Criterios de convergencia series numéricas I

Apuntes de Ximo Beneyto
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
1.- CRITERIO DE COMPARACIÓN ( MEDIANTE ACOTACIÓN )
Sea
una Serie de Términos positivos, y
una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos.
P Si
œn0ù y
CONVERGE Y
P Si
œn0ù y
DIVERGE Y
CONVERGE
DIVERGE
[ Para aplicar este criterio, mayoraremos con una Serie Convergente y minoraremos con una Serie Divergente,
pues de los contrario no obtendremos criterio para
]
DEMOSTRACIÓN
i) Si
œn0ùy
Al ser
CONVERGENTE Y ›
Y Como
es monótona creciente (
œn0ù Y
ii) Si
Y
es de términos positivos ) y Acotada Superiormente Sn # S'
Es Sucesión CONVERGENTE Y
y
= +4 Y
ES UNA Serie CONVERGENTE
DIVERGE
DIVERGENTE Y de términos positivos
Al ser
Y
CONVERGE
, así,
$
DIVERGE
En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
œn0ù y
* Si
œn0ù
DIVERGE
DIVERGE y
œn0ù y
* Si
œn0ù
Y el criterio no decide nada acerca de
también
CONVERGE
Y el criterio no decide nada acerca de
DIVERGE y
también
2. CRITERIO DE COMPARACIÓN ( Mediante límite )
Sea
una serie de términos positivos.
Si : › k 0 ú+
#kœn0ù Y
Converge Y
Si : › k 0 ú+
$kœn0ù Y
Diverge Y
CONVERGE
DIVERGE
Las demostraciones son muy sencillas:
En efecto :
Si › k 0 ú+ /
# k œ n 0 ù Y an # kA bn œ n 0 ù . Como
CONVERGE Y Aplicando el primer criterio de comparación
Si › k 0 ú+ /
CONVERGE Y
CONVERGE
$ k œ n 0 ù Y an $ kA bn œ n 0 ù . Como
Y Aplicando el primer criterio de comparación
DIVERGE Y
DIVERGE
DIVERGE
Establezcamos el resultado con la estructura operativa del CRITERIO
Sea
una serie de términos positivos y
una serie auxiliar de terminos positivos
Sea
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
1. Si R … 0, 4
y
Tienen el mismo carácter
2. Si R = 0 y
CONVERGE Y
3. Si R = 4 y
DIVERGE Y
CONVERGE
DIVERGE
Demostración.
R…0y
1.- Sea
CONVERGE
Por definición :
œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y
< g ] - g<
œ n $n0 Y
< g ]
]
Y en virtud de la comparación mediante acotación
y por tanto
CONVERGE
CONVERGE.
œ n $n0 elegimos
Si de la desigualdad
Y an > (R - g) bn Y
DIVERGE y
2.-
CONVERGE
=0
y
y
DIVERGENTE
DIVERGE
Por definición :
œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y
comparación Y Como
3.-
=4
y
< g ](
CONVERGE Y
)
< g Y en virtud del criterio de
CONVERGE Y
CONVERGE.
DIVERGE
Por definición :
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
œ k 0 ú+ 0 › n0 ( k) / si n $n0 Y
>k ]
DIVERGE Y
Como
Y utilizando el criterio de comparación Y
DIVERGE Y
DIVERGE
CRITERIO DEL COCIENTE
En efecto, sea
por definición,
œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y
] œ n $n0 Y
< g ] - g<
, en particular, tomemos un> 0 / R + g1 < 1 Y › n1 ( g1) /
. Si llamamos r = R + g1 < 1 Y
.
< g ]
œ n $n1
œ n $n1 Y
an+1 < r A an
an+2 < r A an+1 < r2 A an
...............................
an+p < rp A an
Consideremos la Serie
CONVERGE Y
=
que es una Serie Geométrica cuya razón r < 1 y por tanto
CONVERGE Y
CONVERGE Y
CONVERGE
( Añadiendo un nº finito de términos )
* Si
R0ú
Efectuamos una demostración análoga a la anterior con
Criterios de Convergencia
g1 / R - g1 > 1 y una construcción idéntica.
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Apuntes de Ximo Beneyto
* Si
* Si R = 1 pero R 6 1+ Y
A partir de un n0 en adelante Y an+1 $ an con lo cual
es una
Sucesión monótona creciente de términos positivos Y no puede tener límite cero Y DIVERGE.
CRITERIO DE LA RAÍZ
Demostración
*
R<1
œ g > 0 › n0 ( g) / si n $n0 Y
< g ] - g<
En particular, sea g1 > 0 / R + g1 < 1
› n1 si n $ n1
< g ]
]
Es una Serie Geométrica CONVERGENTE ( |R + g1 | < 1 ) Y
Y
*
CONVERGE
CONVERGE
R>1 R0ú
Con el mismo razonamiento anterior Y
g2 > 0 / R - g2 >1 › n2 si n $ n2 Y
Es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( |R - g2 | = R - g2 > 1 ) Y
Criterios de Convergencia
DIVERGE Y
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DIVERGE
R>1 R=4
*
œ k > 0 › n0 ( g) / si n $ n0 Y
en particular, para un k1 > 1
>k,
› n1 ( g) / si n $ n1 Y
>k
] an > kn
es una Serie Geométrica DIVERGENTE ( | k | = k > 1 ) Y mediante Criterio de Comparación Y
DIVERGE Y
, R = 1+,
*
Si
DIVERGE
R 61+ Y
R 6 1+
$ 1 a partir de un n0 en adelante Y an $ 1n a partir de un n0 Y
Y
DIVERGE
CRITERIO DE KUMMER
Sea
una Serie de términos positivos, y sea
una Sucesión de números reales positivos.
Sea
si
› k $ 0 / Kn $ k
si Kn # 0
œn0ù
Y
CONVERGE
œn0ù Y
DIVERGE Y
› k $ 0 / Kn $ k
œ n 0 ù Si Kn $ k Y
DIVERGE
Veamos :
1.
Y kn A an - kn+1 A an+1 $ k A an+1 œ n 0 ù
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
Asignando a n los valores n = 1, ..., p-1
k1 A a1 - k2 A a2 $ k A a2
k2 A a2 - k3 A a3 $ k A a4
k3 A a3 - k4 A a4 $ k A a5
.............................................................
kp-1 A ap-1 - kp A ap $ k A ap+1
Sumando
k1 A a1 - kp A ap $ k A ( a2 + a3 + ... + ap ) Y k ( a2 + a3 + ... + ap ) # k1 A a1 - kp A ap # k1 A a1
œp0ù
Sea
a la sucesión de Sumas Parciales asociada a
Sp #
œp0ù Y
Superiormente Y CONVERGENTE Y
2.
si Kn # 0
œn0ù y
tendremos que
es una Sucesión de términos positivos y acotada
es una Serie Convergente.
DIVERGE
œn0ù Y
Y
Y kn+1 A an+1 $ kn A an
k1 A a1 > 0
Como
Es DIVERGENTE y es de términos positivos
œ n 0 ù Y kn+1 A an+1 $ k1 A a1 Y
Como
DIVERGE
Y aplicando el CRITERIO DE COMPARACIÓN Y
CONVERGE
Versión mas utilizada del criterio de Kummer
Criterios de Convergencia
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1. Si existe
CRITERIO DE RAABE
Demostración :
Basta con tomar kn = n en el criterio de Kummer
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [a, +4 [,
y
=0 si
tienen el mismo carácter.
Demostración
Sea " = [a] Y
"#a< "+1
Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1
Como f es decreciente Y œ x 0 [ m, m+1 ]
f(m+1) # f(x) # f(m)
Además, f es POSITIVA Y ( Área )
Criterios de Convergencia
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Y
Si tomamos m = " + 1,
" +2, ... , n
..................................................
Sumando término a término :
* Si
es CONVERGENTE Y
Y
existirá y será FINITO
œn0ù
Y
YLas Sumas parciales de la Serie
Y
* Si
están ACOTADAS superiormente
es una SERIE CONVERGENTE
es DIVERGENTE Y
= +4 y por tanto ...
CRITERIO DE COMPARACIÓN
Mediante LÍMITE. Sea
una Serie de términos positivos y
una Serie (Auxiliar ) de
términos positivos
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
CRITERIO DE PRINGSHEIM
Sea
una Serie de términos positivos y
Demostración.
Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las Series
y
(Serie
Armónica )
TEOREMA
Dada una serie semiconvergente
puede ser REORDENADA del tal modo que la serie obtenida sea :
1. CONVERGENTE y tenga por Suma un número " 0 ú
2. DIVERGENTE
3. NO SUMABLE
Demostración.
* Sea
una Serie Semiconvergente y " 0 ú
Sean las Series Auxiliares
forma en la que aparecen en
[ formada por los términos positivos de
ORDENADOS en la
] y
( idem.. Por los términos negativos cambiados de signo y también ordenados )
Ambas series son de TÉRMINOS POSITIVOS
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
es SEMICONVERGENTE Y
Sea " 0 ú un número real cualquiera
Es DIVERGENTE y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales asociada
no está acotada superiormente [ œ k 0 ú › n0 /
,
En particular, para " 0 ú tomemos n1 0 ù / S'1 # S'2 # ... #
k]
#"<
en ser mayor que ".
Es la primera Suma parcial de
" < p1.+ p2 + ... +
Es DIVERGENTE y de términos positivos Y RESTANDO de p1.+ p2 + ... +
de términos q1 , q2 , ... Obtendremos una cantidad MENOR que ". Sea n2 la
p1.+ p2 + ... +
- q1 - q2 - ... -
un nº suficiente
menor de ellas /
< " < p1.+ p2 + ... +
Añadamos ahora los términos positivos sucesivos
hasta conseguir sobrepasar de nuevo a
"
y sea n3 el menor de estos números /
p1.+ p2 + ... +
- q1 - q2 - ... -
+
> "
Restemos ahora el número imprescindible de términos de
sucesivos a los anteriores para que el
número obtenido sea inferior a ", sea n4 /
p1.+ p2 + ... +
- q1 - q2 - ... -
+
-
< " < (I)
Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de
Criterios de Convergencia
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p1.+ p2 + ... +
- q1 - q2 - ... -
+
-
+
+
a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie Y
Si llamamos
=
-
=
1 # n # n1 + n2 -1
<
-
=
n1+n2 # n # n1 + n2 +n3 -1
<
-
n1 + n2 +n3 # n # ...
<
Y así sucesivamente
Si
2. Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia 4 reordenando términos ...
p1.+ p2 + ... +
/ p1.+ p2 + ... +
Y p1.+ p2 + ... +
- q1 > 1
Y p1.+ p2 + ... +
- q1 +
Si llamamos
> q1 + 1
+ ... +
- q2 >2
a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que :
Y
es tal que
Y La Serie obtenida DIVERGE
Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4
Podemos descubrir una Serie reordenada como
CONVERGENCIA CONDICIONAL E INCONDICIONAL
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
Una Serie
es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE y cualquier Serie
deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es.
es CONDICIONALMENTE CONVERGENTE si es CONVERGENTE pero existe una reordenación
de sus términos para la cual la Serie es divergente.
Y ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE ]
SEMICONVERGENTE ] CONDICIONALMENTE CONVERGENTE
TEOREMA
Sea
una Serie de términos positivos Y
es incondicionalmente convergente.
La Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenat de cualquier manera los términos de
la Serie.
* Sea
una Serie de términos positivos y sea
la serie resultante de practicar una reordenación
cualquiera de sus términos.
Sean
Y
las Sucesiones de sumas parciales asociadas a
ya
respectivamente.
Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n }
S'n # Sm Y
es CONVERGENTE Y
Como
está acotada superiormente por la Suma de la Serie, S Y œ n
0 ù › m 0 ù / S'n # Sm # S
Está acotada superiormente por S Y
Es CONVERGENTE y su suma S’ # S Y Las
Series de términos positivos son incondicionalmente convergentes.
Como
es una serie de términos positivos CONVERGENTE y son suma S’ podemos obtener
mediante la reordenación recíproca de F, F-1 Y S # S’ Y S = S'
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
TEOREMA
Una Serie de términos reales cualesquiera es INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE ]
ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.
Y
Por reducción al absurdo:
Sea
, an 0 ú una serie INCONDICIONALMENTE CONVERGENTE si
absolutamente convergente Y
No fuese
sería una serie semi.convergente, para la cual existirían reordenaciones que la
harían perder el carácter de convergente, en contra de la conver. ?
Z
Si
es ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE Y Las Series Asociadas
y
serán convergentes.
Reordenando
Serán convergentes Y
y
Convergente Y
incondicionalmente convergente
SERIES
Descomposición de factoriales
Se suman con esta técnica aquellas series cuyo numerador es un polinomio en “n” y el denominador es una
expresión con factorial ( n!, (n+1)!, etc )
La técnica adecuada se apoya en un resultado del cálculo infinitesimal, procedente del desarrollo en Serie para
la función f(x) = ex
Como
Y tomando n = 1 Y
Planteemos pues, la técnica adecuada para sumar
es decir :
,
, ...
* Sea p = grado P(n)
Como hemos de expresar
Criterios de Convergencia
en una SUMA de Factores propondremos
como suma de p+1 factores :
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Apuntes de Ximo Beneyto
........................................................................
P-términos
* Hallar los coeficientes
* A continuación, ajustar cada una de las p+1 series obtenidas al desarrollo conocida.
P Sumar los valores obtenidos
NOTA En el numerador, se empieza la factorización en sentido descendente con el elemento del
denominador que aparece con el factorial
Ejemplo :
Serie
[ Se comprueba que la Serie es Convergente ]
Suma por descomposición en factoriales
Tal como hemos propuesto :
Y
Y
Igualando coeficientes
=
=
=
Desarrollando cada suma por separado :
= e ( pues
Criterios de Convergencia
)
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Apuntes de Ximo Beneyto
Veamos otro ejemplo : Obtener la Suma de la serie Convergente :
* Suma por descomposición en FACTORIALES :
grado de 3n + 2 = 1
Descomposición propuesta :
Y
Y
Por tanto :
Un poco mas sencillo ¿ verdad ?
SUMA CON TÉRMINOS DE LA ARMÓNICA
Recordemos que la suma de los n primeros términos de la Serie Armónica viene dada por la expresión
Hn = log n + C + gn
Donde C es la llamada constante de Euler-Masqueroni
gn es un infinitésimo (
Criterios de Convergencia
)
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Y
A partir de la cual
Y
Y
Y notaremos
Y Suma n.primeros términos armónica Hn
Y Suma primeros términos pares armónica hasta 2n
Y Suma primeros términos impares armónica hasta 2n-1
El proceso de suma con ayuda de esta técnica consiste en descomponer la fracción en suma de fracciones
simples, a continuación efectuar la suma de los n primeros términos ( o los que convenga ) y, a continuación,
supuesto que los términos no se anulan, aplicar la fórmula que hemos obtenido.
Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :
i) Convergencia
Convergencia absoluta
Como
=
Aplicando el criterio de Pringsheim
Sea " 0 ú /
Y
Y La Serie Converge
Es absolutamente Convergente Y es CONVERGENTE
ii) Suma
Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples
Si
Y 1 = A (n+2) + B (n-1) Y
Criterios de Convergencia
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Apuntes de Ximo Beneyto
falta acabar
Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :
i) Convergencia
Al ser una Serie Alternada, estudiemos la convergencia absoluta
=
Aplicando el criterio de Pringsheim
Sea " 0 ú /
Y La Serie Converge
Y
Es absolutamente Convergente Y es CONVERGENTE
ii) Suma
Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples
Si
Y 1 = A (n+3) + B (n+2) Y
=
=
Damos valores a “n”
Criterios de Convergencia
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......................
Criterios de Convergencia
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