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Propagación en medios
inhomogéneos
1
Medios estratificados: vector de Bouguer
„
Índice de refracción depende solo de una variable
cartesiana, por ejemplo, x: n(x)
„
i – vector unitario en la dirección x:
„
Ecuación de rayo
„
Vector de Bouguer
d
dn
( ns ) = i
ds
dx
dn
∇n =
i
dx
a = i × ns
da d
di
dns
dn
= ( i × ns ) = n × s + i ×
= 0+ i×i
=0
ds ds
ds
ds
dx
„
„
„
El vector a se mantiene constante a lo largo de un rayo Î
la curva que represente cualquier rayo se encuentra en un
plano, que contiene al eje x.
El modulo de a depende de condiciones iniciales Î
Ley de Snell a=n0senθ0=n(x)senθ (θ es el ángulo con el eje2x)
Ecuación de rayos en medios estratificados
„
„
s=
Supongamos que el rayo se encuentra en el plano x-z
En la forma paramétrica r(α)={x(α),0, z(α)}
i
a = ni × s = n  1
 sx
{ x´(α ), 0, z´(α )}
2
2
[ x´(α )] + [ z´(α )]
[ z´(α )]
2
2
a 2 = n2
„
[ x´(α )] + [ z´(α )]
2
2
→
A partir de ecuación
dn d
= ( nsx ) ;
dx ds
k
0 0  = − jnsz =
0 sz 
j
2
 x´(α )   dx 
n2
 z´(α )  =  dz  = a 2 − 1

  
− jnz´(α )
[ x´(α )] + [ z´(α )]
2
2
2
n2
 dx 
 dz  = a 2 − 1
dn d
= ( ns )
dx ds
d
( nsz ) = 0 → n( x) senθ ( x) = n0 senθ0 = cte = a
ds
i
n0 senθ 0
dz
senθ ds
=±
= ± tan θ = ±
dx
cos θ ds
n 2 ( x) − n 2 0 sen 2θ 0
„
Otra forma de la ecuación
1
(dn 2 ( x) / dx)(dx / dz )
1
d 2x
dn 2 ( x)
=
=
2
2
2
2
2n0 senθ 0 n ( x) − n 0 sen θ 0
2(n0 senθ 0 ) 2 dx
dz
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Espejismos
Índice de refracción es menor cerca de
la superficie o pared Î charcos de
agua
Índice de refracción es mayor cerca de
la superficie Î falso ONVI
Superposición de varios imágenes Î
Fata Morgana
Charcos de agua
Trayectorias curvadas de rayos del sol
Î aumento del día 7-8 mins
Paredes
calientes
Superposición de dos imágenes del sol
(un imagen invertido)
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Medios con simetría radial: vector de Bouguer
El índice de refracción depende de la
distancia a un cierto punto (origen de
coordenadas): n(r)
d
dn r
(ns) =
ds
dr r
„
„
El vector de Bouguer
b = r × ns
y
ϕ
s
r
θ
x
db dr
dr
dn r
 dr 
= ×n + r×n  = 0 + r×
=0
ds ds
ds
dr r
 ds 
permanece constante a lo largo de un rayo Î los rayos
describen curvas planas (el plano contiene el origen de
coordenadas)
„ Ley de Snell para medios con simetría radial
b = n0 r0 senϕ0 = nrsenϕ
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Ecuación de rayos en medios con simetría
radial
Tomemos coordenadas polares (r,θ); ϕ es el ángulo que
forman r y s Î
r0 n0 senϕ0
rdθ senϕ
tan ϕ =
=
=
dr cos ϕ
n 2 r 2 − (r0 n0 senϕ0 ) 2
„
2 2
2
dr r n r − (r0 n0 senϕ0 )
=
dθ
r0 n0 senϕ0
„
Ejemplos: Ojo de pez de Maxwell n(r)=n0/[1+(r/d)2]
Lente de Luneburg n(r)=[2-(r/d)2]1/2
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Propagación en medios con simetría cilíndrica
El índice de refracción no depende de una de las
coordenadas cartesianas (z): n(x,y)
d (ns) ∂n ∂n
„ Ecuación de los rayos
= i+
j
ds
∂x
∂y
d (nsz ) d  dz 
dz
n
n = h = n0 sz 0 = cte → ds = dz
= n  = 0 →
ds
ds  ds 
ds
h
„
d  dx  ∂n
n  =
ds  ds  ∂x
d 2x
1 ∂n 2
= 2
2
dz
2h ∂x
„
→
hd 
dx  ∂n
nh

=
ndz  ndz  ∂x
→
h 2 d 2 x ∂n
=
2
ndz
∂x
d2y
1 ∂n 2
= 2
2
dz
2h ∂y
Ejemplos: fibras selfoc n2=n02[1-a2(x2+y2)]
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