1. El problema de las ecuaciones matriciales

1.
El problema de las ecuaciones matriciales
Enunciado del problema
Si
1 −1
−3
2
1
1
F =  −1 −4
2
3

1 −3
C =  −1 −1
2 −4

−6 −2 −1
2 −8
D =  12
−14 −4
1

B=





−5
11 
−12
Clasifique las siguientes ecuaciones para la incógnita X:
a) FX = D
b) DX = F
c) FX = C
d) DX = C
e) XF = B
Respecto a las siguientes posibilidades:
1) Tiene solución única.
2) Tiene infinitas soluciones.
3) No tiene solución.
Respuesta: 1,2,3,3,2
Desarrollo de la solución
Los resultados teóricos que requiere la solución de este problema son los siguientes:
Teorema: De la contención de espacios generados
Si V = Gen {x1 , · · · , xm }, y W = Gen {y1 , · · · , yk } son conjuntos de vectores en Rn . Entonces:
Todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W si y solo si V ⊆ W .
Su versión operativa dirı́a: La matriz reducida de [y1 , · · · , yk |x1 , · · · , xm ] tiene todos sus pivotes a la izquierda
si y sólo si V ⊆ W . El segundo resultado clave indica la condición necesaria y suficiente para que una ecuación
matricial tenga solución:
Teorema: De la solución de ecuaciones matriciales
Para cualquier matrices A m × n, y B m × q: C(B) ⊆ C(A) si y sólo si existe una matriz X que
cumpla A X = B.
Siendo C(A) el espacio generado por las columnas los dos resultados anteriores indican que la ecuación matricial
A X = B tendrá solución si y sólo si la matriz reducida de [A|B] tendrá todos sus pivotes a la izquierda. El
otro resultado requerido tiene que ver con el análisis de un sistema consistente a partir de la reducida:
Teorema: Cuando un sistema consistente tiene infinitas soluciones
Considere el sistema consistente [A|b]: El sistema tendrá infinitas soluciones si y sólo si la parte
izquierda de la reducida tiene al menos una columna sin pivote.
a Análisis de F X = D


1 0 −4 −2 −4 −3
3 −2 
[F|D] →  0 1 −2 0
0 0 0
0
0
0
Al no haber pivotes a la derecha en la reducida de [F|D] concluimos que la ecuación FX = D sı́ tiene
solución. Como todas las columnas a la izquierda de la reducida tienen pivote, concluimos que la ecuación
tiene solución única.
b Análisis de D X = F
1 0 − 32
[D|F] →  0 1 5
0 0 0

1
− 12
0
0
− 12
0

− 21
1 
0
Al no haber pivotes a la derecha en la reducida de [D|F] concluimos que la ecuación DX = F sı́ tiene
solución. Como hay columnas a la izquierda de la reducida sin pivote (la tercera y la cuarta), concluimos
que la ecuación tiene infinitas soluciones.
c Análisis de FX = C


1 0 1 0
[F|C] →  0 1 0 0 
0 0 0 1
Al haber un pivote a la derecha de la reducida concluimos que C(C) no está contenido en C(F) y por
tanto concluimos que la ecuación FX = C no tiene solución.
d Análisis de D X = C
1 0 − 32
[D|C] →  0 1 5
0 0 0

1
− 12
0
0
− 12
0

0
0 
1
Al haber un pivote a la derecha de la reducida concluimos que C(C) no está contenido en C(D) y por
tanto concluimos que la ecuación DX = C no tiene solución.
e Análisis de X F = B
Note que en este caso la incógnita aparece a la izquierda en la ecuación y no podemos utilizar directamente
la teorı́a. Pero si utilizamos las propiedades de la transpuesta podemos reducir este problema nuevo a
nuestro problema conocido:
X F = B ↔ (X F)T = BT ↔ FT XT = BT
Teniendo ahora la incóginta XT a la derecha podemos proceder como en los problemas anteriores:
h
i
5
− 14
1 0 35
T
T
3
3
F |B
→
0 1 − 13 23 − 53
Al no haber pivotes a la derecha en la reducida concluimos que la ecuación sı́ tiene solución. Como hay
columnas a la izquierda de la reducida sin pivote, concluimos que la ecuación tiene infinitas soluciones.
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