Vibraciones libres - prof.usb.ve.

Labor at or io Dinámica de Máquinas
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
UNIDAD DE LABORATORIOS
LABORATORIO “A”
SECCIÓN DINÁMICA DE MÁQUINAS
PRÁCTICA 1
VIBRACIONES LIBRES
1.1. Objetivos
1. Familiarizar al estudiante con:
el Banco Universal de Vibraciones;
la adquisición y procesamiento de datos de forma digital;
el uso e interpretación del espectro de frecuencia como herramienta para el análisis de
vibraciones;
la utilización de dos instrumentos de medición: transductor de proximidad y vibrómetro.
2.
Estudiar el fenómeno de vibraciones libres.
3.
Determinar experimentalmente las características naturales de un sistema oscilatorio actuando
como péndulo simple.
4.
Caracterizar experimentalmente un sistema vibratorio amortiguado de un grado de libertad a
partir de su respuesta libre (TOSC ,ζ ).
5.
Determinar valores de inercia a partir de datos experimentales de oscilación.
6.
Comparar los resultados teóricos estudiados en el curso de vibraciones mecánicas, con los
obtenidos experimentalmente.
1.2. Introducción teórica
Una vez que un problema físico ha sido identificado, se comienza por desarrollar el modelo
mecánico del mismo. Mediante la ayuda de las leyes de Newton, las ecuaciones de Lagrange, de
Hamilton, de Kane, etc., se obtiene el modelo matemático que corresponde al modelo mecánico.
Con las herramientas matemáticas apropiadas, como por ejemplo la solución de Laplace para
ecuaciones de segundo orden, se halla la solución matemática al problema planteado y por ende se
consigue la respuesta del sistema propuesto en el modelo mecánico, que corresponde a la ley de
movimiento.
Un ejemplo de lo anterior se presenta en la siguiente figura:
Fig. 1. Esquema para la solución de problemas físicos.
En el Laboratorio de Vibraciones Mecánicas, se pretenden simular mecánicamente
problemas físicos relacionados con sistemas vibratorios con el objetivo de hallar su solución,
entendiéndose por sistema vibratorio todo aquel que posee un movimiento oscilatorio que puede o
no ser armónico y que tiene la capacidad de almacenar y transformar energía cinética y potencial.
Ejemplos de acumuladores de energía cinética son las masas, ya sean partículas o cuerpos
rígidos. Dentro de los acumuladores de energía potencial se tienen las masas, los resortes lineales y
torsionales y en general, cualquier tipo de elementos elásticos. Por otra parte, se tienen los
disipadores de energía, entre los que encontramos los amortiguadores viscosos, el roce de un
cuerpo contra una superficie y la disipación histerética, entre otros.
Movimiento oscilatorio
La mayoría de los movimientos oscilatorios sencillos pueden representarse mediante el uso
de curvas sinusoidales.
El período de una vibración es el intervalo de tiempo en el cual un movimiento se repite; se
designa con el símbolo T y se mide en segundos.
El recíproco del período es la frecuencia de la oscilación; se designa con el símbolo f y se mide en
ciclos por segundo. Se expresa como:
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La frecuencia circular o angular de oscilación se designa con el símbolo ω y se mide en
radianes por segundo. Se expresa por:
La posición de equilibrio estático de un sistema es la posición en la cual las fuerzas
estáticas se equilibran. Si un sistema libre oscila, lo hará alrededor de su posición de equilibrio
estático, a la cual regresará una ve z que haya disipado toda la energía de perturbación.
La amplitud cero - pico mide la amplitud de la función sinusoidal desde la posición de
equilibrio (valor 0 en el eje de las ordenadas) y el máximo o el mínimo de la función.
La amplitud pico - pico mide la magnitud de la amplitud de la función sinusoidal desde un
valor mínimo hasta un valor máximo o viceversa.
La amplitud RMS es la amplitud del desplazamiento constante que contendría la misma
energía que transporta la onda sinusoidal. Matemáticamente es la raíz cuadrada del valor medio del
cuadrado de la señal. Por integración directa puede demostrarse que, para una señal sinusoidal, el
valor RMS está dado por:
En la figura 2 se presenta una función sinusoidal en la cual se han representado la mayoría
de las definiciones anteriores.
Fig. 2. Algunos parámetros en una curva que representa un movimiento oscilatorio.
Definiciones básicas en vibraciones libres
En esta primera práctica se estudiarán las respuestas libres de sistemas de un grado de
libertad, las cuales ocurren cuando dichos sistemas son capaces de oscilar debido a la acción de
fuerzas inherentes a ellos, sin la acción de fuerzas externas sobre estos.
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Un sistema mecánico se dice que posee un grado de libertad cuando su configuración
geométrica puede ser expresada en cualquier instante en función de una sola variable. Entonces, se
necesitarán tantas variables como grados de libertad tenga un sistema para poder definirlo.
El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad, es el masa-resorteamortiguador identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ, cEQ y kEQ, que
se ilustra en la figura 3.
Fig. 3. Constantes características de un sistema de un grado de libertad.
La frecuencia angular natural de un sistema representa una característica propia y única de
cada sistema y depende de su masa y elasticidad equivalentes. Se designa con el símbolo ωn , se
mide en radianes por segundo y se expresa según la ecuación:
El factor de amortiguación relaciona las tres constantes características del sistema. Se
designa con el símbolo ζ , es adimensional y se expresa según la ecuación:
Básicamente se tienen cuatro tipos de sistemas determinados de acuerdo a su factor de
amortiguación:
no amortiguados (cuando ζ = 0 ),
sub-amortiguados (cuando 0 < ζ < 1 ),
críticamente amortiguados (cuando ζ = 1 ),
sobre-amortiguados (cuando ζ > 1 ).
En los sistemas sub-amortiguados es muy útil conocer el decremento logarítmico, el cual se
designa con el símbolo ∆; se define como:
y se relaciona con el factor de amortiguación de la siguiente manera:
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La figura 4 es un ejemplo de la respuesta de un sistema sub-amortiguado de un grado de
libertad. “Td” representa el período de la respuesta sub-amortiguada.
Fig. 4. Respuesta de un sistema sub-amortiguado de un grado de libertad.
1.3. Instrumentación
Cuando se desea obtener información acerca del comportamiento de máquinas vibratorias,
los transductores más comúnmente utilizados son los de proximidad, los vibrómetros y los
acelerómetros. En esta primera práctica se utilizarán un transductor de proximidad y un vibrómetro.
Un transductor de proximidad genera un campo electromagnético cuando un cuerpo se acerca o se
aleja de él, siendo su magnitud proporcional a la distancia que existe entre ellos. En la figura 5
puede observarse un transductor de proximidad.
Fig. 5. Transductor de proximidad.
Cabe destacar que estos instrumentos no son capaces de generar el campo magnético
correspondiente cuando las distancias superan el valor de referencia de saturación del instrumento,
como se observa en la figura 6.
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Fig.6. Curva característica de un transductor de proximidad.
Los vibrómetros miden velocidades de vibración y están conformados por una masa magnética
colocada sobre un resorte y rodeada por una bobina. El voltaje generado por el movimiento de la
masa dentro de la bobina es proporcional a la velocidad de la superficie en la cual es montado el
instrumento. Integrando esta señal, puede obtenerse el desplazamiento. En la figura 7 se muestra un
vibrómetro.
Fig. 7. Vibrómetro.
Adquisición de datos y análisis de señales
La adquisición de datos se hace a través de una tarjeta convertidora analógica – digital. Esta
tarjeta transforma una señal analógica comprendida dentro de un rango de entrada (por ejemplo
entre –5 y +5 voltios o entre 0 y 20 voltios), a una señal digital conformada por un vector de puntos
donde cada uno representa una fracción del rango de entrada.
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Estos datos digitales son procesados mediante un instrumento virtual desarrollado en el
Laboratorio de Dinámica de Máquinas por medio del software LabVIEW™, el cual puede mostrar
la señal original en el dominio del tiempo (como si fuera un osciloscopio) y también puede
procesar los datos para obtener un espectro en el dominio de la frecuencia (amplitud vs.
frecuencia). El algoritmo empleado es la Transformada Rápida de Fourier o FFT (por sus siglas en
inglés), el cual descompone una señal periódica como una suma de senos y cosenos o de
amplitudes y fases.
Un sistema de un solo grado de libertad vibra a una sola frecuencia, a menos que el sistema
sea no lineal, en cuyo caso pueden presentarse valores frecuenciales diferentes, que son múltiplos
de la frecuencia más baja y que recibe el nombre de frecuencia fundamental. Estos valores
frecuenciales son las llamadas armónicas.
En la figura 8 se muestran una señal en el dominio del tiempo y su respectivo espectro.
Fig. 8. Señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
1.4. Montaje experimental
Parte A: determinación de la frecuencia de oscilación del péndulo
El sistema consta de:
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1. Una barra de acero de sección rectangular de 1” x ½” y longitud 32”, colocada en forma
vertical y articulada en su extremo superior a uno de los miembros verticales del bastidor del
Banco Universal de Vibración, de manera que pueda actuar como péndulo simple.
2. Un transductor de proximidad (figura 5) colocado frente al extremo libre de la barra, para
detectar como referencia el punto de máxima amplitud de oscilación de la misma (ver figura 9).
3. Una computadora en la cual se ha instalado una tarjeta de adquisición de datos (convertidora
analógica-digital) y el respectivo instrumento virtual, que permitirá observar y analizar la señal
proveniente del transductor de proximidad.
4. Un condicionador de señales utilizado para ajustar la señal (voltaje) proveniente del transductor
de proximidad al rango de operación de la tarjeta de adquisición de datos.
5. Una fuente DC de 24V para alimentar al transductor de proximidad.
Fig. 9. Montaje de la experiencia de la parte A.
Parte B: vibración libre con poca amortiguación
El sistema que se muestra en la figura 9 consta de lo siguiente:
1. Una barra de acero de sección rectangular de 1” x ½” y longitud 30”, articulada por uno de sus
extremos a uno de los miembros verticales del bastidor del Banco Universal de Vibración y
soportada en el otro extremo por un resorte helicoidal sujetado al miembro superior del bastidor
del banco.
2. Una serie de masas que han sido agregadas en la barra, a distancias determinadas con respecto a
la articulación.
3. Un amortiguador viscoso vinculado a la barra.
4. Un vibrómetro, como el de la figura 7, colocado sobre la barra, que permite detectar una señal
proporcional a la velocidad de la misma producto de la vibración.
5. La computadora con la tarjeta de adquisición de datos y el software antes descritos, por medio
de los cuales será procesada y analizada la señal proveniente del vibrómetro.
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Fig. 10. Montaje de la experiencia de la parte B.
1.5. Procedimiento experimental
Parte A: determinación del período de oscilación del péndulo
1. Colocar el extremo libre de la barra en la posición de referencia (justo delante del transductor
de proximidad).
2. Dejar oscilar la barra permitiendo que la computadora comience el muestreo de la señal. De
esta manera quedarán registrados cada uno de los pulsos provenientes del transductor de
proximidad.
3. Registrar el valor de la frecuencia correspondiente al primer pico en el espectro de frecuencia.
Los otros picos que serán observados corresponden a las armónicas de la frecuencia
fundamental.
En la figura 11 se muestra un esquema del montaje de la parte A, donde se identifican algunos
datos importantes.
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Fig. 11. Representación esquemática y datos para el sistema de la parte A.
Parte B: vibración libre con poca amortiguación
1. Excitar el sistema con un conjunto de condiciones iniciales para que la computadora comience
el muestreo de esa señal. De esta forma se registra la respuesta libre del sistema.
2. Registrar el valor de la frecuencia correspondiente al pico en el espectro de frecuencia.
En la figura 12 se muestra el esquema del montaje de la parte B, donde pueden identificarse
algunos parámetros importantes.
Fig. 12. Representación esquemática y datos para el sistema de la parte B.
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1.6. Esquema del reporte
Usted debe traer al laboratorio un disco de 3½” o un pendrive en donde guardará los datos
tomados en la práctica que luego utilizará para realizar las gráficas experimentales. A usted
también se le debe entregar un formato para el reporte experimental, el cual deberá llenar sin
hacerle modificaciones significativas.
1) Experiencias
Parte A: determinación del período de oscilación del péndulo
1. Dado el sistema de la figura 11, determine la ecuación diferencial que rige su movimiento en
función de la masa de la barra ( MBL ), la longitud ( LBL ), el momento de inercia ( IZZ ), el
ángulo (θ ) y la aceleración de gravedad ( g ).
2. Para pequeñas oscilaciones, ¿qué aproximación puede hacer? Escriba la ecuación diferencial
modificada.
3. Determine la frecuencia natural del sistema.
4. A partir de la señal en el tiempo (gráfica), estime el período de oscilación y la frecuencia del
péndulo.
5. Con el valor de la frecuencia leído experimentalmente de la gráfica, calcule la inercia de la
barra en el punto de pivote.
6. Calcule en forma teórica la inercia de la barra en el punto de pivote.
7. Compare el valor de la inercia calculado teóricamente con el obtenido a partir de los datos
experimentales. Para ello, determine el error porcentual entre ambos valores.
8. Mediante el uso de programas como Mathcad, Mathlab o Excel, desarrolle un modelo
matemático que simule la respuesta del sistema físico. Incluya gráficos en su simulación.
Recuerde que esto le será de utilidad a la hora de efectuar el análisis de los resultados.
Parte B: vibración libre con poca amortiguación
1. Obtenga la ecuación diferencial que rige al movimiento del sistema de la figura 12. Considere:
El vibrómetro, los soportes y la masa agregada como masas puntuales.
El tornillo y la barra como cuerpos rígidos.
El resorte como una masa puntual de 1/3 de su masa total.
2. Con el gráfico de la respuesta libre, determine el factor de amortiguación y el período de
oscilación del sistema.
3. Para calcular la constante elástica del resorte se empleó un sistema masa – resorte diseñado para
que al suspender una masa de dicho resorte, un reloj comparador pudiera medir la deflexión que
se generaba. Cuando no hay masa suspendida en el resorte, el reloj registra cero deflexión, al
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agregar una masa de 400g el reloj registra una deflexión de 0,96mm. En base a estos resultados
y con el valor de la aceleración de gravedad, determine la constante elástica del resorte en N/m.
4. Calcule la frecuencia angular natural y la masa equivalente del sistema.
5. Calcule la constante del amortiguador.
6. Compare el valor de la masa equivalente suministrado con el valor experimental obtenido. Para
ello, determine el error porcentual entre ambos valores.
7. Mediante el uso de programas como Mathcad, Mathlab o Excel, desarrolle un modelo
matemático que simule la respuesta del sistema físico. Incluya gráficos en su simulación.
Recuerde que esto le será de utilidad a la hora de efectuar el análisis de los resultados.
2) Análisis de resultados
3) Conclusiones.
3) Escriba algunas recomendaciones y comentarios acerca de la práctica efectuada si lo considera
necesario.
Algunos datos útiles:
Aceleración de gravedad en el laboratorio:
Masa de la barra larga (parte A):
Masa de la barra corta (parte B):
Masa del soporte 1(parte B):
m sop1 = 1,833kg
Masa del soporte 2(parte B):
m sop 2 = 3.265kg
Masa agregada (parte B):
Masa del tornillo (parte B):
Masa del resorte helicoidal (parte B):
Masa del vibrómetro (parte B):
Masa del soporte amortiguador (parte B):
Diámetro del tornillo (parte B):
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Longitud del tornillo (parte B):
Ltor = 158mm
Longitud vertical al soporte 2 (parte B):
Lvs 2 = 184 mm
Pregunte al asistente por los valores que se encuentran en los espacios a continuación y llénelos
(parte B de la práctica):
Distancia del pivote al vibrómetro:
Distancia del pivote al amortiguador viscoso:
Distancia del pivote a la masa agregada:
Distancia del pivote al resorte helicoidal:
Distancia vertical de la barra a la masa agregada:
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