Estudio probabilístico de un modelo de difusión asociado a la curva

Máster en Estadı́stica Aplicada
Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Universidad de Granada
Trabajo de investigación
Estudio probabilı́stico de un
modelo de difusión asociado a la
curva de von Bertalanffy
Eva Vicenta Poza Cruz
Granada, diciembre de 2009
Máster en Estadı́stica Aplicada
Departamento de Estadı́stica e Investigación Operativa
Universidad de Granada
Trabajo de investigación presentado por Da . Eva Vicenta
Poza Cruz y dirigido por los profesores Dra. Da . Patricia
Román Román y Dr. D. Francisco de Ası́s Torres Ruiz
Vo Bo
Vo Bo
Patricia Román Román
Francisco de Ası́s Torres Ruiz
Vo Bo
Eva Vicenta Poza Cruz
Índice general
Introducción
3
1. Curva de von Bertalanffy
1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Algunos métodos clásicos de determinación de los parámetros
von Bertalanffy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Métodos basados en criterios mı́nimo cuadráticos . . .
1.2.2. Métodos gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Diferentes reparametrizaciones de la curva . . . . . . . . . . .
1.4. Algunos modelos estocásticos de von Bertalanffy . . . . . . . .
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la curva
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2. Proceso de difusión tipo Bertalanffy
2.1. Una nueva expresión de la curva de von Bertalanffy generalizada . . . . . . . .
2.2. Obtención del Proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Obtención a partir de modelos continuos de crecimiento . . . . . . . . .
2.2.2. Obtención por paso al lı́mite de modelos discretos . . . . . . . . . . . .
2.3. Distribución del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Distribución del proceso a partir de las ecuaciones diferenciales estocásticas
2.3.2. Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Kolmogorov . . . .
23
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3. Propiedades del proceso. Simulación de trayectorias
3.1. Caracterı́sticas del proceso . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Funciones media, moda y de cuantiles . . . . . .
3.1.2. Momentos unidimensionales . . . . . . . . . . .
3.1.3. Momentos cruzados. Función de covarianza . . .
3.2. Simulación de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Aproximación numérica de la EDE . . . . . . .
3.2.2. A partir de la transformación al proceso Wiener
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Aplicación
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4. Estimación Maxima Verosı́mil. Ejemplos
4.1. Estimación Maxima Verosı́mil . . . . . .
4.2. Aspectos Numéricos . . . . . . . . . . .
4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
de
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Bibliografı́a
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Eva Vicenta Poza Cruz
Introducción
El biólogo austriaco Karl Ludwig von Bertalanffy introdujo en 1938, [30], un modelo para
estudiar el crecimiento de individuos pertenecientes a poblaciones animales. Dicho modelo, al
igual que los principales modelos de crecimiento, surgió tras una adaptación del modelo logı́stico
de Verhulst. En él se asume que la caracterı́stica en estudio de la población considerada posee
un valor máximo (o cota), que puede en teorı́a ser alcanzado, y que la tasa de crecimiento
es proporcional a la diferencia entre dicho valor máximo y el que la población posee en un
instante de tiempo determinado. Actualmente es el modelo más comúnmente empleado en el
estudio de poblaciones de peces, si bien ha demostrado su utilidad al aplicarlo en otras especies
animales.
El modelo está asociado a una curva sigmoidal, conocida como curva de von Bertalanffy, y
cuya expresión más extendida es
£
¤
L(t) = L∞ 1 − e−k(t−a) ; t ≥ a; k > 0,
(1)
donde L∞ es la cota superior de la variable en estudio, que indica el máximo valor que podrı́a
alcanzar la variable cuando el tiempo tiende a infinito, y k es el parámetro de curvatura, o tasa
de crecimiento de von Bertalanffy, que indica la velocidad con la que el individuo alcanza la
cota. El parámetro a, a veces denominado condición inicial, determina el instante en el que la
variable en estudio toma el valor cero, si bien desde el punto de vista biológico no tiene gran
importancia ya que es usual que en las primeras etapas de crecimiento la variable considerada
no se ajuste bien a este tipo de patrón de crecimiento, adoptándolo en etapas posteriores
(cuando realmente se tienen observaciones de dicha variable).
Con posterioridad se generalizó la expresión de esta curva, apareciendo la denominada
curva de von Bertalanffy generalizada (ver por ejemplo Garcı́a-Rodrı́guez et al., [9]):
¤b
£
S(t) = S∞ 1 − e−k(t−a) ; t ≥ a; k > 0; b ≥ 1,
(2)
donde el valor b puede ser conocido o desconocido. Por ejemplo, el valor b = 1 es usado cuando
la variable en estudio es la longitud. Por otro lado, y teniendo en cuenta la relación existente
entre el peso y la longitud, el valor b = 3 está asociado con el peso cuando el crecimiento del
animal es isométrico (la relación longitud/peso permanece constante para todos los individuos
de la especie), mientras que el caso b 6= 3 está relacionado con el crecimiento alométrico (la
relación anterior no permanece constante).
Las curvas (1) y (2) proporcionan modelos adecuados para describir el crecimiento (en
longitud o en peso) tanto de especies piscı́colas como de otras (por ejemplo se ha usado con
3
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
éxito para especies vacunas). Por ello se han desarrollado procedimientos para estimar los
parámetros involucrados, tanto analı́ticos (principalmente métodos mı́nimos cuadráticos) como
gráficos (basados en la linealización de las expresiones anteriores). Entre los primeros podemos
citar el desarrollado por Rafail, [20], basado en el establecimiento de una relación lineal entre
los logaritmos de los incrementos de crecimiento por unidad de tiempo frente al tiempo como
variable independiente. Entre los segundos podemos citar los gráficos de Gulland y Holt, el de
Ford-Walford, el de Chapman y el debido al propio von Bertalanffy.
Sin embargo, estos modelos no tienen en cuenta posibles variabilidades o fluctuaciones aleatorias que pudieran existir en el sistema bajo consideración. Por ello, y a partir de los modelos
anteriores, han sido considerados modelos estocásticos. Los más simples son modelos de regresión no lineal, incluyendo un término de error normal que puede ser homocedástico o bien
heterocedástico, considerando esquemas autorregresivos. Otros más elaborados consideran modelos de efectos aleatorios en los que los parámetros siguen una ley normal trivariante (Cheng
y Kuk [6]). Más recientemente, Tóvar-Ávila et al. ,[28], han considerado una reparametrización
de la tasa de crecimiento de von Bertalanffy introduciendo funciones de distribución Weibull,
gamma y log-normal. Finalmente, también se han considerado procesos estocásticos. En ese
sentido, Lv y Picthford [13] han considerado ecuaciones diferenciales estocásticas cuya parte no
aleatoria es una curva von Bertalanffy, considerando posteriormente diferentes términos para
la volatilidad, dando origen a tres procesos de difusión con propiedades diferentes, estudiando
su efecto en el problema de recaptura de peces.
En este trabajo se presenta un nuevo proceso de difusión asociado a un nueva expresión de
la curva de von Bertalanffy generalizada y debida a Román-Román y Torres-Ruiz, [23]. Esa
nueva expresión aporta una propiedad adicional importante como es el hecho de que el valor
de la cota depende del valor inicial (hecho que no se deduce de las expresiones anteriores), lo
cual puede ser de utilidad para estudiar el comportamiento de individuos particulares de la
población en estudio.
En el primer capı́tulo introducimos la curva de von Bertalanffy, tanto en la forma original
proporcionada para estudiar la longitud de especies animales, como su transformación para el
peso. Ambas formulaciones son un caso particular del expuesto por Paloheimo y Dickie [15], los
cuales comparan el ı́ndice de crecimiento con la diferencia entre la tasa de entrada de energı́a
y el gasto de energı́a. De hecho, el modelo expuesto por von Bertalanffy es un caso particular
en el que el crecimiento es el resultado neto de dos procesos opuestos, el catabolismo y el
anabolismo, donde los procesos anabólicos involucran a la sı́ntesis de proteı́nas, mientras que
los catabólicos son su degradación, es decir
dW
= HW d − kW
dt
donde
dW
: cambio en el crecimiento por unidad de tiempo.
dt
H : coeficiente de anabolismo.
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k: coeficiente de catabolismo.
El proceso anabólico es proporcional a una potencia del peso, en cambio el catabolismo es
proporcional al peso mismo (Bertalanffy,[30]; Pauly, [18]). La integración de la ecuación anterior
conduce a la ecuación de von Bertalanffy. En dicha integración el peso se expresa como una
función de la longitud y entonces es posible estimar el crecimiento tanto en longitud como en
peso. Dichas funciones (longitud y peso) también serán estudiadas en dicho capitulo, ası́ como
algunos de los diferentes métodos que existen en la literatura para determinar los parámetros.
Entre ellos destacamos algunos basados en la estimación mı́nimo cuadrática ası́ como algunos
procedimientos gráficos.
En este mismo capı́tulo presentamos también algunas de las reparametrizaciones que se han
hecho de la curva de crecimiento de von Bertalanffy a lo largo de la historia. Por último nos
hacemos eco de algunos modelos estocásticos asociados a esta curva. En concreto, y puesto que
el que vamos a proponer es un proceso de difusión, presentamos tres modelos de esta naturaleza,
(debidos a Lv y Picthford, [13]) con una parte deterministica idéntica y diferentes términos
estocásticos, que han sido diseñados para estudiar el efecto de las diferentes estocasticidades
en el problema de recaptura de peces.
En el capitulo dos en primer lugar proponemos una nueva expresión de la curva que presenta
la propiedad de que la cota es dependiente del valor inicial. Tras ello proponemos la introducción del modelo de difusión mediante dos vı́as alternativas: a partir de la ecuación diferencial
de crecimiento determinı́stico seguido por la curva, a la cual se le añade un ruido blanco conduciendo a una ecuación diferencial estocástica, y mediante un procedimiento de paso al limite
a partir de la discretización de la ecuación determinı́stica anteriormente mencionada.
Después de haber introducido el proceso de difusión, pasamos a la obtención de su distribución, lo cual se realiza mediante las dos aproximaciones habituales en la teorı́a de procesos
de difusión: a partir de las ecuaciones diferenciales estocásticas y a partir de las ecuaciones
diferenciales parciales de Kolmogorov. En cada caso se obtendrán las distribuciones finitodimensionales ası́ como la función de densidad de transición. Para el cálculo de las distribuciones finito dimensionales proponemos dos casos para la distribución inicial, uno en el cual la
distribución es degenerada y otro en el cual la distribución es lognormal.
En el capitulo tres, describimos las principales caracterı́sticas del proceso, centrándonos en
las más importantes, cara a las aplicaciones numéricas de estimación y predicción. Estas caracterı́sticas son la función media, moda y cuantiles, y sus respectivas funciones condicionadas.
Asimismo se calcularán los momentos unidimensionales de cualquier orden, los cruzados y, por
tanto, la función de covarianza. Una vez obtenidas dichas funciones, realizaremos simulaciones
de las trayectorias del proceso con el fin de visualizar su comportamiento. Para ello, vamos
a utilizar dos alternativas. Por una parte emplearemos el algoritmo derivado de la solución
numérica de la ecuación diferencial estocástica asociada al proceso.(Kloeden et al.,[12]), y por
otro lado vamos a utilizar directamente la expresión de las trayectorias, a partir de la generación del proceso Wiener, puesto que el proceso obtenido se puede obtener mediante una
transformación de este.
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Finalmente, en el capitulo cuatro, presentamos una primera aproximación a la inferencia en
el proceso mediante la estimación máximo verosı́mil de los parámetros del mismo, lo cual será de
utilidad para el ajuste del modelo a situaciones reales. Puesto que el sistema de ecuaciones
que obtenemos es complejo, presentamos un procedimiento numérico (propuesto por RománRomán y Torres-Ruiz, [23]) con el propósito de hallar una solución inicial conveniente para
nuestro estudio. Para dicha solución inicial se van a considerar dos casos, en los cuales b
es conocido (lo cual puede ser útil en situaciones como el del estudio de longitud o peso
en especies de peces) y desconocido, y para cada caso se tendrá en cuenta si el tiempo de
inflexion se visualiza o no. Finalmente se presentan algunos ejemplos de aplicación basados en
simulaciones y con los cuales se mostrará la utilidad de la estrategia usada en la estimación de
los parámetros.
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Capı́tulo 1
Curva de von Bertalanffy
1.1.
Definición
Von Bertalanffy estableció un modelo para la longitud de especies animales (principalmente
peces) en el cual se supone que la caracterı́stica en estudio de la población considerada posee
un valor máximo (o cota), que puede en teorı́a ser alcanzado, y que la tasa de crecimiento
es proporcional a la diferencia entre dicho valor máximo y el que la población posee en un
instante de tiempo determinado. Es decir,
dL(t)
= k (L∞ − L(t))
dt
Suponiendo que L(t0 ) = 0, la ecuación diferencial anterior tiene por solución
¡
¢
L(t) = L∞ 1 − e−k(t−t0 ) .
(1.1)
donde
L(t): longitud en un determinado instante de tiempo t.
L∞ : longitud máxima asintótica.
k: constante de crecimiento. Parámetro de curvatura que mide la velocidad con que
alcanza L∞ .
t0 : instante de tiempo en el que la longitud es cero (o época de nacimiento).
En la figura 1.1, podemos ver una representación de esta función.
De igual manera, el crecimiento de un organismo también se puede expresar en función del
peso. El modelo más sencillo que relaciona la longitud (L) y el peso (W ) de especies animales
es el modelo isométrico, en el cual se supone que la relación longitud/peso es constante para
todos los individuos de la especie,
W = aL3
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Figura 1.1: Curva de von Bertalanffy para el estudio de longitud
No obstante, en general la relación puede expresarse en la forma
W = aLb
donde a y b son constantes. Cuando b 6= 3 se suele decir que esta relación representa un
crecimiento de tipo alométrico. En la práctica es usual estimar el coeficiente de alometrı́a b
mediante la linealización de la expresión anterior en la forma
log W = log a + b log L.
La relación peso/longitud anterior conduce a la expresión de la curva de von Bertalanffy
generalizada y a partir de ésta obtenemos la ecuación de von Bertalanffy generalizada
¡
¢b
W (t) = W∞ 1 − e−k(t−t0 )
donde
W∞ : peso asintótico.
b : coeficiente de alometrı́a.
En la figura 1.2, podemos ver una representación de esta función.
En particular, si el crecimiento es isométrico, la ecuación de crecimiento de von Bertlanffy
para el peso, en función de la edad, es
£
¤3
W (t) = W∞ 1 − e−k(t−t0 ) ,
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Figura 1.2: Gráfico asociado a la función de crecimiento para una variable peso
curva que admite una forma diferencial regida por la ecuación
dW
= AW 2/3 − BW.
dt
En general, ambas funciones se han obtenido a partir de la ecuación propuesta por Paloheimo and Dickie [15] en la cual se supone que la densidad de energı́a es constante y por tanto la
escala con el tamaño corporal se puede expresar como
dWt
= HWtd − kWtn
dt
(1.2)
donde
Wt es el peso en edad (años.)
kWtn refleja las pérdidas de energı́a.
HWtd representa el ı́ndice total de asimilación de la energı́a.
d y n describe la escala alométrica de consumición y coste de energı́a, respectivamente.
Von Bertalanffy [30], indicó que el termino kWtn refleja el catabolismo, es decir, representa
todas las pérdidas de energı́a, por otro lado, supuso que el coste de energı́a era igual a 1, n = 1,
ya que en otro caso la integral de la ecuación (1.2) no tenia solución de forma explı́cita.
Con la hipótesis n = 1, von Bertalanffy obtuvo la ecuación simplificada de crecimiento
siguiente
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dWt
= HWtd − kWt .
dt
(1.3)
Según la ecuación (1.3), los organismos se acercarán a una masa asintótica (W∞ ), que se
puede solucionar por el ajuste dW/dt = 0 y renombrando W∞ = (H/k)1/(1−d) . Para obtener
una expresión para Wt integramos la ecuación (1.3) y renombrando obtenemos
W (t) = W∞ (1 − exp(−k(1 − d)(t − t0 )))1/1−d .
(1.4)
Donde t0 es la edad en la cual W = 0. Esta expresión se refiere a menudo como Curva de
crecimiento generalizada de von Bertalanffy, (Pauly [17], Temming [27]).
La curva de von Bertalanffy generalizada sigue la suposición que la balanza de la tasa de
consumo con el cuerpo pone la talla a la potencia de 2/3 (es decir d = 2/3) tal que la ecuación
(1.4) se simplifica en
W (t) = W∞ (1 − exp(−Ksp (t − t0 )))3
donde Ksp = k/3.
La curva de crecimiento de von Bertalanffy puede se expresada en términos de la longitud
del pez, aunque la relación longitud-masa está relacionada por W = aLb . Una expresión para
dL/dt puede ser derivada usando la regla de la cadena y la ecuación (1.2), con lo cual se deduce
L(t) = L∞ (1 − exp(−K(1 − m)(t − t0 )))1/1−m
(1.5)
donde
m = db + 1 − b.
E = (H/b)a(d−1) .
K = k/b.
L∞ = (E/k)1/1−m .
Los parámetros E y m son introducidos por simplicidad matemática y tienen una interpretación no biológica, a diferencia de H y k (ya que la ecuación (1.3) no tiene ninguna unidad de
longitud). La especialización para la curva de crecimiento de von Bertalanffy asume que b = 3
y d = 2/3 (Beverton y Holt [2],Ursin [29] ,Pauly [17]), ası́ que m = 0 y la ecuación (1.5) se
simplifica a
Lt = L∞ (1 − exp(−K(t − t0 ))
Esta forma de la Curva de crecimiento de von Bertalanffy es significativa ya que es equivalente a la curva de crecimiento empı́rico derivada (Ford [7],Walford [31]) más comúnmente
estudiada en crecimiento.
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
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Hay que tener en cuenta que el crecimiento de algunos peces no es constante a lo largo del
año, ya que el crecimiento depende del clima en el que se encuentren los peces. Por ejemplo, en
aguas bajo un regimen climático subtropical, hay más alimento y el crecimiento es más rápido
en los meses de verano que en los meses de invierno, por tanto al modelo habrá que incluirle
un elemento sinusoidal, con un periodo de un año, que mejorará el ajuste. A esta ecuación la
llamaremos Ecuación de crecimiento de Von Bertalanffy Estacionaria.
h
i
ck
L(t) = L∞ 1 − e−(k(t−t0 )+ 2π sen(2π(t−ts )))
donde
ts es el inicio de la sinusoide respecto de t0 , se denomina punto de verano y ts ∈ [0, 1].
En el momento que ts = ti + 0,5 denominado punto de invierno, la tasa de crecimiento
es mı́nima.
C expresa la amplitud de oscilación del crecimiento
• Si C = 1, la tasa de crecimiento será igual a cero en el punto de invierno.
• Si 0 < C < 1, hay una disminución de la tasa de crecimiento en invierno.
• Si C = 0, la tasa de crecimiento no tiene estacionalidad.
• Si C > 1, no implica que la longitud de los peces se reduzca durante el invierno sino
que no crecen durante algunas semanas.
Por otro lado, Beverton y Holt, [3], demostraron que cuando el parámetro k de la ecuación
de von Bertalanffy se divide en la Tasa de mortalidad instantánea adulta, M , el cociente sin
dimensiones
de M/k es aproximadamente invariante. M y k son proporcionales con cociente
¡M ¢
≈
1,5
−
2.
k
Charnov, [5],¡ demostró
¢ que el crecimiento indeterminado para los reptiles tiene la misma
M
regla numérica k ≈ 1,5 , mientras que Pauly, [16], confirmó la regla en un conjunto grande
de datos para los peces.
La dificultad verdadera con la ecuación de von Bertalanffy es que el crecimiento de los
peces debe reflejar el alimento entrado, y el alimento aportado a la reproducción, que es cero
antes de la primera crı́a (α), y de alguna fracción de la masa del cuerpo.
Asimismo, Charnov desarrolló una partición de la ecuación de Von Bertalanffy. Ası́ se tiene
el crecimiento antes de la iniciación de la reproducción,
dW
= AW 2/3
dt
y el crecimiento después de la primera crı́a,
(1.6)
dW
= AW 2/3 − CW
dt
(1.7)
donde
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CW es la asignación de reproducción por unidad de tiempo.
C es la proporción de masa del cuerpo dada la reproducción por unidad de tiempo. Se
denomina esfuerzo reproductivo.
El crecimiento en longitud antes de la reproducción será lineal y el tamaño asintótico
1/3
será W∞ = A/C.
La ecuación de crecimiento de von Bertalanffy nos proporciona el tamaño relativo en la
primera reproducción (R):
Lα
= 1 − e−kα .
(1.8)
R=
L∞
Las ecuaciones (1.6) y (1.7) también nos pueden proporcionar R:
R=
Lα
1
= αC.
L∞
3
(1.9)
Combinando (1.8) y (1.9) obtenemos
− ln(1 − R)
C,
3+R
esto es, k es proporcional a C para la especie con el mismo valor de R.
k≈
1.2.
Algunos métodos clásicos de determinación de los
parámetros de la curva de von Bertalanffy
A continuación vamos a describir algunos de los diversos métodos que se han usado históricamente para la determinación de los parámetros de la curva de von Bertalanffy. A grandes
rasgos, se pueden clasificar en métodos analı́ticos, basados sobre todo en criterios mı́nimo
cuadráticos, y métodos gráficos que se basan casi siempre en la linealización de la expresión
de la curva.
1.2.1.
Métodos basados en criterios mı́nimo cuadráticos
El siguiente método es debido a Rafail [20] y se basa en una estimación de los parámetros
en dos fases: en la primera se estima el parámetro de curvatura k para, posteriormente, obtener
la de la cota y el instante inicial t0 .
La ecuación de von Bertalanffy (1.1) tiene la siguiente forma diferencial
dL(t)
= k L∞ e−k(t−t0 ) ,
dt
de donde
µ
log
dL(t)
dt
¶
= log(k) + log(L∞ ) + kt0 − kt = A − kt,
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(1.10)
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siendo
A = log(k) + log(L∞ ) + kt0 .
(1.11)
La expresión anterior muestra que existe una relación
lineal
entre los logaritmos de los
µ
¶
dL(t)
, frente al tiempo como variable
incrementos de crecimiento por unidad de tiempo, log
dt
independiente. En dicha relación lineal la pendiente es precisamente el parámetro k, que puede
ser estimado, por tanto, por mı́nimos cuadrados ordinarios.
Por otro lado, a partir de la expresión de la curva de von Bertalanffy, se tiene, para el
instante de tiempo t
L∞ − Lt
= e−k(t−t0 ) ,
L∞
(1.12)
mientras que para el instante t + 1 se verifica
L∞ − Lt+1
= e−k(t+1−t0 ) .
L∞
(1.13)
A partir de (1.12) y (1.13) tenemos
L∞ − Lt
e−k(t−t0 )
= −k(t+1−t0 ) = ek ,
L∞ − Lt+1
e
y despejando L∞ de esta expresión se concluye
L∞ =
ek Lt+1 − Lt
·
ek − 1
Sin embargo, la expresión anterior no determina una estimación única para L∞ porque
depende de los instantes de tiempo t y t+1; además, no incorpora toda la información muestral
disponible. Dicha información la podemos incorporar sumando en ambos miembros desde t = 1
hasta t = n − 1 (siendo n el total de instantes de observación). En consecuencia se obtiene
L∞ =
ek
Pn
Pn−1
Lt − t=1
Lt
·
(n − 1)(ek − 1)
t=2
(1.14)
De esta forma, la estimación de k obtenida anteriormente a partir de (1.10) puede ser
utilizada en (1.14) para estimar L∞ . A partir de estas dos estimaciones, la de t0 se puede
obtener a partir de (1.11). No obstante, se puede conseguir una mejor estimación para los
parámetros usando la de L∞ (para la cual ha tenido que usarse la de k). En efecto, a partir de
(1.12) se tiene
¶
µ
L∞ − Lt
= −k(t − t0 ),
log
L∞
que es una recta a partir de la cual podemos estimar por mı́nimos cuadrados, el valor de t0 ,
ası́ como obtener una reestimación del parámetro k.
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Por otro lado podemos estimar los parámetros usando el criterio de mı́nimos cuadrados,
estimando los parámetros de tal manera que la suma de los cuadrados de las desviaciones entre
el modelo teórico y las observaciones efectuadas se reduzca al mı́nimo, es decir, dicha suma
disminuye con respecto a los parámetros L∞ , k y t0 :
Min
n
X
¡
L∞ ,k,t0
£
¤¢2
L(ti ) − L∞ 1 − e−k(ti −t0 )
i=1
Este procedimiento conducirá a un sistema de ecuaciones, no necesariamente lineal, que
habrá de resolverse por procedimientos numéricos.
1.2.2.
Métodos gráficos
Los siguientes métodos gráficos, amén de basarse en la linealización de la curva, emplean
algunas medidas que se pueden obtener a partir de la expresión de la misma; concretamente
Tasa de crecimiento: Incremento por unidad de tiempo.
∆L
L(t + ∆ t) − L(t)
=
·
∆t
∆t
Talla media:
L(t) =
L(t + ∆t) + L(t)
·
2
Gráfico de Gulland y Holt
La idea de este gráfico es la de emplear la forma diferencial de la curva
dL(t)
= k(L∞ − L(t))
dt
y aproximar dicha expresión para incrementos ∆t pequeños. En estos casos el término de la
∆L
izquierda se sustituye por
, mientras que en el término de la derecha L(t) es reemplazado
∆t
por L(t). Ası́ tenemos
∆L
= k L∞ − k L̄(t) = a + bL̄(t)
(1.15)
∆t
Esta expresión es una recta con pendiente b = −k y ordenada en el origen a = −bL∞ y
que es una aproximación solo para valores pequeños de ∆t . Un ejemplo gráfico de como seria
este método se ve en la figura 1.3.
Gráfico de Ford-Walford
En este caso, a partir de la ecuación de von Bertalanffy (1.1) tenemos
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
15
Figura 1.3: Gráfico de Gulland and Holt
¡
¢
L(t + ∆ t) = L∞ 1 − e−k(t+∆ t−t0 ) = L∞ − L∞ e−k(t−t0 ) e−k∆ t =
= L∞ − (L∞ − L(t)) e−k∆ t = L∞ − L∞ e−k∆ t + L(t)e−k∆ t =
= a + bL(t),
donde a = L∞ (1 − b) y b = exp(−k∆t). Por tanto, despejando en la ecuaciones anteriores
tenemos
1
a
k=−
ln b y L∞ =
·
∆t
1−b
Un ejemplo gráfico se ve en la figura 1.4.
Gráfico de Chapman
Está basado en un intervalo de tiempo constante ∆t. Este método es aplicable si se tienen
pares de observaciones de la forma (t, ∆t), (t + ∆t, L(t + ∆t)), (t + 2∆t, L(t + 2∆t)), ....
La ecuación de von Bertalanffy implica
L(t + ∆t) − L(t) = cL∞ − cL(t)
(1.16)
con c = 1 − e−k∆t .
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16
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Figura 1.4: Gráfico de Ford-Walford
Como k y L∞ son constantes y ∆t es constante, entonces c es constante y la ecuación (1.16)
se transforma en y = a + bx con
y = L(t + ∆t) − L(t)
x = L(t)
a = cL∞
b = −c
Por tanto,
1
ln(1 + b)
∆t
a
a
= − =
b
c
k = −
L∞
Un ejemplo gráfico se ve en la figura 1.5.
Gráfico de von Bertalanffy
El primer método para estimar los parámetros de crecimiento fue propuesto por von Bertalanffy y requiere una estimación inicial de L∞ . Se parte del hecho de que la curva se puede
expresar como
− ln(1 − L(t)/L∞ ) = −kt0 + kt,
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
17
Figura 1.5: Gráfico de Chapman
donde k representa la pendiente y la ordenada en el origen es a = −kt0 . Un ejemplo gráfico se
ve en la figura 1.6.
Este método es más seguro que los anteriores y proporciona una estimación razonable de
k, siempre que se de una estimación razonable de L∞ para lo cual existen varios métodos:
1. En muestras pequeñas se puede utilizar el individuo más grande.
2. En muestras grandes se puede tomar el promedio de las tallas de los n individuos más
grandes.
1.3.
Diferentes reparametrizaciones de la curva
La curva de crecimiento de von Bertalanffy presenta diversas reparametrizaciones, algunas
de las cuales se muestran a continuación.
Curva generalizada
El modelo generalizado de la curva de von Bertalanffy adopta la forma
¡
¢b
S(t) = S∞ 1 − e−K(t−t0 )
(1.17)
donde
S(t) es el tamaño esperado o medio en el tiempo t.
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18
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Figura 1.6: Gráfico de Bertalanffy
S∞ es el tamaño medio a la edad máxima (realmente cuando t tiende a infinito y, por
tanto, no se alcanza realmente).
k, o parámetro de curvatura, (también llamado coeficiente o tasa de crecimiento de
Brody o de von Bertalanffy), es un valor positivo y determina la velocidad con la que los
individuos alcanzan el valor lı́mite S∞ .
t0 es el instante de tiempo en el que el tamaño medio es cero, pudiendo tomar valores
negativos. Desde un punto de vista biológico, esta cuestión no es muy importante ya que
es frecuente que el crecimiento en etapas embrionarias no se ajuste a un patrón de tipo
von Bertalanffy.
b > 0 es el llamado factor alométrico (suele expresar la relación entre variables como la
talla y el peso de los individuos).
En la práctica, la variable genérica tamaño, S, representa la longitud (L), o el peso (W ),
de los individuos en el momento t. Sin embargo, cuando el modelo se refiere a la longitud, la
relación alométrica, b, no es necesaria y, por tanto, se establece b = 1. Ası́, la curva aquı́ presentada es una generalización de la curva de crecimiento de von Bertalanffy para el modelo de
longitud (1.1). Por otra parte, cuando S representa el peso, la relación alométrica es b = 3.
Segunda reparametrización
En este caso la reparametrización es
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19
¸1/b
1 − e−k(t−t1 )
S(t) =
+
−
(1.18)
1 − e−k(t2 −t1 )
Donde S1 es la talla media a la edad más joven, t1 y S2 es la talla media a la edad más
vieja, t2 , en la muestra. Cuando el modelo es de longitud (b = 1) la ecuación (1.18) se reduce
a
·
S1b
(S2b
S1b )
1 − e−k(t−t1 )
L(t) = L1 + (L2 − L1 )
1 − e−k(t2 −t1 )
Hay que notar que esta reparametrización no es más parsimoniosa que (1.1), ya que aún
tiene tres parámetros S1 , S2 y k. Sin embargo, tiene dos grandes ventajas con respecto a
la primera reparametrización. Primero, los parámetros en esta reparametrización son menos
correlados (Galucci y Quinn, [8]) y luego mas estables. Segundo, esta reparametrización es
directamente comparable al modelo general de Schnute, [25]. El grave inconveniente de esta
reparametrización es que la comparación de resultados en la literatura es difı́cil, puesto que
la primera reparametrización es mucho más frecuente. Schnute y Fournier, [24] mostró, sin
embargo, que la estimación puntual de L∞ y t0 se puede obtener a partir de los parámetros en
la segunda reparametrización de la siguiente manera,
L2 − L1 e−K(t2 −t1 )
2 −t1 )
1 − e−K(t
µ
¶
L2 − L1
1
= t1 + ln
.
K
L2 − L1 e−K(t2 −t1 )
L∞ =
t0
Un error común en la interpretación de la segunda parametrización es equiparar S2 y S∞ .
Sin embargo, S2 6= S∞ ya que S∞ es el tamaño medio en el máximo teórico de edad y S2 es
el tamaño medio en la edad máxima en la muestra. Por lo tanto, S2 ≤ S∞ ya que la edad
máxima en la muestra es igual o inferior a la edad máxima teórica.
Reparametrización de Galucci and Quinn
Galucci y Quinn,[8] señalaron que en las comparaciones de crecimiento entre dos grupos
deberı́an participar tanto k como L∞ . Sin embargo, debido a la alta correlación entre estos
dos parámetros, las pruebas de hipótesis de estos dos parámetros están comprometidas y son
difı́ciles de interpretar.
Para ayudar a la comparación entre dos grupos se introdujo un nuevo parámetro w = k L∞
que, mediante la resolución de L∞ y substitución en (1.1), produce otra reparametrización del
modelo de von Bertalanffy para el caso de la longitud.
¢
w¡
1 − eK(t−t0 ) .
k
Galucci y Quinn [8] comentan que w puede ser pensada como un ı́ndice de crecimiento
porque las unidades están en longitud por tiempo y, de hecho, es representativo del ı́ndice
L(t) =
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20
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
de crecimiento cerca de t0 . Además, alegan que w es el parámetro adecuado a utilizar para
comparar las poblaciones debido a su robustez estadı́stica.
1.4.
Algunos modelos estocásticos de von Bertalanffy
Como ya se ha comentado en la introducción, los modelos determinı́sticos anteriores no
tienen en cuenta posibles variabilidades o fluctuaciones aleatorias que pudieran existir en el
sistema bajo consideración. Por ello, y a partir de los modelos anteriores, han sido considerados
modelos estocásticos.
De entre ellos, y puesto que el modelo que vamos a proponer en el capı́tulo siguiente es
un proceso de difusión, mostramos a continuación tres modelos de esta naturaleza, con una
parte deterministica idéntica y diferentes términos estocásticos, que han sido diseñados para
estudiar el efecto de las diferentes estocasticidades en el problema de recaptura de peces. Estos
modelos son debidos a debidos a Lv y Picthford, [13].
Con el término estocasticidad nos referimos a las perturbaciones aleatorias en las tasas
de crecimiento ambientales causadas por la fluctuación. De hecho, un número de factores
fı́sicos y biológicos, como la temperatura del agua (Sumpter, [26]), oxı́geno disuelto (Brett,
[4]), fotoperiodo (Imsland, [10]) , y la disponibilidad de presas zooplancton (Rilling, [22]), se
ha demostrado que afecta a las tasas crecimiento.
Partimos del modelo determinista
dL(t)
= r[Lmat − L(t)]
dt
L(t0 ) = L0 ,
donde
L(t) es la longitud a la edad t.
Lmat es la longitud de madurez.
L0 es la longitud inicial.
r es la tasa de crecimiento.
Los parámetros Lmat y r se puede considerar como constantes en el modelo. La solución a
esta ecuación diferencial ordinaria determinista es
L(t) = Lmat + (L0 − Lmat ) exp(−rt).
Obsérvese que la longitud de madurez Lmat sólo se alcanza después de tiempo infinito. Para
formular un problema de tiempo biológicamente significativo , es necesario asumir la madurez
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
21
cuando L(t) ≥ Lmat − ε, donde ε es un valor pequeño predefinido. Ahora consideramos la
posibilidad de añadir estocasticidad, resultando el siguiente modelo,
dL(t) = r[Lmax − L(t)]dt + α(L, t)dW (t)
(1.19)
donde
L es la longitud en el instante t.
r[Lmax − L(t)] caracteriza al crecimiento intrı́nseco determinista (coeficiente drift) de los
individuos.
α(L, t) caracteriza a la magnitud de las fluctuaciones del medio ambiente (coeficiente de
difusión o volatilidad).
W (t) es un proceso de Wiener o movimiento Browniano que aproxima una variedad de
antecedentes y fluctuaciones en el medio ambiente fı́sico y biológico, (Karlin, [11]).
Los siguientes modelos fueron introducidos por Lv y Picthford [13] y representan la constancia, la disminución y el aumento de la estocasticidad.
1. Disminución de la estocasticidad.
En esta opción hacemos α(L, t) = σ(Lmat − L(t)), obteniéndose
dL(t) = r[Lmat − L(t)]dt + σ[Lmat − L(t)]dW (t).
(1.20)
Sustituyendo X(t) por [Lmat − L(t)] conduce a una geometrı́a de movimiento browniano
dX(t) = (−r)X(t)dt + σX(t)dW (t),
con X(0) = Lmat L0 . Esto lleva a la solución de (1.20), dada por
·µ
L(t) = Lmat − (Lmat − L0 )exp
σ2
−r −
2
¶
¸
t + σW (t) ,
que puede ser usado directamente en simulaciones numéricas.
2. Estocasticidad constante.
Consideramos el caso en que α(L, t) = σ de modo que la ecuación (1.19) se convierte en
dL(t) = r[Lmat − L(t)]dt + σdW (t)
Este es el modelo matemático Vasicek, usado en finanzas (Prakasa Rao,[19]), y L(t) es
el proceso de Orstein-Uhlenbeck, [14]. Su solución puede ser escrita como
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22
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Z
t
L(t) = exp(−rt)L0 + Lmat [1 − exp(−rt)] + σ
exp[−r(t − s)]dW (s)
(1.21)
0
Como las integrales de Itô son martingalas (Oksendal, [14]), la esperanza condicional
de la integral estocástica L0 dada es igual a cero. Por lo tanto, teniendo esperanzas de
ambos lados de (1.21),
E(L(t)|L0 ) = Lmat + exp(−rt)(L0 − Lmat ),
que es la misma solución correspondiente al modelo determinista.
Observe que a diferencia del modelo con disminución de estocasticidad, la diferencia
ahora no depende de Lmat y L0 .
3. Incremento estocástico
Consideramos un modelo estocástico von Bertalanffy donde la estocasticidad aumenta a
medida que el pez alcanza la madurez. Una elección natural para ello es la raı́z cuadrada
de la longitud, lo cual conduce a la ecuación
p
dL(t) = r[Lmat − L(t)]dt + σ L(t)dW (t)
(1.22)
cuya solución es conocido como proceso CIR, (Prakasa Rao, [19]).
Tengamos en cuenta que la diferencia en la tasa de crecimiento instantánea es σ 2 L(t),
es decir, proporcional a L(t). Una caracterı́stica importante de este proceso es que no
puede tomar valores negativos.
Haciendo Y (t) = exp(rt)L(t) y utilizando la formula de Itô,
dY (t) = r exp(rt)L(t)dt + exp(rt)(rLmat − rL(t))dt
p
+ exp(rt)σ exp(rt) L(t)dW (t)
p
= rLmat exp(rt)dt + σ exp(rt) L(t)dW (t).
Por lo tanto, la solución a (1.22) viene dada por
L(t) = L(0) exp(−r(t)) + Lmat (1 − exp(−rt))
Z t
p
= σ
exp(−r(t − s)) L(s)dW (s).
0
De nuevo utilizando el hecho de que la integral estocástica anterior tiene media cero, se
concluye
E(L(t)|L0 ) = exp(−rt)L(0) + Lmat (1 − exp(−rt))
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Capı́tulo 2
Proceso de difusión tipo Bertalanffy
2.1.
Una nueva expresión de la curva de von Bertalanffy
generalizada
El proceso de difusión que vamos a introducir a continuación va a estar relacionado con una
nueva expresión de la curva von Bertalanffy generalizada (1.17), la cual pasamos a describir y
que ha sido propuesta por Román-Román y Torres-Ruiz, [23].
Para su obtención vamos a considerar que el tiempo desde el que vamos a observar la
variable (que toma valores positivos) es, en principio, t0 ≥ 0, con valor asociado x0 > 0. Ello
nos conduce a expresar la curva (1.17) como
¡
¢b
S(t) = S∞ 1 − e−k(t−a) ,
en donde hemos usado el término a en lugar de t0 (como es usual en el contexto biológico)
para evitar confusiones con la notación comúnmente empleada en el contexto de los procesos
estocásticos para indicar el instante inicial.
Como S(t0 ) = x0 > 0, S(a) = 0 y S es creciente, se deduce que a < t0 . Por otro lado,
£
¤b
x0 = S∞ 1 − e−k(t0 −a) ,
y denotando c = eka , concluimos
S∞ =
x0
,
(1 − ce−kt0 )b
por lo que la nueva expresión de la curva es
µ
S(t) = x0
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
.
ln c
Además, dado que la curva toma valores positivos, se debe verificar t0 >
y es inmediato
k
comprobar que presenta un punto de inflexión si y sólo si b > 1. Con todo ello concluimos que
la nueva expresión de la curva que proponemos es
23
24
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
µ
S(t) = x0
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
, t ≥ t0 >
ln c
; k > 0; b ≥ 1.
k
(2.1)
Propiedades de la curva
S(t) > 0 ∀t ∈ (ln(c); +∞) y S(ln(c)/k).
es estrictamente creciente.
x0
, por lo que la cota depende del valor inicial.
lı́m S(t) =
t→+∞
(1 − ce−kt0 )b
Tiene un punto de inflexión, si y solo si, b > 1, en cuyo caso se produce en tI = ln(bc)/k.
Por otro lado, si la curva se observa en un instante de tiempo t0 > ln(c)/k y muestra un
punto de inflexión, entonces b > ekt0 /c. Por el contrario, ln(c)/k < tI ≤ t0 , si y solo si,
1 < b ≤ ekt0 /c.
2.2.
Obtención del Proceso
2.2.1.
Obtención a partir de modelos continuos de crecimiento
A partir de (2.1) es inmediato verificar que
S 0 (t) = S∞ b (1 − ce−kt )b−1 cke−kt = S∞
=
bcke−kt
(1 − ce−kt )b
1 − ce−kt
bcke−kt
bck
S(t) = kt
S(t),
−kt
1 − ce
e −c
bck
.
ekt − c
Este hecho motiva un procedimiento para obtener un modelo estocástico a partir del modelo de crecimiento malthusiano. Para ello partimos del modelo de crecimiento determinı́stico
malthusiano
dx(t)
= rx(t),
dt
bck
y cambiamos la tasa de fecundidad constante r por kt
, que en este caso es dependiente
e −c
del tiempo, por lo que la ecuación deterministica de crecimiento queda en nuestro caso como
por lo que S 0 (t) = h(t)S(t), donde h(t) =
dx(t)
bck
= kt
x(t).
(2.2)
dt
e −c
A continuación introducimos ambiente aleatorio en la ecuación anterior, para lo cual sumamos a la función de fecundidad un ruido blanco, esto es
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
25
bck
+ Λ(t),
ekt − c
donde Λ(t) es un proceso gaussiano delta-correlado de media cero (ruido blanco) tal que
E[Λ(t)] = 0 y E[Λ(t1 )Λ(t2 )] = σ 2 δ(t2 − t1 ),
con lo que la ecuación (2.2) se transforma en
dX(t)
bck
= kt
X(t) + Λ(t)X(t)
d(t)
e −c
X(t0 ) = x0 ,
dando lugar a la ecuación diferencial estocástica
dX(t) =
bck
X(t)d(t) + σX(t)dW (t)
−c
ekt
X(t0 ) = x0
(2.3)
con σ > 0 y W un proceso de Wiener estándar. En la sección siguiente resolveremos esta
ecuación, cuya solución proporcionará un proceso de difusión con valores en R+ y momentos
infinitesimales
bck
x
ekt − c
A2 (x, t) = σ 2 x2 .
A1 (x, t) =
2.2.2.
(2.4)
Obtención por paso al lı́mite de modelos discretos
Nos planteamos, a continuación, la obtención del proceso como lı́mite de modelos discretos
estocásticos de crecimiento con fecundidad diferencial por unidad de tiempo dependiente del
tiempo.
Este procedimiento extiende al considerado por Ricciardi [21] para obtener los procesos
lognormal y logı́stico a partir de modelos con fecundidad diferencial por unidad de tiempo
constante (caso lognormal) o una función lineal del tamaño de la población (caso logı́stico),
pero en ambos casos independientes del tiempo, ya que los procesos por él considerados son
homogéneos en el tiempo, a diferencia del proceso tratado por nosotros en este trabajo.
Consideremos un modelo de crecimiento de poblaciones del tipo
X(n+1)τ = Wnτ Xnτ ,
X0 = x0
n = 0, 1, . . .
en el que Xnτ representa el tamaño de la población en la n-ésima generación, τ el intervalo
de tiempo entre sucesivas generaciones, valor que se hará tender a cero posteriormente, y Wnτ
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26
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
la fecundidad en el instante de tiempo nτ , que se modelará, para n = 1, 2, . . ., mediante una
sucesión de variables aleatorias independientes y no idénticamente distribuidas (dado que el
proceso lı́mite resultante es no homogéneo) de forma que la fecundidad diferencial por unidad
de tiempo es de la forma
1 X(n+1)τ − Xnτ
bck
= knτ
·
τ
Xnτ
e −c
Dicho modelo se puede escribir como
X(n+1)τ − Xnτ =
bck
τ Xnτ
−c
eknτ
(n = 0, 1, . . .)
X0 = x0
(2.5)
y probamos a continuación que aleatorizándolo, se obtiene, en el lı́mite, el proceso de difusión
con momentos infinitesimales (2.4)1 .
A continuación incluimos ambiente aleatorio en el modelo. Para ello consideraremos el
cambio relativo que se produce en el tamaño de la población durante el intervalo de tiempo
bckτ
[nτ ,(n + 1)τ ], y que viene dado por knτ
, como una sucesión de variables aleatorias indee −c
pendientes y no idénticamente distribuidas {Znτ } que toman dos valores y cuyo valor medio
es
bckτ
E[Znτ ] = knτ
·
e −c
Ello se puede conseguir considerando
√
√
bck
τ
1
P [Znτ = σ τ ] = + knτ
2 e − c 2σ
√
√
τ
1
bck
P [Znτ = −σ τ ] = − knτ
2 e − c 2σ
de donde
bckτ
−c
√
√
√
√ 2 1
bck
τ
bck
τ
2
2 1
E[Znτ ] = (σ τ ) ( + knτ
) + (σ τ ) ( − knτ
)
2 e −
c
2σ
2
e
−
c
2σ
√
√
1
bck
τ
1
bck
τ
2
= σ τ ( + knτ
+ − knτ
) = σ2τ
2 e − c 2σ √
2 e − c 2σ
√
√ 2+p 1
√ 2+p 1
bck
τ
bck
τ
2+p
2+p
) + (−1) (σ τ ) ( − knτ
) = o(τ ).
E[Znτ ] = (σ τ ) ( + knτ
2 e − c 2σ
2 e − c 2σ
E[Znτ ] =
1
eknτ
Observemos que lo que se está haciendo es partir de nuevo de la ecuación de crecimiento
bck
dx(t)
= kt
x(t),
dt
e −c
para, después de discretizarla, introducir en ella una componente aleatoria (al igual que se hizo en la sección
anterior) mediante una sucesión de variables aleatorias independientes.
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Sustituyendo en (2.5) la tasa diferencial
27
bckτ
por las variables Znτ se tiene
−c
eknτ
X(n+1)τ − Xnτ = Znτ Xnτ .
A partir de esta expresión, y dados los momentos de las variables Znτ calculados anteriormente, se pueden calcular los momentos de los incrementos del proceso tras una generación,
por unidad de tiempo, condicionado a que Xnτ = x. En efecto, se verifica
1
1
x
x bck
E[X(n+1)τ − Xnτ |Xnτ = x] =
E[Znτ Xnτ |Xnτ = x] = E[Znτ ] =
τ
τ
τ
τ
τ ekt − c
bck
= kt
x
e −c
1
1
x2
2
2
E[(X(n+1)τ − Xnτ ) |Xnτ = x] =
E[(Znτ Xnτ ) |Xnτ = x] = E[(Znτ )2 ] = σ 2 x2
τ
τ
τ
1
1
x2+p
x2+p o(τ )
2+p
E[(X(n+1)τ − Xnτ )2+p |Xnτ = x] =
E[(Znτ Xnτ )2+p |Xnτ = x] =
E[Znτ
]=
,
τ
τ
τ
τ
de forma que, cuando n → ∞ y τ → 0 con la condición de que nτ = t, Xnτ converge a un
proceso de difusión no homogéneo con momentos infinitesimales (2.4).
2.3.
Distribución del proceso
El modelo estocástico que queremos analizar asociado a la curva (2.1) es un proceso de
difusión {X(t); t0 ≤ t ≤ T } con valores en R+ y momentos infinitesimales
bck
x
−c
A2 (x, t) = σ 2 x2 .
A1 (x, t) =
ekt
A continuación vamos a verificar este hecho, obteniendo asimismo la distribución del proceso
para lo cual calculamos las distribuciones finito dimensionales. Ello lo haremos desde las dos
perspectivas habituales en este contexto: la aproximación mediante las Ecuaciones Diferenciales
Estocásticas y mediante las ecuaciones en derivadas parciales de Kolmogorov.
2.3.1.
Distribución del proceso a partir de las ecuaciones diferenciales estocásticas
En primer lugar vamos a verificar que la ecuación diferencial (2.3) tiene solución. Observemos que es una ecuación diferencial estocástica lineal en la forma
dX(t) = h(t)X(t)dt + σX(t)dW (t)
X(t0 ) = x0
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28
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
bck
(función que es continua en [t0 , T ]) y que verifica las condiciones de
−c
existencia y unicidad (Arnold, [1]) recogidas en el teorema siguiente:
con h(t) =
e−kt
Teorema 2.3.1. Consideremos la ecuación diferencial estocástica,
dX(t) = a(X(t), t)dt + b(X(t), t)dW (t)
X(0) = x0 , t0 ≤ t ≤ T < ∞
(2.6)
donde W (t) representa el proceso de Wiener estándar y x0 es una variable aleatoria independiente de W (t) − W (t0 ) para t ≥ t0 . Supongamos que las funciones a y b están definidas y son
medibles en [t0 , T ]xR y verifican las siguientes condiciones: Existe una constante K > 0 tal
que
(Condición de Lipschitz):
|a(x, t) − a(y, t)| + |b(x, t) − b(y, t)| ≤ K|x − y|, ∀t ∈ [t0 , T ], ∀x, y ∈ R.
(Restricción sobre el crecimiento):
|a(x, y)|2 + |b(x, t)|2 ≤ K(1 + |x|2 ), ∀t ∈ [t0 , T ], ∀x ∈ R.
Entonces, la ecuación (2.6) tiene una única solución en [t0 , T ] y con valores en R, continua
con probabilidad uno, que satisface la condiciónµinicial; esto es, si X(t) e¶Y (t) son soluciones
de (2.6) con igual valor inicial x0 , entonces P
sup |X(t) − Y (t)| > 0 = 0.
t0 ≤t≤T
En nuestro caso este teorema se verifica porque si consideramos t ∈ [t0 , T ] y x > 0, entonces
|a(x, t) − a(y, t)| + |b(x, t) − b(y, t)| = |h(t)x − h(t)y| + |σx − σy|
= |h(t)||x − y| + σ|x − y|
= (|h(t)| + σ)|x − y| ≤ K1 |x − y|
con K1 = M ax |h(t)| + σ.
t∈[t0 ,T ]
Por otro lado,
|a(x, y)|2 + |b(x, t)|2 = h(t)2 x2 + σ 2 x2 = (h2 (t) + σ 2 )x2 ≤ (h(t)2 + σ 2 )(1 + x2 ) ≤ K2 (1 + x2 )
con K2 = M ax |h2 (t)| + σ 2 .
t∈[t0 ,T ]
Por último, ambas desigualdades se verifican tomando K = Max{K1 , K2 }.
A continuación vamos a resolver la ecuación para lo cual consideramos el cambio de variable
Y (t) = log X(t). Aplicando la fórmula de Itô, tenemos que
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
µ
bck
1
σ 2 X 2 (t) 1
dY (t) =
X(t)
−
ekt − c
X(t)
2
X 2 (t)
µ
¶
bck
σ2
=
−
dt + σdW (t),
ekt − c
2
¶
dt + σX(t)
29
1
dW (t)
X(t)
que es una ecuación diferencial lineal en sentido restringido, cuya solución viene dada por
Z tµ
¶
Z t
bck
σ2
Y (t) = y0 +
ds +
σdW (t)
−
eks − c
2
t0
t0
¶
Z tµ
bck
σ2
= y0 +
ds
−
(t − t0 ) + σ(W (t) − W (t0 ))
eks − c
2
t0
Como
Z
t
t0
Z t
Z t
1
ds
e−ks
ds
=
bck
=
bck
ds
ks
ks
−ks ]
−ks
t0 e − c
t0 e [1 − ce
t0 1 − ce
·
¸t
¤
1
bck £
−ks
= bck
log(1 − ce ) =
log(1 − ce−kt ) − log(1 − ce−kt0 )
ck
ck
t0
µ
¶
1 − ce−kt
log(1 − ce−kt )
= b
= b log
,
log(1 − ce−kt0 )
1 − ce−kt0
bck
ds = bck
ks
e −c
Z
t
la solución queda en la forma
µ
¶
1 − ce−kt
σ2
Y (t) = y0 + b log
(t − t0 ) + σ(W (t) − W (t0 )).
−
1 − ce−kt0
2
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la expresión de la solución para la ecuación
(2.3), la cual proporciona las trayectorias del proceso X(t):
µ
µ
¶
¶
1 − ce−kt
σ2
X(t) = exp log x0 + b log
− (t − t0 ) + σ(W (t) − W (t0 ))
1 − ce−kt0
2
µ
¶
µ
¶
b
1 − ce−kt
σ2
= x0
exp σ(W (t) − W (t0 )) − (t − t0 ) , t ≥ t0 .
1 − ce−kt0
2
Siguiendo la teorı́a general de ecuaciones diferenciales estocásticas, la solución obtenida
es un proceso de Markov (es más, es una difusión ya que los momentos infinitesimales son
funciones continuas de t). Además, el proceso Y (t) es gaussiano si y solo si, Y (t0 ) = y0 es una
variable normal o constante. No obstante, y a modo de complemento, vamos a verificar estos
hechos calculando simultáneamente las distribuciones finito dimensionales.
Para ello vamos a utilizar la siguiente definición y teorema:
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30
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Definición
Pn2.3.1. {X(t) : t ∈ T } se dice gaussiano si cualquier combinación lineal finita de
la forma i=1 ai X(ti ) es una variable normal unidimensional o, equivalentemente, cualquier
vector (X(t1 ), . . . , X(tn ))0 se distribuye según una ley normal multivariante.
Teorema 2.3.2. Sea {X(t) : t ∈ T } un proceso gaussiano con función media cero2 y función de
covarianza CX . Entonces el proceso es markoviano si y solo si para cualquier t1 < t2 < t3 ∈ T
se verifica
CX (t1 , t2 )CX (t2 , t3 )
CX (t1 , t3 ) =
·
CX (t2 , t2 )
En la siguiente derivación trataremos el caso degenerado, o sea, cuando la variable inicial
es constante (el caso no degenerado será considerado en el contexto de las ecuaciones parciales
de Kolmogorov).
Consideremos los instantes de tiempo t0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn . Entonces
 ³
´
1−ce−kt1


 


log
 ³ 1−ce−kt0 ´ 
y(t1 )
t1 − t0
y0
W (t1 ) − W (t0 )


−kt2
 y(t2 )  y0 

 W (t2 ) − W (t0 ) 
 σ2 
 log 1−ce
−kt0

 t2 − t0 
  


1−ce


−
=
+
σ
+
b
 ..   .. 
 .. 


..


..
2
 .  .




.
.


.
´
³


−ktn
y(tn )
tn − t0
y0
W (tn ) − W (t0 )
log 1−ce
1−ce−kt0


= Y0 + bL −
σ2
T + σV.
2
El vector V se distribuye de forma normal al ser el proceso Wiener {W (t) : t ≥ t0 } gaussiano. Como consecuencia, el vector (Y (t1 ), Y (t2 ), ..., Y (tn ))0 es normal (es una transformación
lineal de V ) y, por tanto, {Y (t) : t ≥ t0 } es un proceso gaussiano.
La función media del proceso {Y (t) : t ≥ t0 } es
·
µ
¶
¸
1 − ce−kt
σ2
mY (t) = E y0 + b log
− (t − t0 ) + σ(W (t) − W (t0 ))
1 − ce−kt0
2
µ
¶
−kt
2
1 − ce
σ
= y0 + b log
−
(t − t0 ) + E [σ(W (t) − W (t0 ))]
1 − ce−kt0
2
µ
¶
1 − ce−kt
σ2
= y0 + b log
−
(t − t0 )
1 − ce−kt0
2
ya que E[W (t)] = 0.
2
Realmente la condición de tener media cero no es fundamental ya que, en caso contrario bastarı́a con
considerar el proceso X(t) − mX (t), com mX su función media.
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31
La función covarianza vendrá dada por:
CY (s, t) =
=
=
=
=
=
Cov[Y (t), Y (s)] = E[(Y (t) − mY (t))(Y (s) − mY (s))]
E[[σ(W (t) − W (t0 ))][σ(W (s) − W (t0 ))]]
σ 2 E[[(W (t) − W (t0 ))][(W (s) − W (t0 ))]]
σ 2 [CW (t, s) − CW (t, t0 ) − CW (t0 , s) + CW (t0 , t0 )]
σ 2 [(t ∧ s) − (t ∧ t0 ) − (t0 ∧ s) + (t0 ∧ t0 )]
σ 2 [(t ∧ s) − t0 − t0 + t0 ] = σ 2 [(t ∧ s) − t0 ].
Para comprobar que es de Markov vamos a utilizar el teorema (2.3.2). En efecto,
CY (t1 , t2 )CY (t2 , t3 )
σ 2 [(t1 ∧ t2 ) − t0 ]σ 2 [(t2 ∧ t3 ) − t0 ]
=
CY (t2 , t2 )
σ 2 [(t2 ∧ t2 ) − t0 ]
σ 2 [t1 − t0 ][t2 − t0 ]
=
= σ 2 [t1 − t0 ] = CY (t1 , t3 ).
t2 − t0
Por tanto, el proceso {Y (t) : t ≥ t0 } es de Markov y como consecuencia, {X(t) : t ≥ t0 } es
markoviano, al ser un transformado de él a través de una función medible Borel.
Hemos probado ya que las distribuciones finito dimensionales del proceso {Y (t) : t ≥ t0 }
son normales con vector de medias µ y matriz de covarianzas Σ, siendo sus componentes
µi = mY (ti ), i = 1, . . . , n y σij = CY (ti , tj ), i, j = 1, . . . , n, respectivamente. En consecuencia,
las del proceso {X(t); t ≥ t0 } son lognormales. Como caso particular obtenemos las densidades
bidimensionales para {X(t); t ≥ t0 }, las cuales nos ayudarán a calcular la función de densidad
de transición.
Para ello observemos, en primer lugar, que puesto que el proceso de Wiener es gaussiano
con media cero y función de covarianza, Cw (s, t) = s ∧ t, donde s ∧ t = min(s, t), tenemos que
el vector (W (s) − W (t0 ), W (t) − W (t0 ))0 , s < t se distribuye de la forma
¶
¶¸
µ
·µ ¶ µ
W (s) − W (t0 )
0
s − t0 s − t0
→ N2
;
= N2 [0; ΣW ] ,
s − t0 t − t0
W (t) − W (t0 )
0
cuya función de densidad es
¶
µ
1
−1
0
f (ws , wt ) =
− (ws , wt )ΣW (ws , wt ) .
1 exp
2
2π |ΣW | 2
Para calcular la distribución de (X(s), X(t))0 hacemos el cambio de variable
µ
µ
¶
¶
1 − ce−ks
σ2
xs = g1 (ws ) = x0 exp b log
+ σ(W (s) − W (t0 )) − (s − t0 )
1 − ce−kt0
2
µ
µ
¶
¶
1 − ce−kt
σ2
xt = g2 (wt ) = x0 exp b log
+ σ(W (t) − W (t0 )) − (t − t0 ) .
1 − ce−kt0
2
1
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La transformación inversa es
¶
¸
·
µ
σ2
1
1 − ce−ks
−1
ws = g1 (xs ) =
log(xs ) − log(x0 ) − b log
+ (s − t0 )
σ
1 − ce−kt0
2
¶
¸
·
µ
1
σ2
1 − ce−kt
−1
wt = g2 (xt ) =
+ (t − t0 ) ,
log(xt ) − log(x0 ) − b log
σ
1 − ce−kt0
2
con jacobiano
¯
¯ 1
¯
¯ σxs
¯
¯ 0
¯
¯
¯
0 ¯
1
¯
1 ¯¯ = σxt xs .
¯
σxt
Por tanto,
h(xs , xt ) = f (g1−1 (ws ), g2−1 (ws )) |J|
µ
¶
1
1
−1
0
=
exp − (log(xs ) − µs , log(xt ) − µt )∆ (log(xs ) − µs , log(xt ) − µt ) ,
1
2
2π |Σ| 2 xs xt
con
³
µs = log(x0 ) − b log
³
µt = log(x0 ) − b log
1−ce−ks
1−ce−kt0
1−ce−kt
1−ce−kt0
´
+
σ2
(s
2
− t0 )
+
σ2
(t
2
− t0 ),
´
y ∆ = σ 2 ΣW . En consecuencia, (X(s), X(t))0 → Λ2 (µ, ∆) con µ = (µs , µt )0
Para obtener la densidad de transición, calculamos la distribución X(t)|X(s) = xs (s < t),
que es una distribución logarı́tmico normal unidimensional, esto es
X(t)|X(s) = xs → ∆1 (γ, δ)
donde
δ = σ 2 (t − s)
µ
¶
1 − ce−kt
σ2
γ = log(x0 ) − b log
+
(t − t0 )
1 − ce−kt0
2
¶
¸¶
µ
·
µ
σ 2 (s − t0 )
σ2
1 − ce−ks
+
+ (s − t0 )
log(xs ) − log(x0 ) − b log
σ 2 (s − t0 )
1 − ce−kt0
2
µ
¶
1 − ce−kt
σ2
= log(xs ) − b log
+
(t − s).
1 − ce−ks
2
Por tanto la función de densidad de transición es
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 h
³
1−ce−kt
1−ce−ks
1
 log(x) − log(y) − b log
f (x, t|y, s) = p
exp −
2σ 2 (t − s)
x 2πσ 2 (t − s)
2.3.2.
´
+
σ2
(t
2
33
i2 
− s) 
.
Distribución a partir de las ecuaciones parciales de Kolmogorov
Consideramos el proceso de difusión {X(t); t0 ≤ t ≤ T } con momentos infinitesimales
(2.4), al cual se le asocia las ecuaciones de Kolmogorov, es decir, la ecuación de Fokker-Plank
o adelantada
∂f (x, t|y, s)
bck ∂[xf (x, t|y, s)] σ 2 ∂ 2 [x2 f (x, t|y, s)]
= − kt
+
∂t
e −c
∂x
2
∂x2
y la de Kolmogorov o atrasada
∂f (x, t|y, s)
bck ∂f (x, t|y, s) σ 2 2 ∂ 2 f (x, t|y, s)
+ ks
y
+ y
=0
∂s
e −c
∂y
2
∂y 2
Veamos que estas ecuaciones tienen solución y que, simultáneamente, las funciones dadas
por (2.4) conducen a un proceso de difusión cuyos momentos vienen dados por ellas. Para ello
usamos el teorema:
Teorema 2.3.3. Supongamos que los momentos infinitesimales A1 y A2 verifican, para todo
valor x del espacio de estados y ∀t ∈ [t0 , T ] , las siguientes condiciones:
1. Existen unas constantes positivas σ0 y K tales que:
√
a) |A1 (x, t)| ≤ K 1 + x2
p
√
b) 0 < σ0 ≤ A2 (x, t) ≤ K 1 + x2
2. Existen constantes positivas γ y k tales que
γ
a) |A1 (x, t) − A1 (y, t)| ≤ K |1 + x2 |
¯p
¯
p
¯
¯
γ
b) ¯ A2 (x, t) − A2 (y, t)¯ ≤ K |1 + x2 | .
Entonces se verifica:
1. La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera establecida,
además, para t > s , F (x, t|y, s) es derivable respecto de x, por lo que admite densidad,
que también verificará la ecuación atrasada con condición frontera del tipo delta de Dirac.
2. Existe un proceso de Markov {X(t); ∀t ∈ [t0 , T ]} con trayectorias continuas , que verifica
las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de distribución de transición
F (x, t|y, s).
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3. Si, además, las condiciones del enunciado son cumplidas por
entonces la función f (x, t|y, s) =
ecuación adelantada.
∂A1 (x, t) ∂A2 (x, t) ∂A2 (x, t)
,
,
y
∂x
∂x
∂x2
∂F (x, t|y, s)
es la única solución fundamental de la
∂x
En nuestro caso tenemos:
¯
¯
√
bck
¯
¯
|A1 (x, t)| = ¯ ekbck
|x| ≤ M 1 + x2 , ∀t ≥ t0 , donde M es el máximo de la función k
,
t−c ¯
e t−c
que existe, ya que es continua es un intervalo cerrado y acotado.
p
√
A2 (x, t) = σx ≤ σ 1 + x2 . Dado x > 0, existe ε > 0 tal que 0 < ε < x, por lo que
√
0 < σε < σ x ≤ σ 1 + x2 .
Por tanto,
√
|A1 (x, t)| ≤ K 1 + x2
√
0 ≤ σ0 ≤ K 1 + x2
Por lo que basta tomar σ0 = εσ y K = M ax[M, σ]. Por otro lado,
¯
¯
¯
¯
|A1 (x, t) − A1 (y, t)| = ¯ ekbck
|x − y| ≤ M |x − y|
t−c ¯
¯p
¯
p
¯
¯
¯ A2 (x, t) − A2 (y, t)¯ = |σx − σy| ≤ σ |x − y|
Por tanto,
|A1 (x, t) − A1 (y, t)| ≤ K |x − y|
¯
¯p
p
¯
¯
¯ A2 (x, t) − A2 (y, t)¯ ≤ σ |x − y| ,
por lo que basta tomar k = M ax[M, σ] y γ = 1. Finalmente
∂A1 (x, t)
= h(t)
∂x
∂A2 (x, t)
= 2σ 2 x
∂x
∂A2 (x, t)
= 0,
∂x2
pudiéndose comprobar de forma inmediata que verifican las condiciones del teorema.
Por tanto, podemos verificar:
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La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la condición frontera establecida.
Existe un proceso de Markov {X(t); ∀t ∈ [t0 , T ]} con trayectorias continuas , que verifica
las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de distribución de transición
F (x, t|y, s).
La función f (x, t|y, s) =
adelantada.
∂F (x, t|y, s)
es la única solución fundamental de la ecuación
∂x
Por tanto, comprobada la existencia de la función de densidad de transición, calcularemos
dicha función como solución de la ecuación atrasada o de Kolmogorov mediante la búsqueda
de una función que la transforme en la del proceso Wiener estándar, cuya solución es conocida.
Sea {X(t); t ≥ t0 } un proceso de difusión con media y varianza infinitesimal A1 (x, t) y
A2 (x, t), definido sobre un intervalo I y sea {W 0 (t0 ); t0 ≥ t00 } el proceso Wiener estándar con
media infinitesimal cero y varianza infinitesimal igual a 1. Sea f la densidad de transición del
proceso X(t) y f 0 la del proceso Wiener.
El siguiente teorema proporciona una condición necesaria y suficiente para que una transformación del tipo
x0 = Ψ(x, t)
t0 = Φ(t)
y 0 = Ψ(y, s)
s0 = Φ(s)
cambie la ecuación atrasada del proceso X(t)
∂f (x, t|y, s)
∂f (x, t|y, s) A2 (y, s) ∂ 2 f (x, t|y, s)
+ A1 (y, s)
+
=0
∂s
∂y
2
∂ 2y
en la del proceso de Wiener
∂f 0 (x0 , t0 |y 0 , s0 ) 1 ∂ 2 f (x0 , t0 |y 0 , s0 )
+
= 0,
∂s0
2
∂ 2y0
cuya solución es
0
0
0
0
0
f (x , t |y , s ) =
³p
2π(t0
−
´−1
s0 )
µ
(x0 − y 0 )2
exp − 0
2(t − s0 )
¶
.
(2.7)
Teorema 2.3.4. Una condición necesaria y suficiente para que un proceso de difusión con
función de densidad de transición f (x, t|y, s) y momentos infinitesimales A1 (x, t) y A2 (x, t)
pueda transformarse al proceso Wiener estándar es que existan funciones arbitrarias C1 (t) y
C2 (t) que verifiquen
Ã
!
Z x
1
C2 (t)A2 (y, t) + ∂A2∂t(y,t)
1 ∂A2 (x, t) A2 (x, t) 2
+
C1 (t) +
A1 (x, t) =
dy
3
4
∂x
2
(A2 (y, t)) 2
z
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En tal caso la transformación es
µ
x
0
t0
¶Z x
Z
1
1 t
= Ψ(x, t) = (k1 ) exp −
C2 (s)ds
1 dy −
2 t0
z (A2 (y, t)) 2
µ
¶
Z
1 Z
(k1 ) 2 t
1 s
−
C1 (s) exp −
C2 (ϑ)dϑ ds + k2
2
2 t0
t2
µ Z s
¶
Z t
= Φ(t) = k1
exp −
C2 (ϑ)dϑ ds + k3
1
2
t1
t0
siendo z un valor del intervalo de definición del proceso, ti ∈ [0, ∞] y ki constantes arbitrarias
con la restricción k1 > 0.
h 0 i 12
Φ (t)
Nota 2.3.1. Puesto que, para cada t, ∂Ψ(x,t)
=
> 0 , la transformación x0 = Ψ(x, t)
∂x
A2 (x,t)
es biyectiva y la relación entre las densidades de transición del proceso Wiener y el transformado será
∂Ψ(x, t) 0 0 0 0 0
f (x, t|y, s) =
f (x , t |y , s ).
(2.8)
∂x
Veamos si se verifican las condiciones del teorema. Puesto que
Z
Z
2xσ 2 σxC1 (t) σx x C2 (t)σ 2 y 2
xσ 2 σC1 (t)x σC2 (t)xσ 2 z y 2
bck
=
+
dy =
+
+
dy
3
ekt − c
4
2
2 z
σ3y3
2
2
2σ 3
z y
· 2
¸
xσ 2 σC1 (t)x C2 (t)x ³ x ´
σ
σC1 (t) C2 (t) ³ x ´
=
+
+
ln
=
+
+
ln
x,
2
2
2
z
2
2
2
z
si consideramos C2 (t) = 0 , tenemos
σ 2 σC1 (t)
bck
=
+
·
ekt − c
2
2
Entonces,
2
C1 (t) =
σ
C2 (t) = 0
µ
σ2
bck
−
ekt − c
2
¶
que verifican la condición, por lo que nuestro proceso se puede transformar al proceso Wiener
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37
y la transformación para ello es:
µ
¶Z x
Z
1
1 t
x = Ψ(x, t) = (k1 ) exp −
0ds
dy
2 t0
z yσ
µ
¶
µ
¶
Z
1 Z
(k1 ) 2 t 2
σ2
bck
1 s
−
−
exp −
0dϑ ds + k2
2
ekt − c
2
2 t0
t2 σ
µ
¶
1 Z
1 Z
bck
σ2
(k1 ) 2 x dy (k1 ) 2 t 2
ds + k2
−
−
=
σ
y
2
ekt − c
2
z
t2 σ
µ
¶
¶
1
³ x ´ (k ) 12 µ 2
(k1 ) 2
1 − ce−kt
1
=
log
−
b log
− σ(t − t2 ) + k2
σ
z
2
σ
1 − ce−kt2
µ
¶
1
1
³ x ´ (k ) 12 2
(k1 ) 2
(k1 ) 2
1 − ce−kt
1
−
=
log
b log
+−
σ(t − t2 ) + k2
σ
z
2 σ
1 − ce−kt2
2
µ
¶
1
1
³ x ´ (k ) 12
(k1 ) 2
1 − ce−kt
(k1 ) 2
1
=
log
−
b log
σ(t − t2 ) + k2
+
σ
z
σ
1 − ce−kt2
2
·
µ
¸
¶
³x´ 1
1
1
1 − ce−kt
σ
log
− b log
= (k1 ) 2
+ (t − t2 ) + k2
σ
z
σ
1 − ce−kt2
2
1
2
0
Z
t
0
t = Φ(t) = k1
µ Z s
¶
Z t
exp −
0dϑ ds + k3 = k1
ds + k3 = k1 (t − t1 ) + k3 .
t1
t0
t1
Operando obtenemos:
µ
¸
¶
³x´ 1
1 − ce−kt
1
σ
− b log
log
+ (t − t2 ) + k2 −
x − y = (k1 )
σ
z
σ
1 − ce−kt2
2
µ
·
µ
¸
¶
¶
³
´
−ks
1 − ce
y
1
σ
1/2 1
− (k1 )
log
− b log
+ (s − t2 ) + k2
σ
z
σ
1 − ce−kt2
2
·
µ ¶
µ
¶
¸
−kt
x
1
1 − ce
σ
1/2 1
log
− b log
+ (t − s)
= (k1 )
σ
y
σ
1 − ce−ks
2
·
0
0
1/2
t0 − s0 = k1 (t − t1 ) + k3 − (k1 (s − t1 ) + k3 )
= k1 t − k1 t1 + k3 − k1 s + k1 t1 − k3 = k1 (t − s).
1/2
Finalmente, y como
Eva Vicenta Poza Cruz
∂Ψ(x, t)
k
= 1 , a partir de (2.7) y (2.8), se concluye
∂x
σx
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
38
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
¶
µ
1/2
1/2
k1 0 0 0 0 0
k1
1
(x0 − y 0 )2
p
f (x, t|y, s) =
f (x , t |y , s ) =
exp − 0
σx
σx 2π(t0 − s0 )
2(t − s0 )

³ ´
³
´2 
³
´
1
x
1
1−ce−kt
σ
1/2
k
log
b
log
(t
−
s)
−
+
y
σ
2
1−ce−ks
k1
 1 1 σ

= p
exp −

2
2
k1 (t − s)
x 2πσ k1 (t − s)

=
³
³ ´
1
 1 log
p
exp −
2
x 2πσ 2 (t − s)
x
y
³
− b log
1−ce−kt
1−ce−ks
´
+
σ2
(t
2
− s)
´2 
σ 2 (t − s)

,
que se corresponde con la función de densidad de una distribución lognormal, esto es,
µ
·
¶
¸
1 − ce−kt
σ2
2
X(t)|X(s) = y → Λ1 log(y) + b log
− (t − s), σ (t − s)
1 − ce−ks
2
Una vez calculada la densidad de transición del proceso, calculamos las distribuciones
finito dimensionales. Puesto que el proceso es markoviano, para ello basta con seleccionar la
distribución inicial del proceso. Nos centraremos en los casos en los cuales las distribuciones
iniciales son la distribución degenerada, P [X(t0 ) = x0 ] = 1, y la distribución lognormal,
X(t0 ) ∼ Λ1 (µ0 , σ02 ). Dichas distribuciones garantizan que las distribuciones finito-dimensionales
sean lognormales (en conexión con lo comentado en la sección anterior).
A partir de la función de densidad de transición del proceso obtenemos la distribución de
X(t)|X(t0 ) = x0 , esto es
¸
¶
·
µ
1 − ce−kt
σ2
2
X(t)|X(t0 ) = x0 ∼ Λ1 log(x0 ) + b log
− (t − t0 ), σ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
Distribución Degenerada
Cuando la distribución inicial es degenerada, P [X(t0 ) = x0 ] = 1, la distribución unidimensional de X(t) coincide con la distribución de X(t)|X(t0 ) = x0 . Por tanto, su densidad
es

³ ³ ´
³
´
x
1−ce−kt
log
−
b
log
+
x0
1
1−ce−kt0
 1
p
f (x, t) = f (x, t|x0 , t0 ) =
exp −
2
σ 2 (t − t0 )
x 2πσ 2 (t − t0 )
σ2
(t
2
´2 
− t0 ) 
.
Para el caso de las distribuciones bidimensionales, calculamos la distribución conjunta de
(X(t), X(s))0 . En primer lugar, sea t > s:
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
Eva Vicenta Poza Cruz
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
f (x, t; y, s) = f (y, s)f (x, t|y, s)
 ³
³ ´
y
x0
³
1−ce−ks
1−ce−kt0
´
σ2
(s
2
39
´2 
− t0 ) 

+
− b log
1
 log
= p
exp −
2σ 2 (s − t0 )
x 2πσ 2 (s − t0 )
 ³ ³ ´
³
´
´2 
x
1−ce−kt
σ2
1
 log y − b log 1−ce−ks + 2 (t − s) 
× p
exp −

2σ 2 (t − s)
x 2πσ 2 (t − s)
=
µ
¶
1
0 −1
exp − (log(X) − µ) Σ (log(X) − µ)
2
1
xy2π |Σ|1/2
La distribución bidimensional, en este caso, es (X(t), X(s)) ∼ Λ2 (µ, Σ), donde

³
log(x0 ) + b log
µ=
log(x0 ) + b log
´
1−ce−kt
−kt0
1−ce
³
´
1−ce−ks
1−ce−kt0
−
σ2
(t
2

− t0 )
;
σ2
− 2 (s − t0 )
µ
Σ=σ
2
¶
t − t0 s − t0
.
s − t0 s − t0
Similarmente, si s > t, la distribución bidimensional es (X(t), X(s)) ∼ Λ2 (µ, Σ), donde

µ=
³
log(x0 ) + b log
´
1−ce−kt
−kt0
1−ce
´
³
log(x0 ) + b log
1−ce−ks
1−ce−kt0
−
σ2
(t
2
−
σ2
(s
2

− t0 )
;
− t0 )
µ
Σ=σ
2
¶
t − t0 t − t0
.
t − t0 s − t0
En general, para cualesquiera t y s, la distribución bidimensional es (X(t), X(s)) ∼ Λ2 (µ, Σ),
con

µ=
³
log(x0 ) +
´
1−ce−kt
b log 1−ce
−kt0
³
´
log(x0 ) + b log
1−ce−ks
1−ce−kt0
−
σ2
(t
2
−
σ2
(s
2

− t0 )
;
− t0 )
µ
Σ=σ
2
¶
t − t0
(s ∧ t) − t0
.
(s ∧ t) − t0
s − t0
Distribución lognormal
Para el caso en el cual la distribución inicial es lognormal, X(t0 ) ∼ Λ1 (µ0 , σ02 ), la función
de densidad de (X(t0 ), X(t))0 es f (x, t; x0 , t0 ) = f (x0 , t0 )f (x, t|x0 , t0 ).
Operando se tiene
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Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
40
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
f (x, t; x0 , t0 ) = f (x0 , t0 )f (x, t|x0 , t0 ) =
Ã
!
1
1 (log(x0 ) − µ0 )2
= p
exp −
2
σ02
x0 2πσ02

³ ³ ´
´
³
x
1−ce−kt
log
+
−
b
log
x0
1
1−ce−kt0
 1
p
×
exp −
2
σ 2 (t − t0 )
x 2πσ 2 (t − t0 )
σ2
(t
2
´2 
− t0 ) 

µ
µ
1 [log(x0 ) − µ0 ]2 σ 2 (t − t0 )
p
=
exp −
2
σ 2 (t − t0 )σ02
x0 x 2π σ02 σ 2 (t − t0 )
h
³
´
i2
1−ce−kt
σ2
log(x) log(x0 ) − b log 1−ce−kt0 + 2 (t − t0 ) σ02
+
−
σ 2 (t − t0 )σ02
³
´

1−ce−kt
σ2
(log(x0 ) − µ0 )(log(x) − log(x0 ) − log 1−ce
(t
−
t
)
+
0
−kt0
2

+ 2
2
2
σ (t − t0 )σ0
1
Por tanto, (X(t0 ), X(t))0 ∼ Λ2 (µ, Σ), con
Ã
µ=
³
µ0 + b log
µ0 ´
−kt
1−ce
1−ce−kt0
!
−
σ2
(t
2
µ
;
− t0 )
Σ=σ
2
¶
σ02
σ02
.
σ02 σ 2 (t − t0 ) + σ02
Por tanto, y como las distribuciones marginales de una lognormal multivariante son lognormales, se tiene
·
µ
X(t) ∼ Λ1 µ0 + b log
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶
¸
σ2
2
2
− (t − t0 ); σ (t − t0 ) + σ0 .
2
A continuación vamos a obtener las distribuciones bidimensionales. Para ello, y como
·
µ
X(s) ∼ Λ1 µ0 + b log
1 − ce−ks
1 − ce−kt0
·
X(t)|X(s) = y ∼ Λ1 log(y) + b log
µ
¶
σ2
− (s − t0 ); σ 2 (s − t0 ) + σ02
2
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶
¸
¸
σ2
2
− (t − s), σ (t − s) ,
2
la función de densidad de transición, para t > s, es
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
Eva Vicenta Poza Cruz
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
f (x, t; y, s) = f (y, s)f (x, t|y, s) =

³
³
1−ce−ks
1−ce−kt0
´
σ2
(s
2
41
´2 
− t0 ) 

+
1
 1 log(y) − µ0 − b log
exp
−
= p

2
σ 2 (s − t0 ) + σ02
y 2π(σ 2 (s − t0 ) + σ02 )

´
³
³
´2 
σ2
1−ce−kt
+
log(x)
−
log(y)
−
b
log
(t
−
s)
2
1−ce−ks
1
 1

exp −
× p

2
2
2
σ (s − t0 )
x 2πσ (t − s)
=
1
p
xy2π [σ 2 (s − t0 ) + σ02 ]σ 2 (t − s)

³
³
´
´2
1−ce−ks
σ2
log(y)
−
µ
−
b
log
+
(s
−
t
)
σ 2 (t − s)
0
0
2
1−ce−kt0
 1
× exp −
+
2
σ 2 (t − s)(σ 2 (s − t0 ) + σ02 )
³
+
−
³
log(x) − log(y) − b log
1−ce−kt
1−ce−ks
´
+
σ2
(t
2
´2
− s) σ 2 (s − t0 ) + σ0
σ 2 (t − s)(σ 2 (s − t0 ) + σ02 )
h
³
´
1−ce−ks
log(y) − µ0 − b log 1−ce
+
−kt0
σ2
(s
2
−
ih
³
´
1−ce−kt
− t0 ) log(x) − log(y) − b log 1−ce
+
−ks
σ 2 (t − s)(σ 2 (s − t0 ) + σ02 )
σ2
(t
2
i
− s)

Por tanto, (X(t), X(s))0 ∼ Λ2 (µ, Σ), con

µ=
³
µ0 + b log
µ0 + b log
´
1−ce−kt
−kt0
1−ce
³
´
1−ce−ks
1−ce−kt0
−
σ2
(t
2

− t0 )
;
2
− σ2 (s − t0 )
¶
µ
¶
µ
1 1
2 t − t0 s − t0
+σ
.
Σ=σ
s − t0 s − t0
1 1
2
Procediendo de igual forma, cuando s > t se tiene que (X(t), X(s))0 ∼ Λ2 (µ, Σ), con

³
´

µ
¶
µ
¶
1−ce−kt
σ2
µ0 + b log 1−ce
−
(t
−
t
)
0
−kt0
2
2 1 1
2 t − t0 t − t0

³

´
µ=
;
Σ=σ
+σ
.
2
1−ce−ks
1 1
t − t0 s − t0
µ0 + b log 1−ce
− σ2 (s − t0 )
−kt0
En general para cualquier t, s la distribución bidimensional es (X(t), X(s))0 ∼ Λ2 (µ, Σ),
donde

³
´

¶
µ
¶
µ
σ2
1−ce−kt
µ0 + b log 1−ce−kt0 − 2 (t − t0 )
1
1
t
−
t
(s
∧
t)
−
t
0
0
2
2
³
´
;
.
µ=
Σ=σ
+σ0
2
1−ce−ks
(s ∧ t) − t0
s − t0
1 1
µ0 + b log 1−ce
− σ2 (s − t0 )
−kt0
Nota 2.3.2. Notemos que mediante el uso de la propiedad de Markov se obtendrı́an de forma análoga las distribuciones de cualquier dimensión, siendo en cualquier caso distribuciones
lognormales.
Eva Vicenta Poza Cruz
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
42
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
Eva Vicenta Poza Cruz
Capı́tulo 3
Propiedades del proceso. Simulación
de trayectorias
3.1.
Caracterı́sticas del proceso
3.1.1.
Funciones media, moda y de cuantiles
Conocidas las distribuciones finito-dimensionales del proceso, podemos calcular algunas
caracterı́sticas del mismo. Para ello vamos a considerar los casos de distribuciones iniciales
degenerada y lognormal.
Como hemos calculado en la sección anterior, la distribución unidimensional del proceso
cuando la distribución inicial es lognormal, X(t0 ) ∼ Λ1 (µ0 , σ02 ) es
¶
¶
µ
µ
1 − ce−kt
σ2
2
2
X(t) ∼ Λ1 µ0 + b log
− (t − t0 ); σ0 + σ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
a partir de la cual obtendremos las funciones media, moda y cuantil.
Nota 3.1.1. Dada una variable aleatoria U lognormal de parámetros µ y σ, su media, moda
y cuantiles son:
µ
¶
σ2
(3.1)
E[U ] = exp µ +
2
¢
¡
(3.2)
M o[U ] = exp µ − σ 2
Cq [U ] = exp (µ + zq σ)
(3.3)
donde zq es el punto critico de la distribución normal estándar que deja una probabilidad
acumulada a su izquierda igual a q.
43
44
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Función Media
A partir de la expresión (3.1) se obtiene
µ
µ
¶
¶
σ2
σ02 σ 2
1 − ce−kt
m(t) = E[X(t)] = exp µ0 + b log
− (t − t0 ) +
+ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
2
2
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶b
b
1 − ce−kt
σ02
σ02
1 − ce−kt
= exp(µ0 )
exp
= exp µ0 +
1 − ce−kt0
2
2
1 − ce−kt0
µ
¶
b
1 − ce−kt
= E[X(t0 )]
,
1 − ce−kt0
de donde:
Si la distribución inicial es degenerada, P [X(t0 ) = x0 ] = 1 se verifica
µ
m(t) = x0
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
Si la distribución inicial es lognormal, X(t0 ) ∼ Λ1 (µ0 , σ02 ) se tiene
µ
σ2
m(t) = exp µ0 + 0
2
¶µ
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
.
Función moda
A partir de la expresión (3.2) se tiene
M o(t) =
=
=
=
µ
µ
¶
¶
1 − ce−kt
σ2
2
2
M o[X(t)] = exp µ0 + b log
− (t − t0 ) − σ0 − σ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
µ
¶
µ
¶
b
1 − ce−kt
σ2
2
exp(µ0 )
exp − − σ (t − t0 ) exp(−σ02 )
1 − ce−kt0
2
µ
¶
µ
¶
b
¡
¢ 1 − ce−kt
3σ 2
2
exp µ0 − σ0
exp −
(t − t0 )
1 − ce−kt0
2
µ
µ
¶b
¶
3σ 2
1 − ce−kt
exp −
M o[X(t0 )]
(t − t0 ) ,
1 − ce−kt0
2
de donde
Si la distribución inicial es degenerada
µ
M o(t) = x0
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
µ
¶
3σ 2
exp −
(t − t0 )
2
Eva Vicenta Poza Cruz
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
45
Si la distribución inicial es lognormal,
µ
¶
µ
¶
¡
¢ 1 − ce−kt b
3σ 2
2
M o(t) = exp µ0 − σ0
exp −
(t − t0 ) .
1 − ce−kt0
2
Función de cuantiles
Para esta función, y a partir de (3.3) se tiene
µ
µ
¶
q
σ2
2
Cq [X(t)] = exp µ0 + b log
− (t − t0 ) + zq σ0 + σ 2 (t − t0 ) − zq σ0 exp(zq σ0 )
2
µ
¶¸
¶
µq
· 2
b
1 − ce−kt
σ
2
2
= exp (µ0 + zq σ0 )
exp − (t − t0 ) + zq
σ0 + σ (t − t0 ) − σ0
1 − ce−kt0
2
µq
¶¸
µ
¶b
· 2
1 − ce−kt
σ
2
2
= cuantil[X(t0 )]
σ0 + σ (t − t0 ) − σ0 .
exp − (t − t0 ) + zq
1 − ce−kt0
2
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶
Ası́ pues:
Si la distribución inicial es degenerada,
µ
¶b
· 2
³p
´¸
1 − ce−kt
σ
2
Cq [X(t)] = x0
σ (t − t0 )
exp − (t − t0 ) + zq
1 − ce−kt0
2
Si la distribución inicial es lognormal,
µ
¶b
· 2
µq
¶¸
1 − ce−kt
σ
2
2
Cq [X(t)] = exp (µ0 + zq σ0 )
σ0 + σ (t − t0 ) − σ0 .
exp − (t − t0 ) + zq
1 − ce−kt0
2
Nota 3.1.2. El caso degenerado se puede considerar como un caso particular del caso lognormal
sin más que tomar σ0 = 0, lo cual que implica que µ0 = log(x0 ).
Las versiones condicionadas de las funciones, anteriormente mencionadas las obtenemos a
partir de la distribución
¶
¶
µ
µ
σ2
1 − ce−kt
2
− (t − s); σ (t − s) .
X(t)|X(s) = xs ∼ Λ1 log(xs ) + b log
1 − ce−ks
2
Ası́ tenemos:
Función media condicionada
µ
m(t|s) = E[X(t)|X(s) = xs ] = exp log(xs ) + b log
µ
= xs
1 − ce−kt
1 − ce−ks
Eva Vicenta Poza Cruz
¶b
µ
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶
¶
σ2
σ2
− (t − s) + (t − s)
2
2
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
46
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Función moda condicionada
µ
µ
M o(t|s) = M o[X(t)|X(s) = xs ] = exp log(xs ) + b log
µ
= xs
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶b
µ
3σ 2
exp −
(t − s)
2
¶
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶
¶
σ2
2
− (t − s) − σ (t − s)
2
Función de cuantiles condicionada
µ
µ
¶
¶
p
1 − ce−kt
σ2
2
Cq [X(t)|X(s) = xs ] = exp log(xs ) + b log
− (t − s) + zq σ (t − s)
1 − ce−ks
2
¶
·
µ
b
³p
´¸
1 − ce−kt
σ2
2
= xs
exp − (t − s) + zq
σ (t − s)
1 − ce−ks
2
3.1.2.
Momentos unidimensionales
Vamos a calcular los momentos centrados en el origen de cualquier orden para las distribuciones unidimensionales. Para ello, utilizamos la relación existente entre las distribuciones
normal y lognormal. En efecto, puesto que
µ
µ
X(t)|X(s) = y ∼ Λ1 log(y) + b log
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶
¶
σ2
2
− (t − s); σ (t − s)
2
se verifica
µ
Z(t)|X(s) = y = log(X(t))|X(s) = y ∼ N1 log(y) + b log
µ
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶
¶
σ2
2
− (t − s); σ (t − s)
2
Ahora bien, como
r
r
E[X(t) ] = E [E[X(t) |X(t0 )]] ,
en primer lugar calculamos los valores que puede tomar la variable aleatoria E[X(t)r |X(t0 )],
que son E[X(t)r |X(t0 ) = x0 ].
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Eva Vicenta Poza Cruz
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
47
E[X(t)r |X(t0 ) = x0 ] = E[erZ(t) |X(t0 ) = x0 ] = MZ(t)|X(t0 )=x0 (r)
¶
¶
¶
µ µ
µ
σ2
1 2 2
1 − ce−kt
− (t − t0 ) + r σ (t − t0 )
= exp r log(x0 ) + b log
1 − ce−kt0
2
2
µ µ
µ
¶
¶
¶
−kt
2
1 − ce
σ
1 2 2
r
= x0 exp r b log
− (t − t0 ) + r σ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
2
µ
µ
¶
¶
−kt
2
1 − ce
rσ
1 2 2
r
= x0 exp rb log
−
(t − t0 ) + r σ (t − t0 )
1 − ce−kt0
2
2
µ
¶
¶
µ
rb
1 − ce−kt
1 2 2
rσ 2
r
= x0
(t − t0 ) + r σ (t − t0 )
exp −
1 − ce−kt0
2
2
¶
µ
µ
¶¶
µ
rb
1 − ce−kt
σ2
σ2
r
= x0
exp r − (t − t0 ) + r(t − t0 )
1 − ce−kt0
2
2
µ
¶
¶
¶
µ
µ
rb
1 − ce−kt
σ2
r
= x0
(r − 1) (t − t0 )
exp r
1 − ce−kt0
2
Por lo tanto,
µ
r
r
E[X(t) |X(t0 )] = X(t0 )
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶rb
¶
¶
µ µ 2
σ
(r − 1) (t − t0 ) ,
exp r
2
de donde
E[X(t)r ] = E[E[X(t)r |X(t0 )]]
"
µ
¶
¶#
¶rb
µ µ 2
−kt
1
−
ce
σ
= E X(t0 )r
(r − 1) (t − t0 )
exp r
1 − ce−kt0
2
µ
¶
¶
¶rb
µ µ 2
1 − ce−kt
σ
r
= E[X(t0 ) ]
(r − 1) (t − t0 )
exp r
1 − ce−kt0
2
Si r = 1, obtenemos la función media, que coincide con la función calculada en la sección
anterior.
µ
E[X(t)] = E[X(t0 )]
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
Para r=2, se tiene el momento centrado de orden 2,
µ
· µ 2
¶
¸
σ
E[X(t) ] = E[X(t0 ) ]
exp 2
(2 − 1) (t − t0 )
2
µ
¶2b
£ 2
¤
1 − ce−kt
2
exp
σ
(t
−
t
)
= E[X(t0 ) ]
0
1 − ce−kt0
2
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2
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶2b
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
48
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Por lo que la función varianza será
E[X(t)2 ] − (E[X(t)])2
¶2b
¶2b
µ
µ
¡ 2
¢
1 − ce−kt
1 − ce−kt
2
2
exp σ (t − t0 ) − (E[X(t)])
= E[X(t0 ) ]
1 − ce−kt0
1 − ce−kt0
µ
¶
2b
£
¡ 2
¢
1 − ce−kt
2¤
2
=
E[X(t
)
]
exp
σ
(t
−
t
)
−
(E[X(t)])
0
0
1 − ce−kt0
¶2b
µ
¡
1 − ce−kt
2¢
2
[
E[X(t
)
]
−
(E[X(t)])
exp(σ 2 (t − t0 )) +
=
0
−kt
0
1 − ce
+ (E[X(t)])2 (exp(σ 2 (t − t0 ) − 1))]
µ
¶2b
£
¡ 2
¢
¢¤
1 − ce−kt
2¡
2
=
Var[X(t
)]
exp
σ
(t
−
t
)
+
(E[X(t)])
exp(σ
(t
−
t
)
−
1)
0
0
0
1 − ce−kt0
Var[X(t)]
3.1.3.
=
Momentos cruzados. Función de covarianza
Vamos a calcular los momentos cruzados, que serán de gran utilidad para hallar la función
de covarianza. Supongamos en primer lugar el caso s < t y apliquemos el hecho de que
r
r
r
r
r
r
E[X(t) 1 X(s) 2 ] = E [E[X(t) 1 X(s) 2 |X(s)]] = E [X(s) 2 E[X(t) 1 |X(s)]] .
Siguiendo un razonamiento análogo al realizado para el cálculo de E[X(t)] en la sección
anterior, para t > s se verifica
µ
r1
r1
E[X(t) |X(s)] = X(t)
1 − ce−kt
1 − ce−ks
¶rb
¶
¶
µ µ 2
σ
(r − 1) (t − s) ,
exp r
2
con lo cual
E[X(t)r1 X(s)r2 ] = E [E[X(t)r1 X(s)r2 |X(s)]]
= E [X(s)r2 E[X(t)r1 |X(s)]]
"
µ µ 2
¶
¶
¶#
µ
−kt r1 b
σ
1
−
ce
= E X(s)r2 X(s)r1
exp r1
(r1 − 1) (t − s)
1 − ce−ks
2
µ µ 2
¶
¶
¶
µ
£
¤ 1 − ce−kt r1 b
σ
r1 +r2
exp r1
(r1 − 1) (t − s)
= E X(s)
1 − ce−ks
2
Análogamente, para t < s se tiene
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
49
E[X(t)r1 X(s)r2 ] = E [E[X(t)r1 X(s)r2 |X(t)]]
= E [X(t)r1 E[X(s)r2 |X(t)]]
"
µ
¶
µ µ 2
¶
¶#
−ks r2 b
1
−
ce
σ
= E X(t)r2 X(t)r1
exp r2
(r2 − 1) (s − t)
1 − ce−kt
2
µ
¶
¶
¶
µ µ 2
£
¤ 1 − ce−ks r2 b
σ
r1 +r2
= E X(t)
(r2 − 1) (s − t) .
exp r2
1 − ce−kt
2
A continuación pasamos a calcular la función de covarianza, para lo cual volvemos a distinguir los casos s < t y t < s.
Para s < t,
C(s, t) = Cov[X(t), X(s)] = E[X(t)X(s)] − E[X(t)]E[X(s)]
µ
¶b
µ
¶b
1 − ce−kt
1 − ce−kt
2
= E[X(s) ]
− E[X(s)]
E[X(s)]
1 − ce−ks
1 − ce−ks
¶b
µ
¤
1 − ce−kt £
2
2
E[X(s)
]
−
E[X(s)]
=
1 − ce−ks
µ
¶b
1 − ce−kt
= Var[X(s)]
,
1 − ce−ks
mientras que para t < s se verifica
C(s, t) = Cov[X(t), X(s)] = E[X(t)X(s)] − E[X(t)]E[X(s)]
µ
¶b
µ
¶b
1 − ce−ks
1 − ce−ks
2
= E[X(t) ]
− E[X(t)]
E[X(t)]
1 − ce−kt
1 − ce−kt
µ
¶b
¤
1 − ce−ks £
2
2
=
E[X(t)
]
−
E[X(t)]
1 − ce−kt
¶b
µ
1 − ce−ks
= Var[X(t)]
1 − ce−kt
En general, para cualquier s y t se tiene
µ
C(s, t) = V ar[X(t ∧ s)]
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1 − ce−k(t∨s)
1 − ce−k(t∨s)
¶b
.
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50
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
3.2.
Simulación de trayectorias
En esta sección vamos a simular trayectorias del proceso que se ha introducido con el objetivo de visualizar el comportamiento del proceso. Para ello emplearemos el algoritmo derivado
de la solución numérica de la ecuación diferencial estocástica asociada al proceso.(Kloeden et
al.,[12]), ası́ como la expresión de las trayectorias en función del procesos Wiener, puesto que
el proceso de von Bertalanffy introducido se puede obtener mediante una transformación de
este.
3.2.1.
Aproximación numérica de la EDE
Este procedimiento se basa en la discretización de la ecuación diferencial estocástica
dX(t) = a(X(t), t)dt + b(X(t), t)dW (t)
con condición inicial X(t0 ) = c, imponiendo a las funciones a y b que tengan derivadas parciales
hasta el tercer orden continuas en el intervalo considerado [t0 , T ].
Dividiendo [t0 , T ] en intervalos de amplitud h, con h = ti+1 − ti , i = 0, ..., N − 1, se
discretiza la ecuación anterior, se desarrollan por Taylor las funciones a y b, sobre el punto
(X(tn ), tn ), hasta un cierto orden (dependiendo del orden de error deseado) y se evalúan las
integrales resultantes. En concreto, en el algoritmo que presentamos a continuación, la función
a se desarrolla hasta el segundo orden, mientras que para la función b, el desarrollo es hasta
el tercero. Ello es debido a que con estos desarrollos se consigue un orden de error de θ(h2 ) y
θp (h2 ), donde por θp (h2 ) se entiende
lı́m
h↓0
P [|x| > ²]
= 0, ∀².
h2
Con ello, en general se obtiene el siguiente algoritmo:
xn+1
µ
¶
1 2
1
=xn + an h + bn Z1n + h atn + axn an − axn bxn bn +
2
2
¶
µ
¢
1 ¡ 2
1
Z1n − h bxn bn +
+ Z2n axn bn − btn − bxn an + b2xn bn +
2
2
µ
¶
1
+ Z1n h btn + bxn an − b2xn bn + Z3n bxn axn bn +
2
¢
¡
1
+ (Z1n Z2n − Z3n ) axn bxn bn + axn xn b2n +
2 µ
¶
¢
¡
1 1 3
+
Z1n − Z2n bxn xn b2n + b2xn bn +
2 3
¶µ
¶
µ
1
1
1 2
2
2
+
btn xn bn + bxn xn an bn − bxn xn bxn bn +
Z1n h − h + Z3n − Z1n Z2n
2
2
2
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51
µ
¶µ
¶
1 2
1
1 3
2
2
+
Z1n h − h − Z3n − Z1n Z2n
bxn an + bxn btn − bxn bn +
2
2
2
µ
¶µ
¶
1 1 4
1
1
3
2
+
Z − 3Z1n Z2n + 3Z3n
bx x x b + bx x bx b +
2 2 1n
3! n n n n 2 n n n n
µ
¶µ
¶
1 1 4
1
1 3
2
Z − Z1n Z2n − Z3n
bx x bx b + b bn , n = 0, . . . , N − 1
+
2 6 1n
2 n n n n 2 xn
donde xn = X(tn ) y
a(x, t) = A1 (x, t) ,
axn =
∂a
(xn , tn ) ,
∂x
b(x, t) =
bxn =
p
A2 (x, t) ,
∂b
(xn , tn ) ,
∂x
an = a(xn , tn ) ,
a tn =
bn = b(xn , tn )
∂a
(xn , tn ) ,
∂t
b tn =
∂b
(xn , tn )
∂t
∂ 2a
∂2b
∂2b
∂3b
(x
,
t
)
,
b
=
(x
,
t
)
,
b
=
(x
,
t
)
,
b
=
(xn , tn )
n
n
x
x
n
n
t
x
n
n
x
x
x
n
n
n
n
n
n
n
∂x2
∂x2
∂x∂t
∂x3
Z tn+1
Z tn+1 Z t
Z tn+1 Z t
=
dW (s) , Z2n =
dW (s)dt y Z3n =
(W (s) − W (n))dsdW (t) .
axn xn =
Z1n
tn
tn
tn
tn
Se puede probar que (Z1n , Z2n ) ∼ N (µ, Σ), con
µ
µ ¶
h
0
, Σ=
µ=
2
h /2
0
h2 /2
h3 /3
tn
¶
mientras que Z3n no es normal, pero se puede aproximar, para valores pequeños de h, por una
h4
, estando incorrelada, además, con Z1n y Z2n .
variable normal de media cero y varianza
12
Para nuestro proceso, las funciones a y b son
bck
x
−c
b(t, x) = σ 2 x2
a(t, x) =
ekt
por lo que el algoritmo queda de la siguiente forma:
·
xn+1
µ
¶
µ
¶
bck
σ2
σ 2 bck
σ4
h2 (bck 2 )(bc − ektn )
= xn 1 + h ktn
−
− ktn
+
+
+
e −c
2
2
(ektn − c)2
e −c
4
¸
µ
¶
´
σ4 4
hσ 2 ³
σ3 3
hbck
σ
−
+ σ 1 + ktn
1 + Z1n Z1n + Z1n + Z1n ,
e −c
2
2
6
24
para n = 0, . . . , N − 1 donde N es el numero de valores simulados, h es el paso de integración,
xn = X(tn ) y Z1n es una variable normal de media cero y varianza h.
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52
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Figura 3.1: Simulación del proceso Wiener
3.2.2.
A partir de la transformación al proceso Wiener
En este caso, vamos a simular las trayectorias del proceso a partir de la simulación del
proceso Wiener puesto que las del proceso de von Bertalanffy se puede obtener como una
transformación del mismo. Concretamente,
µ
X(t) = x0
1 − ce−kt
1 − ce−kt0
¶b
¶
σ2
exp σ(W (t) − W (t0 )) − (t − t0 ) , t ≥ t0 .
2
µ
Por lo tanto basta generar valores de un proceso Wiener estándar y aplicar la transformación
anterior.
Ambos algoritmos han sido implementados con el programa Mathematica 6.0. Vamos a
considerar cuatro casos en los cuales se han generado 100 trayectorias muestrales, cada una de
ellas con 301 datos a partir de t0 = 0, considerando h = 0,1 como paso de integración. En la
tabla (3.1) se muestran los valores de los otros parámetros del proceso considerados
Caso
1
2
3
4
b
2
1
1.3
3
c
k
σ
0.8 0.2 0.01
0.6 0.5 0.01
0.7 0.4 0.01
0.2 0.3 0.01
Cuadro 3.1: Valores de los parámetros para la simulación de trayectorias
La gráfica (3.1) muestra las simulaciones realizadas para el proceso Wiener.
A partir de dicha simulación, implementamos en Mathematica 6.0, la simulación de las
trayectorias para el proceso de von Bertalanffy a través de sus trayectorias, para cada caso.
Las gráficas (3.2) a (3.5) muestran las trayectorias simuladas.
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
53
Figura 3.2: Simulación Caso 1
Figura 3.3: Simulación Caso 2
Figura 3.4: Simulación Caso 3
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54
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Figura 3.5: Simulación Caso 4
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Capı́tulo 4
Estimación Maxima Verosı́mil.
Ejemplos de Aplicación
4.1.
Estimación Maxima Verosı́mil
En este capı́tulo abordaremos la estimación máximo verosı́mil de los parámetros del proceso
de difusión introducido en el segundo capı́tulo. Para ello consideraremos el caso de muestreo
discreto, esto es, supondremos que se dispone de observaciones del proceso en instantes de tiempo t1 , . . . , tn en los cuales se observan las variables X(t1 ), . . . , X(tn ), cuyos valores observados
constituirán la muestra base del estudio inferencial.
El procedimiento que seguiremos está basado en el método de estimación por máxima verosimilitud. Para ello será necesario conocer, excepto eventualmente para valores de parámetros
desconocidos, la distribución conjunta de la muestra observada, lo cual conlleva conocer las distribuciones finito-dimensionales del proceso, cuestión que ya ha sido aabordada en el capı́tulo
segundo.
Puesto que los procesos de difusión son procesos de Markov, la propiedad de Markov permite que a partir de la distribución inicial del proceso y las transiciones se tenga cualquier
distribución finito dimensional y, con ello, podamos aplicar la teorı́a de estimación máximo
verosı́mil.
Sea {X(t), t > t0 } el proceso de difusión introducido, con momentos infinitesimales
bck
x
−c
A2 (x, t) = σ 2 x2
A1 (x, t) =
ekt
cuya función de densidad de transición es

³ ³ ´
´
³
x
1−ce−kt
1
 1 log y − b log 1−ce−ks +
f (x, t|y, s) = p
exp −
2
σ 2 (t − s)
x 2πσ 2 (t − s)
55
σ2
(t
2
´2 
− s) 

56
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
La muestra que vamos a considerar se va a obtener a partir de la observación de d trayectorias en instantes de tiempo tij , i = 1, . . . , d ,j = 1, . . . , ni . Llamemos xij , i = 1, . . . , d
,j = 1, . . . , ni a los valores observados. Observemos que no es necesario que los instantes de
observación sean los mismos para cada trayectoria, si bien el instante inicial conviene que sı́ lo
sea ya que hay que imponer una distribución inicial. Ası́ pues consideraremos que ti1 = t1 ,
i = 1, . . . , d.
Cuando la distribución inicial es degenerada, P [X(t1 ) = x1 ] = 1, la función de verosimilitud
de la muestra es
ni
d Y
Y
2
Lx (b, c, k, σ ) =
f (xij , tij |xi,j−1 , ti,j−1 )
i=1 j=2
mientras que si la distribución inicial es lognormal, es decir, X(t1 ) ∼ Λ1 (µ1 , σ12 ), la función de
verosimilitud queda en la forma
Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 )
=
d
Y
f1 (xi1 )
i=1
ni
Y
f (xij , tij |xi,j−1 , ti,j−1 ).
j=2
Como es sabido, es habitual considerar el logaritmo de la función de verosimilitud para
calcular el estimador máximo verosı́mil. Considerando el caso de múltiples trayectorias con
distribución inicial no degenerada, ello conduce a
ni
d
d X
X
¢ X
log Lx (b, c, k, σ ) =
log (f1 (xi1 )) +
log (f (xij , tij |xi,j−1 , ti,j−1 )) ,
¡
2
i=1
i=1 j=2
por lo que, en el caso de que los parámetros de la distribución inicial y los correspondientes
a las transiciones no sean funcionalmente dependientes, la estimación de ambos también lo
será. En tal caso, para la estimación de µ1 y σ12 sólo se considera la información del instante
inicial de observación, mientras que la estimación del resto de parámetros coincide en el caso
de distribución inicial degenerada y no degenerada.
En consecuencia, consideramos el caso lognormal, ya que el caso degenerado se deduce a
partir de este.
Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 )
=
d
Y
i=1
=
×
d
Y
i=1
ni
Y
fX(t1 ) (xi1 )
ni
Y
f (xij , tij |xi,j−1 , ti,j−1 )
j=2
¶
µ
log(xi1 − µ1 )2
1
p
exp −
2σ12
xi1 2πσ12
2πσ12 (tij
− ti,j−1 )
h ³
´
´
³
xij
1−ce−ktij
 1 log xi,j−1 − b log 1−ce−kti,j−1 +
× exp −
2
σ 2 (tij − ti,j−1 )
j=2
xij

1
p
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σ2
(tij
2
i2 
− ti,j−1 ) 

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57
Llamamos D = 1/c y A = e−k por lo que la función de verosimilitud nos queda
Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 )
d
Y
=
i=1
µ
¶
1
log(xi1 − µ1 )2
p
exp −
2σ12
xi1 2πσ12
ni
Y
×
xij

1
p
2πσ12 (tij
− ti,j−1 )
´
h ³
´
³
xij
D−Atij
+
log
−
b
log
ti,j−1
xi,j−1
D−A
 1
× exp −
2
σ 2 (tij − ti,j−1 )
j=2
σ2
(tij
2
i2 
− ti,j−1 ) 

Denotando n = n1 + · · · + nd , su logaritmo es
d
log(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
=
X
d
d
− ln(2π) − log(σ12 ) −
log(xi1 ) −
2
2
i=1
d
1 X
n−d
n−d
−
[log(xi1 − µ1 )]2 −
log(2π) −
log(σ 2 )
2
2σ1 i=1
2
2
−
−
ni
d X
X
d
n
i
1 XX
log(tij − ti,j−1 )
2
i=1 j=2
i=1 j=2
´
³
h ³
´
xij
D−Atij
n
d
i
−
b
log
log
+
xi,j−1
D−Ati,j−1
1 XX
2
log(xij ) −
σ2
(tij
2
i2
− ti,j−1 )
σ 2 (tij − ti,j−1 )
i=1 j=2
Derivando respecto de µ1 y σ12 se obtiene
d
1 X
∂ ln(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
=
[log(xi1 − µ1 )]
∂µ1
σ12 i=1
d
∂ ln(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
d
1 X
=
−
+
[log(xi1 − µ1 )]2 .
∂σ12
2σ12 2σ14 i=1
Igualando a cero ambas ecuaciones obtenemos los estimadores verosı́miles,
d
µˆ1 =
1X
log xi1
d i=1
d
1X
σˆ12 =
[log(xi1 − µ1 )]2
d i=1
Eva Vicenta Poza Cruz
Máster Oficial en Estadı́stica Aplicada
58
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Derivando con respecto a b, A, D y σ 2 , se obtiene
³
∂
log(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
∂b
=
ni log
d X
X
xi,j−1
i=1 j=2
µ
× log
D − Atij
D − Ati,j−1
³
∂
log(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
∂A
=
ni
d X
X
´
xij
log
³
− b log
´
+
σ2
(tij
2
− ti,j−1 )
(tij − ti,j−1 )
¶
xij
D−Atij
D−Ati,j−1
´
³
− b log
xi,j−1
D−Atij
D−Ati,j−1
´
+
σ2
(tij
2
− ti,j−1 )
(tij − ti,j−1 )
i=1 j=2
ti,j−1
D−A
D − Atij
−tij Atij −1 (D − Ati,j−1 ) + ti,j−1 Ati,j−1 −1 (D − Atij )
×
(D − Ati,j−1 )2
³
´
³
´
2
xij
D−Atij
n
d
i
X X log xi,j−1 − b log D−Ati,j−1 + σ2 (tij − ti,j−1 )
=
(tij − ti,j−1 )
i=1 j=2
×
×
ti,j−1 Ati,j−1 −1 (D − Atij ) + tij Atij −1 (D − Ati,j−1 )
(D − Atij )(D − Ati,j−1 )
³
∂
log(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
∂D
=
×
=
xij
´
³
D−Atij
D−Ati,j−1
´
+
σ2
(tij
2
− ti,j−1 )
D−A
(D − Ati,j−1 ) − (D − Atij )
D − Atij
(D − Ati,j−1 )2
´
³
´
³
xij
D−Atij
ni log
d X
−
b
log
+
X
ti,j−1
xi,j−1
D−A
σ2
(tij
2
− ti,j−1 )
ni log
d X
X
xi,j−1
− b log
i=1 j=2
ti,j−1
i=1 j=2
(tij − ti,j−1 )
(tij − ti,j−1 )
Atij Ati,j−1
×
(D − Atij )(D − Ati,j−1 )
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
59
∂ log(Lx (µ1 , σ12 , b, c, k, σ 2 ))
=
∂σ 2
´
³
´
i2
h ³
xij
D−Atij
σ2
ni
d X
−
b
log
+
(t
−
t
)
log
X
ij
i,j−1
xi,j−1
D−Ati,j−1
2
n−d
1
=−
+
2σ 2
2σ 4 i=1 j=2
(tij − ti,j−1 )
´
³
´
³
2
xij
D−Atij
ni log
d X
+ σ2 (tij − ti,j−1 ) (t − t
−
b
log
X
ti,j−1
xi,j−1
D−A
2
ij
i,j−1 )
− 2
2σ i=1 j=2
(tij − ti,j−1 )
2
´
³
´ 2
i2
h ³
xij
D−Atij
σ
ni
d X
− b log D−A
(t
−
t
)
log xi,j−1
X
ij
i,j−1
ti,j−1
2
= (−n − d)σ 2 +
(tij − ti,j−1 )
i=1 j=2
µ
¶
µ
¶
¶
ni µ
d X
X
σ2
xij
D − Atij
2
−σ
log
− b log
+ (tij − ti,j−1 )
xi,j−1
D − Ati,j−1
2
i=1 j=2
´
³
³
´
xij
2
2
D−Atij
d
d
log
log
XX
XX
xi,j−1
D−Ati,j−1
= 4σ 2 (n − d) + 4
ni
+ 4b2
ni
tij − ti, j − 1
tij − ti,j−1
i=1 j=2
i=1 j=2
´
³
´
³
xij
D−Atij
ni log
d X
d X
log
X
X
ti,j−1
xi,j−1
D−A
.
+ σ4
ni (tij − ti,j−1 ) − 8b
t
−
t
ij
i,j−1
i=1 j=2
i=1 j=2
Si igualamos a cero las derivadas parciales calculadas anteriormente, se obtiene un sistema
de ecuaciones que no tiene solución de forma explı́cita. No obstante, dicho sistema se puede
simplificar notoriamente en el caso particular de que los instantes de tiempo estén igualmente
espaciados, esto es tij − ti,j−1 = h. En tal caso, y como
Atij − Ati,j−1 = Ati,j−1 +h − Ati,j−1 = (Ah − 1)Ati,j−1
ti,j−1 Ati,j−1 −1 (D − Atij ) − tij Atij−1 (D − Ati,j−1 )
= ti,j−1 Ati,j−1 −1 (D − Ati,j−1+h ) − (h + ti,j−1 )Ati,j−1 +h−1 (D − Ati,j−1 )
= Ati,j−1 −1 ti,j−1 D(1 − Ah ) − hAh−1 DAti,j−1 + hAh−1 A2ti,j−1
las ecuaciones quedan de la siguiente manera:
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
³
0 =
´
xij
³
D−Atij
D−Ati,j−1
´
+
σ2
h
2
h
´
³
´
³
xij
D−Atij
n
d
i
−
b
log
+
log
XX
xi,j−1
D−Ati,j−1
σ2
h
2
ni
d X
X
log
xi,j−1
− b log
µ
∗ log
i=1 j=2
0 =
D − Atij
D − Ati,j−1
¶
h
i=1 j=2
Ati,j−1 −1 ti,j−1 D(1 − Ah ) − hAh−1 DAti,j−1 + hAh−1 A2ti,j−1
(D − Atij )(D − Ati,j−1 )
´
³
´
³
2
xij
D−Atij
n
d
i
−
b
log
+ σ2 h
log
XX
xi,j−1
D−Ati,j−1
(Ah − 1)Ati,j−1
0 =
×
h
(D − Atij )(D − Ati,j−1 )
i=1 j=2
´
³
´
³
xij
D−Atij
ni
ni log2
d X
d X
log2 xi,j−1
X
X
D−Ati,j−1
0 = 4σ 2 (n − d) − 4
− 4b2
h
h
i=1 j=2
i=1 j=2
³
´
³
´
xij
D−Atij
ni log
d X
log D−A
X
ti,j−1
x
i,j−1
+ σ 4 h(n − d) + 8b
h
i=1 j=2
×
Estas ecuaciones pueden reescribirse de forma más concisa considerando SijA,D = (D − Ati,j−1 )
µ
¶
D − Atij
A,D
y Tij = log
. En efecto, en tal caso,
D − Ati,j−1
³
0 =
ni
d X
X
ln
i=1 j=2
0 =
ni ln
d X
X
xij
´
xi,j−1
− bTijA,D +
σ2
h
2
h
³
xij
´
xi,j−1
i=1 j=2
− bTijA,D +
h
σ2
h
2
∗ TijA,D
∗
Ati,j−1 −1 ti,j−1 D(1 − Ah ) − hAh−1 DAti,j−1 + hAh−1 A2ti,j−1
SijA,D
³
´
2
xij
ni ln
d X
− bTijA,D + σ2 h (Ah − 1)Ati,j−1
X
xi,j−1
∗
0 =
h
SijA,D
i=1 j=2
´
³
xij
2
n
ni
d
d X
A,D 2
i
log
XX
X
(Ti,j
)
xi,j−1
2
2
0 = 4σ (n − d) − 4
− 4b
h
h
i=1 j=2
i=1 j=2
´
³
xij
A,D
ni log
d X
Ti,j
X
xi,j−1
4
+ σ h(n − d) + 8b
h
i=1 j=2
∗
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61
Operando en las expresiones anteriores, y simplificando convenientemente se tiene
³
ni log
d X
X
0 =
h
ni
d X
X
µ
log
i=1 j=2
"
0 =
+
−
×
TijA,D
xi,j−1
i=1 j=2
= 2
´
xij
xij
xi,j−1
¶
TijA,D
− 2b
ni ³
d X
X
TijA,D
´2
+σ h
ni
d X
X
TijA,D
i=1 j=2
i=1 j=2
µ
2
¶
ni
d X
ti,j−1 −1
X
Ati,j−1 −1 ti,j−1
ti,j−1
A,D A
D(1 − A ) 2
−
2b
log
T
ij
A,D
A,D
Sij
Sij
i=1 j=2
i=1 j=2
#
"
µ
¶ 2ti,j−1
ni
ni
d X
d X
X
X
Ati,j−1 −1 ti,j−1
xij
A
2
h−1
σ h
+ hA
2
log
−
A,D
A,D
x
S
S
i,j−1
ij
ij
i=1 j=2
i=1 j=2
#
" d n
µ
¶
n
d
i
i
2ti,j−1
X X A,D A2ti,j−1
XX
xij
2 A
h−1
2b
Tij
+ σ h A,D − hDA
2
log
xi,j−1
SijA,D
Sij
i=1 j=2
i=1 j=2
#
ni
ni
d X
d X
ti,j−1
X
X
Ati,j−1
Ati,j−1
A,D A
2
+
2b
T
−
σ
h
ij
SijA,D
SijA,D
SijA,D
i=1 j=2
i=1 j=2
h
0 = 2
ni
d X
X
ni
d X
X
ni ³
ni
d
d X
´2 σ 2 h X
b XX
A,D
2
−
T
T A,D
+
h i=1 j=2 ij
h i=1 j=2 ij
µ
log
i=1 j=2
2
xij
xi,j−1
0 = 4σ h(n − d) − 4
+ 8b
ni
d X
X
µ
log
i=1 j=2
Eva Vicenta Poza Cruz
¶
xij
xi,j−1
d
ni
d X
X
µ
log
2
i=1 j=2
xij
xi,j−1
n
d
n
i
i
ti,j−1
XX
XX
Ati,j−1
Ati,j−1
A,D A
2
Tij
− 2b
+σ h
SijA,D
SijA,D
SijA,D
i=1 j=2
i=1 j=2
¶
xij
xi,j−1
¶
ni
d X
X
A,D 2
− 4b
(Ti,j
) + σ 4 h2 (n − d) +
2
i=1 j=2
A,D
Ti,j
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62
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
respectivamente. Denotando por
X1A,D
=
ni
d X
X
Ati,j−1
X3A,D =
Y2A,D
=
ni
d X
X
Ati,j−1
SijA,D
i=1 j=2
ni
d X
X
,
SijA,D
i=1 j=2
X2A,D
TijA,D ,
=
ln
A,D
X3∗
=
=
i=1 j=2
Z=
Pd Pni
SijA,D
i=1
SijA,D
2
j=2 ln
³
ni
d X
X
ln
xij
xi,j−1
¶
TijA,D
Y3A,D
,
=
ni ³
d X
X
A,D
X2∗
TijA,D
ln
xij
´2
=
ni
d X
X
ti,j−1 Ati,j−1
W1A,D
,
=
xij
xi,j−1
¶
,
W3A,D
=
SijA,D
µ
ln
xij
xi,j−1
¶
ni
d X
X
A2ti,j−1
i=1 j=2
µ
TijA,D
i=1 j=2
i=1 j=2
ni
d X
X
ti,j−1 Ati,j−1
ni
d X
X
A2ti,j−1
¶
,
SijA,D
i=1 j=2
W2A,D
xij
xi,j−1
ni
d X
X
ti,j−1 Ati,j−1
i=1 j=2
Y1A,D =
µ
i=1 j=2
i=1 j=2
A,D
X1∗
SijA,D
i=1 j=2
µ
TijA,D
=
ni
d X
X
Ati,j−1
SijA,D
ni
d X
X
A2ti,j−1
i=1 j=2
SijA,D
TijA,D
´
xi,j−1
obtenemos
0 = 2Y2A,D − 2bY3A,D + σ 2 hY1A,D
(4.1)
i
i
h
h
A,D
A,D
A,D
A,D
A,D
A,D
h
2
h−1
2
0 = D(1 − A ) 2X2∗ − 2bX3∗ + σ hX1∗ + hA
2W2 − 2bW3 + σ hW1
h
i
− hDAh−1 2X2A,D − 2bX3A,D + σ 2 hX1A,D
(4.2)
0 = 2X2A,D − 2bX3A,D + σ 2 hX1A,D
2
0 = 4σ h(n − d) − 4Z − 4b
2
Y3A,D
(4.3)
4 2
+ σ h (n − d) +
8bY2A,D
(4.4)
Podemos observar que la ecuación (4.2) se puede simplificar a partir de la ecuación (4.3), por
lo que las ecuaciones de nuestro sistema son:
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
63
0 = 2Y2A,D − 2bY3A,D + σ 2 hY1A,D
(4.5)
i
h
i
h
A,D
A,D
A,D
A,D
A,D
A,D
2
h−1
h
2
2W2 − 2bW3 + σ hW1
0 = D(1 − A ) 2X2∗ − 2bX3∗ + σ hX1∗ + hA
(4.6)
0 = 2X2A,D − 2bX3A,D + σ 2 hX1A,D
(4.7)
0 = 4σ 2 h(n − d) − 4Z − 4b2 Y3A,D + σ 4 h2 (n − d) + 8bY2A,D .
(4.8)
Vamos a obtener las estimaciones de los parámetros en los casos en los cuales b es conocido
y desconocido. Esta distinción tiene pleno sentido porque hay casos en los que el parámetro
de alometrı́a b, está fijado; por ejemplo b = 1 cuando se estudia la variable longitud y b = 3
cuando se considera el peso en un crecimiento isométrico.
Caso b conocido
A partir de la ecuación (4.7) podemos despejar σ 2 , obteniendo
σ 2 hX1A,D = 2bX3A,D − 2X2A,D ⇒ σ 2 =
2bX3A,D − 2X2A,D
2 bX3A,D − X2A,D
2
=
= CA,D ,
A,D
A,D
h
h
hX1
X1
donde
CA,D =
bX3A,D − X2A,D
·
X1A,D
2
Finalmente, sustituyendo σA,D
en las ecuaciones (4.6) y (4.7) se obtiene el sistema de
ecuaciones
A,D
A,D
A,D
] + hAh−1 [W2A,D − bW3A,D + CA,D W1A,D ] = 0
+ CA,D X1∗
D(1 − Ah )[X2∗
− bX3∗
2
(n − d) + 2bY2A,D = 0.
2CA,D (n − d) − Z − b2 Y3A,D + CA,D
(4.9)
Caso b desconocido
Para este caso tenemos que obtener el valor de b y σ 2 . Para ello, resolvemos el siguiente
sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (4.1) y (4.6), obteniéndose
b=
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X2A,D Y1A,D − Y2A,D X1A,D
= bA,D
X3A,D Y1A,D − Y3A,D X1A,D
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64
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
σ2 =
1 2Y3A,D X1A,D X2A,D − 2Y2A,D X1A,D X3A,D
hX1A,D
Y1A,D X3A,D − Y3A,D X1A,D
2 X2A,D Y3A,D − Y2A,D X3A,D
2
=
= CA,D
A,D A,D
A,D A,D
h Y1 X3 − Y3 X1
h
2
Finalmente, sustituyendo σA,D
en las ecuaciones (4.6) y (4.7) se obtiene el sistema de
ecuaciones
A,D
A,D
A,D
D(1 − Ah )[X2∗
− bA,D X3∗
+ CA,D X1∗
] + hAh−1 [W2A,D − bA,D W3A,D + CA,D W1A,D ] = 0
2
2CA,D (n − d) − Z − b2A,D Y3A,D + CA,D
(n − d) + 2bA,D Y2A,D = 0
4.2.
(4.10)
Aspectos Numéricos
Los sistemas de ecuaciones (4.9) y (4.10) son bastante complejos y su solución no puede
obtenerse de forma explı́cita. Por ello, para su resolución harán falta procedimientos numéricos,
los cuales necesitarán una solución inicial, solución de la que puede depender la convergencia
del método que se emplee.
Para obtener una solución inicial buena, nos vamos a basar en la información de la muestra
proporcionada por las trayectorias observadas del proceso.
Considerando la expresión de la curva de von Bertalanffy (2.1),
µ
¶b
1 − ce−kt
S(t) = x0
,
1 − ce−kt0
y utilizando la notación anteriormente introducida, A = ek y D = 1/c, obtenemos
¶b
µ
At
S(t) = S∞ 1 −
D
donde
S∞ = lı́m S(t) = ³
t→∞
x0
1−
At0
D
´b .
De la expresión anterior se tiene
x0
=
S∞
µ
At0
1−
D
¶b
,
de la cual, despejando D se concluye
D=
1−
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At0
³ ´1/b .
(4.11)
x0
S∞
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Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
Por otro lado, el punto de inflexion, de existir, se produce en tI =
expresado en la forma
ln(D/b)
tI =
·
ln(A)
65
ln(bc)
, el cual puede ser
k
Despejando A se tiene
Ã
µ
A = b 1−
x0
S∞
¶1/b !
(4.12)
Como se ha comentado anteriormente vamos a distinguir los casos b conocido y desconocido.
En cada caso el tiempo de inflexión jugará un papel importante en la determinación de la
solución inicial buscada.
b conocido
Si la curva es observada en el instante t0 y muestra un punto de inflexion tenemos que
ekt0
tI > t0 , es decir, b >
. A partir del cociente
c
¡
¢
x0
1 b
´
³
1
−
µ
¶b
b
t
b
1− AD0
1
S(tI )
=
= 1−
.
x0
³
´b
S∞
b
At0
1−
D
Aproximamos tI , para cada trayectoria, tomando el primer instante en el cual la trayecto¶b
µ
1
ria de la muestra excede xi,∞ 1 −
, donde xi,∞ es la cota superior para la trayectoria
b
i-ésima (i = 1, . . . , d) y tomamos la media para todas las trayectorias. El único inconveniente, es que hay que conocer la cota superior de cada una de las trayectorias, por lo
que la aproximamos tomando xi,∞ como xi,ni .
x0
Por tanto, aproximado tI , a partir de 4.11 y 4.12 obtenemos A y D, y
puede ser
f∞
xi1
aproximado considerando la media de
.
xi,ni
Si el punto de inflexión no puede ser observado, tenemos que tI ≤ t0 , es decir, 1 < b ≤
ekt0 /c. Pero tenemos que
At0
D=
³ ´1/b ,
1 − Sx∞0
por lo que esta ecuación proporciona una relación entre A y D ó k y c, esto es, si llamamos
³ ´1/b
α = 1 − Sx∞0
tenemos que c = αekt0 . De esta forma la curva la podemos escribir de
la forma S(t) = S∞ (1 − αe−k(t−t0 ) )b , que tiene un solo parámetro desconocido. Por tanto,
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66
Estudio probabilı́stico de un modelo de difusión asociado a la curva de von Bertalanffy
para cada trayectoria, calculamos k por mı́nimos cuadrados. Al igual que para el caso en
x0
xi1
se aproxima considerando la media de
, aunque
el que observamos la trayectoria,
S∞
xi,ni
S∞ sera aproximado por la media de los valores de xi,ni . Como A = ek , el valor inicial
para este parámetro será la exponencial de la media de todas estas estimaciones.
b desconocido
Si podemos observar el tiempo de inflexion, tI , para cada trayectoria, (tI > t0 ), aproximaremos el valor inicial de b calculando el tiempo aproximado de inflexión, observando
xi,t
las trayectorias de la muestra y tomando la media de xi,∞Ii = x̄I , donde tIi es el tiempo
de inflexión de la i-ésima trayectoria y xi,∞ el limite superior de la i-ésima trayectoria.
Ası́, el valor de b vendrá dado por
µ
x̄I =
1
1−
b
¶b
.
Los valores iniciales de A y D vendrán dados por las ecuaciones (4.11) y (4.12).
Si no podemos observar el tiempo de inflexión para las trayectorias (tI < t0 ), sabemos
que la curva de von Bertalanffy tiene un comportamiento creciente, por tanto para b > 1
tenemos que
µ
1
1−
b
¶b
=
S(tI )
x0
≤
·
S∞
S∞
µ
¶b
1
xi1
Podemos considerar que 1 −
< xb , donde xb es la media de
. También sabemos
b
xi,ni
µ
¶b
µ
¶b
1
1
que 1 −
es estrictamente creciente, por lo que 1 −
< e−1 .
b
b
¡
¢b
• Si xb = e−1 , la solución de xb = 1 − 1b da un limite superior para b, b1 , por lo que
podemos considerar un valor inicial para b, el valor elegido aleatoriamente de una
distribución uniforme (1, b1 ).
¢b
¡
• Si xb ≥ e−1 , con xb = 1 − 1b no tiene solución, por tanto consideramos como valor
inicial b = 1.
4.3.
Ejemplo
A continuación vamos a presentar varios ejemplos que nos ayudaran a mostrar la validez
del procedimiento de estimación previamente construido, junto con la estrategia demostrada
para establecer la solución inicial del sistema de ecuaciones que debe ser solucionado.
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67
Consideramos los mismos cuatro casos de la simulación realizadas en el capı́tulo 3, en los
cuales se han simulado 100 trayectorias muestrales. Cada trayectoria ha sido simulada con 301
datos a partir de t0 = 0, haciendo h = 0,1 como paso de integración y una distribución inicial
lognormal Λ(3, 0,2). En la tabla (4.1) se muestran los valores de los parámetros del proceso,
junto con el instante del tiempo de inflexion teórico. Tengamos en cuenta que sólo en el primer
ejemplo el instante de tiempo de inflexión puede ser visualizado.
Ejemplo
1
2
3
4
b
c
2 0.8
1 0.6
1.3 0.7
3 0.2
k
σ
tI
0.2 0.01 2.35
0.5 0.01 -1.02
0.4 0.01 -0.23
0.3 0.01 -1.70
Cuadro 4.1: Parámetros elegidos para la simulación de las trayectorias muestrales
Para hacer la posterior inferencia, hemos considerado, en cada caso, 31 datos con ti,j −
ti,j−1 = 1; i = 1, . . . , 100, j = 1, . . . , 31. En lo que se refiere al procedimiento de estimación,
cada uno de los ejemplos han sido tratados considerando el caso de b conocido y desconocido.
Para el ejemplo 1 (en el cual la inflexión ocurre dentro del intervalo de tiempo considerado), si b es conocido, el procedimiento anteriormente mencionado da lugar a 2.5 como
valor aproximado o de tiempo de inflexión (el verdadero valor es 2.35). Debemos considerar que este instante de tiempo es discreto; por esta razón cuando un instante de tiempo
es encontrado en el cual el valor de xi,∞ (1 − 1/b)b se supera, tenemos que considerar como tiempo de inflexión la media entre este tiempo y el anterior. Finalmente, a partir de
(4.11) y (4.12) obtenemos el valor inicial para A y D y, por tanto, los de c y k. Además,
el valor x0 /S∞ ha sido aproximado por 0.04042, mientras el valor real es 0.04.
En el caso en el que b es desconocido, consideramos (tras inspeccionar las trayectorias
visualmente) tI = 3 como tiempo de inflexión. Para este valor, y siguiendo el procedimiento descrito arriba, obtenemos que b0 = 1,22789, y entonces los otros valores iniciales
como hemos señalado. La tabla (4.2) resume los resultados obtenidos para este ejemplo.
En el último caso, la elección de tI es arbitraria y esta basada en la visualización de las
trayectorias muestrales. Por esta razón consideramos otra posible valor para tI y comparamos el resultado con el anterior. Especialmente, el valor tI = 2,4 ha sido también
considerado sin cambio en los valores estimados.(ver tabla 4.3)
Para el ejemplo 2 debemos observar que la inflexión no puede ser aproximada (en efecto,
no hay inflexión en el modelo para b = 1). En este ejemplo, la solución inicial coincide en
ambos casos, esto es, cuando b es conocido y desconocido porque el valor obtenido para
x̄b es 0.40121 > e−1 . Sin embargo, cuando b es desconocido, el procedimiento descrito
conduce a considerar b = 1, de donde se deduce que la solución inicial para k (y luego para
A) y D es la misma. Obviamente, la estimación final de los parámetros no coincide en
ambos casos ya que las ecuaciones verosı́miles difieren. La tabla 4.4 contiene los resultados
para este ejemplo.
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Parámetro Verdadero
b
2
c
0.8
k
0.2
σ
0.01
b conocido
b desconocido
valor Solución inicial Valor estimado Solución inicial Valor estimado
1.22789
1.97997
0.79894
0.79994
0.92668
0.80339
0.18747
0.20024
0.04305
0.19847
0.00991
0.00991
Cuadro 4.2: Valores iniciales y estimados para el ejemplo 1
tI
2
4
b0
1.09777
1.49086
c0
0.94621
0.88375
k0
0.01899
0.06894
b
1.97997
1.97997
c
0.80339
0.80339
k
0.19847
0.19847
σ
0.00991
0.00991
Cuadro 4.3: Análisis de sensibilidad para el ejemplo 1 (b conocido).
En cuanto al ejemplo 3, tenemos otra situación en la cual la inflexión existe pero no puede
ser visualizada. En este caso, deberemos observar que cuando b es desconocido, los valores
iniciales son calculados resolviendo la ecuación x̄b = (1−1/b)b de donde se tiene que x̄b es
ahora 0,20807 > e−1 . Ası́ esta ecuación tiene una sola solución, b1 = 1,59925 la cual es la
cota superior para b. (La tabla 4.5 incluye los resultados). Finalmente, el procedimiento
para tomar el valor inicial de b conduce a considerar un análisis de sensibilidad de los
resultados. Al final, consideramos otro rango de valores en el intervalo para validar el
procedimiento siguiente (ver tabla 4.6). Sin embargo, no han sido encontradas diferencias,
ası́ que la estimación es robusta para la opción de b.
El último ejemplo muestra otra situación en la cual la inflexión existe pero ocurre antes
de t0 , ası́ que no puede ser vista. La diferencia entre este ejemplo y el anterior es que,
en este caso, cuando b es considerado desconocido x̄b = 0,51208 > e−1 y entonces toma
b0 = 1 como valor inicial para b. Observamos que, a diferencia del ejemplo 2, el valor
inicial es diferente teniendo en cuenta que b es conocido o desconocido. Los resultados
son incluidos en la cuadro 4.7.
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b conocido
b desconocido
Parámetro Verdadero valor Solución inicial Valor estimado Solución inicial Valor estimado
b
1
1
1.00201
c
0.6
0.59878
0.60125
0.59878
0.60428
k
0.5
0.50850
0.49515
0.50850
0.49354
σ
0.01
0.00996
0.01011
Cuadro 4.4: Valores iniciales y estimados para el ejemplo 2
b conocido
b desconocido
Parámetro Verdadero valor Solución inicial Valor estimado Solución inicial Valor estimado
b
1.3
1.37891
1.30028
c
0.7
0.70107
0.70075
0.67968
0.70067
k
0.4
0.39513
0.39842
0.40180
0.39847
σ
0.01
0.01017
0.01017
Cuadro 4.5: Valores iniciales y estimados para el ejemplo 3
b0
1.11985
1.17977
1.2397
1.29962
1.35955
1.41947
1.4794
1.53932
c0
0.75385
0.73568
0.71813
0.70118
0.68484
0.66909
0.65393
0.63934
k0
0.85843
0.73702
0.62710
0.52597
0.43135
0.34097
0.25291
0.17442
b
1.30028
1.30028
1.30028
1.30028
1.30028
1.30028
1.30028
1.30028
c
0.70067
0.70067
0.70067
0.70067
0.70067
0.70067
0.70067
0.70067
k
0.39847
0.39847
0.39847
0.39847
0.39847
0.39847
0.39847
0.39847
σ
0.01017
0.01017
0.01017
0.01017
0.01017
0.01017
0.01017
0.01017
Cuadro 4.6: Análisis de sensibilidad para el ejemplo 3 (b desconocido).
b conocido
b desconocido
Parámetro Verdadero valor Solución inicial Valor estimado Solución inicial Valor estimado
b
3
1
3.10916
c
0.2
0.19995
0.19998
0.40073
0.19361
k
0.3
0.29958
0.30198
0.26639
0.30305
σ
0.01
0.00980
0.00980
Cuadro 4.7: Valores iniciales y estimados para el ejemplo 4
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Bibliografı́a
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