el péndulo simple

El oscilador armónico-Ondas
Física 2º Bachillerato
Curso 2008–2009
EL PÉNDULO SIMPLE.
Deducción de la ecuación de movimiento
Cuando una masa colgada de
un
hilo
es
desplazada
ligeramente de su posición de
equilibrio, la masa empieza a
oscilar con un movimiento
armónico simple.
θ
Como se deduce de la imagen,
la fuerza restauradora es :
l
−Fp ⋅ senθ
m
Fp ⋅ senθ
Fp = −mg
θ
[1]
Por otro lado, la relación entre
el arco recorrido por la masa
que cuelga del hilo, la longitud
del hilo y el ángulo del hilo
con la vertical viene dada por:
s (t) = l ⋅θ (t)
[2]
Derivando dos veces esta expresión respecto del tiempo, obtenemos:
d2s
d2θ
=
l
dt 2
dt 2
[3],
en donde hay que recordar que, por definición,
d2s
=a.
dt 2
[4]
Combinamos ahora las expresiones [1], [3] y [4]:
Fp ⋅ senθ = ma ⇒ Fp ⋅ senθ = m ⋅ l
d2 θ
dt 2
[5]
Reordenando términos y recordando que Fp = −mg se tiene:
1
Juan J. Pascual
Física 2º Bachillerato
m⋅l
El péndulo simple
d2θ
d2θ g
+
mg
⋅
sen
θ
=
0
⇒
+ senθ = 0
dt 2
dt 2 l
[6],
Si θ es muy pequeño, podemos hacer el siguiente desarrollo:
senθ = θ −
θ3 θ5
+ − ... ≈ θ
3! 5!
[7]
Entonces, [6] se puede escribir así:
d2 θ g
+ θ=0,
dt 2 l
[8]
d2 y
la cual es una ecuación diferencial del tipo
+ ω 2 ⋅ y = 0 , de solución: y = y 0 sen (ωt + ϕ) .
2
dx
En nuestro caso, la ecuación del movimiento y la pulsación del péndulo simple serán:
θ = θ 0 sen (ωt + ϕ)
d2 θ g

+ θ = 0 ⇒
2
ω = g
dt
l

l
[9]
*****
Juan J. Pascual
2