INDICES DE MULTIPLICIDAD

RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS
(INDICES DE MULTIPLICIDAD)
En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con
coeficientes racionales.
Teorema del factor (factorización):
Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces (x-r) es un factor de P(x). Por el contrario,
si (x-r) es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x).
Ejemplos para discusión:
1.
2.
3.
4.
5.
¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2 - x - 6?
Demuestra que x + 1 es un factor de x25 + 1.
¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)?
¿Cuáles son las raíces de x4 - 1?
¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x de la gráfica de P(x) = x2 - x - 6?
Ejercicio de práctica:
Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio
P(x) = x3 - 13x + 12.
2. ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)?
2
3. ¿Cuáles son las raíces de x + 4 = 0?
2
4. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x - 9?
1.
Teorema fundamental del álgebra:
“LEER DOCUMENTO DEL TEOREMA”
Índice de multiplicidad:
Definición:
Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio P(x),
entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k.
Ejemplos:
Sea el polinomio P(x) = x2 - 10x + 25, que tiene raíz 5 con multiplicidad 2. Observamos
que: x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2.
Un polinomio P(x) de mayor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las siguientes
raíces: -7 de multiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda expresado de la forma
factorizada como : P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2.
Teorema de las n raíces:
Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores
lineales. De aquí que, P(x) tenga exactamente n raíces (no necesariamente distintas).
Ejemplo:
El polinomio P(x) = 6(x - 5)3(x + 1)2(x - i)(x + i) es de grado siete y tiene siete raíces, no
todas diferentes. Observa que 5 es una raíz demultiplicidad 3; -1 es una raíz de
multilpicidad 2; i y -i es de multiplicidad 1. Así que este polinomio de grado siete tiene
exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus respectivas multiplicidades.
Teorema de raíces imaginarias:
Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes reales, si existe, ocurren en pares
conjugados.
Ejemplo:
Al hallar las raíces del polinomio P(x) = x2 - 6x + 13 por la fórmula cuadrática encontramos
que las raíces son 3 + 2i y 3 - 2i, que son números conjugados imaginarios.
Teorema de las raíces racionales:
Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es una función polinómica con coeficientes
enteros (donde anes diferente de cero y a0 es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada)
es un cero racional de P(x), entonces b es un factor del término constante a0 y c es un
factor del coeficiente de an.
Ejemplos para discusión:
Halla todas las raíces racionales para:
1) P(x) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6
2) P(x) = 2x3 - 7x2 + 4x + 3
Ejercicio de práctica:
Halla todas las raíces para P(x) = 2x3 + x2 - 11x - 10.