Sergio Yansen Núñez Derivación Implícita 1. Sea una función

Sergio Yansen Núñez
Derivación Implícita
1.
Sea C œ 0 ÐBÑ una función definida implícitamente por la ecuación:
#
C † aC# B# b BC œ B #%$
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación C œ 0 aBb, en el
punto de abscisa B œ !.
Solución:
Sea Ð!ß 5Ñ el punto de la curva donde se desea determinar la tangente.
#
Reemplazando el punto en la ecuación C † aC # B# b BC œ B #%$ se obtiene:
#
5 † a5# !# b ! † 5 œ ! #%$ Í 5& œ #%$ Í 5 œ $
Cálculo de C w Ð!Ñ:
.
C † aC# B# b BC œ B #%$ / .B
#
#
Cw † aC# B# b C † #aC# B# bÐ#C † Cw #BÑ C BCw œ "
reemplazando B œ !ß C œ $ en la ecuación anterior se obtiene:
#
Cw (0) † a3# 0# b 3 † #a3# 0# bÐ# † 3 † Cw (0) # † 0Ñ 3 0 † Cw (0) œ "
#
Cw (0) † 81 $#%Cw (0) $ œ " Í Cw (0) œ %!&
Sea C œ 7B , la ecuación de la recta tangente
#
#
7 œ %!&
Ê C œ %!&
†B,
Reemplazando el punto Ð!ß $Ñ en la ecuación
,œ$
#
C œ %!&
† B , se obtiene
#B
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ %!&
3.
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2.
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva C œ 0 ÐBÑ definida
implícitamente por la ecuación ÈC BC# œ & en el punto Ð%ß "Ñ Þ
ÈC BC# œ &
Solución:
"
Cw
#†ÈC
.
y .B
C# #BCCw œ !
"
#BC‹Cw œ C#
Š #†È
C
Cw œ
C#
"
#†ÈC #BC
#
Cw ¸Ð%ß"Ñ œ "(
#
La pendiente de la recta tangente en el punto indicado es 7 œ "(
Sea P À C œ 7B , la ecuación de la recta tangente
#
Reemplazando Ð%ß "Ñ y 7 œ "(
en C œ 7B , se obtiene , œ #&
"(
Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto Ð%ß "Ñ es:
#
#&
C œ "(
B "(
.
3.
Determine la pendiente de la recta normal a la curva del diablo
C% *B# œ %C# B% en el punto Ð$ß #Ñ .
Solución:
C% *B# œ %C# B%
.
Î .B
%C$ † C w ")B œ )C † Cw %B$
$
")B
Cw œ %B
%C$ )C
Cw ¹
Ð$ß#Ñ
œ #(
)
la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto Ð$ß #Ñ es #(
)
8
la pendiente de la recta normal a la curva en el punto Ð$ß #Ñ es 27
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4.
Sea C œ 0 ÐBÑ una función definida implícitamente por la ecuación
B# BC C# œ $ . Determine la ecuación de la recta tangente a la curva
C œ 0 ÐBÑ en el punto, ubicado en el primer cuadrante, de ordenada C œ ".
Solución:
Sea Ð2ß "Ñ el punto donde se determinará la tangente a la curva.
Reemplazando Ð2ß "Ñ en la ecuación B# BC C# œ $ se obtiene:
2# 2 " œ $
2# 2 # œ !
Ð2 "ÑÐ2 #Ñ œ !
2 œ " pues Ð"ß "Ñ pertenece al primer cuadrante
.
B# BC C# œ $ Î .B
#B C B † Cw #C † Cw œ !
ÐB #CÑCw œ C #B
C#B
Cw œ B#C
Cw Ð"Ñ œ "#
"# œ "
Recta tangente: C œ 7B ,
donde 7 œ Cw Ð"Ñ œ "
Se tiene C œ B ,
Reemplazando Ð"ß "Ñ en C œ B , se obtiene " œ " , Í , œ #
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ B #
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5.
Sea
C œ 0 ÐBÑ una
B
BC œ / /C #.
función
definida
implícitamente
por
la
ecuación
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por C œ 0 ÐBÑ en el
punto Ð!ß !Ñ.
Solución:
BC œ /B /C #
Ð!ß !Ñ es un punto de la curva, pues
0 † ! œ /! /! #
!œ!
.
‚ .B
BC œ /B /C #
C BCw œ /B /C † Cw
BCw /C † Cw œ /B C
Cw ˆB /C ‰ œ /B C
/B C
C w œ B /C
Cw º
ÐBßCÑœÐ!ß!Ñ
!
œ /! /!! œ "
La recta tangente
X À C œ 7B , donde 7 œ "
X ÀC œ B ,
Ð!ß !Ñ − X
! œ !,
,œ!
Por tanto, la recta tangente viene dada por la ecuación
C œ B
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6.
Sea
C œ 0 ÐBÑ una
$
$
B BC )/C œ !.
función
definida
implícitamente
por
la
ecuación
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de ordenada
C œ !.
Solución:
Sea Ð2ß !Ñ un punto de la curva, reemplazando las componentes de Ð2ß !Ñ
en B$ BC$ )/C œ ! se obtiene 2$ ) œ ! Ê 2 œ #.
Cálculo de C w Ð #Ñ:
.
B$ BC$ )/C œ ! / .B
$B# C$ B † $C# † Cw )/C † Cw œ !
Ð$BC# )/C ÑC w œ $B# C$
$B# C$
Cw œ $BC# )/C
$Ð#Ñ# !$
Cw Ð #Ñ œ $†Ð#ц!# )/! œ #$
Sea la recta tangente X À C œ 7B , con 7 œ Cw Ð #Ñ œ $#
Reemplazando Ð #ß !Ñ en C œ $# B , se obtiene , œ $.
Por tanto, la recta tangente es X À C œ $# B $
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7.
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva C œ 0 ÐBÑ, definida
implícitamente por la ecuación 68ÐCÑ BC œ /#B " , en el punto de abscisa
B œ !.
Solución:
Si B œ !
68ÐCÑ œ ! Ê C œ "
T œ Ð!ß "Ñ
68ÐCÑ BC œ /#B "
.C
.
Î .B
.C
"
C
† .B ŠC B † .B ‹ œ #/#B
"
C
† .B C B † .B œ #/#B
.C
.B
.C
.C
.C
C# BC † .B œ #C/#B
.C
Š" BC‹ † .B œ #C/#B + C#
.C
.B
œ
#C/#B C#
" BC
.C
.B ¹Ð!ß"Ñ
"
œ "# ! œ$
X À C œ $B ,
Ð!ß "Ñ − X
Ê
X À C œ $B "
"œ,
Î †C
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8.
#
Considere la ecuación #BC #BC $ œ ! que define implícitamente a C como
función de B. Determine el valor de Cw cuando B œ " e C es un valor positivo.
Solución
#
Reemplazando B œ " en #BC #BC $ œ ! se obtiene
#
C
#C $ œ !
Ê C œ "#
”
Como C ! , se tienen que C œ #
#B#
C
#Š
.
#BC $ œ ! Î .B
#BC B# Cw
‹ #ÐC
C#
#BC B# Cw C$ BC# Cw œ !
#BC C$ œ ÐB# BC# ÑCw
#BC C$
Cw œ B# BC#
Cw ¹
Bœ"ß Cœ#
C#
BCw Ñ œ ! Î † #
)
%
œ %" % œ &
Cœ#
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9.
Considere la relación ÐB# C# Ñ# œ BC "' que define implícitamente a C
como función de B. Determine el valor de Cw cuando la abscisa es negativa y la
ordenada es C œ !.
Solución:
ÐB# C# Ñ# œ BC "'
#ÐB# C# ÑÐ#B #C † Cw Ñ œ C B † Cw
%BÐB# C# Ñ %CÐB# C# Ñ † Cw œ C B † Cw
%CÐB# C# Ñ † C w B † Cw œ C %BÐB# C# Ñ
Š%CÐB# C# Ñ B‹Cw œ C %BÐB# C# Ñ
C %BÐB# C# Ñ
Cw œ %CÐB# C# Ñ B
Para C œ !, se obtiene B œ #
Cw ¹
Ð#ß!Ñ
œ "'