Potenciales electromagnéticos

Los potenciales electromagnéticos
Los potenciales electromagnéticos.
Transformaciones de contraste.
Ecuación de ondas para los potenciales.
Soluciones retardadas.
Campos de radiación.
Radiación de sistemas sencillos: el dipolo
eléctrico y el dipolo magnético.
Electromagnetismo
Andrés Cantarero
Grupo C. 2005-2006
Campos “estáticos”
Cargas en reposo
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ r) =
E(~
1
4πε0
Corrientes estacionarias
~ ×B
~ = μ0 J~
∇
Potenciales
~ = −∇V
~
E
Z Z Z
~ r ) = μ0
B(~
4π
Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son
V
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |3
Z ~ 0
J (~r ) × (~r − ~r0 )d3~r0
|~r − ~r0 |3
~ =∇
~ ×A
~
B
Los campos y las fuentes
De las ecuaciones de Maxwell que contienen las
fuentes,
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
Campos variables en “t”
~
~ ×B
~ − μ0 ε0 ∂ E = μ0 J~
∇
∂t
podríamos hallar los campos directamente a partir
de las fuentes. Esto es complicado.
Se trata entonces de hallar unas ecuaciones que
nos permitan la obtención de los potenciales a
partir de las fuentes
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~
∂
B
~ ×E
~ =−
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ = μ0 J~ + μ0 ε0 ∂ E
∇
∂t
De la ley de Faraday
~ ×A
~
~ ×E
~ =−∂∇
∇
∂t
luego
~ ×
∇
Ã
~
~ + ∂A
E
∂t
!
=0
~
~ = −∇V
~ − ∂A
E
∂t
Los potenciales y las fuentes
Sustituyendo los campos en términos de los
potenciales en las ecuaciones anteriores,
∂
ρ
∇2 V + (∇ · A) = −
∂t
ε0
¶
µ
¶
µ
1 ∂V
1 ∂2A
= −μ0 J
∇2 A − 2
−∇ ∇·A+ 2
2
c ∂t
c ∂t
obtenemos 4 ecuaciones diferenciales
acopladas, que nos permiten determinar los
potenciales a partir de las fuentes
1
Transformaciones de contraste
Son aquellas transformaciones sobre los potenciales
que dejan invariantes los campos
Sabemos que el rotacional del gradiente es cero,
luego si en vez del potencial A utilizamos el
potencial A0 = A + ∇Λ obtendremos el mismo
campo magnético. Pero queremos obtener también el
mismo campo eléctrico, luego la función Λ(r, t) ha
de imponer alguna condición adicional sobre el
potencial escalar:
E = −∇V 0 −
¶
µ
∂A0
∂
∂Λ
∂A
= −∇V 0 − (A + ∇Λ) = −∇ V 0 +
+
∂t
∂t
∂t
∂t
Transformaciones de contraste
Las ecuaciones
∂
ρ
∇ V + (∇ · A) = −
∂t
ε0
¶
µ
¶
µ
1 ∂V
1 ∂2A
∇2 A − 2
−
·
= −μ0 J
∇
∇
A
+
c ∂t2
c2 ∂t
2
Pueden simplificarse escogiendo, por
ejemplo
(contraste de Coulomb)
∇·A=0
1 ∂V
∇·A=− 2
c ∂t
(contraste de Lorentz)
Contraste de Coulomb
Las ecuaciones se simplifican a
∇2 V = −
ρ
ε0
¶
µ
µ
¶
1 ∂V
1 ∂2A
∇2 A − 2 2 − ∇ 2
= −μ0 J
c ∂t
c ∂t
La primera ecuación es la “ecuación de
Poisson”, cuya solución es conocida:
1
V (r, t) =
4πε0
Z
ρ(r 0 , t) 3 0
d r
|r − r 0 |
¡Problema de la simultaneidad!
Transformaciones de contraste
Los potenciales vector y escalar están
definidos salvo una función arbitraria.
Los potenciales
A0 = A + ∇Λ
V0 =V −
∂Λ
∂t
generan los mismos campos
electromagnéticos que A y V
Las transformaciones de contraste (de gauge)
son transformaciones sobre los potenciales
que simplifican la determinación de los
mismos
Contraste de Coulomb
Sea un potencial vector con divergencia no
nula, ∇ · A = F (r, t)
Sea la función Λ solución de la ecuación de
Poisson ∇2 Λ = −F
El nuevo potencial A0 = A + ∇Λ cumplirá
∇ · A0 = ∇ · A + ∇2 Λ = F − F = 0
Luego siempre podremos encontrar un
potencial que cumpla la condición de
Coulomb
Contraste de Coulomb
Reescribamos la ecuación 2 como
µ
¶
2~
~ − 1 ∂ A = −μ0 J~ + 1 ∇
~ ∂V
∇2 A
2
2
2
c ∂t
c
∂t
Escribamos la corriente en dos componentes,
J~ = J~t + J~l
~ · J~t = 0
∇
~ × J~l = 0
∇
Hallando la derivada temporal de la ecuación de Poisson,
1 ~ ~
1 ∂ρ
∂ 2
∇ V =−
= ∇
· Jl
∂t
ε0 ∂t
ε0
~−
∇2 A
~
1 ∂2A
= −μ0 J~ + μ0 J~l = −μ0 J~t
c2 ∂t2
2
Contraste de Lorentz
~ ·A
~ + 1 ∂V = F (~r, t)
Supongamos que ∇
c2 ∂t
Veamos qué función Λ necesitamos para
que dicha suma sea cero. Tomando
~0 = A
~ + ∇Λ
~
A
V0 =V −
∂Λ
∂t
0
2
~ ·A
~ + 1 ∂V + ∇2 Λ − 1 ∂ Λ
~ ·A
~ 0 + 1 ∂V = ∇
∇
c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t2
1 ∂ 2Λ
∇2 Λ − 2 2 = −F
c ∂t
Potenciales retardados
En el caso estático las ecuaciones en el contraste de
Lorentz se reducen a ecuaciones de Poisson, cuya
solución ya conocemos:
V (~r) =
1
4πε0
0
ρ(~r ) 3 0
d ~r
R
~ r ) = μ0
A(~
4π
Z ~ 0
J(~r ) 3 0
d ~r
R
~ = |~r − ~r0 |
con R = |R|
Cuando los tiempos varían con el tiempo, la
generalización natural es tomar:
V (~r, t) =
1
4πε0
Z
ρ(~r0 , t0 ) 3 0
d ~r
R
t0 = t −
R
c
~ r, t) = μ0
A(~
4π
Z ~ 0 0
J(~r , t ) 3 0
d ~r
R
~−
∇2 A
~
1 ∂ 2A
= −μ0 J~
c2 ∂t2
"
à !# "
à !#)
Z (
~
~
~
~
1 R
R
R
R
~ ρ̇ + ρ̇∇
~
~ + ρ∇
~
−
−
d3~r0
∇
∇ρ
2
2
3
c R
R
R
R3
Nuevamente, hay que derivar a través del
tiempo retardado:
~
~ = − 1 ρ̈ R
~ ρ̇ = − 1 ρ̈∇R
∇
c
c R
∇2 V −
1 ∂2V
ρ
=−
c2 ∂t2
ε0
Potenciales retardados
Si son soluciones deben de cumplir la ecuación de
ondas inhomogenea. El gradiente del potencial es
~ =
∇V
1
4πε0
Z ∙
¸
1~
~ 1 d3~r0
∇ρ + ρ∇
R
R
La densidad depende de la posición a través del
tiempo retardado
~
luego el gradiente del potencial es
~ =
∇V
1
4πε0
tiempo retardado
La laplaciana es la divergencia del
gradiente:
1
4πε0
~ ·A
~ + 1 ∂V = 0
∇
c2 ∂t
~ = − 1 ρ̇ R
~ = ρ̇∇t
~ 0 = − 1 ρ̇∇R
∇ρ
c
c R
Potenciales retardados
∇2 V =
Tomando por tanto
Se obtienen 4 ecuaciones de onda
desacopladas para los potenciales
obtenemos
Z
Contraste de Lorentz
Z "
−
#
~
~
R
ρ̇ R
d3~r0
ρ
−
c R2
R3
Potenciales retardados
La laplaciana del potencial es por tanto:
∇2 V =
1
4πε0
Z ∙
¸
2
1 ρ̈
~ d3~r0 = 1 ∂ V − 1 ρ(~r, t)
− 4πδ(R)
2
c R
c2 ∂t2
ε0
luego las soluciones para los potenciales son,
efectivamente
V (~r, t) =
1
4πε0
Z
ρ(~r0 , t0 ) 3 0
d ~r
R
~ r, t) = μ0
A(~
4π
Z ~ 0 0
J(~r , t ) 3 0
d ~r
R
Se denominan potenciales retardados ya que se calculan en
el tiempo retardado
t0 = t − R/c
3
El campo eléctrico
El campo magnético
De los potenciales retardados podemos derivar los campos
V (~r, t) =
1
4πε0
Z
ρ(~r0 , t0 ) 3 0
d ~r
R
~ r, t) = μ0
A(~
4π
Z ~ 0 0
J(~r , t ) 3 0
d ~r
R
El gradiente del potencial
" escalar ya lo#habíamos derivado
~ =
∇V
1
4πε0
Z
−
~
~
ρ̇ R
R
− ρ 3 d3~r0
c R2
R
y la derivada temporal del potencial vector es inmediata,
luego el campo eléctrico es
~ r , t) =
E(~
1
4πε0
Z "
#
~
~˙ r 0 , t0 )
~
ρ̇ R
R
1 J(~
d3~r0
+
ρ
−
c R2
R3
c2
R
Ecuaciones de Jefimenko
1
4πε0
Z "
#
µ ¶
Z "~
~ r 0 , t0 )
∇ × J(~
~ r , t) = ∇
~ × A(~
~ r , t) = μ0
~ 1 × J(~
~ r 0 , t0 ) d3~r0
B(~
+∇
4π
R
R
¸
∙
p
∂Jy ∂t0
1
∂Jy
∂
x − x0
0
2
0
2
=
= J˙y
(x − x ) + (y − y ) + (z − z 0 )2 = −J˙y
t−
∂x
∂t0 ∂x
∂x
c
cR
˙
~ × J~
J~ × ~uR
∇
=
R
cR
~
~uR
R
−1
~
#
∇R = − 3 = − 2
Z "~ 0 0
R
R
~˙ r 0 , t0 )
J(~r , t ) J(~
~ r, t) = μ0
× ~uR d3~r0
B(~
+
2
4π
R
cR
~
~ −1 × J~ = J × ~uR
∇R
R2
Potenciales de una carga puntual
En electrostática
Campos cercanos, campos intermedios,
campos lejanos
~ r, t) =
E(~
El campo magnético es simplemente
V (~r) =
#
~˙ r 0 , t0 )
ρ(~r0 , t0 )
ρ̇(~r0 , t0 )
J(~
~
u
d3~r0
~
u
+
−
R
R
R2
cR
c2 R
1
4πε0
Para una carga puntual,
ρ(~r0 ) = qδ(~r0 − ~rq )
Z
ρ(~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |
V (~r) =
Si la carga se mueve,
#
Z "~ 0 0
~˙ r0 , t0 )
J(~r , t ) J(~
~ r, t) = μ0
B(~
+
× ~uR d3~r0
2
4π
R
cR
Luego los potenciales son:
¿Son correctos los potenciales?
0
0
0
dx00 = dx0 − ẋq
dx00 = dx0 −
ẋq
c
µ
µ
~r00 = ~r0 − ~rq (t0 )
∂t0 0 ∂t0 0 ∂t0 0
dx + 0 dy + 0 dz
∂x0
∂y
∂z
¶
x − x0 0
y − y0 0
z − z0 0
dx +
dy +
dz
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
¶
El elemento de volumen
d3~r00 = d3~r0 J (~r00 )
0
ρ(~r , t ) = qδ(~r − ~rq (t )) = qδ(~r − ~rq (t − |~r − ~r |/c))
~ r, t) = μ0 q~vq (t)
A(~
4π |~r − ~rq (t)|
q
1
4πε0 |~r − ~rq (t)|
Hagamos el cambio de variable:
Si derivamos,
Estamos diciendo que para una descripción correcta hay
que tener el cuenta la velocidad finita de la luz (i.e. el
punto campo “recibe” información del cambio en el punto
fuente con un cierto retraso). Luego nuestras soluciones no
son correctas. ¿Cuál es la forma correcta de proceder? Si la
carga se desplaza, hemos de utilizar el radiovector que nos
indica el desplazamiento de la carga calculado en el tiempo
retardado
0
~ r 0 , t) = ρ(~r0 , t)~vq (t)
J(~
ρ(~r0 , t) = qδ(~r0 − ~rq (t))
V (~r, t) =
0
q
1
4πε0 |~r − ~rq |
La integral en la delta queda
Z
δ(~r00 )
d3~r00
1
1
1
1
=
=
|~r − ~r00 − ~rq (t0 )| J (~r00 )
|~r − ~rq (t0 )| J (0)
|~r − ~rq (t0 )| 1 − ~v · ~uR /c
4