A ⊂ X y r ∈ R+ ,
entonces Vr (A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} es cerrado.
Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicación f : X → R+ definida
por
f (x) = d(x, A) = ı́nf{d(x, y) : y ∈ A} es continua:
Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, para
cualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , b) + d(b, a). Entonces
ı́nf d(x, a) ≤ d(x, x0 )+ı́nf d(x0 , b)+ ı́nf d(b, a) =⇒ f (x) ≤ d(x, x0 )+f (x0 ).
a∈A
b∈A
a,b∈A
Análogamente se prueba que f (x0 ) ≤ d(x, x0 ) + f (x).
En definitiva |f (x) − f (x0 )| ≤ d(x, x0 ).
Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0 ) < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Como [0, r] es cerrado en R+ , entonces f −1 [0, r] también es cerrado en
X. Además
f −1 [0, r] = {x ∈ E : f (x) ≤ r} = {x ∈ E : d(x, A) ≤ r} = Vr (A).
Otra forma consiste en probar que el complementario Vrc (A) es abierto:
Sea para ello x ∈ Vrc (A) =⇒ d(x, A) > r. Si llamamos s = d(x, A),
veamos que B(x, (s − r)/2) ⊂ Vrc (A).
∀y ∈ B(x, (s − r)/2), d(x, y) < (s − r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) +
s+r
d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x, A) − d(x, y) > s − s−r
2 = 2 > r.
12. Probar que un espacio métrico X es separable si y sólo si existe
Y ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε.
25
Resp.: Si X es separable, existe por definición M ⊂ X numerable
tal que ∀x ∈ X, ∃{xn }n∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N :
d(xn , x) < ε, ∀n > N.
Recı́procamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y .
Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable.
13. Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico X . Probar:
a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesión {xnk }k∈N de {xn }n∈N
converge a x.
b) Si {xn }n∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesión convergente, entonces {xn }n∈N converge al mismo lı́mite que dicha
sub-sucesión.
Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn , x) < ε, ∀n > N , entonces
d(xnk , x) < ε, con nk > N .
b) Por hipótesis,
∀ε > 0,
∃N1 : d(xnk , x) < ε/2 si nk ≥ N1
∃N2 : d(xn , xm ) < ε/2 si n, m ≥ N2 .
Tomando N = máx{N1 , N2 }, d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε, si
n > N.
14. Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico y consideramos
las subsucesiones {x2n }n∈N , {x2n+1 }n∈N , {x3n }n∈N que suponemos
convergentes. Demostrar que {xn }n∈N es convergente.
Poner un ejemplo de una sucesión no convergente y que ∀k ≥ 2,
{xkn }n∈N sea convergente.
Resp.: Supongamos que lı́m x2n = a, lı́m x3n = b, lı́m x2n+1 = c.
Por ser {x6n }n∈N subsucesión de {x2n }n∈N y {x3n }n∈N , lı́m x6n = a = b.
Por ser {x6n+3 }n∈N subsucesión de {x3n }n∈N y {x2n+1 }n∈N , lı́m x6n+3 =
b = c.
26
Ası́ pues, lı́m x2n = lı́m x2n+1 = a. Veamos que lı́m xn = a:
∀ε > 0,
∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1 ,
∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2 .
Si p = máx{n1 , n2 }, |xn − a| < ε, ∀n > p.
(
1
En cuanto a la segunda parte, si definimos xn =
n
entonces xkn = 1, ∀n, pero {xn }n∈N no converge.
si n no es primo
si n es primo,
15. Sea {un }n∈N , un ∈ R, un ≥ 0 tal que lı́mn→∞ un = 0. Demostrar
que existe una infinidad de ı́ndices n tales que para cada m > n,
un ≥ um .
Resp.: Por hipótesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN +1 , . . . < ε.
Por ser convergente, {un }n∈N está acotada superiormente, con lo que
tiene supremo. Dicho supremo está en el conjunto porque, en caso
contrario, serı́a un punto de acumulación no nulo y la sucesión no
podrı́a ser convergente a 0.
Si uν0 es dicho máximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0 .
Tomamos ahora la sucesión {uν0 +1 , . . . } y aplicamos el mismo razonamiento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um , ∀m > ν1 , y ası́ sucesivamente.
Es evidente que la sucesión {uν0 , uν1 , . . . } es decreciente.
Otra forma (por reducción al absurdo):
Si sólo existiera un conjunto finito de ı́ndices {n0 , . . . , nk } para el que
um ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces
∃m1 : um1 > unk +1 ,
∃m2 > m1 : um2 > um1 ,
..
.
Esto indica que la subsucesión {umk }k∈N es creciente y no tiene lı́mite
cero, lo que contradice la hipótesis.
27
16. Si d1 , d2 son métricas equivalentes sobre X , probar que las sucesiones de Cauchy en (X, d1 ) y (X, d2 ) son las mismas.
Resp.: Por hipótesis, ∃a, b > 0 : a · d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ b · d1 (x, y).
Si {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d1 ), d1 (xn , xm ) < ε/b, ∀n, m > Nε .
Entonces d2 (xn , xm ) ≤ b · d1 (xn , xm ) < ε. Esto implica que {xn }n∈N es
de Cauchy respecto a d2 .
Análogamente se prueba la segunda parte.
17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio métrico X ,
demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f (x) = 0,
∀x ∈ A y f (x) = 1, ∀x ∈ B .
d(x,A)
. El denominador nunca se
Resp.: Basta definir f (x) = d(x,A)+d(x,B)
anula por lo que f está definida en todo X.
18. Sea f : R → R una aplicación continua y periódica tal que el
conjunto {T : T es perı́odo de f } es denso en R. Demostrar que
f es constante.
Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn )n∈N : Tn → x y f (a + Tn ) = f (a), ∀a ∈ R. En
particular f (Tn ) = f (0 + Tn ) = f (0).
Como Tn → x y f es continua, f (Tn ) → f (x). Por tanto, f (x) =
f (0), ∀x ∈ R.
19. Sea f : X → Y una aplicación tal que f |A : A → f (A) es continua,
con A ⊂ X . ¿Es f continua en A?
(
0 si x ∈ Q
Resp.: No, pues la función de Dirichlet f (x) =
no lo
1 si x 6∈ Q,
satisface. La restricción f |Q es continua y constante pero lı́mx→a f (x) 6=
f (a) con a ∈ Q.
28
20. Sea f : R → R una función aditiva y continua en x0 . Demostrar
que f es continua en R y que f (x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo.
Resp.: a) Veamos que f es continua en R.
Por hipótesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Debemos probar que f es continua en x, es decir
∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f (y) − f (x)| < ε.
Pero si |y − x| < δ, entonces
|y − x + x0 − x0 | < δ =⇒ |f (y − x + x0 ) − f (x0 )| < ε
=⇒ |f (y) − f (x) + f (x0 ) − f (x0 )| = |f (y) − f (x)| < ε.
b) ∀n ∈ N, es claro que f (n) = nf (1). Llamamos a = f (1).
Por una parte, f (x) = f (0 + x) = f (0) + f (x) =⇒ f (0) = 0.
Además, 0 = f (1+(−1)) = f (1)+f (−1). Esto implica que f (−1) = −a
y f (−m) = mf (−1) = −am.
Por otra parte, a = f (1) = f (q/q) = qf (1/q) =⇒ f (1/q) = a · (1/q).
Entonces f (p/q) = pf (1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q).
Por último, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f (xn ) →
f (x). Como f (xn ) = axn , f (xn ) → ax, de modo que ax = f (x).
21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continua
y sobre, g es continua y g ◦ f es homeomorfismo. Demostrar que
f y g son homeomorfismos.
Resp.: Como g ◦ f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entonces
f es biyectiva.
Dado A abierto en E, (g ◦ f )(A) es abierto en G. Como g es continua, f (A) es abierto en F. Esto implica que f −1 es continua y f es
homeomorfismo.
∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces
(g ◦ f )−1 (g(x)) = (g ◦ f )−1 (g(y)) =⇒ f −1 (x) = f −1 (y) =⇒ x = y.
Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva.
29
Dado B abierto en F, f −1 (B) es abierto en E. Entonces (g◦f )f −1 (B) =
g(B) es abierto en G =⇒ g −1 continua =⇒ g homeomorfismo.
Otra forma: g = g ◦ f ◦ f −1 con g ◦ f biyectiva y f −1 biyectiva =⇒ g
biyectiva.
g −1 = f ◦ f −1 ◦ g −1 con f continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ g −1
continua.
f −1 = f −1 ◦ g −1 ◦ g con g continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ f −1
continua.
22. Sea f : R → R una aplicación estrictamente creciente. Probar que
la función D(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R pero
D no es equivalente a | · |.
Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva por
ser estrictamente creciente).
D(x, y) = |f (x)−f (y)| = |f (x)−f (z)+f (z)−f (y)| ≤ D(x, z)+D(z, y).
El resto es evidente.
b) Si f no es continua en x0 , ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0 | < δ pero
|f (x) − f (x0 )| ≥ ε.
Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤
b · |x − y|.
Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f (x) − f (x0 )| ≤ b · |x − x0 | < b · ε/b = ε, lo
cual es absurdo.
23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un número finito
de términos no nulos. Probar que M no es completo.
Resp.: Construimos la sucesión {x(n) }n∈N siguiente:
x(n)
x(1) = (1, 0, . . . )
x(2) = (1, 1/4, 0, . . . )
...
= (1, 1/4, . . . , 1/n2 , 0, . . . ).
(n)
Si m > n, d(x(n) , x(m) ) = sup |xj
30
(m)
− xj
|=
1
(n+1)2
→ 0.
Ası́ definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero lı́m x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , . . . ) 6∈
n→∞
M.
1
24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesión sn = 1 + 1!1 + · · · + n!
.
Demostrar que {sn }n∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello que
Q no es completo.
Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm | → 0.
En efecto, si suponemos que n > m,
∞
X
1
1
1
|sn − sm | =
+ ··· +
≤
→0
(m + 1)!
n!
k!
k=m+1
por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =
P∞
n=0 1/n!).
Ahora bien, como lı́mn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo.
25. Probar que todo espacio con la métrica discreta es completo.
Resp.: Si X posee la métrica discreta, y {xn }n∈N es de Cauchy en X,
entonces ∀n, m > N, xn = xm . Esto implica que {xn }n∈N es convergente.
26. Si (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) son espacios métricos isométricos y X1 es
completo, probar que X2 es completo.
Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesión de Cauchy en X2 . Como X1 y X2
son isométricos, ∃f : X1 → X2 isometrı́a biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈
X1 : f (xn ) = yn .
Además, d2 (yn , ym ) = d2 (f (xn ), f (xm )) = d1 (xn , xm ). Por tanto, {xn }n∈N
es de Cauchy en X1 . Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x,
de donde d2 (yn , f (x)) = d1 (xn , x) → 0 =⇒ {yn }n∈N converge a f (x).
31
27. Demostrar que toda isometrı́a f : R → R cumple que f (x) = a + x
ó f (x) = a − x.
Resp.: Por ser f isometrı́a, |f (x) − f (y)| = |x − y|.
En particular, |f (x) − f (0)| = |x|, es decir f (x) − f (0) = x ó f (x) −
f (0) = −x. Ahora bien, si existieran x1 , x2 ∈ R, x1 6= x2 tales que
f (x1 ) − f (0) = x1 y f (x2 ) − f (0) = −x2 , entonces f (x1 ) − f (x2 ) =
x1 + x2 =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| = |x1 + x2 | =
6 |x1 − x2 | si x1 , x2 6= 0.
Llamando f (0) = a, se obtiene el resultado.
28. Un espacio métrico se dice localmente compacto si todo punto
tiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacios
localmente compactos pero no compactos.
Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn ó Cn , cualquier bola cerrada
centrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotado
contenido en un espacio de dimensión finita). Sin embargo, los espacios
Rn y Cn no son compactos pues no son acotados.
29. Sea X un conjunto no vacı́o. Una aplicación d : X × X → R se
llama pseudométrica si se verifica lo siguiente:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X .
iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X .
Rb
¿La función d(x, y) = a |x(t)−y(t)|dt define una métrica o pseudométrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrables
Riemann en [a, b]?
Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes.
Por otra parte, como
|x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)|, ∀t ∈ [a, b],
32
entonces
Z b
b
Z
Z
a
a
a
Además, si x, y ∈ C[a, b] y
Rb
a
b
|z(t) − y(t)|dt.
|x(t) − z(t)|dt +
|x(t) − y(t)|dt ≤
|x(t) − y(t)|dt = 0, entonces x = y.
Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) y
Rb
son integrables, a |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicación,
definida en R[a, b], es una pseudométrica.
30. a) Si tenemos una pseudométrica d sobre X , vamos a establecer
una relación binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ es
de equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructurar
en espacio métrico mediante una distancia que se puede definir
de forma natural a partir de d.
b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por
d(a, b) = |a1 − b1 |, si a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ),
es pseudométrica sobre R2 . Determinar el conjunto cociente y la
distancia definida sobre él.
Resp.: a) Sea x∗ = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : d(x, y) = 0}.
Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y), donde x ∈
x∗ , y ∈ y ∗ .
- d∗ está bien definida: ∀x, x0 ∈ x∗ , y, y 0 ∈ y ∗ :
d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y) = d(x0 , y 0 )
=⇒ d(x, y) = d(x0 , y 0 ).
d(x0 , y 0 ) ≤ d(x0 , x) + d(x, y 0 ) + d(y, y 0 ) = d(x, y)
- d∗ es una métrica: d∗ (x∗ , y ∗ ) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒
x∗ = y ∗ .
d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗ (x∗ , z ∗ ) + d∗ (z ∗ , y ∗ ).
b) Es fácil comprobar que d es pseudométrica. Debido a que
a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1 | = 0 ⇐⇒ a1 = b1 ,
podemos caracterizar a∗ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 = a1 }. De este
modo, R2 /∼ = {(x, 0) : x ∈ R} y la distancia en el espacio cociente es
d∗ (a∗ , b∗ ) = |a1 − b1 |.
33
31. Sea d una distancia en un conjunto X . Diremos que d es ultramétrica si d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)}, ∀x, y, z ∈ X .
Supongamos que d es ultramétrica.
a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}.
b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y
cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).
c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto
y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).
d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en común, una de
ellas está contenida en la otra.
e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas de
radio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual a
r.
Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces
d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) ≤ máx{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c)
=⇒ d(a, c) = d(b, c) = máx{d(a, b), d(b, c)}.
Si d(a, b) > d(b, c), entonces
d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) ≤ máx{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c)
=⇒ d(a, c) = d(a, b) = máx{d(a, b), d(b, c)}.
b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε.
Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ máx{d(a, y), d(y, x)} < r =⇒ x ∈ B(a, r).
Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusión:
c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ máx{d(a, b), d(b, c)} < r =⇒ c ∈ B(a, r),
c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ máx{d(c, a), d(a, b)} < r =⇒ c ∈ B(b, r).
c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y sólo si
∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r).
Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y
d(a, z) ≤ máx{d(a, y), d(y, z)} ≤ r.
34
La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma análoga al apartado
b).
d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entonces
d(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ máx{d(a, x), d(x, b)} <
s.
Además ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ máx{d(y, a), d(a, b)} < s =⇒ y ∈
B(b, s).
Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y por
b), B(a, r) = B(b, r).
e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅.
Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒
d(A, B) = r.
Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ máx{d(x, c), d(c, y)} ≤ r =⇒ d(A, B) ≤ r.
Como d(A, B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A, B) = r.
32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones infinitas de elementos de X , E = {x = (xn )n∈N : xn ∈ X}. Para cada
par de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn , ∀n < k y
xk 6= yk , es decir, k es el menor
( ı́ndice que cumple que xn 6= yn . Si
1/K(x, y)
si x 6= y
definimos ahora d(x, y) =
demostrar que
0
si x = y,
d es distancia ultramétrica sobre E .
Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y.
También es claro que d(x, y) = d(y, x).
Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2 . Si n1 = n2 ,
es evidente que K(x, z) = n1 . Si n1 < n2 , entonces
x1 = y1 , . . . , xn1 −1 = yn1 −1 , xn1 6= yn1
y1 = z1 , . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2 −1 = zn2 −1, , yn2 6= zn2
=⇒ K(x, z) = n1 .
En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z).
Además máx{d(x, y), d(y, z)} = 1/n1 = d(x, z).
35
33. a) Si X es un espacio métrico, demostrar que la condición necesaria para que una sucesión {xn }n∈N sea de Cauchy es que
∀ε > 0, ∃n0 : d(xn , xn+1 ) < ε si n > n0 .
Demostrar el recı́proco con un contraejemplo.
b) Sea X un espacio ultramétrico. Probar que la condición necesaria y suficiente para que una sucesión de elementos de X sea
de Cauchy es que lı́m d(xn , xn+1 ) = 0.
n→∞
Resp.: a) La primera parte es evidente.
Para el recı́proco, consideramos la sucesión xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n.
Resulta entonces que d(xn , xn+1 ) =
1
n+1
< ε si n > 1/ε.
Sin embargo, si tomamos ε = 1/2,
d(xN , x2N ) = 1
1 1
1
1
+ ··· +
+ ··· +
= , ∀n ∈ N,
>
N +1
2N
2N
2N
2
es decir {xn }n∈N no es de Cauchy.
b) Supongamos que lı́m d(xn , xn+1 ) = 0, es decir d(xn , xn+1 ) <
n→∞
ε, ∀n > n0 . Sean p > q > n0 ; entonces d(xp , xq ) ≤ máx{d(xq , xq+1 ), d(xq+1 , xp )}.
A su vez, d(xq+1 , xp ) ≤ máx{d(xq+1 , xq+2 ), d(xq+2 , xp )}.
Repitiendo el proceso, obtenemos que
d(xp−2 , xp ) ≤ máx{d(xp−2 , xp−1 ), d(xp−1 , xp )} < ε.
En definitiva, d(xp , xq ) < ε y {xn }n∈N es de Cauchy.
36