ECUACIONES DE FRESNEL

TEORIA ELECTROMAGNETICA
Clase 18
ECUACIONES DE FRESNEL
GENERALIDADES
OBJETIVOS
ƒ Analizaremos la reflexión y refracción de
ondas luminosas sobre dioptras planas
ƒ Supondremos inicialmente que los medios
que separa la dioptra son dieléctricos
perfectos
ƒ Proponemos el estudio de Ondas planas
ƒ El índice de refracción es dado por
n = εr
Vector de Onda (propagación)
Vector de Propagación
ƒ Los vectores ki , kr , kt están en el mismo
plano, el “plano de incidencia”
ƒ El plano de incidencia es normal al “plano
de frontera”
ƒ En la parte superior de la Dioptra, el índice
de refracción es n1
ƒ En la parte inferior es n2
Vector de Onda (propagación)
Construcción de Snell
ƒ Los vectores ki , kr están en la misma
circunferencia de radio ωn1/c del plano de
incidencia
ƒ El vector kt esta en la circunferencia de
radio ωn2/c
ƒ La componente horizontal de los vectores kt
y kr son identicas
ƒ Lo anterior facilita encontrar el extremo del
vector kt :
z
como intersección recta vertical bajada del
extremo de kr y circulo de radio ωn2/c
INCIDENCIA SOBRE UNA DIOPTRA
ƒ Se estudian dos tipos de incidencia sobre la
Dioptra:
z
Si la onda incide sobre la dioptra desde el
medio “menos denso opticamente”
opticamente hacia el
medio “mas denso”:
denso INCIDENCIA EXTERNA
z
Si la onda incide sobre la dioptra desde el
medio “mas denso opticamente”
opticamente hacia el medio
“menos denso”:
denso INCIDENCIA INTERNA
TIPOS DE INCIDENCIA (ANGULO)
ƒ Respecto al ángulo de incidencia entre la
normal y el vector de propagación, hay dos
tipos de incidencia:
z
Incidencia Normal (θi = 0º)
z
Incidencia Oblicua (θi diferente a 0º)
Ecuaciones de Fresnel
Incidencia Normal
INCIDENCIA NORMAL
ƒ Supondremos una onda plana incidiendo
normalmente sobre la dioptra (θ = 0º)
ƒ La figura en la diapositiva siguiente muestra
el medio de incidencia
ƒ Ella también representa la relación entre
sistemas derechos E, k &H para las tres
ondas:
z
z
z
Incidente
Reflejada
transmitida
RELACIONES ENTRE: E, k & H
Anotación en el medio de incidencia
ƒ El vector de onda en el medio de incidencia,
tiene la misma magnitud para la onda
reflejada como para la incidente:
r
r
ki = k r
ƒ Busquemos la forma explícita de esas ondas
a un lado y otro de la dioptra:
Campos Eléctricos Involucrados
ƒ El vector de intensidad de campo eléctrico para las
tres ondas incidente, reflejada y transmitida tienen
la forma analítica:
r
rO
Ei = EO
r
r1
Er = EO
r
r2
Et = EO
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
e
(
e
(
e
eˆx
(
ω )
ω )
eˆx
=− E e
(
ω )
ω )
=E e
eˆx
=E
O
O
r r
j kr ⋅ r − t
r r
j kt ⋅ r − t
e
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
1
O
2
O
r r
j kr ⋅ r − t
r r
j kt ⋅ r − t
Suposición
ƒ Si no existe corriente en la frontera
ƒ H es un vector de campo contínuo, en
componente tangencial
ƒ E es un vector de campo también contínuo
en componente tangencial (siempre se
cumple)
ƒ Supongamos que analizamos medios
dieléctrico perfectos de índice n a cada lado
de la dioptra
Consecuencias
ƒ A partir de las ecuaciones de Maxwell se
cumple (LEY DE AMPERE):
AMPERE
r r
r
k ×E = ω B
ƒ En términos del vector de intensidad
magnética:
∴
1
µo ω
r r r
k ×E=H
Consecuencias
ƒ Por formar k, E y H un sistema derecho
por perpendicularidad de campos
⎛ ωn ⎞
⎜ ⎟
µ oε o
k
ωn E
c ⎠
⎝
H=
E=
E=
=
µ oω
µ oω
c µ oω
µ o2
nE
ƒ Por esta razón podemos escribir la relación
H=
εo
µo
nE
Consecuencias
ƒ Hemos supuesto que el campo eléctrico
vibra en dirección del eje de las X
ƒ El vector de Intensidad Magnética lo hace
en dirección del eje de las Y:
Y
r r
r
r O j (kri ⋅ rr −ω t )
j (k i ⋅ r − ω t )
O
eˆy
Hi = HO e
= HO e
r r
r
r 1 j (krr ⋅ rr −ω t )
j (k r ⋅ r − ω t )
1
eˆy
Hr = HO e
= HO e
r r
r
r 2 j (krt ⋅ rr −ω t )
Ht = HO e
= H O2 e j (kt ⋅ r −ω t ) eˆ
y
Consecuencias
ƒ Aplicando la relación obtenida entre H y E:
r
ε
H i = O n1 EOO
µO
r
ε
H r = O n1 EO1
µO
r
ε
H t = O n2 EO2
µO
e
e
e
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
eˆy
r r
j (k r ⋅ r − ω t )
r r
j (k t ⋅ r − ω t )
eˆy
eˆy
ƒ Los campos Ei, Er, Et son paralelos a la frontera,
ellos constituyen si mismos toda su componente
tangencial,
tangencial el campo eléctrico a uno y otro lados
de la frontera
r
r es contínuo
E1 = E2
campo en medio 1 = campo en medio 2
Consecuencias
ƒ El campo en el primer medio es la adisión
de los campos de incidencia y reflexión
r
r
r
E1 = Ei + Er
ƒ El campo en el segundo medio es el de la
onda refractada (transmitida)
r
r
E2 = Et
ƒ Por esa razón la relación entre campos es:
r
r
r
Et = Ei + Er
ƒ El campo eléctrico en el primer medio es:
r r
r r
r
r
Ei + Er = eˆx Eoo e j (ki ⋅ r − ω t ) − Eo1e j (k r ⋅ r − ω t )
{
}
Consecuencias
ƒ El gráfico da la relación entre los vectores
de onda kr, ki, kt y el vector de posición de
cualquier punto en la frontera r
ƒ Concluimos evidente mente que:
r r r r r r
ki ⋅ r = k r ⋅ r = kt ⋅ r = 0
Consecuencias
ƒ El campo en el primer medio gracias a esta
ultima relación se convierte en:
{
r
r
o
j (− ω t )
1 j( − ω t )
Ei + Er = eˆx Eo e
− Eo e
ƒ que puede expresarse como:
r
o
1
j( − ω t )
E1 = eˆx Eo − Eo e
{
}
ƒ Mientras que el campo de la onda
transmitida,
transmitida (usando la perpendicularidad
entre kt y r), se convierte en:
{ }e
r
2
E2 = eˆx Eo
j( − ω t )
}
Consecuencias
ƒ Haciendo la identificación entre componentes
tangenciales a la frontera del campo eléctrico a
ambos lados de la dioptra:
Eo2 = Eoo − Eo1
ƒ Para el vector de Intensidad de Campo magnético,
magnético
usando las ecuaciones de campo ya deducidas, (en
términos del vector E) encontramos:
r
r
r
Hi + Hr = Ht
ƒ Que nos conduce a la ecuación vectorial
⎡ εo
εo
o j (− ω t )
1 j( −ω t ) ⎤
ε
+
n
E
e
n
E
e
e
=
ˆy µ
1 o
⎢ µ 1 o
⎥
µo
⎣ o
⎦
o
o
n2 Eo2 e j ( −ω t ) eˆ
y
Consecuencias
ƒ Que finalmente nos conduce a la ecuación
escalar buscada,
buscada al igualar magnitudes
vectoriales
[
n2 E = n1 E + E
2
o
o
o
1
o
]
ƒ tenemos al final, el sistema de ecuaciones
relacionando las amplitudes de las ondas
reflejada,incidente y transmitida:
transmitida
[
n2 E = n1 E + E
2
o
o
o
E =E −E
2
o
o
o
1
o
1
o
]
Relación entre amplitudes de E
ƒ Resolviendo el sistema tenemos:
⎛ n2 − n1 ⎞ o
1
⎟⎟ Eo
Eo = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
⎛ 2 n1 ⎞ o
⎟⎟ Eo
E = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
ƒ Expresiones que dan las amplitudes de la onda
reflejada y transmitida en función de los índices de
refracción y de la amplitud de la onda incidente
2
o
Análisis incidencia externa e interna en
incidencia Normal
ƒ Incidencia externa: n2>n1 onda proveniente del
medio menos denso al mas denso ópticamente
ƒ Incidencia interna: n1>n2 onda proveniente del
medio mas denso al menos denso ópticamente
ƒ Podríamos ejemplificar con el caso de la frontera
aire-agua
– naire=1.0004
– nagua=1.33
ƒ Para incidencia externa n2>n1 la amplitud de la
⎛ n2 − n1 ⎞ o
1
⎟⎟ Eo
Eo = ⎜⎜
reflejada es positiva
⎝ n2 + n1 ⎠
como n2 − n1 > 0
Eo1 > 0
Análisis incidencia externa e interna en
incidencia Normal
ƒ Recordamos que la onda reflejada es
r
r1
Er = EO
e
r r
j (k r ⋅ r − ω t )
= − EO1
e
r r
j (k r ⋅ r − ω t )
eˆx
ƒ Como la amplitud de la reflejada es positiva,
positiva el
signo de relación entre el vector Er y el vector
unitario ey es el signo negativo, podemos escribir:
escribir
r r
r r
r
j (k r ⋅ r − ω t )
j (k r ⋅ r − ω t )
1
1
j (π )
Er = − EO
e
eˆx = E e e
O
eˆx
Análisis incidencia externa e interna en
incidencia Normal
ƒ Expresión que se puede reducir a:
r r
r
j (k r ⋅ r − ω t +π )
1
eˆx
Er = EO e
ƒ Esto significa que la onda reflejada esta defasada una edad
de ángulo de 180° o π radianes respecto a la onda incidente
ƒ “UNA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA REFLEJANDOSE
NORMALMENTE EN INCIDENCIA EXTERNA, SOBRE UNA
DIOPTRA SEPARANDO MEDIOS DIELECTRICOS PERFECTOS,
AL REFLEJARSE, SU CAMPO ELECTRICO SUFRE UN
DEFASAMIENTO DE 180°”
Análisis incidencia externa e interna en
incidencia Normal
ƒ En el caso de incidencia interna,
interna n2< n1 por
lo cual n2 - n1 < 0
ƒ Se tiene que la amplitud de la reflejada
cumple
⎛ n2 − n1 ⎞ o
1
⎟⎟ Eo
Eo = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
como n2 − n1 < 0
Eo1 < 0
ƒ La onda reflejada ahora vibra en fase con la
incidente (analizar
este caso por el alumno)
(
Análisis incidencia externa e interna en
incidencia Normal
ƒ El campo eléctrico transmitido tiene una
amplitud dada por:
⎛ 2 n1 ⎞ o
2
⎟⎟ Eo
Eo = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
ƒ En cualquiera de los dos tipos de incidencia,
incidencia
la amplitud es positiva
ƒ Constatamos primero, que la dirección que
supusimos inicialmente, es la correcta
ƒ El campo eléctrico transmitido siempre está
en fase con la onda incidente
INCIDENCIA NORMAL
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ La irradiancia se define como
r
I = S
ƒ Podemos hablar de la Irradiancia de las
ondas incidente, reflejada y transmitida:
transmitida
r
I i = So
r
I r = S1
r
It = S2
ƒ En términos de esas cantidades se definen la
Reflectancia y la Transmitancia.
Transmitancia
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ La Reflectancia: se define como el cociente
de la Irradiancia reflejada dividida por la
Irradiancia Incidente
Ir
R=
Ii
ƒ La Transmitancia: se define como el
cociente de la Irradiancia transmitida
dividida por la Irradiancia Incidente
It
T=
Ii
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ El promedio temporal del vector de
Poynting es dado por:
r
r
1 r
S = Eo × H o
2
ƒ Los vectores de campo de la onda incidente
son dados por:
r
rO
Ei = EO
e
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
r
εO
O
Hi =
n1 EO
µO
e
=E
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
O
O
e
eˆy
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
eˆx
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ El promedio temporal del vector de
Poynting de la onda incidente es:
r
r
2
1 r
1 εO
S o = Eo × H o =
n1 EOO eˆz
2
2 µO
( )
ƒ La intensidad incidente es expresada como:
1 εO
Ii =
n1 EOO
2 µO
( )
2
ƒ El promedio temporal del vector de
Poynting de la onda reflejada es:
r
1 εo
S1 =
n1 Eo1
2 µo
( ) (− eˆ
2
x
× eˆ y )
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ La intensidad reflejada es expresada como:
1 εO
Ir =
n1 Eo1
2 µO
( )
2
ƒ La evaluación de la Reflectancia es dado
por el proceso: 1 ε O
1 2
( )
(
E )
=
( ) (E )
n1 Eo
2 µO
Ir
R=
=
Ii 1 ε O
n1 EOO
2 µO
2
1 2
o
o 2
o
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ La relación entre amplitudes de onda
reflejada(onda transmitida) a onda incidente
es
⎛ n2 − n1 ⎞ o
⎟⎟ Eo
E = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
⎛ 2 n1 ⎞ o
2
⎟⎟ Eo
Eo = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
1
o
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ Se define el coeficiente de reflexión en amplitud
(primera expresión) por:
Eo1 ⎛ n2 − n1 ⎞
⎟⎟
r = o = ⎜⎜
Eo ⎝ n2 + n1 ⎠
Eo2 ⎛ 2 n1 ⎞
⎟⎟
t = o = ⎜⎜
Eo ⎝ n2 + n1 ⎠
ƒ La segunda expresión anterior define el
coeficiente de transmisión en amplitud
ƒ La Reflectancia es igual al cuadrado del
coeficiente de reflexión en amplitud
⎛E
R = r = ⎜⎜
⎝E
2
1
o
o
o
2
⎞ ⎛ n2 − n1 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎠ ⎝ n2 + n1 ⎠
2
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ A partir de la expresión de la Irradiancia en
términos del coeficiente de reflexión en
amplitud podemos aseverar:
z
“LA REFLECTANCIA ES INDEPENDIENTE
DE LAS AMPLITUDES DEL CAMPO
ELÉCTRICO, Y DEPENDE SOLAMENTE
DE LOS INDICES DE REFRACCION DE
LOS MEDIOS”
IRRADIANCIA O INTENSIDAD
TRANSMITIDA
ƒ La Irradiancia o Intensidad Transmitida se
define por
r
It = S2
ƒ El campo transmitido se expresa mediante
r r2 j(krt ⋅rr−ωt ) 2 j(krt ⋅rr−ωt )
Et = EO e
=EO e
r
εO
2
Ht =
n2 EO
µO
e
r r
j (kt ⋅ r −ω t )
eˆx
eˆy
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ƒ El promedio temporal del vector de
Poynting de la onda incidente es:
r
r
2
1 r
1 εO
S o = Eo × H o =
n1 EOO eˆz
2
2 µO
( )
ƒ La intensidad incidente es expresada como:
1 εO
Ii =
n1 EOO
2 µO
( )
2
ƒ La magnitud del promedio temporal del
vector de Poynting de la onda transmitida
r
r
1 r
1 ε
es:
S = E ×H =
n (E ) eˆ
2
2
2
o
2
o
o
2
µo
2
2 2
o
z
IRRADIANCIA O INTENSIDAD
TRANSMITIDA
ƒ La intensidad de la onda transmitida es dada
por:
1 εO
2 2
It =
2 µO
( )
n2 EO
ƒ La transmitancia es dada en consecuencia
por:
1 εO
2 2
n2 (Eo )
2 2
I t 2 µO
n2 (Eo )
T =
=
=
2
o
Ii 1 ε O
n1 (Eo )
O 2
n1 (EO )
2 µO
IRRADIANCIA O INTENSIDAD
TRANSMITIDA
ƒ Como
⎛ 2 n1 ⎞ o
⎟⎟ Eo
E = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠
2
o
ƒ Entonces la transmitancia puede escribirse
I t n2 ⎛ 2 n1 ⎞
⎟⎟
T = = ⎜⎜
I i n1 ⎝ n2 + n1 ⎠
2
IRRADIANCIA O INTENSIDAD
TRANSMITIDA
ƒ Si efectuamos la adisión de la Reflectancia y la
Transmitancia obtenemos:
2
2
⎛ n2 − n1 ⎞ n2 ⎛ 2 n1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ =
R + T = ⎜⎜
⎝ n2 + n1 ⎠ n1 ⎝ n2 + n1 ⎠
n22 + 2n1 n2 + n12
=
=1
2
(n2 + n1 )
ƒ Lo cual indica que la adisión de las dos cantidades
R y T es la unidad y representa el 100% de la
intensidad
INCIDENCIA OBLICUA
ƒ DOS TIPOS DE ONDAS INCIDENTES
z
ONDA TRANSVERSO ELECTRICA
• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN
DIRECCION PARALELA AL PLANO DE
FRONTERA
z
ONDA TRANSVERSO MAGNETICA
• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN
DIRECCION PARALELA AL PLANO DE
INCIDENCIA
ONDA TRANSVERSO MAGNETICA
Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia
ORDEN DE LOS EJES
COORDENADOS
ƒ Los ejes coordenados de las ondas incidente
reflejada y transmitida
ONDA INCIDENTE
ƒ Para onda transverso magnética yi=yr=yt=y
ƒ El vector de onda incidente es paralelo al
eje zi de dirección de transmisión
ƒ En consecuencia
r r
k i ⋅ ri = k i z i
ƒ Por ello la onda incidente se expresa:
r r
r
r
r
j (k i ⋅ r − ω t )
j ( k i zi − ω t )
Ei = EO
e
= EO
e
Expresión conveniente en función de
ejes sobre dioptra
ƒ Las componentes propias de la onda incidente en función
de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son
dadas por:
⎡ xi ⎤ ⎡cos θ o − sin θ o ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ z ⎥ = ⎢ sin θ
⎥ ⎢z⎥
cos
θ
o
o ⎦⎣ ⎦
⎣ i⎦ ⎣
ƒ La componente zi es entonces:
zi = x sin θ o + z cos θ o
ƒ La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:
r
r j ( −ω t )
Ei = Eoi e
e
j ( ki ( x sin θ o
))
Expresiones de las tres ondas
ƒ La componente tangencial de Ei incidente justo en la
frontera, es:
Ei t = Eoi cosθ oe
j( −ω t )
e
j ( ki ( x sin θ o
))
ƒ Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la
frontera, por motivos iguales, son:
j ( k r ( x sin θ o′ ) )
j ( −ω t )
Er t = Eor cos θ o′e
Et t = Eot cos θ1e
j ( −ω t )
e
(
e
j k t ( x sin θ1
))
Ecuaciones de relación entre
componentes tangenciales de E
ƒ Gráficos de las tres ondas:
ƒ Las ecuaciones de relación entre ellas
r
r
r
Ei + E r = Et
Ei − E r = Et
CONSECUENCIAS
ƒ La ecuación de relacion entre componentes de ondas es:
Eoi cos θ oe j ( −ω t )
Eot cos θ1e j ( −ω t )
e(
e(
j ki ( x sin θ o
))
j kt ( x sin θ1
))
− Eor cos θ o′e j ( −ω t )
e(
j k r ( x sin θ o′
))
=
ƒ Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario que las
ecuaciones siguientes se verifiquen:
ki sin θ o = k r sin θ o′ = kt sin θ1
ƒ Como ki = kr se tiene la igualdad
ki sin θ o = kr sin θ o′
∴θ o = θ o′
consecuencias
ƒ Se obtiene la identidad:
ki sin θ o = kt sin θ1
ω n1
sin θ o =
ω n2
sin θ1
c
c
∴n1 sin θ o = n2 sin θ1
Se obtiene la Ley de Descartes o Snell
ƒ La identificación de las ecuaciones nos proporciona la
igualdad que cumplen los campos tangenciales:
(Eoi
− Eor ) cosθ o = Eot cosθ t
Análisis del Campo Magnético
ƒ El campo magnético incidente es:
r
r
H i = H oi
e
r r
j (k i ⋅ r − ω t )
r
= H oi
e
j ( k i zi − ω t )
ƒ Que en términos del cambio de coordenadas se convierte
en: r
r
j ( k ( x sin θ + z cosθ ) )
j ( −ω t )
H i = H oi e
e
i
o
o
ƒ Y en la
en:
r frontera
r se convierte
j ( ki ( x sin θ o ) )
j( −ω t )
H i = H oi e
e
H r = H or e
r
r
H t = H ot e j ( −ω t )
e
e(
ƒ Los otros campos son tales que:
r
r
j ( k r ( x sin θ o′ ) )
j ( −ω t )
j kt ( x sin θ1
))
Análisis del Campo Magnético
ƒ Las componentes tangenciales de los tres campos son
idénticas a esos campos
r
r
H it = H i
r
r
H rt = H r
r
r
H tt = H t
ƒ La condición de Continuidad en la frontera de H es dada
r
r
r
por:
H it + H rt = H tt
H oi + H or = H ot
Análisis del Campo Magnético
ƒ Recordando la relación entre E y H:
εO
H =
n1 E
µO
ƒ La condición a la frontera se convierte en la relación:
εO
n1 Eoi +
µO
εO
n1 Eor =
µO
εO
n2 Eot
µO
ƒ Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las
componentes tangenciales del campo eléctrico:
n1 (Eoi + Eor ) = n2 Eot
Análisis de los coeficientes
ƒ Finalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones
lineales en términos de las componentes del campo
eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:
(Eoi − Eor ) cosθ o = Eot cosθt
n1 (Eoi + Eor ) = n2 Eot
ƒ Cuya solución es:
n2 cosθ o − n1 cosθ1
(Eor )p =
(Eoi )p
n1 cosθ1 + n2 cosθ o
2n1 cos θ 0
(Eot ) p =
(Eoi ) p
n1 cos θ1 + n2 cos θ o
Análisis del Campo Magnético
ƒ Se ha utilizado la convención siguiente:
z
Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidencia,
incidencia los coeficientes
en amplitud de reflexión resultantes se denominan rp (donde “p” significa
“paralelo al plano de incidencia”)
z
Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidencia,
incidencia los coeficientes
en amplitud de transmisión resultantes se denominan tp (donde “p”
significa “paralelo al plano de incidencia”)
z
Si el campo incidente es Perpendicular al plano de incidencia,
incidencia los
coeficientes en amplitud de reflexión resultantes se denominan rs (donde
“s” significa “perpendicular al plano de incidencia” y proviene del alemán
Senkretch)
Senkretch
z
Si el campo incidente es Perpendicular al plano de incidencia,
incidencia los
coeficientes en amplitud de transmisión resultantes se denominan ts
(donde “s” significa “paralelo al plano de incidencia” y proviene del
alemán Sinkretch)
Sinkretch
ONDA TRANSVERSO ELECTRICA
Campo Magnético paralelo al plano de incidencia
ORDEN DE LOS EJES
COORDENADOS
ƒ Los ejes coordenados de las ondas incidente
reflejada y transmitida
ONDA INCIDENTE
ƒ Para onda transverso eléctrica yi=yr=yt=y
ƒ El vector de onda incidente es paralelo al
eje zi de dirección de transmisión
ƒ En consecuencia
r r
k i ⋅ ri = k i z i
ƒ Por ello la onda incidente se expresa:
r r
r
r
r
j (k i ⋅ r − ω t )
j ( ki zi − ω t )
Ei = Eoi
e
= Eoi
e
Expresión conveniente en función de
ejes sobre dioptra
ƒ Las componentes propias de la onda incidente en función
de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son
dadas por:
⎡ xi ⎤ ⎡cos θ o − sin θ o ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ z ⎥ = ⎢ sin θ
⎥ ⎢z⎥
cos
θ
o
o ⎦⎣ ⎦
⎣ i⎦ ⎣
ƒ La componente zi es entonces:
zi = x sin θ o + z cos θ o
ƒ La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:
r
j ( −ω t )
Ei = Eoi e
e
j ( ki ( x sin θ o
))
eˆ
y
Expresiones de las tres ondas
ƒ La componente tangencial de Ei incidente justo en la
frontera, es:
Ei t = Eoi
e
j ( −ω t )
e
j ( k i ( x sin θ o
))
ƒ Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la
frontera, por motivos iguales, son:
j ( k r ( x sin θ o′ ) )
j ( −ω t )
Er t = Eor
Et t = Eot
e
(
e
j −ω t )
e
(
e
j k t ( x sin θ1
))
Ecuaciones de relación entre
componentes tangenciales de E
ƒ Gráficos de las tres ondas:
ƒ Las ecuaciones de relación entre ellas
r
r
r
Ei + Er = Et
Eoi + Eor = Eot
CONSECUENCIAS
ƒ La ecuación de relación entre componentes de
onda del campo magnético es:
− H oi cos θ oe j ( −ω t ) e j (k ( x sinθ ) ) + H or cos θ o′e j ( −ω t ) e j (k ( x sin θ ′ ) ) =
i
− H ot cos θ1e j ( −ω t )
e(
o
j kt ( x sin θ1
r
o
))
ƒ Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario
que las ecuaciones siguientes se verifiquen:
ki sin θ o = k r sin θ o′ = kt sin θ1
ƒ Como ki = kr se tiene la igualdad
ki sin θ o = kr sin θ o′
∴θ o = θ o′
consecuencias
ƒ Se obtiene la identidad:
ki sin θ o = kt sin θ1
ω n1
sin θ o =
ω n2
sin θ1
c
c
∴n1 sin θ o = n2 sin θ1
Se obtiene la Ley de Descartes o Snell
ƒ La identificación de las ecuaciones nos proporciona la
igualdad que cumplen los campos tangenciales:
(H oi
− H or ) cosθ o = H ot cosθ1
Análisis del Campo Magnético
ƒ Recordando la relación entre E y H:
εO
H =
n1 E
µO
ƒ La condición a la frontera se convierte en la relación:
⎡ εO
n1 Eoi −
⎢
⎣ µO
⎤
εO
n1 Eor ⎥ cos θ o =
µO
⎦
εO
n2 Eot cos θ1
µO
ƒ Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las
componentes tangenciales del campo eléctrico:
n1 (Eoi − Eor ) cos θ o = n2 Eot cos θ1
Análisis de los coeficientes
ƒ Finalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones
lineales en términos de las componentes del campo
eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:
(Eoi
− Eor ) n1 cosθ o = Eot n2 cosθ t
(Eoi
+ Eor ) = Eot
ƒ Cuya solución es:
n1 cos θ o − n2 cos θ1
(Eor )s =
(Eoi )s
n1 cos θ o + n2 cos θ1
2n1 cos θ o
(Eot )s =
(Eoi )s
n1 cos θ o + n2 cos θ1
ECUACIONES DE FRESNEL
ƒ Hemos obtenido las cuatro ecuaciones de Fresnel dando
los coeficientes de reflexión y transmisión en amplitud
(Eor ) p n2 cos θ o − n1 cos θ1
=
rp =
(Eoi ) p n1 cos θ1 + n2 cos θ o
(Eot ) p
2n1 cos θ 0
tp =
=
(Eoi ) p n1 cos θ1 + n2 cos θ o
(Eor )s n1 cos θ o − n2 cos θ1
=
rs =
(Eoi )s n1 cos θ o + n2 cos θ1
(Eot )s
2n1 cos θ o
ts =
=
(Eoi )s n1 cos θ o + n2 cos θ1
Ecuaciones de Fresnel en forma
trigonométrica
ƒ A partir de la ley de Descartes, puede obtenerse:
sin θ o n2
=
sin θ1
n1
ƒ El coeficiente de reflexión en amplitud perpendicular
puede escribirse:
n2
cos θ o −
cos θ1
n1
rs =
n2
cos θ o + cos θ1
n1
ƒ Que se da como:
sin θ o
cos θ o −
cos θ1
sin θ1
rs =
sin θ o
cos θ o +
cos θ1
sin θ1
Ecuaciones de Fresnel en forma
trigonométrica
ƒ La cual puede escribirse como:
cos θ o sin θ1 − sin θ o cos θ1
rs =
=
cos θ o sin θ1 + sin θ o cos θ1
sin(θ o − θ1 )
∴ rs = −
sin(θ o + θ1 )
ƒ De manera parecida, pueden expresarse
trigonométricamente todos los coeficientes de reflexión y
transmisión paralelos y perpendiculares:
tan(θ o − θ1 )
rp =
tan(θ o + θ1 )
(2 sin θ1 cos θ o )
(2 sin θ1 cos θ o )
ts =
; tp =
sin(θ o + θ1 )
sin(θ o + θ1 ) cos(θ o − θ1 )
ANALISIS DE LA REFLEXION Y REFRACCION
SOBRE DIOPTRAS PLANAS
ƒ Analicemos las curvas
de variación del
coeficiente de reflexión
tanto en incidencia
externa como interna
en función de la
variación del ángulo de
incidencia
Incidencia normal con Fresnel
ƒ A incidencia normal, θο=0, las ecuaciones de Fresnel para
coeficientes de reflexión se convierten en
n1 − n2
rs =
n1 + n2
n2 − n1
rp =
n1 + n2
ƒ Evidentemente ellos son diferente en signo:
rp = − rs
ƒ Su gráfico iniciará por dos puntos en el eje de “r”
colocados simétricamente respecto al eje de las θο en el
valor θο=0
ƒ Existe un defasamiento de 180º entre la vibración paralela
y la normal al plano de incidencia, que se debe tomar en
cuenta. (hecho no predicho por incidencia normal simple)
Incidencia Normal
ƒ Si la incidencia es
externa, rp>0
ƒ Si la incidencia es
externa, rs<0
ƒ Si la incidencia es
interna, rp<0
ƒ Si la incidencia es
interna, rs>0
Comportamiento de rs
ƒ Como
sin(θ o − θ1 )
rs = −
sin(θ o + θ1 )
ƒ este coeficiente siempre es positivo o negativo:
z
z
Si inciencia externa
sin θ o n2
= >1
sin θ1
n1
z
∴θ o > θ1
Si incidencia interna
sin θ o n2
= <1
sin θ1
n1
z
sin θ o > sin θ1
sin θ o < sin θ1
∴θ o < θ1
De donde rs negativo siempre para incidencia externa
Para incidencia interna rs positivo siempre
Analisis de Incidencia Oblicua
Incidencia Externa
Conclusiones
ƒ El coeficiente rs negativo siempre para incidencia externa
implica que la curva que lo representa nunca cruza el eje
del ángulo de incidencia
ƒ Al evaluar rs para θ = 90º el cálculo da el valor rs= -1
validando la validez de la curva que presentamos arriva
ƒ Para incidencia externa,
externa el campo eléctrico reflejado se
defasa 180º respecto al campo incidente
ƒ Para incidencia interna,
interna el campo reflejado esta en fase con
el campo incidente
ƒ El coeficiente rp para incidencia externa cambia de valor
positivo en θ = 0º a valor negativo –1, en θ = 90º
Conclusiones
ƒ El coeficiente rp pasa forzosamente por el valor cero lo que
obliga al resultado trigonométrico
∴ rp =
tan(θ o − θ1 )
= 0 ⇒ tan(θ o + θ1 ) = ∞
tan(θ o + θ1 )
∴θ o + θ1 = 90º ⇒ θ1 = 90º − θ o
ƒ Aplicando la Ley de Descartes (Snell) obtenemos
n1 sin θ o = n2 sin θ1
n1 sin θ o = n2 sin (90º − θ o )
= n2 sin (90º ) cos(θ o ) − sin ( θ 0 ) cos(90º )
∴ n1 sin θ o = n2 cos(θ o ) ⇒ tan (θ o ) =
n2
n1
ƒ Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE
POLARIZACION o de BREWSTER θB
n2
tan (θ B ) =
n1
Conclusiones
ƒ Como desaparece (en ese valor del ángulo de Brewster) el
coeficiente rp, la onda reflejada sólo tiene componente
perpendicular al plano de incidencia.
ƒ Se dice que la onda reflejada se polariza rectilíneamente en
dirección paralela a la dioptra y perpendicular al plano de
incidencia
Analisis de Incidencia Oblicua
Incidencia Interna
Consecuencias
z
z
z
z
Para incidencia interna rs positivo siempre
La curva de rs no corta el eje de los ángulos de
incidencia
La curva de rp corta ese eje y por ello tiene un “cero”
Se definen dos ángulos importantes en las curvas del coeficiente de
reflexión en amplitud:
• Angulo Crítico:
Crítico
• Angulo de Polarización
θ o = θ c ⇒ rp = rs ángulo crítico
θ o = θ p ' ⇒ rp = 0 ángulo de Polarizaci ón
• El ángulo de Polarización NO es ángulo de Brewster
CONSECUENCIAS
ƒ El ángulo de polarización cumple:
∴ rp =
tan(θ o − θ1 )
= 0 ⇒ tan(θ o + θ1 ) = ∞
tan(θ o + θ1 )
∴θ p ' + θ1 = 90º ⇒ θ1 = 90º − θ p '
ƒ Aplicando la Ley de Descartes:
n1 sin θ p ' = n2 sin θ1
n1 sin θ p ' = n2 sin (90º − θ p ' )
= n2 sin (90º ) cos(θ p ' ) − sin ( θ p ' ) cos(90º )
∴ n1 sin θ p ' = n2
n
(
)
(
)
cos θ ⇒ tan θ =
n
2
p'
p'
1
ƒ Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE
POLARIZACION θP’
ƒ Nota: se deja al alumno mostrar que θB y θP’ son complementarios
Angulo Crítico
ƒ Se cumple θp’ + θB = 90º ( son ángulos complementarios)
ƒ Continuamos con el análisis de ANGULO CRITICO
z
El ángulo de refracción θ1 crece mas rápidamente que el ángulo de
incidencia θο.
z
Es posible entonces pensar que a partir de un cierto valor de θο , el
ángulo de refracción vale 90º y la onda se transmite por la interfase
z
Asimismo, la intensidad refractada es nula
Angulo Crítico
ƒ Aplicando la Ley de Descartes se obtiene:
n 1 sin θ o = n 2 sin θ 1
n 1 sin θ c = n 2 sin 90 º
n 1 sin θ c = n 2
∴ sin θ c =
n2
n1
ƒ A partir de este resultado y la Ley de Descartes:
n1
sin θ o = sin θ 1
n2
∴
y como
sin θ o
= sin θ 1 valida
sin θ c
sin θ c =
n1
n2
para incidencia
int erna
ƒ Por conocida relación trigonométrica el coseno del angulo
de transmisión es:
sin 2 θ o
cosθ1 = 1 − 2
sin θ c
Angulo Crítico
ƒ Si el ángulo de incidencia iguala al ángulo θc
sin 2 θ c
= 1−1 = 0 ⇒
cos θ1 = 1 − 2
sin θ c
θ1 = 90º
ƒ Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo θc :
sin 2 θ o
cos θ1 = 1 − 2
sin θ c
sin 2 θ o
sin 2 θ o
como
> 1 ⇒ 1− 2 < 1 ⇒
2
sin θ c
sin θ c
sin 2 θ o
cos θ1 = 1 − 2
= jQ ∈ I
sin θ c
Angulo Crítico
ƒ Si el ángulo de incidencia iguala al ángulo θc
Calculemos rp y rs a partir de:
z
n2 cosθ o − n1 cosθ1
n1 cosθ1 + n2 cosθ o
rp =
z
Obteniendose:
rp =
z
n1 cos θ o − n2 cos θ1
rs =
n1 cos θ o + n2 cos θ1
n2 cos θ o
=1
n2 cos θ o
n1 cos θ o
rs =
=1
n1 cos θ o
Para el ángulo crítico toda la energía se refleja
ƒ Si el ángulo de incidencia es mayor que θc
rp =
n2 cos θ o − n1 jQ
n1 jQ + n2 cos θ o
rp =
n2 cos θ o − n1 jQ
n2 cos θ o + n1 jQ
rp =
⎧a = n2 cos θ o
a − bj
con ⎨
a + bj
⎩ b = n1Q
n1 cos θ o − n2 jQ
n1 cos θ o + n2 jQ1
n cos θ o − n2 jQ
rs = 1
n1 cos θ o + n2 jQ1
rs =
rs =
⎧c = n1 cos θ o
c − jd
con ⎨
nc + jd
⎩ d = n2Q
COCIENTE DE COMPLEJOS
CONJUGADOS
ƒ Dado el número complejo
ƒ Su complejo conjugado es dado por
ƒ El cociente de ese número complejo y su conjugado es
ƒ La norma de ese cociente es dada por
COCIENTE DE COMPLEJOS
CONJUGADOS
ƒ El cociente de un número complejo y su conjugado tiene
una norma unitaria
ƒ Sea α el argumento o fase de ese número complejo
expresado en forma polar
∴ z = e − jα
y
z * = e jα
ƒ El cociente de un número complejo y su conjugado en
forma polar es dado por
z e − jα
− 2 jα
=
=
e
z * e jα
ƒ Que en forma concreta en términos de sus componentes se
⎡ −δ ⎤
escribirá
2 j tan −1
z
=e
*
z
⎢
⎥
⎣ γ ⎦
si
z = γ −δ j
COCIENTE DE COMPLEJOS
CONJUGADOS
ƒ Los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son
el cociente de los siguientes números complejos y sus
conjugados
z = γ − δ j = n2 cosθ o − n1 Q para rp
z = γ − δ j = n1 cosθ o − n2 Q para rs
ƒ Esos coeficientes son dados por:
⎡
n1Q ⎤
2 j tan −1 ⎢ −
⎥
⎣ n 2 cos θ o ⎦
⎡
n2 Q ⎤
2 j tan −1 ⎢ −
⎥
⎣ n1 cos θ o ⎦
rp = e
rs = e
ƒ La relación entre campo incidente y reflejado es dada por
(Eor ) p = rp (Eoi ) p = (Eoi ) p e
(Eor )s = rs (Eoi )s = (Eoi )s e
⎡
n1Q ⎤
2 j tan −1 ⎢ −
⎥
⎣ n2 cos θ o ⎦
⎡
n2 Q ⎤
2 j tan −1 ⎢ −
⎥
⎣ n1 cos θ o ⎦
COCIENTE DE COMPLEJOS
CONJUGADOS
ƒ La onda reflejada se defasa respecto a la onda incidente
tanto en componente paralela como perpendicular al plano
de incidencia
ƒ El defasamiento es diferente para cada componente
⎡
n1Q ⎤
2α = 2 j tan ⎢−
⎥
cos
θ
n
o⎦
⎣ 2
paralela
−1
⎡
n2Q ⎤
2 β = 2 j tan ⎢−
⎥
n
cos
θ
o⎦
⎣ 1
perpendicular
−1
ƒ Se definen los desplazamientos en cada componente por:
δ p = 2α
δ s = 2β
DEFASAMIENTO
ƒ Usando el valor
sin 2 θ o
−1 =
sin 2 θ c
sin 2 θ o
⎛ n2 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ n1 ⎠
2
−1 = Q
ƒ Los defasamientos en cada dirección son dados por
⎛δ p
tan⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟⎟ = −
⎠
sin θ o − ⎛⎜ n2 ⎞⎟
⎝ n1 ⎠
2
2
2
⎛ n 2 ⎞ cos θ
⎜ n ⎟
o
1⎠
⎝
⎛δ ⎞
tan⎜ s ⎟ = −
⎝ 2⎠
sin θ o − ⎛⎜ n2 ⎞⎟
⎝ n1 ⎠
cos θ o
2
2
ƒ Finalmente el defasamiento entre las dos ondas (p) y (s) es
δ =δs − δ p ⇒
⎛δ ⎞
tan⎜ ⎟ =
⎝2⎠
cos θ o
n
sin θ o − ⎛⎜ 2 ⎞⎟
⎝ n1 ⎠
sin 2 θ o
2
2
CURVA DE DEFASAMIENTO NETO
δ para n1=2, n2=1
ONDAS INCIDENTE Y REFLEJADA
ƒ La onda incidente y reflejada son dadas genéricamente por:
Ei = E oi
E r = Eor
− jω t
e
e
− jω t
e(
e(
j k1 z cos θ o + k1 sin θ o )
j k1 z cos θ o + k1 sin θ o )
ƒ Para la componente paralela al plano de incidencia
(Ei ) p = (Eoi ) p e− jω t e j (k z cosθ + k x sinθ )
(Er ) p = (Eor ) p e− jω t e j (k z cosθ + k x sinθ )
(Er ) p = (Eoi ) p e j 2α e− jω t e j (k z cosθ + k x sinθ )
(Er ) p = (Eoi ) p e− jω t e j (k z cosθ + k x sinθ + 2α )
1
o
1
1
o
o
1
o
1
1
o
o
1
1
o
o
ƒ Para la componente perpendicular
(Er )s = (Eoi )s e− jω t e j (k z cosθ
1
o
+ k1 x sin θ o + 2 β )
VECTOR DE JONES DE ONDA
REFLEJADA
ƒ El vector de Jones de la onda reflejada es:
jδ
⎡(E or ) p ⎤ ⎡(E oi ) p e p ⎤
⎢ (E ) ⎥ = ⎢
jδ s ⎥
⎣ or s ⎦ ⎢⎣ (E oi )s e ⎥⎦
ƒ Que puede escribirse como:
(Eoi ) p ⎤
⎡(Eor ) p ⎤
jδ p ⎡
j (δ s −δ p ) ⎥
⎢ (E ) ⎥ = e ⎢
⎣ or s ⎦
⎦
⎣(Eoi )s e
⎤
⎡(Eor ) p ⎤
jδ p ⎡ (Eoi ) p
⎢ (E ) ⎥ = e ⎢(E ) e j (δ ) ⎥
⎦
⎣ oi s
⎣ or s ⎦
si δ = δ s − δ p
Valor maximal del defasaje
ƒ Una frontera se puede caracterizar por su índice de
refracción relativo:
relativo
n2
n=
n1
ƒ Escribiendo el defasaje total en términos de este índice
relativo
2
2
⎛ δ ⎞ cos θ o sin θ o − n
tan⎜ ⎟ =
sin 2 θ o
⎝2⎠
ƒ El calculo del valor maximal de la anterior función, por
medios analíticos conduce a:
2
n
2
sin 2 θ o =
1+ n2
Para el valor θο de defasaje máximo.
máximo
Valor maximal del defasaje
ƒ El valor del defasamiento máximo es dado por
⎛δ ⎞
tan ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ max
1 − n2
=
2n