Capitulo 1 MATRICES Introducción

Curso elemental de algebra lineal
Capitulo 1
MATRICES
Introducción
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El
desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el
estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría,
estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de
programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas
organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m
líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los
subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el
segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es decir,
si es de dimensión nxn.
Así:
1 2
A=
7 8
es una matriz cuadrada de orden 2 y
1 2 9
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
[email protected]
Curso elemental de algebra lineal
B =
7 8 6
4 5 2
es una matriz cuadrada de orden 3.
En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22 = 8, se denominan los elementos de la diagonal.
También lo son los números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B.
A los elementos
ii
(
11,
22,
33,
etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal.
Igualdad de Matrices
Definición: Dos matrices de la misma dimensión
A = (aij )
B = (bij)
mxn
si y sólo sí
Por lo tanto:
mxn
, son iguales
aij = bij , para todo i,j.
2 3 5
2 3
5
4 -1 2
4 1
2
A =
=
B,
puesto que a pesar de que:
aij = bij para todo (i,j)
a22
(2,2), tenemos que:
b22
Problema resuelto 1:
Describa en detalle a la matriz
A = ( aij ) 3x3, donde
aij = 3i + j2.
Solución:
Los elementos serán: a11 =3 (1) + 12,
a21 =3 (2) + 12 ,
a31 =3 (3) + 12 ,
a12 =3 (1) + 22 ,
a22 =3 (2) + 22 ,
a32 =3 (3) + 22 ,
a13 =3 (1) + 32 ,
a23 =3 (2) + 32 ,
a33 =3 (3) + 32.
Efectuando los cálculos correspondientes:
A
=
4
7 12
7 10 15
10 13 18
Ejercicios propuestos
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
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Curso elemental de algebra lineal
1.
Halle si es posible, todos los valores de cada incógnita para que cada una de las siguientes
igualdades se cumpla:
2
4
a)
y
4
5
7
=
5
x+2
x
0
2
b)
0
=
9
y
y
x
2.
Escriba explícitamente la matriz A = (aij)4x5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4.
3.
Escriba explícitamente la matriz
4. Dadas las matrices A = (aij)4x4
A
1
= -1
2
0
2
3
-3 -5
3 4
0 1
4
1
1
0
,
A = (aij)4x4 , si aij = (-1)
y
i+j
j = 1,2,3,4,5.
, (i , ,j = 1,2,3,4).
B = (bij)4x5 ;
B
=
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
-1
1
-1
1
Describa explícitamente a la matriz C = (cij)4x4 , si cij = ai jbj j
1
2
1
2
+
2 bi j
(i , ,j = 1,2,3,4).
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define
la
matri z
suma
como:
A+B=(aij+bij).
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
Es
decir,
aquella
matri z
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cuyos
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elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que
ocupan la misma
posición.
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La
suma
de
dos
matrices
de
orden
m
x
n
es
otra
matriz
dimensión m x n.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La
matriz
opuesta
es
aquella
en
que
todos
los
elementos
cambiados de signo.
Conmutativa:
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
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es tán
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A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real k
R, se define el producto
de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en
la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Propiedades
a ·
a
(b · A) = (a · b) · A A
·
Mmxn, a, b
(A+B) = a · A + a · BA,B
(a+b) · A = a · A+b · A A
1 · A = A A
Mmxn , a
Mmxn , a, b
Mmxn
Producto de matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de
columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm
x n
x Mn
x p
= M
m x p
El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando
cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la
columna j de la matriz B y sumándolos.
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
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Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
Matrices. Ejercicios y problemas
1
Dadas las matrices:
Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo
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Calcular:
A + B;
2
A - B;
A . B;
B . A;
At.
Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
3
Por
qué
matriz
hay
para que resulte la matriz
4
que
premultiplicar
la
matriz
.
Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
5
Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres
terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación
N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce
del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la
termi naci ón L y 30 uni dades en l a termi naci ón S. La termi naci ón N ll eva 25
horas de tal l er y 1 hora d e admi ni straci ón. La termi nación L l l eva 30 horas de
taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y
1.3 horas de administración.
1.Representar la información en dos matrices.
2.Hal l ar una matri z que exprese l as hora s
empleadas para cada uno de los modelos.
6
de
taller
y
de
administ ración
Calcular el rango de la matriz siguiente:
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7
Siendo:
Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones :
M a t r i c e s . E v a lu a c i ó n
Exa m en
1
Sean las matrices:
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Efectuar las siguientes operaciones:
(A + B)
2
2
;
(A - B)
2
;
(B)
3
;
A · B · C.
Sean las matrices:
1Justificar si son posibles los siguientes productos:
1(A · B ) · C
2(B · C ) · A
2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M ·
C
3Determina la dimensión de M para que C · M sea una matriz cuadrada.
3
Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:
4
Siendo:
Resolver la ecuación matricial:
A X + 2 B = 3 C
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5
Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno
de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000
pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000
pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada
estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos .
1Representar esta información en dos matrices.
2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes
necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos -tamaño de
estantería.
Tipos de matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
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Matriz rectangular
La
matriz
rectangular
tiene
distinto
número
de
filas
que
de
columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior
En
una
matriz
triangular
superior
los
elementos
situados
debajo de la diagonal principal son ceros.
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Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima
de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y
por debajo de la diagonal pr incipal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos
de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos
de la diagonal principal son iguales a 1.
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Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que
se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·
B)t = Bt · At
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
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Matriz nilpotente
Una matriz
se dice nilpotente si existe
tal que Nk = 0.
Si A es una matriz nilpotente entonces det(A)=0.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada
que verifica:
A = -At.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
Matriz hermitiana
Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene
la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima
fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna,
para todos los índices i y j:
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o, escrita con la traspuesta conjugada A*:
Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
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