Desigualdad entre área y momento angular para agujeros

1
Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Matemática, Astronomı́a y Fı́sica
Trabajo Especial de la Licenciatura en Fı́sica
Desigualdad entre área y momento angular para agujeros
negros.
Autor: Natacha Altamirano
Director: Sergio Dain
Julio 2012
Agradecimientos
A mis amigos y compañeros que hicieron muy amenos todos estos años...
A Sergio, mi director, por su infinita paciencia y tiempo...
A Fede, por acompañarme en cada momento durante esta etapa...
Y especialmente a mi familia, Mamá, Papá y Ana quienes están siempre, incondicionalmente, soportando humores y ausencias...
3
Índice general
Agradecimientos
3
1. Introducción
7
1.1. ¿Por qué estudiar... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. ...agujeros negros? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2. ...desigualdades geométricas?
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Desigualdades Geométricas para Agujeros Negros . . . . . . . . . . .
10
1.3. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. Preliminares
15
2.2. Formulación de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3. Definiciones y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3. Resultados
25
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4. Gauge conformemente plano
33
y funcional de masa M. . . . . . . . . . . .
33
4.3. Demostración alternativa para simetrı́a axial . . . . . . . . . . . . . .
37
4.4. Ecuaciones de Euler-Lagrange y minimización de (4.13). . . . . . . .
42
4.4.1. Simetrı́a Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.1. Escalar de curvatura R
(3)
5
Índice general
4.4.2. Sin simetrı́as
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5. Gauge Conforme
49
5.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Demostración alternativa para simetrı́a axial. . . . . . . . . . . . . . . 54
6. Gauge de Kerr-extremo
57
7. Conclusiones
7.1. Resultados Generales. . . . . . . .
7.1.1. Capı́tulo 3: Resultados. . .
7.2. Capı́tulo 4: Gauge conformemente
7.3. Capı́tulo 5: Gauge Conforme. . .
7.4. Problemas abiertos. . . . . . . . .
61
61
61
62
63
64
Bibliografı́a
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. . . .
plano.
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66
Capı́tulo 1
Introducción
En este primer capı́tulo se incluyen aspectos generales referidos a las desigualdades geométricas para agujeros negros en relatividad general. Primero se postulan
las desigualdades conocidas hasta el momento y sus caracterı́sticas generales y luego,
se aborda el el tema al que refiere el presente trabajo y la notación utilizada.
Finalmente, se delimitarán los ejes centrales y los objetivos generales de este
estudio.
1.1.
1.1.1.
¿Por qué estudiar...
...agujeros negros?
En el año 1905 el cientı́fico alemán Albert Einstein propone la teorı́a especial de
la relatividad que cuenta con solo dos postulados:
Las leyes fı́sicas del Universo son las mismas sin que importe el marco de
referencia inercial.
La Luz siempre se propaga en el vacı́o con una velocidad constante c que es
independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor.
Esta teorı́a describe correctamente el movimiento de los cuerpos, incluso a grandes
velocidades, y sus interacciones electromagnéticas.
Luego, Einstein comienza a pensar cómo introducir la gravedad en su teorı́a y es
7
Capı́tulo 1. Introducción
8
ası́ como en el año 1915 propone la Teorı́a de la Relatividad General, que se resume
en unas simples (a la vista), pero complicadas (matemáticamente) ecuaciones de
campo gravitacional:
Gαβ =
8πG
Tαβ
c4
(1.1)
Donde Gαβ es un tensor que da cuenta de como se curva el espacio y Tαβ mide
la materia que hay en el espacio. G es la constante de gravitación universal y c la
velocidad de la luz en el vacı́o. Esta teorı́a se basa en que el espacio y el tiempo deben
considerarse juntos como ingredientes de un espacio de cuatro dimensiones llamado
espacio-tiempo, el cual no es plano, sino que está curvado por la materia y la energı́a
que contiene.
Ya en el año 1916 el astrónomo alemán Karl Schwarzchild encuentra la primera
solución exacta no trivial de las ecuaciones de campo gravitacional. Esta solución
describe el espacio-tiempo afuera de una cuerpo esfericamente simétrico de masa
m. Lo particular, es que esta solución presenta una ’singularidadén el radio crı́tico
R = 2mG/C 2 , lo que implica que cualquier luz emitida hacia afuera desde el cuerpo es atraı́da nuevamente hacia él y no puede escapar. Esto significa que cualquier
estrella de masa m y radio menor que R serı́a oscura y ninguno de nosotros podrı́a
verla, serı́a entonces un Agujero Negro.
Sin embargo, no era la primera vez que se caracterizaba a un objeto con una
fuerza de gravedad en su superficie tan grande que nada podı́a escapar de él. En
1795 Pierre-Simon Laplace en su “Exposition du Système du Monde” propone de
acuerdo con la teorı́a newtoniana de la gravedad y la teorı́a corpuscular de la luz de
Newton, y siguiendo las ideas de velocidad de escape de John Michel, que la luz no
podrı́a escapar de un cuerpo celeste tal que R < 2mG/C 2 . Textualmente Laplace comenta “Un astro luminoso de la misma densidad de la Tierra, y cuyo diámetro fuera
250 veces mayor que el del Sol, no dejarı́a, en virtud de su atracción, que ninguno de
sus rayos llegara hasta nosotros; es, pues, posible que los cuerpos luminosos mayores
del universo sean, por su propia naturaleza, invisibles”.
Capı́tulo 1. Introducción
9
El resultado de Schwarzchild era entonces sorpresivamente igual al resultado de
Laplace. Unos años después en 1916 Reissner y 1918 Nordstrom encuentran, ambos
por separado, una solución a las ecuaciones de campo para el exterior de un objeto
con carga y con simetrı́a esférica que también presentaba una singularidad del tipo
que encontró Schwarzchild.
¿Pero cómo puede formarse un agujero negro a partir de una estrella?. Las estrellas tienen un ciclo vital, nacen de polvo y material galáctico, evolucionan y se
extinguen. Las estrellas pueden brillar porque queman combustible nuclear y éste
empuja la masa de la estrella hacia afuera. La fuerza de la gravedad empuja la
masa hacia adentro de la misma y mientras exista este equilibrio entre fuerza de
gravedad y de combustión la estrella seguirá brillando. Si una estrella quema todo
su combustible entonces la gravedad comenzará a hacer que ésta se contraiga. En
1931 Chandrasekhar demostró que existe un lı́mite para la masa, tal que si ésta es
menor a ese lı́mite la presión ejercida por los electrones que forman la estrella frena
el colapso y la estrella se convierte en una enana blanca muy densa.
Si la masa de la estrella es superior al lı́mite de Chandrasekhar, entonces la presión
de los electrones no podrá soportar la fuerza del colapso gravitatorio y comenzará a
contraerse. Si la contracción es muy brusca la estrella se calienta y explota formando
una supernova y lo que queda de masa forma una estrella de neutrones. Por otro
lado, si la masa es mucho más grande que el lı́mite de Chandrasekhar entonces nada
podrá detener el colapso gravitatorio y la estrella acabará reduciéndose a un punto
en el espacio con densidad infinita.
Es en esta parte donde las soluciones de Schwarzchild y de Reissner-Nordstrom
y sus estudios sobre el colapso gravitatorio podrı́an dar solución al problema de
la muerte de una estrella. Durante los años 70 los astrofı́sicos comienzan a buscar
agujeros negros por las galaxias, encontrando varios candidatos como los quásares y
los núcleos de galaxias activos. Si bien con mediciones astrofı́sicas se ha demostrado
que estos objetos son supermasivos, todavı́a no se ha podido afirmar que son agujeros
negros.
Como puede verse los agujeros negros no solo son objetos con alto valor teórico
ya que son las primeras y más simples soluciones de las ecuaciones de la Relatividad
Capı́tulo 1. Introducción
10
General, sino que también son objeto de estudio de la astrofı́sica. El entendimiento
y descubrimiento de éstos objetos tan interesantes no solo serı́a un aporte netamente
teórico sino que ayudarı́a a entender un poco mejor el universo donde vivimos.
1.1.2.
...desigualdades geométricas?
Las desigualdades geométricas han sido foco de estudio durante los últimos años
en el área de la relatividad clásica. Se cree que estas desigualdades juegan un rol
importante en la teorı́a no solo por su naturaleza puramente geométrica sino además
porque establecen cotas naturales entre conceptos que tienen una interpretación fı́sica
pura.
Por otro lado, los agujeros negros son los candidatos naturales para estudiar estas
desigualdades no solo porque resultan ser los objetos macroscópicos más simples de la
teorı́a sino que también son considerados las ’partı́culas elementales’ de la relatividad
general.
En la siguiente sección se exponen las desigualdades más relevantes conocidas
hasta el momento.
1.2.
Desigualdades Geométricas para Agujeros Negros
En esta sección se comentan las desigualdades geométricas en relatividad general
conocidas hasta el momento y que además son las que motivan el presente trabajo.
Se expone también la relevancia fı́sica de las mismas sin comentar su demostración,
aunque se referencian distintos trabajos para el lector interesado en ellas.
Quizás una de las desigualdades más relevante sea la conocida como la positividad
de la masa en relatividad general. Este resultado surge como una conjetura fı́sica que
sugiere un sistema gravitacional aislado con una densidad de masa-energı́a local no
negativa tiene que tener una densidad de energı́a no negativa medida en el infinito
espacial (como se discute en [5]) o igual si el espacio tiempo es Minkowski.
La masa total del espacio tiempo tiene una interpretación puramente geométrica
como puede verse en [2]. La demostración de ésta desigualdad se encuentra en [9] y
Capı́tulo 1. Introducción
11
una demostración alternativa en [11].
Para agujeros negros, la desigualdad más importante es conocida como la Desigualdad
de Penrose. La conjetura es la siguiente: suponga que se comienza con una superficie de Cauchy que es asintóticamente plana cuya densidad de energı́a µ satisface
µ ≥ |J|. Use esta superficie como dato inicial y evoluciónelo con las ecuaciones de
Einstein. Suponga que el espacio tiempo resultante es asintóticamente plano en direcciones nulas y que vale la conjetura del censor cósmico. Este dato eventualmente
decae en una solución tipo Kerr. Entonces se tiene que:
r
A
(1.2)
16π
Discusiones más amplias sobre la Desigualdad de Penrose y su implicancia fı́sica
pueden encontrarse en [2, 5] y sus citas.
m≥
Otro ejemplo relevante de desigualdades geométricas es la que acota la masa del
espacio-tiempo por una función que depende de la carga y del momento angular del
mismo.
Teorema 1.2.1 (ver [5]) Considérese un dato inicial con simetrı́a axial, en electrovacı́o, asintoticamente plano y maximal, con dos finales asintóticos. Sea m, J y q la
masa total, momento angular y carga respectivamente en uno de los finales. Entonces
se tiene la siguiente desigualdad:
m2 ≥
q2 +
p
q 4 + 4J 2
2
(1.3)
Notese que si la carga del espacio tiempo es igual a cero entonces la desigualdad
√
(1.3) se reduce a m ≥ J. El rol que juega en ésta desigualdad y en su demostración
la métrica del espacio-tiempo de Kerr es muy relevante tal como se discute en [4].
Además, esta desigualdad también contiene como ingrediente fundamental el colapso
gravitatorio al igual que la desigualdad de Penrose.
Capı́tulo 1. Introducción
12
√
La desigualdad m ≥ J tiene una interpretación clara. Supongamos que en un
colapso gravitatorio se satisfacen las siguientes conjeturas [4]:
1. El colapso gravitatorio resulta en un agujero negro. (Conjetura del censor
cósmico débil)
2. El espacio-tiempo decae en un estado estacionario porque solo una cantidad
finita de radiación gravitacional puede ser emitida por un sistema aislado.
Para un espacio tiempo con simetrı́a axial el momento angular es una cantidad
conservada. Por lo tanto el momento angular inicial J debe ser igual al momento
angular después del colapso J0 . Por otro lado la masa inicial m tiene que ser más
grande que la final m0 ya que se pierde masa ya que la radiación gravitacional lleva
energı́a positiva. Si las conjeturas (1) y (2) se cumplen entonces el estado final es
√
un agujero negro de Kerr para el que se tiene que m0 ≥ J0 , entonces, por los
argumentos dados se obtiene:
p
√
J0 = J
√
J
m ≥
m ≥ m0 ≥
(1.4)
Para más discusiones sobre ésta desigualdad, su interpretación y demostración
pueden verse [4, 5].
Por último se va a comentar sobre una desigualdad que relaciona el área de un
agujero negro con su momento angular.
Recientemente ha sido demostrada la desigualdad entre área y momento angular
para agujeros negros con simetrı́a axial [7]. El mayor resultado de [7] puede enunciarse
en el siguiente teorema:
Teorema 1.2.2 Considérese un dato inicial con simetrı́a axial, en vacı́o y maximal,
con constante cosmológica no negativa. Asuma que el dato inicial contiene un superficie Σ orientable, cerrada, estable y minimal. Entonces vale la siguiente desigualdad:
A ≥ 8π|J|
(1.5)
Capı́tulo 1. Introducción
13
Donde A y J son el área y el momento angular de Σ respectivamente.
1.3.
Objetivos generales
El teorema 2.13 y su demostración serán la guı́a para abordar el trabajo de esta
tesis.
El objetivo principal de este trabajo es poder avanzar en una demostración de la
desigualdad (2.13) para el caso en el que el dato no tiene ninguna simetrı́a. Lograr por
completo una demostración es un objetivo muy ambicioso, en particular porque no
existe una definición para el momento angular local en el caso que el espacio-tiempo
no tiene ninguna simetrı́a como se discute en el review [10].
El lineamiento será el siguiente. Se trabaja con datos sin ninguna simetrı́a y para
esto es necesario establecer el Gauge de la métrica. En primer lugar se trabajará con
un dato conformemente plano, luego con un dato conforme pero sin especificar la
naturaleza de la métrica auxiliar. Finalmente se trabajará con el Gauge en que la
métrica de Kerr extremo es natural. Durante todo el proceso es importante tener en
cuenta que sea cual sea el resultado, éste se tiene que reducir al encontrado en [7] para
el caso de simetrı́a axial. Como en la literatura no existen demostraciones análogas
para datos sin simetrı́a, el hecho de que los resultados obtenidos aquı́ puedan ser los
ya obtenidos en [7] para simetrı́a axial será la guı́a fundamental del presente trabajo
y ayudará a decidir cuales resultados son relevantes y cuales no.
Capı́tulo 2
Preliminares
El objetivo general de éste trabajo es poder demostrar la siguiente conjetura:
Conjetura 2.1 Sea (S,h,K) una 3-variedad Reimanniana, donde hij , Kij son la
métrica y curvatura extrı́nseca de S. Además considérese a S como dato inicial
maximal. Considérese que S tiene una hipersuperficie (Σ,γ,χ) orientable, minimal,
cerrada y estable, donde γab y χab son la métrica y curvatura extrı́nseca de Σ.
Entonces, se satisface la siguiente desigualdad:
A ≥ 8π|J|
(2.1)
Donde A es el área de Σ y J su momento angular.
En este capı́tulo, se comentan aspectos generales sobre la 2.1 y la formulación de
valores iniciales [8]. Además se exponen lineamientos y comentarios generales de una
posible demostración de la conjetura.
2.2.
Formulación de valores iniciales
La 2.1 contiene hipótesis sobre la superficie S y los tensores que se pueden definir
en ella. Para poder realizar una demostración, es entonces necesario especificar las
ecuaciones que cumplen cada uno de estos objetos.
15
Capı́tulo 2. Preliminares
16
Las ecuaciones de campo gravitatorio dadas por (1.1) son sistemas de ecuaciones
no lineales en derivadas parciales de segundo orden en la métrica del espacio tiempo
gαβ . La formulación de valores iniciales es, esencialmente, hacer evolucionar en el
tiempo estas ecuaciones dando como datos iniciales el valor de la métrica y de su
derivada temporal en un instante de tiempo.
El problema de valores iniciales de la relatividad general comienza con una hipersuperficie espacial S, con coordenadas xα , que representa un instante de tiempo.
Cuando la métrica del espacio-tiempo gαβ es evaluada en S, tiene componentes que
caracterizan desplazamientos hacia afuera de S y a éstas componentes no se les
puede dar sentido solo en términos de las propiedades geométricas de S. Por esto,
si se quiere tener un dato inicial fı́sicamente bueno es necesario que solo se consideren desplazamientos sobre la hipersuperficie. Por lo tanto la métrica buscada es
α
hij := gαβ eαi eβj , donde eαi = ∂x
son las coordenadas tetradas del espacio-tiempo.
∂xi
Similarmente, los valores iniciales de la ’derivada temporal’ de la métrica debe ser
descripta por un tensor de tres dimensiones que tenga la información sobre la derivada de la métrica en la dirección a la hipersuperficie. Para esto se define el tensor
curvatura extrı́nseca Kij de la hipersuperficie S Kij := 12 ’n gαβ eαi eβj .
El problema de valores iniciales en relatividad general consiste entonces en especificar
dos campos tensoriales, hij y Kij en una hipersuperficie espacial S. En el espaciotiempo completo hij se reconoce como la métrica inducida sobre S mientras que Kij
es su curvatura extrı́nseca. Estos campos no pueden ser elegidos libremente, sino que
deben satisfacer las ecuaciones de vı́nculo de la relatividad general. Éstas ecuaciones
vienen dadas con las ecuaciones de Gauss-Codazzi y las ecuaciones de Einstein:
R(3) − K 2 − Kij K ij = 16πρ
5j Kij − 5i K = 8πji
(2.2)
(2.3)
Donde ρ := Tαβ nα nβ es la densidad de materia energı́a, ji := eαi nβ son las corrientes en la superficie y K la traza de la curvatura extrı́nseca
Capı́tulo 2. Preliminares
2.3.
17
Definiciones y ecuaciones
En esta sección se analizarán las hipótesis de la 2.1, y se darán las definiciones
necesarias para poder abordar una demostración de la misma. Recordemos las hipótesis
de la conjetura 2.1( se exponen en negrita y con una referencia para ser explicadas
y definidas luego):
Conjetura 2.1: Sea (S,h,K) una 3-variedad Riemanniana, donde hij , Kij son
la métrica y curvatura extrı́nseca de S. Además considérese a S como dato inicial
maximal[1] y en vacı́o[1] . Considérese que S contiene una hipersuperficie (Σ,γ,χ)
orientable[2] , cerrada, minimal[3] y estable[4] . Donde γab y χab son la métrica y
curvatura extrı́nseca de Σ.
Entonces, se satisface la siguiente desigualdad:
A[5] ≥ 8π|J |[6]
(2.4)
Donde A es el área de Σ y J su momento angular.
Cada una de las referencias indica los conceptos y definiciones que se darán en
esta sección.
1. Dato inicial máximal y vacı́o:
La hipersuperficie espacial S que se menciona en la conjetura 2.1 será usada como
dato inicial del espacio tiempo como se definió en la sección anterior. Por lo tanto la
métrica hij y la curvatura extrı́nseca Kij serán los datos del problema. Que el dato
sea maximal se refiere a que la traza de la curvatura extrı́nseca K sea igual a cero, y
vacı́o significa que la densidad de materia y energı́a ρ y las densidades de corrientes
sobre S, ji , son nulas. Con éstas hipótesis las ecuaciones (2.2) y (2.3) se convierten
en:
R(3) − Kij K ij = 0
(2.5)
5i Kij = 0
(2.6)
Capı́tulo 2. Preliminares
18
Especificar la métrica no es tarea sencilla, ya que ésta será la que tenga toda la
información geométrica del espacio-tiempo. Se necesitará, entonces, dar el Gauge en
el que será escrita la métrica y, como se verá durante el trabajo, esto es la columna
principal del problema para dar una posible demostración a la conjetura. Durante el
trabajo se utilizarán distintos gauges. En esta sección simplemente se los enunciará y
más adelante, una vez definidos todos los conceptos, se explicará la motivación de
cada uno en particular. Primeramente se supondrá que la 3-métrica hij es conformemente plana, que se define como sigue:
hij = Ω4 δij
(2.7)
Donde Ω es una función suave no nula en S y δij es la métrica en coordenadas
esféricas de R(3) . Es decir δij = dr2 + r2 (dθ2 + sen2 θdφ2 ).
Una transformación conforme es esencialmente una cambio de coordenadas local
que en general se expresa hij = ω 4e
hij . Acá la métrica hij representa la métrica fı́sica y
e
hij la llamaremos métrica auxiliar o métrica no fı́sica. Este tipo de transformaciones
son muy comunes en relatividad general y permiten poder interpretar el espacio fı́sico
(representado por la métrica hij ) mediante un espacio auxiliar (representado por e
hij )
que en general tiene una estructura geométrica más simple.
La ventaja de trabajar esta métrica conformemente plana quedará clara cuando
se defina el momento angular de la hipersuperficie. Σ.
En segundo lugar, se trabajará suponiendo que la 3-métrica es conforme a una
métrica auxiliar, pero sin especificar la forma de la misma.
hij
hij = f 4e
(2.8)
Como la hipersuperficie Σ de S es un dato relevante de la conjetura 2.1se necesitará hacer algunas especificaciones sobre la métrica auxiliar e
hij . La suposición que
se hará es que la métrica de Σ es γab = f 4 γ
eab , donde γ
eab es la métrica de la dos
2
2
2
superficie auxiliar y se define como γ
eab = dθ + sen θdφ .
Capı́tulo 2. Preliminares
19
Por último se abordará la demostración de la conjetura 2.1en un gauge en el
cual la métrica de Kerr-extremo es natural y se especificará solamente la forma de
la 2-métrica:
γab = e2c e−σ d2 θ + eσ sen2 θd2 φ
(2.9)
La ventaja de trabajar con ésta métrica se explicará en la próxima sección y
también se explicará la importancia de la métrica de Kerr-extremo para la conjetura
2.1y su demostración.
2. La hipersuperficie Σ es orientable:
Esta hipótesis es para poder dar una definición del momento angular como se
verá más adelante.
3. La hipersuperficie Σ es minimal:
Que la superficie Σ sea minimal implica que la traza de su curvatura extrı́nseca
satisface χ = 0 sobre Σ. La primera variación del área es igual a la traza de la
curvatura extrı́nseca. Por lo tanto que la traza de la curvatura extrı́nseca de una
superficie sea igual a cero significa que la superficie Σ es un extremo de las áreas
analizando las demás superficies en S.
4. Estabilidad
Supóngase que se tiene una familia de superficies Σt que es una foliación de S y
además α es un campo escalar en Σt que denota la ’velocidad’de ésta foliación.
En el paper donde fue demostrada la desigualdad para el caso en que S tiene simetrı́a
R
axial [7] la hipótesis es que Σ es una superficie estable lo que implica que χ̇αdsΣ ≥ 0.
Definimos:
χ̇ = −4Σ α −
1 (3)
R − RΣ + χ2 + χab χab α
2
Capı́tulo 2. Preliminares
20
Figura 2.1: El dato inicial S y la hipersuperficie Σ que es minimal y estable en S. Las superficies en lı́nea
punteada representan la foliación Σt y la condición de minimalidad y estabilidad implican que el área de Σ es menor
que la de las demás Σt que la rodean.
Nótese que la condición de estabilidad analiza básicamente le valor de la derivada
de la traza de curvatura extrı́nseca lo que es la derivada segunda del área. Entonces,
la condición de estabilidad implica que ’derivada segunda’del área es mayor igual
que cero.
Si la superficie Σ es minimal y estable esto significa que la derivada primera de su
área es igual a cero y que su derivada segunda es mayor igual que cero, por lo tanto
el área de Σ es mı́nima con respecto a cualquier deformación de ésta. Ver figura 2.1
5. Área de la 2-superficie Σ
El área de una 2-superficie con métrica γab en coordenadas {xi }α=1,2 se define
como:
Z p
A=
det(γ)dx1 dx2
6. Momento angular de la 2-superficie Σ
(2.10)
Capı́tulo 2. Preliminares
21
Para un dato axisimétrico el momento angular J asociado a una superficie Σ
arbitraria, orientable y cerrada se define como la siguiente integral de superficie [7]:
1
J(Σ) =
8π
Z
πij η i nj dSΣ
(2.11)
Σ
Donde πij = Kij − Khij y ni , dSΣ son, la normal y el elemento de volumen de la
2-superficie Σ y η i es un vector tangente a Σ y un vector de killing de S es decir que
cumple ’η hij = 0 y ’η Kij = 0.
En la condición de dato maximal K = 0 el momento angular queda:
1
J(Σ) =
8π
Z
Kij η i nj dSΣ
(2.12)
Σ
Una aclaración importante es que esta definición esta hecha para el caso en que
S y Σ tienen simetrı́a axial. Por lo tanto para este trabajo es importante poder
tener una definición del momento angular de Σ que sea consistente con la geometrı́a
de la misma. Es en este paso donde la métrica conformemente plana juega un rol
fundamental. Si la métrica es conformemente plana entonces la métrica auxiliar tiene
∂ i
) . Entonces se puede decir que S tiene una simetrı́a
un vector de killing, a saber: ( ∂φ
conforme, y en esta condición se puede usar la definición (2.12) para el momento
angular J de la superficie Σ.
Para los casos en la la 3 métrica no tiene ninguna simetrı́a y no es conformemente
plana no hay una definición de momento angular. El espı́ritu del trabajo con este
tipo de métrica serı́a poder demostrar que la desigualdad que queremos demostrar
se cumple para todos los candidatos a momento angular. En particular, entonces se
va a cumplir para el momento angular real.
Posibles candidatos a momento angular pueden ser aquellas cantidades que sean contracciones de la segunda forma fundamental con algún vector tangente a la superficie.
2.4.
Consideraciones Generales
En esta sección se comentará la demostración de la conjetura 2.1 para el caso en
que las superficies S y Σ tiene simetrı́a axial [7]. Es importante esta demostración
ya que los elementos que se usaron y los pasos que se siguieron serán de guı́a para
Capı́tulo 2. Preliminares
22
una posible demostración de la conjetura (2.1). Además, cada resultado encontrado
en este trabajo se tiene que reducir a los resultados ya encontrados en [7] cuando
se impone simetrı́a axial. Esto último es muy importante, de hecho el contraste
entre lo que se obtendrá en el trabajo y lo que ya se obtuvo será una guı́a para
decidir cuando un elemento nuevo es relevante o no para una posible demostración
general. Repasemos un poco la idea de la demostración en [7] para poder introducir
los elementos necesarios y que serán útiles para este trabajo. Como se mencionó en
la introducción el resultado de [7] puede enunciarse en el siguiente teorema:
Teorema 2.4.1 Considérese un dato inicial con simetrı́a axial, en vacı́o y maximal,
con constante cosmológica no negativa. Asuma que el dato inicial contiene un superficie Σ orientable, cerrada, estable y minimal. Entonces vale la siguiente desigualdad:
A ≥ 8π|J|
(2.13)
Donde A y J son el área y el momento angular de Σ respectivamente.
La demostración se realiza en un Gauge general para un 2-superficie Σ con
simetrı́a axial:
γab = eσ [e2q d2 θ + sen2 θd2 φ]
(2.14)
Donde σ y q son funciones de θ únicamente y se cumple que σ + q = c donde c
es una constante.
Notar que la métrica de Kerr-extremo puede ser escrita de la forma (2.14). Es en
este punto donde puede entenderse la ventaja de usar la métrica de la forma (2.9),
ya que hay una demostración con una métrica en esta Gauge para poder contrastar
resultados.
El espı́ritu de la demostración en [7] es como sigue. Usando la condición de
estabilidad y que es minimal para la hipersuperficie Σ y además la definición para χ̇
se tiene una desigualdad del tipo:
Z
1
1
|Dα|+ RΣ α2 dSΣ ≥
2
2
Z
R(3) α2 dSΣ
(2.15)
Capı́tulo 2. Preliminares
23
Donde RΣ y R(3) son el escalar de curvatura de Σ y S respectivamente.
Luego, eligiendo la función α de manera adecuada y usando que la curvatura
extrı́nseca de S cumple la ecuación (2.5) para relacionarla con R(3) se puede llevar
la desigualdad (2.15) de la forma (para ver los pasos intermedios ver [7]):
AΣ ≥ 4πe(M−8)/8
(2.16)
Donde AΣ es el área de la hipersuperficie Σ y M es un funcional que se define
como sigue:
1
M=
2π
Z |Dω|2
|Dσ| +4σ +
η2
2
dS0
(2.17)
Donde D denota la derivada covariante de la esfera unidad, ω es un potencial
relacionado con el momento angular y η es la norma del vector de killing tangente a
la hipersuperficie Σ. Además. dS0 es el elemento de volumen de la esfera unidad.
Si al funcional de masa M se le aplica el principio variacional y se encuentran las
ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que las funciones σ y ω que caracterizan
al agujero negro de Kerr-extremo correspondes al mı́nimo global del mismo ([1, 3]),
es decir Kerr alcanza el mı́nimo global del funcional de masa por sobre todos los
agujeros negros con simetrı́a axial y con momento angular J fijo [4].
Se puede leer más sobre la importancia fı́sica del funcional y del espacio tiempo de
Kerr en [4].
En [1] se demostró que vale
2|J|≤ eM−8/8
(2.18)
para todo σ, ω tales que ω satisface la condición de borde ω(0) = −ω(π) = 4J
Es aquı́ ([1, 4]) donde se puede ver la importancia que tiene el espacio tiempo de
Kerr extremo para las desigualdades geométricas.
En los siguientes capı́tulos se mostrarán los resultados obtenidos al trabajar con
los distintos gauges (2.7), (2.8) y (2.9) para las superficies S y Σ.
Capı́tulo 3
Resultados
En el capı́tulo anterior se dieron las nociones básicas a tener en cuenta para
encarar la demostración de la conjetura 2.1. En el presente capı́tulo se comienza la
demostración con la condición para la curvatura extrı́nseca de S χ̇ ≥ 0 y se discute
la elección de la función α.
En los siguientes capı́tulos se trabajará con los resultados aquı́ obtenidos para calcular
el escalar de curvatura de S R(3) especificando los Gauges de las superficies S y Σ
((2.7), (2.8) y (2.9)).
3.1.
Introducción
Como se mencionó en el capı́tulo anterior el objetivo es poder realizar una demostración de la conjetura 2.1.
En esta primera parte de la demostración no se va a hacer ninguna suposición
sobre el gauge de la superficie S. Como ya se comentó en el capı́tulo anterior, el
espı́ritu de la demostración es similar al caso de simetrı́a axial expuesto en [7]. Se va
a trabajar con la condición de estabilidad para poder llegar a obtener un funcional
M.
Se va a suponer que la hipersuperficie Σ es conforme a una 2-esfera. Notar que
no se pierde generalidad al asumir esto ya que la métrica de cualquier 2-superficie
puede ser escrita de esa manera. Entonces se tiene:
25
Capı́tulo 3. Resultados
26
0
γab = ϕ4 γab
(3.1)
0
Donde ϕ4 = eσ , γab
= dθ2 + sen2 θdφ2 y σ = σ(θ, φ).
Como se puede ver en [7] se puede definir a χ̇ como sigue:
χ̇ = −4Σ α −
1 (3)
R − RΣ + χ2 + χab χab α
2
(3.2)
Como puede verse en [7] el paso fundamental para la demostración es poder encontrar un funcional que dependa de los elementos de la 3-métrica, del momento
angular y que además sea acotado inferiormente para poder encontrarle un mı́nimo.
El funcional saldrá de aplicar la condición de estabilidad sobre la 2-superficie.
Otra condición que también sirve χ̇ ≥ 0, ya que si ahora se integra sobre la esfera
unidad esta última condición surge la condición de estabilidad. Como el funcional que
se encuentre con estas condiciones puede cambiar con respecto al funcional obtenido
para simetrı́a axial [7] ((2.17)) no se sabe a priori cual de las dos condiciones funcionará. Entonces, se probarán ambos casos. Además hay que fijar la otra libertad,
α. Esta función determinará la forma explı́cita del funcional, y por lo tanto modificará de manera radical la desigualdad. También en este caso se pueden tener dos
posibilidades. La primera es que se elija α de manera que del lado izquierdo de la
desigualdad quede explı́citamente el área y, por lo tanto, el funcional que quede del
lado derecho tiene que tener como cota inferior una función que dependa linealmente
del momento angular para poder obtener el resultado A ≥ 8πJ. El segundo caso,
es elegir α, de tal forma que del lado izquierdo quede el logaritmo de la función eσ ,
para esto se necesitará que el funcional tenga como cota una función logarı́tmica del
momento angular.
Es importante notar que en el caso en el que el factor conforme para γab es eσ ,
entonces el área de Σ puede escribirse como:
Z
AΣ =
eσ dS0
(3.3)
Capı́tulo 3. Resultados
27
Todos éstos casos serán expuestos en el presente capı́tulo y se detallarán en particular cada uno para decidir cual de éstos es más favorable para la demostración.
En primer lugar se analizará en el caso 1 la condición de estabilidad pura para la
superficie Σ y se fijara α para obtener, con la condición de estabilidad una del tipo
AΣ ≥ M. Seguidamente, en el caso dos, se impondrá la otra condición χ̇ ≥ 0 y se
intentará obtener nuevamente una desigualdad del tipo AΣ ≥ M. Finalmente, en el
caso 3 se analizará la condición χ̇ ≥ 0 pero se buscará obtener una desigualdad de
R
la forma A0 + σdS0 ≥ M
Se usarán las siguientes relaciones teniendo en cuenta que la métrica γab es conformemente a la de la 2-esfera:
RΣ = e−σ [R0 − 40 (σ)]
(3.4)
4Σ (f ) = e−σ 40 (f )
(3.5)
Donde 40 y R0 son el laplaciano y el escalar de curvatura de la esfera unidad.
3.2.
Caso 1
En esta sección se examinará el caso donde a la métrica se le aplica la condición
de estabilidad pura, y se obtiene el área del lado izquierdo de la desigualdad.
R
La condición de estabilidad χ̇αdSΣ ≥ 0, se puede reescribir como:
Z
1
1
[−(4Σ α)α + RΣ α2 ]eσ dS0 ≥
2
2
Z
R(3) α2 eσ dS0
(3.6)
Usando (3.5) se tiene que:
Z
Z
[−(4Σ α)α]e dS0 = − e−σ+σ (40 α)αdS0
Z
=
|Dα|2 dS0
σ
(3.7)
Capı́tulo 3. Resultados
28
Usando (3.4) se tiene que :
Z
1
1 −σ+σ
RΣ α2 eσ dS0 =
e
(R0 − 40 (σ)α2 )dS0
2
2
Z
Z
1
1
2
=
R0 α dS0 −
40 (σ)α2 dS0
2
2
Z
Z
1
=
α2 dS0 +
DσDα2 dS0
2
Z
Z
2
=
α dS0 + DσD(α)αdS0
(3.8)
Con (3.7) y (3.8) se puede reescribir (3.6) como :
Z
1
[|Dα| +α + D(σ)D(α)α]dS0 ≥
2
2
2
Z
R(3) α2 dSΣ
(3.9)
La única manera de que aparezca AΣ ≥ M es que α cumpla la siguiente relación:(esto
se puede ver observado el segundo término del lado izquierdo de la desigualdad (3.9))
α 2 = eσ
α = eσ/2
(3.10)
Con ésta última relación la ecuación (3.9) se reescribe como:
3
AΣ +
4
Z
1
|Dσ| dSΣ ≥
2
Z
2
R(3) α2 dSΣ
(3.11)
Por lo tanto para que la desigualdad quede de la forma deseada AΣ ≥ M, el
funcional es:
1
M=
2
Z
3
R α dSΣ −
4
(3)
2
Z
|Dσ|2 dSΣ
(3.12)
De (3.12) se puede ver que el funcional obtenido no es definido positivo. Es más,
el funcional encontrado no es acotado inferiormente. El término que tiene R(3) es,
por las ecuaciones de vı́nculo, igual a Kij K ij y esta contracción no depende de
las derivadas espaciales de la métrica y por lo tanto tampoco de la función σ. Se
Capı́tulo 3. Resultados
29
elije σ acotada superiormente y que su derivada sea muy grande, por lo tanto el
segundo término del funcional (3.12) es muy negativo y por lo tanto no es acotado
inferiormente. Si el funcional no está acotado por abajo entonces no tiene un mı́nimo
y esto hace no se lo pueda usar para la demostración.
3.3.
Caso 2
En ésta sección se analizara el caso donde la condición de estabilidad se deriva de
una condición más fuerte χ̇ ≥ 0. Además se pedirá que α sea tal que la desigualdad
que se obtenga sea AΣ ≥ M.
R
La condición sobre la superficie χ̇αdS0 ≥ se puede reescribir usando (3.2) como:
Z
1
1
[−(4Σ α)α + Rα2 ]dS0 ≥
2
2
Z
R(3) α2 dS0
(3.13)
Usando (3.5) se tiene que el primer término de la desigualdad es:
Z
Z
−(4Σ α)αdS0 = − e−σ (40 α)αdS0
Z
=
DαD αe−σ dS0
Z
=
Dα Dαe−σ − e−σ αDσ dS0
Z
Z
2 −σ
=
|Dα| e dS0 − DαDσαe−σ dS0
(3.14)
Usando (3.4) se puede escribir el segundo término como:
1
2
Z
2
RΣ α dS0
Z
1
=
e−σ [R0 − 40 σ] α2 dS0
2
Z
Z
1
2 −σ
=
α e dS0 +
DαD α2 e−σ dS0
2
Z
Z
1
2 −σ
=
α e dS0 +
Dσ 2αDαe−σ − e−σ α2 Dσ dS0
2
Z
Z
Z
1
2 −σ
2 −σ 2
=
α e dS0 −
|Dα| e α dS0 + DαDσαe−σ dS(3.15)
0
2
Capı́tulo 3. Resultados
30
Con (3.14) y (3.15) se puede reescribir la desigualdad (3.13) como:
Z Z
1
1
2
2
2 2
−σ
|Dα| +α − |Dσ| α e dS0 ≥
R(3) α2 dS0
2
2
(3.16)
Para que aparezca una desigualdad del tipo AΣ ≥ M, se necesita que α, cumpla
la siguiente relación: (esto se puede ver del segundo término de (3.16))
α2 e−σ = eσ
α2 = e2σ
α = eσ
(3.17)
Con ésta última relación la desigualdad (3.16) toma la forma:
1
AΣ ≥
2
Z
(3) σ
R e − |Dσ|2 dSΣ
(3.18)
Por lo tanto, el funcional buscado toma la forma
1
M=
2
Z
(3) σ
R e − |Dσ|2 dSΣ
(3.19)
Como se puede ver de (3.19) el funcional que se obtuvo no es positivo definido, y
además no está acotado inferiormente. El término que tiene R(3) es, por las ecuaciones
de vı́nculo, igual a Kij K ij y esta contracción no depende de las derivadas espaciales de
la métrica y por lo tanto tampoco de la función σ. Se elije σ acotada superiormente
y que su derivada sea muy grande, por lo tanto el segundo término del funcional
(3.12) es muy negativo y por lo tanto no es acotado inferiormente. SI el funcional no
está acotado por abajo entonces no tiene un mı́nimo y esto hace no no se lo pueda
usar para la demostración.
3.4.
Caso 3
En este último caso se analizará la elección de α para la desigualdad de la forma
R
(3.13), de tal manera que la desigualdad última contenga A0 + σdS0 ≥ M.
Capı́tulo 3. Resultados
31
Para esto se parte del resultado (3.16), y se ve que para que quede la desigualdad
de la forma deseada α tiene que cumplir la siguiente condición:
α2 e−σ = 1
α 2 = eσ
α = eσ/2
Con ésta última relación y sumando y restando miembro a miembro
desigualdad (3.16) toma la forma:
Z
4π +
Z
σdS0 ≥
1
1
|Dσ|2 +σ + R(3) eσ dS0
4
2
Por lo tanto la forma del funcional buscado es :
Z 1
1 (3) σ
2
M=
|Dσ| +σ + R e dS0
4
2
(3.20)
R
σdS0 la
(3.21)
(3.22)
Este funcional cumple que es positivo definido y a priori puede ser acotado inferiormente. De todas maneras para poder asegurar que está acotado y encontrar el
mı́nimo hay que obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional.
Con los resultados obtenidos en ésta sección se puede enunciar el siguiente teorema:
Teorema 3.4.1 Sea S una 3-variedad y Σ un hipersuperficie de S, cuya métrica
inducida es γab = ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde ϕ4 = eσ . Además, para alguna foliación
de S la segunda forma fundamental de Σ cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale la siguiente
desigualdad:
Z Z
4π +
σdS0 ≥
1
1 (3) σ
2
|Dσ| +σ + R e dS0
4
2
(3.23)
Donde D es el operador derivada covariante de la esfera unidad y R(3) el escalar
de curvatura de superficie [S].
Capı́tulo 3. Resultados
32
El siguiente paso es poder reescribir el término que contiene R(3) de (3.22). Éste
trabajo se hará en los próximos capı́tulos especificando el Gauge de la superficie S
Capı́tulo 4
Gauge conformemente plano
El objetivo de este capı́tulo es poder analizar la desigualdad (3.23), y en particular
el término que contiene R(3) para el caso en el que la métrica de S es conformemente
plana (2.7). Como se comentó en el Marco Teórico, la métrica y la curvatura extrı́nseca de S satisfacen las ecuaciones de vı́nculo (2.5) y (2.6). Además, a los resultados
obtenidos se les impondrá la simetrı́a axial para tratar de obtener la desigualdad
entre área y momento angular expuesta en [7].
4.1.
Escalar de curvatura R(3) y funcional de masa
M.
Haciendo ahora una trasformación conforme de la métrica y su inversa:
hij = Ω4 δij
e ij
Kij = Ω−2 K
(4.1)
hij = Ω−4 δ ij
e ij
K ij = Ω−10 K
(4.3)
(4.2)
(4.4)
Donde δij = dr2 + r2 [dθ2 + sen2 θdφ2 ].
Es importante notar, para que la notación sea coherente con el capı́tulo anterior, que
33
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
34
si Ω4 = eσe entonces se tiene que:
eσ = eσe r2
(4.5)
Los campos de la métrica auxiliar cumplen ecuaciones de vı́nculo análogas a (2.5)
y (2.6). Por lo tanto la ecuación (2.6) para la segunda forma fundamental auxiliar
e ij . Todas las soluciones de la ecuación ∂i K
e ij pueden ser
puede reescribirse como ∂i K
escritas en función de potenciales arbitrarios como se discute en [6].
El escalar de curvatura R(3) de de la métrica fı́sica puede escribirse de (2.5), (4.2)
y (4.4) como:
e ij Ω−10 K
e ij = Ω−12 K
e ij K
e ij
R(3) Ω−2 K
Entonces, ahora se tiene al escalar de curvatura escrito en función de la segunda
forma fundamental (curvatura extrı́nseca) de la métrica plana no fı́sica. De esta
última sabemos la forma explı́cita ([6]). Si a la métrica plana la escribimos como:
δij = ni nj + m̄i mj + mi m̄j
(4.6)
Observación: Si la métrica es de la forma (4.6), entonces se tiene que ni = dr y
mi = √r2 (dθ + isenθdφ).
∂ i
Entonces η j = ( ∂φ
) = A(mj − mj ), donde A = √12 irsenθ.
e ij puede ser escrita como:
Además K
e ij = ξ(3ni nj − δij ) +
r3 K
√
2η1 n(i m̄j) +
√
2η¯1 n(i mj) + µ¯2 mi mj + µ2 m̄i m̄j
(4.7)
Además, el cuadrado de la segunda forma fundamental toma la forma:
e ij K
e ij = r2 (2µ¯2 µ2 + 2η1 η¯1 + 3ξ 2 )
r8 K
(4.8)
Donde,
√
1e i i
e ij mi mj
e ij ni mj , µ2 = r3 K
(4.9)
ξ= K
2K
ij n n , η1 =
2
Con, esta información y según (4.6) se puede enunciar el siguiente resultado:
Lema 4.2 Sea S una 3-variedad cuya métrica es conformemente plana hij = Ω4 δij .
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
35
Además S satisface las ecuaciones de vı́nculo (2.5) y (2.6). Entonces el escalar de
curvatura de S R(3) cumple la siguiente desigualdad:
R(3) ≥ Ω−12 r−6 2η1 η̄1
(4.10)
El próximo paso serı́a reescribir η1 η̄1 , para esto se usa el hecho ([6]) de que
η1 = ðη.
i
Si se supone que η = Re(η) + iIm(η) y sabiendo que ð = ∂θ + senθ
∂φ , entonces
se puede escribir:
1
1
∂φ ηI )2 + (
∂φ ηR + ∂θ ηI )2
senθ
senθ
= (η1R )2 + (η1I )2
η1 η̄1 = (∂θ ηR −
(4.11)
Donde ηI = Im(η) = ð̄ðλI +2λI +iJ y ηR = Re(η) = −2r∂r (ð̄ðλR +2λR )+rQ− Pr .
(Ver [6].)
Con estas expresiones, (4.5) y (4.10) se puede escribir el término que contiene
R del funcional (3.22) como:
(3)
Z
1 (3) 2
R α dS0 ≥
2
≥
≥
Z
Z
Z
Ω−12 r−6 η1 η̄1 Ω4 r2 dS0
1
η1 η̄1 dS0
r4 Ω8
−2eσ
1 R 2
I 2
(η
)
+
(η
)
e dS0
1
1
r4
(4.12)
Usando (4.12) se puede reescribir el funcional (3.22) de la siguiente forma:
Z M=
−2eσ
1 R 2
1
I 2
2
dS0
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
4
r
(4.13)
Se puede ahora, con el resultado del teorema 3.4.1, escribir el resultado final de
ésta sección en el siguiente teorema:
Teorema 4.2.1 Sea S una 3-variedad cuya métrica es conformemente plana hij =
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
36
Ω4 δij . Además hij y su segunda forma fundamental Kij satisfacen las ecuaciones
de vı́nculo. Sea Σ un hipersuperficie de S r = cte, cuya métrica inducida es γab =
ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde ϕ4 = eσe r02 . Además, la segunda forma fundamental de Σ
cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale la siguiente desigualdad:
Z Z
4π +
σdS0 ≥
−2eσ
1
1 R 2
2
I 2
dS0
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
4
r
(4.14)
De este último resultado va a salir la desigualdad entre área y momento angular
para las superficies que cumplan las condiciones del teorema 4.2.1. Si los resultados
obtenidos en este capı́tulo tienen alguna relevancia, entonces al imponer simetrı́a
axial a los resultados se deberı́a poder llegar a la desigualdad entre área y momento
angular buscada.
Antes de pasar a la siguiente sección es importante escribir el momento angular
usando este Gauge. Según la ecuación (2.12) se tiene que:
1
JC =
8π
Z
sen2 θη12 dS0
Donde dS0 es el elemento de volumen de la esfera unidad.
(4.15)
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
4.3.
37
Demostración alternativa para simetrı́a axial
En la sección anterior se puedo obtener una desigualdad con el teorema 4.2.1, para
el caso en que la 3-métrica de S es conformemente plana. En el presente capı́tulo se
trabajará con la desigualdad (4.14) cuando hay simetrı́a axial para ver si se puede
reobtener la desigualdad entre área y momento angular en ésta condición.
Si se examina la demostración presentada en [7] se puede ver que el paso clave
para poder lograr demostrar la desigualdad en la condición de simetrı́a axial es poder
reescribir el nuevo funcional (4.13) como el viejo funcional (2.17).
Lo importante acá es que se debe relacionar (4.11) con la parte del funcional de
masa (2.17) que contiene la función ω. Se sabe que ω es una función que cumple
que J = 18 (ω(π) − ω(0)). Por lo tanto para saber la forma explicita de ω y poderla
relacionar con (4.11) se tiene que analizar la expresión para el momento angular.
El momento angular para el espacio-tiempo fı́sico está definido como:
1
J=
8π
Z
Kij η i nj dS
(4.16)
Notar que esta expresión es invariante conforme, entonces se puede usar la expresión para Kij (4.2).
Donde η a = (∂φ )a
Usando la expresión para la segunda forma fundamental expuesta en [6] se encuentra que Kij η i nj = 2Cs2 r−2 sen2 θη1I .
Una manera para calcular ω (que solo vale para simetrı́a axial) es ([3]) definiendo las siguientes cantidades: (Notar que queremos usar el funcional generalizado
para cuando no hay simetrı́a axial, y solo sabemos que funciona con simetrı́a axial,
entonces si bien la siguiente cuenta solo vale para cuando hay simetrı́a nos puede
ayudar a a obtener una relación entre ω y η imaginario, y que luego se va a ver si
generalizando esto para el caso de no simetrı́a las cosas funcionan. Este es el espı́ritu
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
38
de la siguiente cuenta.)
1
Di ω
2
= ijk S j η k
ki =
ki
Si = Kij η j −
ηi
Kjk η j η k
η
(4.17)
Notar que estas últimas relaciones son para la segunda forma fundamental de la
métrica fı́sica, por lo tanto para poder usar las relaciones de la sección anterior hay
que transformar las cantidades. Se obtiene de este modo que:
e ij
Kij = Ω−2 K
ijk = Ω−6e
ijk
η i = ηei
ηi = Ω4 ηi
η = Ω4 η
(4.18)
e ij es como en (4.7) y e
Por lo tanto Si = Ω−2 Sei , K
ijk es la forma de volumen de
la métrica plana en coordenadas esféricas.
Veamos el cálculo de Sei , hay que tener en cuenta que si la métrica es de la forma
(4.6), entonces η j = A(mj − mj ), donde A = √12 irsenθ
Kij η
j
Kij η i η j
√
A
2
j
j
= Ω
[−ξ(m − m ) + ni
(η − η1 ) + µ2 mi − µ2 mi ]
3
r
2 1
Ω−2 A2
[2ξ + µ2 + µ2 ]
=
r3
−2
(4.19)
Con las ecuaciones anteriores se puede calcular Si :
Si =
Ω−2 A √
[ 2ni (η 1 − η1 ) + (mi + mi )(µ2 + µ2 )]
2r3
Si se tiene en cuenta que mi + m̄i =
reescribir de la siguiente manera:
2r
√
dθi ,
2
(4.20)
entonces esta última ecuación se puede
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
Ω−2 A
Si = √
[(η 1 − η1 )(dr)i + (µ2 + µ2 )(dθ)i ]
2r3
39
(4.21)
Usando que la métrica es conformemente plana entonces se puede escribir S j
como:
Ω−6 A
∂
1
∂
Sj = √
[(η 1 − η1 )( )j + (µ2 + µ2 )( )j ]
(4.22)
3
∂r
r
∂θ
2r
El paso siguiente es calcular ki , para esto usamos la definición del elemento de
√
volumen:ijk = g(dri ∧ dθj ∧ dφk ). Por lo tanto se tiene:
ijk = (Ω12 r4 sen2 θ)1/2 (dri ∧ dθj ∧ dφk
ijk = Ω6 r2 senθ[(dr)i (dθ)j (dφ)k + (dr)j (dθ)k (dφ)i + (dr)k (dθ)i (dφ)j +
−(dr)j (dθ)i (dφ)k − (dr)k (dθ)j (dφ)i − (dr)i (dθ)k (dφ)j ]
(4.23)
Con esta ultima definición se tiene:
ijk η k = Ω6r2 senθ[dri dθj − dθi drj ]
senθA 1
ki = ijk S j η k = √
[ (µ2 + µ2 )dri − (η 1 − η1 )dθi ]
2r r
(4.24)
Como además se sabe que ki = 12 ∂i ω, por lo tanto se tiene que:
senθA
1
∂θ ω = − √
[η 1 − η1 ]
2
2r
2iAsenθ
√
=
ηI
2r
(4.25)
Por lo tanto la relación buscada es :
∂θ ω = −2sen2 θ∂θ η I
(4.26)
Observaciones: Esta es una relación que vale únicamente para simetrı́a axial,
ya que (4.17) vale solo para esta simetrı́a. Como se quiere que nuestro problema
se reduzca al ya conocido para simetrı́a axial, es natural pensar en generalizar este
resultado para usarlo en la definición del funcional de masa y del momento angular.
Con la relación (4.26) se puede reescribir el término que contiene R(3) en el
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
40
funcional (3.22):
1
2
Z
(3)
R Ω
4
Z
1
Ω−12 (∂θ ηI )2 Ω4 r2 dS0
r6
Z
1
∂θ2 ω −8
Ω dS0
4r4
sen4 θ
Z
1
∂θ2 ω
dS0
4r4
sen4 θe−2eσ
Z 2
1
∂θ ω
dS0
4
η2
≥
≥
=
=
(4.27)
Con esta relación se puede reescribir la desigualdad (3.23) y obtener la forma del
funcional (3.22):
Z Z
A0 +
σdS0 ≥
2
1
2 1 |∂θ ω|
|∂θ σ| +
+ σ dS0 ]
4
4 η2
f=
Si se define el funcional de masa como M
por (4.28) se tiene que:
M=
1
2π
R
(4.28)
(|∂θ σ|2 + |∂θηω|
+ σ)dS0 ] entonces
2
2π f
M
4
2
(4.29)
f es idéntico al funcional de masa usado para la demostración es simetrı́a
Donde M
axial [7].
La desigualdad se puede escribir entonces como:
Z
A0 +
σdS0 ≥
2π f
M
4
(4.30)
En lo que resta de la sección se trabajará con (4.30) para llegar a la demostración
de la desigualdad entre área y momento angular.
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
41
Si se trabaja (4.30) se tiene:
Z
A0 +
1
4π
1
4π
Z
2π f
M
4
1 2π f
≥
M − 4π
4π 4
f−8
M
≥
8
σdS0 ≥
σdS0
Z
σdS0
1
e 4π
R
≥ e
σdS0
f
M−8
8
(4.31)
R
R
Usando que se cumple ef dS0 ≥ e f dS0 (desigualdad de Jensen), y además que
M−8
se demostró [1] 2|J|≥ e 8 la ecuación (4.31) se puede reescribir como :
1
4π
Z
1
R
f
M−8
eσ dS0 ≥ e 4π σdS0 ≥ e 8 ≥ 2|J|
Z
1
eσ dS0 ≥ 2|J|
4π
Z
eσ dS0 ≥ 4π2|J|
AΣ ≥ 8π|J|
(4.32)
Este último resultado es importante para este trabajo, ya que con una formulación distinta se puedo llegar al mismo resultado obtenido en [7].
Para poder seguir avanzando en una demostración de la conjetura 2.1 es necesario
poder acotar el funcional (4.13) por alguna noción de momento angular. Este trabajo
se realizará en la siguiente sección.
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
4.4.
42
Ecuaciones de Euler-Lagrange y minimización
de (4.13).
En este capı́tulo se tratará de minimizar el funcional (4.13), para esto lo primero
que hay que hacer es encontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange haciendo la variación
del funcional.
Se tiene que el funcional es:
Z M=
−2eσ
1
1 R 2
2
I 2
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
dS0
4
r
(4.33)
Usando (4.11) esta última ecuación se puede reescribir como:
Z M=
1
1
1
2
2
2
|Dσ| +σ + [(∂θ ηR −
∂φ ηI ) + (
∂φ ηR + ∂θ ηI ) e−2σ dS0 (4.34)
4
senθ
senθ
Si renombramos ηR = λ y ηI = V la última relación se escribe:
Z M=
1
1
1
2
2
2
|Dσ| +σ + [(∂θ λ −
∂φ V ) + (
∂φ λ + ∂θ V ) e−2σ dS0
4
senθ
senθ
(4.35)
Para la minimización vamos a suponer que:
σ = σ0 + σ̄
λ = λ0 + λ̄
V
= V0 + V̄
(4.36)
Las últimas relaciones (4.36) significan que el funcional M es función de σ λ y
V. A su vez estas funciones tiene una parte fija (ej σ0 ) y otra variable (ej: σ̄), la
variación está dada por . De esta manera para poder encontrar las ecuaciones de
Euler-Lagrange vamos a calcular dM
| , donde M viene dado por (4.35).
d =0
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
43
1
1
1
[σ̄ + |Dσ0 ||Dσ̄ + 2 ∂θ λ0 −
∂φ V0
∂θ λ̄ −
∂φ V̄ e−2σ0
2
senθ
senθ
1
1
+ 2 ∂θ V0 +
∂φ λ0
∂θ V̄ +
∂φ λ̄ e−2σ0 +
(4.37)
senθ
senθ
"
2 2 #
1
1
− 2σ̄
∂θ λ0 −
∂φ V0 + ∂θ V0 +
∂φ λ0
e−2σ0 ]dS0
senθ
senθ
Z
dM
|=0 =
d
Como la expresión (4.37) tiene que ser cero para todo valor de σ̄ λ̄ y V̄ , entonces
se buscará reordenar los términos de (4.37) integrando por parte todos los términos.
Se tiene entonces:
1
2
Z
2 ∂θ λ0 −
Z
1
∂φ V0
senθ
|Dσ0 ||Dσ̄|dS0
=
Z
−
2
2 ∂θ λ0 −
Z ∂θ V0 +
2
1
∂φ V0
senθ
1
∂φ λ0
senθ
Z ∂θ V0 +
1
∂φ λ0
senθ
1
2
Z
σ̄40 σ0 dS0
(4.38)
∂θ λ̄ e−2σ0 dS0 =
Z
1
∂θ
∂θ λ0 −
∂φ V0 e−2σ0 senθ dS0
−2 λ̄
senθ
senθ
Z
∂φ v̄ −2σ0
e
dS0
senθ
∂θ V̄ e−2σ0 dS0 = −2
−
=
=
Z
V̄
1
∂φ λ̄e−2σ0 dS0 = −2
senθ
V̄ ∂φ
2
∂θ
senθ
∂θ λ0 −
∂θ V0 +
1
∂φ λ0
senθ
Z
λ̄∂φ
1
∂φ V0
senθ
∂θ V0 +
1
∂φ λ0
senθ
e2σ0
dS0
senθ
e−2σ0 senθ dS0
e−2σ0
senθ
(4.39)
(4.40)
(4.41)
dS0
(4.42)
Con las últimas ecuaciones (4.38), (4.39), (4.40), (4.41) y (4.42) se pueden encontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional (4.13).
Notar que σ̄ y λ̄ son funciones arbitrarias, mientras que V̄ es un función que sólo
contiene armónicos esféricos l ≥ 2. Esto es de ésta manera ya que se quiere mantener
fijo el momento angular (l = 1). Por lo tanto en (4.40) y (4.41), que son los términos
de (4.37) que tiene como factor común V̄ , las ecuación para que la integral sea cero
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
44
no es que sea cero el termino que acompaña a V̄ como en los casos con σ̄ y λ̄, sino
que se pedirá que el término que acompaña a V̄ sea una función que contenga sólo
armónicos esféricos con l = 1.
Habiendo hecho esta aclaración se pueden escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange:
"
2 #
1
1
1
−2σ0
2
∂θ λ0 −
1 − 40 σ0 − 2e
∂φ V0 ) + (∂θ V0 +
∂φ λ0
= 0
2
senθ
senθ
1
1
1
∂φ V0 e−2σ0 senθ + ∂φ ∂θ V0 +
∂φ λ0 e−2σ0
∂θ
= 0(4.43)
∂θ λ0 −
senθ
senθ
senθ
1
∂φ V0
∂φ λ0
∂φ ∂θ λ0 −
e−2σ0 − ∂θ
+ ∂θ V0 e−2σ0
= h
senθ
senθ
senθ
Donde h es una función con l = 1.
Veamos ahora como se reducen estas ecuaciones (4.44) para el caso de simetrı́a
axial, ya que si las funciones para Kerr- extremo son extremos del funcional en
esta condición es una buena señal para seguir avanzando para ver si se minimiza con
estas mismas funciones para poder poder acotar el funcional y llegar a la desigualdad
deseada.
Para simetrı́a axial (λ0 = 0)se tiene:
1 − ∂θ [(∂θ σ0 ) senθ] − 2e2σ0 (∂θ V0 )2 = 0
1
∂θ (∂θ V0 ) e−2σ0 senθ = h
senθ
(4.44)
(4.45)
Para Kerr-extremo vale que V0 = Jcosθ y el valor de σ0 es el siguiente:
σ0 = ln(4|J|) − ln(1 + cos2 θ)
(4.46)
Se comprueba que para éstos valores las ecuaciones (4.45) se cumplen para el
valor h = J2
Trabajando con las ecuaciones se puede ver que en general h va a ser una función
cuya proyección sobre armónicos esféricos será no nula solamente para l = 1. En esta
sección se demostrará esto para el caso con simetrı́a axial y también para el caso sin
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
45
ninguna simetrı́a.
4.4.1.
Simetrı́a Axial
En simetrı́a axial se tiene que las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen a:
1
40 σ − 2e−2σ (∂θ V0 )2 = 0
2
1
−
∂θ (∂θ V0 ) e−2σ senθ = h
2
sen θ
1−
(4.47)
(4.48)
Integrando (4.47) sobre la esfera unidad se tiene que:
Z 1
−2σ
2
1 − 40 σ − 2e (∂θ V0 ) dS0 = 0
2
Z
−2σ
4π − 4π
e (∂θ V0 )2 senθdθ = 0
Z π
e−2σ (∂θ V0 )2 senθdθ = 1
(4.49)
0
Si ahora se multiplica por V0 a ambos miembro de (4.48) y se integra por partes
en θ se tiene:
Z
0
π
Z
−2σ
−V0 ∂θ (∂θ V0 ) e senθ =
hV0 senθdθ
0π
Z π
Z π
2 −2σ
(∂θ V0 ) e senθdθ =
hV0 senθdθ
0
0
Z π
1 =
hV0 senθdθ
(4.50)
0
Donde para pasar de la segunda a la tercer linea se usó el resultado (4.49).
Según lo discutido al principio de la sección V0 es una función que solo tiene armónicos
esféricos con l = 1. Por lo tanto, si se tiene en cuenta la ortonormalidad de los
armónicos esféricos se deduce de (4.50) que h también es una función con componentes no nulas solamente para l = 1.
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
46
Veamos ahora el caso particular de Kerr-Extremo donde V0 = 3Jcosθ.
1
Usando (4.50) se encuentra que h = 2J
cosθ. Entonces se deduce que las funciones
para Kerr-extremo satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, tal cual se demostró en
la sección anterior.
En la próxima subsección se analizaran las ecuaciones de Euler-Lagrange del
modo en que se hizo en la presente sección para el caso de ninguna simetrı́a.
4.4.2.
Sin simetrı́as
Para éste caso las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
"
2 #
1
1
1
−2σ0
2
1 − 40 σ0 − 2e
∂θ λ0 −
∂φ V0 ) + (∂θ V0 +
∂φ λ0
= 0
2
senθ
senθ
1
1
1
−2σ0
−2σ0
∂θ
∂θ λ0 −
∂φ V0 e
senθ + ∂φ ∂θ V0 +
∂φ λ0 e
= 0(4.51)
senθ
senθ
senθ
1
∂φ V0
∂φ λ0
∂φ ∂θ λ0 −
e−2σ0 − ∂θ
+ ∂θ V0 e−2σ0
= h
senθ
senθ
senθ
(4.52)
La ecuación (4.51) puede ser reescrita como:
1
2
−2σ
2
2
1 − 40 σ − 2e
|Dλ| +|DV | +
(∂θ V ∂φ λ − ∂θ λ∂φ V ) = 0
2
senθ
Donde |DV |2 = ∂θ2 V +
1
∂2V
senθ φ
(4.53)
.
Integrando (4.53) en la esfera unidad se obtiene el siguiente resultado:
Z
e
−2σ
2
2
2
| Dλ | + | DV | +
(∂θ V ∂φ λ − ∂θ λ∂φ V ) = 2π
senθ
(4.54)
Capı́tulo 4. Gauge conformemente plano
47
Si se multiplica la ecuación (4.51) por λ y se integra por partes en la esfera unidad
se obtiene:
Z
1
1
λ ∂θ
∂θ λ −
∂φ V e−2σ senθ + ∂φ ∂θ V +
∂φ λ e−2σ dS0
senθ
senθ
Z ∂φ λ
1
1
∂φ V +
∂φ λ e−2σ dS0
∂θ V +
−
(∂θ λ) ∂θ λ −
senθ
senθ
senθ
Z 1
| Dλ |2 +
(∂φ λ∂θ V − ∂θ λ∂φ λ) e−2σ dS0
senθ
=
=
=
(4.55)
Juntando, entonces, el resultado (4.55) con el (4.54) se obtiene:
Z 1
2
(∂φ λ∂θ V − ∂θ λ∂φ λ) e−2σ dS0 = 2π
|DV | +
senθ
(4.56)
Ahora resta trabajar con la ecuación (4.52). Si multiplicamos (4.52) por V y se
integra por partes en la esfera unidad se obtiene:
Z
Z
∂φ λ
∂φ V
e−2σ − ∂θ
+ ∂θ V senθe−2σ dS0 =
V hdS0
V ∂φ ∂θ λ −
senθ
senθ
Z Z
∂φ V
∂φ V
∂φ λ
−
∂θ λ −
+ ∂θ V
+ ∂θ V
e−2σ =
V hdS0
senθ
senθ
senθ
Z Z
1
|DV |2 +
(∂φ λ∂θ V − ∂θ λ∂φ λ) e−2σ dS0
=
V hdS0 (4.57)
senθ
Si se juntan los resultados (4.56) con (4.57) se obtiene finalmente que:
Z
hV0 dS0 = 2π
(4.58)
Capı́tulo 5
Gauge Conforme
En ésta sección se analizará (3.22) en un gauge conforme pero sin especificar la
forma de la métrica auxiliar. Si bien este Gauge tampoco es el más general para
una 3-superficie, es un poco menos restrictivo que suponer que la métrica de S es
conforme y además plana. Recordemos la forma del funcional:
Z M=
1
1 (3) σ
2
|Dσ| +σ + R e dS0
4
2
(5.1)
El beneficio de usar una métrica conformemente plana es que en [6] se podı́a
e ij K
e ij para el caso que se cumple ∂i K ij para una segunda
encontrar la contracción K
forma fundamental que proviene de una métrica plana. Como, si la 3-métrica hij es
conformemente plana y su segunda forma fundamental Kij cumplen las ecuaciones de
vı́nculo (2.5) y (2.6) entonces la métrica y curvatura extrı́nseca auxiliares cumplen
e ij K
e ij . Sin
ecuaciones análogas. Por ende, se puede escribir R(3) en función de K
embargo, esta no es la única manera de encontrar una solución a las ecuaciones de
vı́nculo y ası́ poder escribir R(3) . Se puede escribir la contracción de la segunda forma
fundamental Kij K ij (ver [7])
Kij K ij = (Kij ni nj )2 +(Kij ξ i ξ j )2 +η −2 +2(Kij ξ i nj )2 +2η −1 (Kij η i nj )2 +2η −1 (Kij η i ξ j )2
(5.2)
Donde se usó que (ni , ξ i , η i ) es una tetrada adaptada, y como se puede ver todos
los términos son positivos. Usando que por las ecuaciones de vı́nculo se cumple
49
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
50
R(3) = Kij K ij entonces:
Kij K ij = R(3) ≥ 2η −1 (Kij η i nj )2
(5.3)
Entonces ahora se puede acotar el escalar de curvatura por una contracción de la
segunda forma fundamental, la normal y el vector tangente a la hipersuperficie Σ.
Para poder realizar la contracción es necesario especificar, al menos, la forma de
la 2-métrica de Σ y el vector η i . En este capı́tulo se mostraran dos formas distintas
de hacerlo.
5.1.
Caso 1
En esta sección se analizará la desigualdad (5.3) para el caso en que la métrica
de la superficie Σ se escribe como:
γab = eσ (dθ2 + sen2 θdφ2 )
(5.4)
= eσ (ma mb + ma mb )
Por lo tanto el vector η i = ∂φi se escribe como:
1
∂φi = √ isenθ[mi − mi ] = A[mi − mi ]
2
(5.5)
Esta construcción es análoga a la hecha en la capı́tulo anterior para el caso en que
la 3-métrica es conformemente plana. pero solo se trabaja con la métrica inducida
en Σ. Es importante aquı́ recordar que no se pierde generalidad al suponer que la
2-métrica es conformemente plana.
Como se muestra en [6] la contracción Kij mi nj se puede escribir como el ð de
una función en la esfera V = V (θ, φ): Kij mi nj = ðV y Kij mi nj = ðV . Por lo tanto
(5.5) se reescribe:
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
51
Kij η i nj = Kij A[mi − mi ]nj
(5.6)
= AKij mi nj − AKij mi nj
= A[ðV − ðV ]
Aquı́, V es un campo escalar V = VR + iVI , y el operador se define como ðV =
i
∂θV + senθ
∂φ V , entonces (5.7) se reescribe como:
Kij η i nj = −2iA[Im(ðV )]
(5.7)
Por lo tanto (5.3) queda:
R(3) ≥ 2η −1 (Kij η i nj )2
2
≥ σ
[−2iA|Im(ðV )|]2
e sen2 θ
4
2
[
sen2 θ|Im(ðV )|2 ]
≥ σ
e sen2 θ 2
(5.8)
Por lo tanto el funcional (3.22) se reescribe como :
Z
M=
1
[ |Dσ|2 +σ + 2|Im(ðV )|2 ]dS0
4
(5.9)
Nótese que el funcional obtenido en éste caso no es el mismo obtenido para el
caso en el que se supuso que la 3-métrica era conformemente plana (ver (4.28)).
Se quiere que sea cual sea la forma del funcional, éste se reduzca al funcional que
R
1
(|∂θ σ|2 + + σ)dS0 ]. Es fácil ver que para
sirve en el caso de simetrı́a axial: M = 2π
que esto suceda entonces Im(ðV ) y ∂θ ω tienen que estar relacionados de la siguiente
manera en simetrı́a axial:
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
52
1 |∂θ ω|2
1 ∂θ2 ω
=
4 η2
4 e2σ sen4 θ
1 ∂θ2 ω
=
4 e2σ sen4 θ
1 ∂θ2 ω
=
8 e2σ sen4 θ
1 ∂θ ω
= √ σ
8 e sen2 θ
2|Im(ðV )|2 = 2∂θ2 VI =
2∂θ2 VI
∂θ2 VI
∂θ VI
(5.10)
Si se cumple la relación (5.11), entonces la demostración para simetrı́a axial se
reduce a a la del capı́tulo anterior.
5.2.
Caso 2
En esta sección se analizará la desigualdad (5.3) para el caso en que la métrica
de la superficie Σ se escribe como:
γab = eσ (dθ2 + sen2 θdφ2 )
(5.11)
Notar que no se pierde generalidad al suponer que la 2-superficie tiene métrica
de la forma (5.11). Además existe un campo vectorial η i en S que restringido a Σ es
tangente a esta hipersuperficie.
Como se vio al principio del capı́tulo se tiene que R(3) satisface la siguiente
desigualdad:
Kij K ij = R(3) ≥ 2η −1 (Kij η i nj )2
(5.12)
Se supone ahora que la S tiene tiene una métrica conforme de la forma:
hij
hij = Ω4e
(5.13)
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
53
Por lo tanto se tienen las siguientes relaciones:
e ij
Kij = Ω−2 K
(5.14)
η i = ηei = ∂φi
(5.15)
ni = Ω−2 n
ei
(5.16)
γab = eσ
dθ2 + sen2 θdφ2
(5.17)
Si se quiere que el campo η i tenga norma en S de la forma η i ηi = eσ sen2 θ entonces
se pide que Ω4 = eσ .
e ij η i n
e ij n
Ahora se va a trabajar con el campo K
ej . La contracción K
ej es un campo
vectorial en la 3-variedad no fı́sica, pero como luego se quiere contraer con η i solo se
necesita saber la componente en la esfera unidad de la contracción.
e ij n
Se supone que K
ej = Ti . Cualquier campo vectorial Ti en la esfera puede escribir
como:
Ta = εab Da λ + Da ζ
(5.18)
Usando que εab = senθ (dθa xdφb − dφa xdθb ) y que Da f = ∂a f se tiene que:
∂φ ζ
j
e
Kij n
e = Ti = senθ ∂θ λ +
senθ
(5.19)
Con (5.19) y las relaciones (5.17) se tiene que la desigualdad (5.3) se reescribe
R
(3)
2
≥ 12
Ω
∂φ ζ
∂θ λ +
senθ
2
(5.20)
Con la desigualdad (5.20) y recordando que α2 = eσ se tiene que el término que
contiene r(3) del funcional (3.22) es:
1
2
Z Z
R α dS0 ≥
(3)
2
∂φ ζ
∂θ λ +
senθ
Por lo tanto el funcional (3.22) buscado queda:
2
e−2σ dS0
(5.21)
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
Z "
M=
54
#
2
1
∂
ζ
φ
|Dσ|2 +σ + ∂θ λ +
e−2σ dS0
4
senθ
(5.22)
Con los resultados obtenidos en esta sección la desigualdad (3.23) del teorema
3.4.1 se puede enunciar el siguiente teorema:
Teorema 5.2.1 Sea S una 3-variedad cuya métrica es conforme hij = Ω4e
hij . Además
hij con segunda forma fundamental Kij satisfacen las ecuaciones de vı́nculo. Sea Σ
un hipersuperficie de S cuya métrica inducida es γab = ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde
ϕ = eσ . Además, la segunda forma fundamental de Σ cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale
la siguiente desigualdad:
Z "
Z
4π +
σdS0 ≥
#
2
1
∂
ζ
φ
|Dσ|2 +σ + ∂θ λ +
e−2σ dS0
4
senθ
(5.23)
Lo que resta es trabajar con el resultado del teorema 5.2.1 y relacionarlo con
el resultado (4.14) del teorema ?? para poder dar en este gauge una demostración
alternativa para simetrı́a axial dada en [7].
Antes de seguir es importante comentar que la definición para momento angular,
R
1
e ij ηei n
es una definición invariante conforme por lo tanto J = 8π
K
ej dSe0 . Sin embargo,
no hay una definición de momento angular a no ser que la métrica auxiliar sea
conformemente plana o se tenga simetrı́a axial.
5.3.
Demostración alternativa para simetrı́a axial.
En la sección anterior se pudo obtener una desigualdad con el teorema 5.2.1, para
el caso en que la 3-métrica de S es conformemente plana. En el presente capı́tulo se
trabajará con la desigualdad (5.23) cuando hay simetrı́a axial para ver si se puede
reobtener la desigualdad entre área y momento angular en ésta condición.
EL paso clave de ésta sección es poder relacionar el funcional en el gauge conforme
(5.22) con el funcional obtenido en el caso en que la 3-métrica es conformemente
plana. Si se pudiera encontrar una relación entre estos dos funcionales entonces la
Capı́tulo 5. Gauge Conforme
55
demostración de la desigualdad entre área y momento angular para el gauge conforme
serı́a la misma que se hizo en la sección (4.2.).
Si se denomina al funcional en el gauge conformemente plano (4.13) como MCP
y al funcional en el gauge conforme (5.22) como MC se tiene
−2eσ
1 R 2
1
I 2
2
dS0
=
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
4
r
#
2
Z "
1
∂φ ζ
=
|Dσ|2 +σ + ∂θ λ +
e−2σ dS0
4
senθ
Z MCP
MC
Para el caso de simetrı́a axial estos funcionales se reducen a:
Z 1
2 −2σ
2
MCP =
|Dσ| +σ + (∂θ ηI ) e
dS0
4
Z
1
MC =
|Dσ|2 +σ + (∂θ λ)2 e−2σ dS0
4
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
Por lo tanto para que los funcionales sean iguales se tiene que cumplir que
ηI (θ) = λ (θ)
(5.28)
Si (5.28) se cumple entonces la demostración en análoga a la expuesta para el
caso de Gauge conformemente plano en la sección (4.2.).
Capı́tulo 6
Gauge de Kerr-extremo
En esta sección se intenta abordar el problema proponiendo una métrica distinta:
γab = e2c e−σ dθ2 + eσ sen2 θdφ2
(6.1)
Donde c es una constante, y σ es una función de θ y φ.
Nota: el área de ésta métrica es: 4πec . Ésta es la primera restricción a las superficies ya que que todas tiene la misma área.
Observación: si bien se sabe que cualquier métrica en dos dimensiones se puede
escribir de manera conformemente plana, no es verdad que la forma de la métrica
anterior sea a forma más general para una métrica de dos dimensiones. La ventaja que tiene trabajar con ésta métrica es que la métrica del agujero negro de Kerr
extremo se escribe de manera natural en estas coordenadas, entonces es más fácil
comprobar que el resultado obtenido para no simetrı́a se reduce a los resultados de
Kerr extremo cuando hay simetrı́a axial. Además, no se tiene que pedir condición
extra más que la de estabilidad.
EL objetivo de ésta sección es trabajar con la métrica expuesta, aplicarle la
condición de estabilidad y obtener la forma del funcional deseado. Una vez obtenido
el funcional poder encontrar las ecuaciones de Euler- Lagrange y tratar de acotarlo
con las funciones que acotan el funciona de masa para simetrı́a axial (σ y ω de Kerr
extremo). Con este resultado se podrı́a acotar el área por una función que tiene que
57
Capı́tulo 6. Gauge de Kerr-extremo
58
ver con el momento angular. Y, si todo funciona, se tiene que ver cual es la restricción
a la superficies que se impone con la forma de la métrica dada.
La condición de estabilidad es, en términos de la curvatura extrı́nseca de la superficie:
Z
χ̇αdSΣ ≥ 0
(6.2)
Donde χ̇ es como en (3.2) y α es una función arbitraria de θ y φ, cuya forma
explicita se verá más adelante y dSΣ = ec dS0 (dS0 es el elemento de volumen de la
esfera unidad).
La ecuación (6.2) se puede escribir como :
Z
1
−(MΣ α)α + RΣ α2 dSΣ ≥
2
Z
1 2
Rα dSΣ
2
(6.3)
σ
Veamos termino a término la integral con α = ec− 2 .
NOTA: se elige α de esta manera para que sea coherente con el paper de simetrı́a
axial [7], y se pueda obtener el funcional de masa que allı́ se expone.
Z
Z
−(MΣ α)αdSΣ =
1 2c−σ −2c+σ 0 2
e
[e
(σ ) + e−σ σ̇ 2 ]ec dS0
4
(6.4)
Veamos ahora la integral del escalar de curvatura:
RΣ =
e−σ
cosθ 0
[σ̈ − σ̇ 2 ] + e−2c+σ [2 − 3
σ − (σ 0 )2 − σ 00 ]
2
sen θ
senθ
(6.5)
Entonces la integral del escalar de curvatura da:
Z
Z 2c−2σ
e−σ
e
1
2 2
c1
[σ̈ − σ̇ ]α dSΣ = e
σ̇ 2 dS0
2
2
sen θ
2
sen2 θ
Z
Z
1
cosθ 0
1
−2c+σ
0 2
00 2
c
e
[2 − 3
σ − (σ ) − σ ]α dSΣ = e [4π(c + 1) − σ − (σ̇)2 dS
(6.6)
0]
2
senθ
2
Juntado (6.4) y (6.6) se puede reescribir (6.3) como:
Z
e [4π(1 + c) −
c
1
3 e2c−2σ
(σ + (σ 0 )2 −
(σ̇)2 )dS0 ] ≥
4
4 sen2 θ
Z
1 2
Rα dSΣ
2
(6.7)
Capı́tulo 6. Gauge de Kerr-extremo
59
Por analogı́a con el problema con simetrı́a axial, se puede proponer un funcional
de la forma:
Z
M=
1
3 e2c−2σ
1 2
2
[(σ + (σ 0 )2 −
(
σ̇)
+
Rα ]dS0
4
4 sen2 θ
2
(6.8)
El siguiente paso serı́a poder acotar el funcional (6.8) pero éste no está acotado
por abajo. Entonces, el funcional no tiene un mı́nimo, por lo tanto hay que descartarlo , ya que para continuar con la demostración se precisa poder acotar el funcional
por debajo y por una función que dependa del momento angular.
Por éste motivo la métrica (6.1) queda descartada para la demostración de la desigualdad sin ninguna simetrı́a.
Capı́tulo 7
Conclusiones
En esta tesis se discutieron diferentes formas de avanzar en una demostración
de la conjetura 2.1. En el capı́tulo 2 se discutieron las distintas hipótesis de la conjetura. En el 3 se avanzó sobre la condición de estabilidad para la hipersuperficie
Σ. En los capı́tulo 4 y 5 se abordó el problema con una 3-métrica conformemente
plana y conforme respectivamente, pudiendo llegar, con los resultados obtenidos, a
una nueva demostración del teorema enunciado en [7] para simetrı́a axial. Además,
en el capı́tulo 4 se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional M.
Finalmente, en el capı́tulo 6, se discute la demostración proponiendo una 2-métrica
de la forma de la métrica de Kerr-extremo.
En el presente capı́tulo, se discutirán los resultados principales de cada sección,
y, además, se presentaran los problemas abiertos del trabajo.
7.1.
Resultados Generales.
En la presente sección se expondrán los resultados más relevantes de cada capı́tulo
7.1.1.
Capı́tulo 3: Resultados.
En el capı́tulo 3 se discutió básicamente la condición de estabilidad. Mediante la
ecuación (3.2) y la condición sobre la 2- superficie se puede obtener una desigualdad
entre el área y un funcional al que se denominó M. Este funcional no puede ser
61
Capı́tulo 7. Conclusiones
62
arbitrario, ya que tiene que estar acotado inferiormente por una función que dependa
del momento angular. En el capı́tulo 3 se trabajó con dos condiciones sobre la 2R
superficie.Por un lado con la condición de estabilidad χ̇αdSΣ ≥ 0 y por otro la con
la condición χ̇ ≥ 0. Se llegó a la conclusión que la condición que sirve para llegar a
un funcional acotable es la condición χ̇ ≥ 0.
Esto sugiere que hay que modificar la hipótesis de estabilidad de Σ en la conjetura
2.1 por la condición χ̇ ≥ 0. Es importante notar que esta última condición sobre la
superficie Σ también implica estabilidad.
Los resultados más relevantes del capı́tulo 3 pueden resumirse en el teorema 3.4.1:
Teorema: Sea S una 3-variedad y Σ un hipersuperficie de S, cuya métrica inducida es γab = ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde ϕ4 = eσ . Además, la segunda forma
fundamental de Σ cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale la siguiente desigualdad:
Z Z
4π +
σdS0 ≥
1
1 (3) σ
2
|Dσ| +σ + R e dS0
4
2
(7.1)
Donde D es el operador derivada covariante de la esfera unidad en coordenadas
esféricas y R(3) el escalar de curvatura de superficie [S].
En los capı́tulos 4 y 5 se trabajó con el resultados del teorema 3.4.1 para poder
escribir el término que contiene R(3) de la ecuación (3.23).
7.2.
Capı́tulo 4: Gauge conformemente plano.
Durante el capı́tulo 4 se trabajo con una 3-métrica conformemente plana para
poder reescribir el escalar de curvatura de S del teorema 3.4.1. Se usó la construcción
del paper [6] para poder usar las ecuaciones de vı́nculo en la construcción del escalar
de curvatura. El resultado se enunció en el teorema 4.2.1:
Teorema:Sea S una 3-variedad cuya métrica es conformemente plana hij =
Ω4 δij . Además hij y su segunda forma fundamental Kij satisfacen las ecuaciones
de vinculo. Sea Σ un hipersuperficie de S r = cte, cuya métrica inducida es γab =
ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde ϕ4 = eσe r02 . Además, la segunda forma fundamental de Σ
cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale la siguiente desigualdad:
Capı́tulo 7. Conclusiones
63
Z Z
σdS0 ≥
4π +
−2eσ
1 R 2
1
2
I 2
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
dS0
4
r
(7.2)
El resultado del teorema permite encontrar la forma explicita del funcional M
y con este poder intentar redemostrar el teorema para simetrı́a axial. Esto se hizo
también en el capı́tulo 4.
Para poder avanzar sobre una demostración de la conjetura 2.1, es necesario
poder acotar el funcional M por alguna función del momento angular. Entonces, se
obtuvieron las ecuaciones de Euler-Lagrage del funcional y se comprobó que si se las
reduce a simetrı́a axial las funciones que son el mı́nimo para el caso con simetrı́a son
solución de las mismas.
Esto último significa que las funciones σ0 y ω0 para la métrica de Kerr-extremo, que
son las que minimizan el funcional en simetrı́a axial, son, al menos, un extremo de
este nuevo funcional.
Además,se demostró que la función libre h tiene que ser una función que tiene
proyección solo sobre armónicos esféricos con l=1.
7.3.
Capı́tulo 5: Gauge Conforme.
En el capı́tulo 5 se trabajó con una 3-métrica conforme usando al construcción
hecha en [7] para construir el escalar de curvatura. Además se usó que la la hipersuperficie Σ tenı́a métrica conforme a la de la esfera unidad. El resultado se enunció en
el teorema 5.2.1:
Teorema:Sea S una 3-variedad cuya métrica es conforme hij = Ω4e
hij . Además
hij con segunda forma fundamental Kij satisfacen las ecuaciones de vı́nculo. Sea Σ
un hipersuperficie de S cuya métrica inducida es γab = ϕ4 [dθ2 + sen2 θdφ2 ], donde
ϕ = eσ . Además, la segunda forma fundamental de Σ cumple χ̇ ≥ 0. Entonces, vale
la siguiente desigualdad:
Z "
Z
4π +
σdS0 ≥
#
2
∂
ζ
1
φ
|Dσ|2 +σ + ∂θ λ +
e−2σ dS0
4
senθ
(7.3)
Capı́tulo 7. Conclusiones
64
Con los resultados del teorema 5.2.1 se pudo hacer una demostración alternativa del
teorema para simetrı́a axial.
7.4.
Problemas abiertos.
En esta sección se discutirán los problemas abiertos que aun quedan por hacer
según los resultados obtenidos en esta tesis.
Naturalmente, el problema abierto más relevante es poder demostrar la conjetura
2.1. En el capı́tulo 4 se encontraron las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional
y según el teorema 4.2.1 se tiene una desigualdad del tipo:
Z Z
σdS0 ≥
4π +
−2eσ
1
1 R 2
2
I 2
|Dσ| +σ + 4 (η1 ) + (η1 ) e
dS0
4
r
(7.4)
Lo que queda es poder encontrar un mı́nimo del funcional, es decir una cota
inferior que dependa del momento angular talque:
eM−8/8 ≥ 2J
(7.5)
Si el funcional cumple la desigualdad (7.5) entonces se podrı́a haber demostrado
la conjetura. Para el caso en que la métrica es conformemente plana, se cree que toda
la información del momento angular está contenida en la función ηI y que será la
parte con armónicos esféricos l=1 de la misma.
Para el caso en que la 3-métrica es conforme se llegó a:
Z "
Z
4π +
σdS0 ≥
#
2
∂
ζ
1
φ
|Dσ|2 +σ + ∂θ λ +
e−2σ dS0
4
senθ
(7.6)
Donde, al igual que antes, para que la demostración salga, es necesario que el
funcional cumpla la desigualdad (7.5). Por lo tanto hay que encontrar las ecuaciones
de Euler-Lagrange del funcional y resolverlas. Aún haciendo esto, en este caso no hay
ninguna definición ampliamente aceptada de momento angular. Un camino posible
para resolver este problema es mostrar que todo candidato J a momento angular
Capı́tulo 7. Conclusiones
65
satisface la desigualdad entre área y J.
Se cree que la información del momento angular va a estar decodificada en las
componentes l=1 de la función λ.
Para concluir, es necesario poder obtener un mı́nimo de los funcionales encontrados en los distintos gauges y poder relacionar estos con el momento angular del
agujero negros. Esto no es tarea sencilla ya que no hay definiciones concretas para
el momento angular.
Bibliografı́a
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