Flujo Potencial

Regiones no viscosas de un flujo
Flujo Potencial
►
(Clase I)
Definició
Definición: Regiones donde las fuerzas viscosas son despreciables si
se las compara a las fuerzas de presió
presión y/o inercia
~0 si Re importante
Ecuación de Euler
Los efectos de la viscosidad de los
fluidos reales quedan limitados a las
regiones del espacio (muchas veces
pequeñ
pequeñas) donde tienen lugar fuertes
gradientes de la velocidad (capas
límite, o regiones donde el flujo es
turbulento)
En el grueso del flujo los efectos de la
viscosidad son despreciables y el fluido
se puede suponer ideal.
Funció
Función potencial:
Campos conservativos
► El
movimiento de un fluido se llama irrotacional o
potencial si:
r
r r
r
ω = rot V = ∇xV = 0
∀( x1 , x2 , x3 )
()
► Esta
condició
condición asegura la existencia de una funció
función
potencial tal que
r
r
V = (v1 ; v2 ; v3 ) = grad φ = ∇φ
vi =
∂φ
∂xi
Si consideramos campos que son a la vez conservativos
y solenoidales (hip.
hip. Flujos incompresibles), la funció
función
potencial debe satisfacer la ecuació
ecuación de Laplace
vi =
∂φ
∂xi
∂vi
=0
∂xi
►
⇒ ∇ 2φ =
La vorticidad permite cuantificar la rotació
rotación de
las partí
partículas fluidas (es el doble de la
velocidad angular)
►
Para que esa rotació
rotación tome lugar tiene que
haber un torque sobre la partí
partícula fluida.
Este torque aparece como consecuencia de la
viscosidad del fluido.
►
►
∂ 2φ
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
=0
=
+
+
2
2
2
∂xi ∂xi
∂x 2
∂x 2
∂x1
El campo de velocidades responde a una sola ecuació
ecuación
escalar
Flujos no viscosos=Flujo irrotacional
►
Las regiones inviscidas son tambié
también en
general regiones irrotacionales.
irrotacionales.
►
En las regiones materiales de flujo ideal no se
crea ni se destruye vorticidad.
vorticidad.
►
La vorticidad en un flujo inviscido es una
propiedad que es transportada por la partí
partícula
fluida.
Si inicalmente es nula sigue siendo nula en
todo otro momento.
►
Campos de velocidades
Conservativos y Solenoidales
►
Flujos irrotacionales
►
r
r
1 *2 r *
Dω * r *
= ω grad * ω * +
∇ ω
* *
Dt
Re
( )
( )
Condiciones de contorno para flujos
potenciales
►
La teorí
teoría de la ecuació
ecuación de Laplace establece que la solució
solución está
está
determinada si se conoce el valor de φ sobre toda una superficie
cerrada.
►
Sin embargo, es preferible en el presente contexto imponer
condiciones sobre la velocidad. Esto plantea el problema de averiguar
averiguar
qué
qué condició
condición sobre la velocidad es equivalente a asignar un valor a φ.
►
Evidentemente, por lo general no se podrá
podrá especificar u (es decir,
todas sus componentes), pues serí
serían tres condiciones, y no una sola
como es asignar un valor al escalar φ.
►
Se puede demostrar que el campo u queda uní
unívocamente determinado
si se asigna só
sólo la componente normal de u sobre el contorno
cerrado, es decir, una condició
condición escalar.
1
Hipótesis de Flujo irrotacional
La solució
solución de un problema de flujo potencial
consiste pues en la determinació
determinación de dos
magnitudes escalares, φ y p, para lo cual
disponemos de dos ecuaciones escalares:
Laplace y Bernoulli
► El proceso es entones
►
1. Calcular φ a partir de la ecuació
ecuación de Laplace
2. Calcular el campo de velocidades por la definició
definición
de funció
función potencial
3. Calcular la presió
presión a partir de Bernoulli
Válido para flujo 3D o 2D
Flujos 2D: Funció
Función corriente
Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para el
conocemos la expresió
expresión de la lílínea de corriente y que esa expresió
expresión es
∂ψ
∂ψ
dψ =
dx1 +
dx2
ψ x1 , x2 = cte
∂x1
∂x2
Si comparamos con la ecuació
ecuación diferencial de la lílínea de corriente
►
(
v2 dx1 − v1 dx2 = 0
Sistema Cartesiano
v1 =
∂ψ
;
∂x 2
v2 = −
Sistema Esfé
Esférico (Á
(Áxisimé
xisimétrico)
trico)
Sistema de Coordenadas
Cilí
Cilíndrico
►
1 ∂ψ
Vr = −
r ∂z
1 ∂ψ
Vz =
r ∂r
Casos simples de flujos Solenoidales
y conservativos
►
►
Soluciones de la ecuació
ecuación de
Laplace con formas polinó
polinómicas.
micas.
Movimiento de traslació
traslación puro
φ = a0 + ai xi + b j x 2j
r
r
V = (v1 ; v2 ; v3 ) = grad φ = ∇φ
φ = U ∞ x1 + V∞ x2
vi =
∂φ
∂xi
r
(
(
V = U ∞ e1 + V∞ e2
x2
∂ψ
= −v2 = −V∞
∂x1
∂ψ
= v1 = U ∞
∂x2
x1
⇒ ψ = −V∞ x1 + U ∞ x2
∂ψ
∂x1
Que va a ser siempre vá
válida si el campo de velocidades es solenoidal
r ∂V ∂V y
∂ 2ψ ∂ 2ψ
div V = x +
=0⇒
−
=0
∂x
∂y
∂x∂y ∂y∂x
()
‹Entonces la existencia de la funció
función corriente Ψ(x,y)
x,y) está
está
asegurada para campos bidimensionales y solenoidales
Flujos Solenoidales y conservativos
bidimensionales
►
1
∂ψ
; Vθ = −
r sen θ ∂r
v2 = −
►
Vr =
∂ψ
1
Vr = 2
r sen θ ∂θ
∂ψ
;
∂x2
De donde podemos asociar
1 ∂ψ
r ∂θ
∂ψ
Vθ = −
∂r
Sistema Polar
(Simetrí
(Simetría Esfé
Esférica)
►
►
∂ψ
∂x1
v1 =
►
Expresió
Expresión de las lílíneas de corriente en
distintos sistemas de coordenadas
►
)
►
En este caso ademá
además de
cumplirse la ecuació
ecuación de
Laplace para la funció
función
potencial se cumple
tambié
también para la funció
función
corriente.
Por lo que superposició
superposición
de funciones corriente son
tambié
también solució
solución.
v1 =
∂ψ
;
∂x 2
v2 = −
∂ψ
∂x1
∇×v = 0
∇ 2ψ = 0
ψ = ψ 1 +ψ 2
Punto de estancamiento
(
a
φ = x12 − x2 2
2
)
r
r
V = (v1 ; v2 ) = grad φ = ∇φ
vi =
r
(
(
V = a x1 e1 − a x2 e2
∂ψ
= − v 2 = a x2
∂x1
∂ψ
= v1 = a x1
∂x2
∂φ
∂xi
⇒ ψ = a x1 x2
Para x1=x2=0 Punto
de estancamiento
r r
V =0
Video
2
Fuente y
sumidero
Soluciones singulares
► Analizamos
a continuació
continuación funciones que
satisfacen la ecuació
ecuación de Laplace a
excepció
excepción de ciertos puntos que llamamos
puntos singulares.
► En
esos puntos en general no se verifica
que la divergencia o el rotor del campo de
velocidades sea nulo
K cos θ
Φ=
r2
Ksen 2θ
Ψ=−
r
a
φ=
grad φ =
►
►
∇ 2φ =
1 ∂ ⎛ 2 ∂φ ⎞
1
1
∂ 2φ
∂ ⎛
∂φ ⎞
⎟+
⎜ senθ
⎟+
⎜r
∂θ ⎠ r 2 sen 2θ ∂γ 2
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝
grad (φ ) =
∂φ ( 1 ∂φ (
1 ∂φ (
er +
eθ +
eγ
∂r
r ∂θ
r senθ ∂γ
r
∂Vγ
∂
1 ∂ 2
1
div V = 2
r Vr +
(Vθ senθ ) + 1
r ∂r
r senθ ∂θ
r senθ ∂γ
()
A
r
(
)
A
V =− 2
1 ∂φ (
∂φ ( 1 ∂φ (
er
eθ +
eγ ⇒ r
r
∂r r ∂θ
r senθ ∂γ
Vθ = 0
Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a infinito
Las lílíneas de corriente se obtienen considerando para este caso
1
∂ψ
r 2 sen θ ∂θ
⇒ ψ = − A cosθ
1 ∂ψ
Vθ = −
r sen θ ∂r
Vr =
►
Supongamos una funció
función potencial
que se expresa como
►
El rotor de las velocidades presenta
un punto singular en el origen
grad (φ ) =
Sumidero
Fuente
θ
Vórtice Ideal
Si la distancia a tiende a cero:
x
a
(
er
► La ecuació
ecuación de Laplace
admite como solució
solución
Doblete Puntual
y
γ
∂φ ( 1 ∂φ (
er +
eθ ⇒
r ∂θ
∂r
φ=
k
θ
2π
r
1 ⎛ ∂Vr ∂ (rVθ ) ⎞ (
∇×V = −
−
⎜
⎟eγ
∂r ⎠
r ⎝ ∂θ
∂φ
=0
∂r
1 ∂φ 1 k
Vθ =
=
r ∂θ r 2π
Vr =
1 ∂ψ
k
r ∂θ
⇒ψ = −
log (r )
∂ψ
2π
Vθ = −
∂r
Vr =
K=Aa
es la intensidad del doblete
Flujo Irrotacional
Técnicas de resolució
resolución de la
Ecuació
Ecuación de Laplace
2D
► Métodos
Indirectos: Aná
Análisis de soluciones
ƒ Métodos de Singularidades
ƒ Métodos de Variable Compleja
► Métodos
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Directos: Determinació
Determinación de soluciones
Métodos Analí
Analíticos
Métodos grá
gráficos de redes de flujos
Métdodos Analó
Analógicos
MEFY y MDF
Métdos de Paneles
3
Métodos de Singularidades
Video
►
Debido a que la ecuació
ecuación de Laplace es lineal, las combinaciones lineales
de soluciones son tambié
también soluciones de la misma. Se puede entonces
construir el campo de velocidad de un problema de flujo potencial
potencial
superponiendo soluciones simples ya conocidas.
►
La base del mé
método de singularidades consiste en disponer fuentes y
sumideros en el fluido de modo tal que la suma de las intensidades
intensidades sea
cero y sobre esta solució
solución se superpone un flujo de traslació
traslación.
Cuerpo Seminfinito de Rankine (de revolució
revolución)
► Superponemos
ƒ Flujo paralelo s/x
φ1 = U ∞ x = U ∞ r cosθ
Las lílíneas de corriente que emanan de las fuentes terminan en los
sumideros
► Existe una lí
línea de corriente frontera que separa las lílíneas de corriente
que unen fuentefuente-sumidero de aquellas que vienen del infinito.
ƒ Fuente en el orí
orígen de
coordenadas
►
►
Esta lílínea frontera es impermeable y se la asocia al contorno de un
cuerpo.
►
El escurrimiento que contornea ese cuerpo coincide entonces con aquel
inducido por la superposició
superposición de las funciones potenciales consideradas.
► Funció
Función
corriente
► Considerando
la componente segú
según r al integrar
ψ = U∞
►Y
ƒ Sumidero en el infinito
φ3 = −
► Luego
ψ = U∞
r2
ψ = U ∞ sen 2θ − A cos θ + cte
2
► Expresió
Expresión
A
=0⇒r =
r2
uθ = −U ∞ senθ = 0 ⇒ θ = π
ur = U ∞ cos θ +
►
Línea de corriente que pasa por el punto de estancamiento
ψ = U∞
►
A/U∞ = a
r2
sen 2θ − A cos θ = K
2
Contorno del cuerpo
r=
K = U∞
a
senθ
1 + cos θ
2
A
sen2 (π ) − Acos(π ) = A
U∞ 2
a
2a
r2
sen 2θ − A cosθ = K 0 − cte = K
2
Cálculo de las presiones
► En
Posició
=uθ
θ=0)
Posición del punto de estancamiento (ur
(ur=u
generadora de las dist líneas de corriente
ψ = U∞
► Para
►
2
r
sen 2θ − A cos θ + f (θ ) + cte
2
A
=0
r
Cuerpo Semiinfinito de Rankine
r2
sen 2θ − A cos θ + f (r ) + cte
2
segú
según la otra direcció
dirección
A
r
φ2 =
Determinació
Determinación de la forma del cuerpo
∂ψ
1
(
A
Vr = ∇φ • ir = U ∞ cos θ + 2 Vr = r 2 sen θ ∂θ
r
(
1 ∂ψ
Vθ = ∇φ • iθ = −U ∞ senθ
Vθ = −
r sen θ ∂r
φ = φ1 + φ2 + φ3
el punto de estancamiento
otro punto
1 2 P∞
P
V∞ +
+ gz∞ = 0 + gz0
2
ρ
ρ
P
1 2 P∞
1
V∞ +
+ gz∞ = V 2 + + gz
2
ρ
2
ρ
⎛ 1 ⎛ a ⎞2
⎞
4
V 2 ≈ V∞2 ⎜1 + ⎜ ⎟ + Θ(a / r ) ⎟
⎜ 2⎝r ⎠
⎟
⎝
⎠
► Desarrollando
en serie
► Despreciando
el té
término asociado al potencial
gravitatorio
Tubos de Prandtl (Pitot)
r >> a ⇒ V 2 ≈ V∞2
U∞ =
2Δp
ρ
; P ≈ P∞
4
Óvalo de Rankine (de revolució
revolución)
► Superponemos
Óvalo de Rankine
φ = φ1 + φ2 + φ3
► De
manera similar al caso de só
sólido semiinfinito
de Rankine se alcanza la siguiente expresió
expresión
para la funció
función corriente ψ = A(cosθ − cosθ ) − 1 U r sen θ
ƒ Flujo paralelo s/x
1
► En
φ1 = U ∞ x = U ∞ r cosθ
ƒ Fuente en r=r=-d
φ3 = −
Θ2
Θ1
A
r22
Fuente
d
⎧
⎪ >> 1
⎪
U ∞ d 2 ⎪⎪ ≈ 1
⎨
A ⎪
⎪
⎪<< 1
⎪⎩
r2
r
d
x
Sumidero
Esfera en desplazamiento uniforme
Las lílíneas de corriente responden a
►
Aquella que define a la esfera es
►
La funció
función potencial es
ψ=
cp =
K
1
sen 2θ − U ∞ r 2 sen 2θ
r
2
⎛ 2K ⎞
⎟⎟
r = b = ⎜⎜
⎝ U∞ ⎠
1
⎛ u ⎞
p − p∞
⎟⎟
= 1 − ⎜⎜
0.5 ρ U ∞2
⎝ U∞ ⎠
2
Ovalo
acigarrado
Ovalo
esferoidal
⎛ A ⎞
⎟⎟
esfera radio ≈ ⎜⎜
⎝ 4U ∞ ⎠
1
3
2
1 2 P∞ 1 2 P
U∞ +
= U +
2
ρ 2
ρ
Sobre la superficie de la esfera
3
uθ = − U ∞ sen θ
2
3
⎞
⎛ b3
⎞
⎛K
Φ = cosθ ⎜ 2 + U ∞ r ⎟ = U ∞ cosθ ⎜⎜ 2 + r ⎟⎟
⎠
⎝r
⎠
⎝ 2r
9
c p = 1 − sen2θ
4
1,0
0,5
Vmx=1.5
Vmx=1.5 U∞
0,0
cp
⎛ ⎛ b ⎞3 ⎞
u r = U ∞ cos θ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝r⎠ ⎟
⎝
⎠
2
Coeficiente de Presión
El movimiento alrededor de una esfera surge como
superposició
superposición de un movimiento de traslació
traslación y un doblete
►
∞
1 U∞ 2 2
r sen θ
2 A
cosθ 2 − cosθ1 =
y
r1
2
tanto que el cuerpo queda definido por
A
φ2 = 2
r1
ƒ Sumidero en r=d
2
-0,5
⎛ ⎛ b ⎞3 ⎞
1
uθ = − U ∞ sen θ ⎜ 2 + ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝r⎠ ⎟
2
⎝
⎠
-1,0
-1,5
0
1
2
3
4
5
6
θ
Flujos Potenciales Planos
flujos planos es necesario redefinir las
soluciones singulares o elementales
Coeficiente de Presión: Cilindro
► En
Fuente o
sumidero
puntual
Línea de Fuente
o sumideros
cp =
⎛ u ⎞
p − p∞
⎟⎟
= 1 − ⎜⎜
0.5 ρ U ∞2
⎝U∞ ⎠
φ = Aln r
2
uθ = −2U ∞ sen θ
c p = 1 − 4 sen 2θ
1,5
1,0
0,5
0,0
Doblete
Puntual
Doblete plano
Esfera
Cilindro
φ=K
cosθ
r
cp
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
⎛
a2 ⎞
φ = U ∞ ⎜⎜ r + ⎟⎟ cosθ
r ⎠
⎝
-3,0
-3,5
0
1
2
3
4
5
6
θ
5
Energí
Energía ciné
cinética y su variació
variación de un
cuerpo desplazá
desplazándose en un fluido
►
►
►
►
►
Consideramos un sistema solidario con el cuerpo que se
desplaza a velocidad V en un fluido inmó
inmóvil.
Las soluciones de la ecuació
ecuación de Laplace pueden expresarse de
manera general en sistema de coordenadas esf.
esf. como
r r
Video1
r ⎛1⎞
(
(
( ⎛1⎞
B•n
φ = B∇⎜ ⎟ = (Br ir + Bθ iθ + Bγ iγ )∇⎜ ⎟ = − 2
Video2
r
⎝r⎠
⎝r⎠
► El
r r r r
campo de velocidades r
3(B • n )• n − B
del fluido se expresa
U = ∇φ =
r3
entonces
► Observar
r 1
U ≈ 3
r
que
Donde r es la distancia al origen.
origen.
El vector B depende de la forma del cuerpo y su modulo
depende linealmente de la velocidad del cuerpo .
Sólo puede ser determinado si se resuelve la ecuació
ecuación de
Laplace con las condiciones de borde correspondientes
Ejemplo: El caso de la esfera
desplazá
desplazándose en fluido inmó
inmóvil
⎞
⎛ b3
⎛K
⎞
Φ = cosθ ⎜ 2 + U ∞ r ⎟ = U ∞ cosθ ⎜⎜ 2 + r ⎟⎟
⎝r
⎠
⎠
⎝ 2r
Doblete
⎛ b3 ⎞
Φ = −V cosθ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ 2r ⎠
r ⎛1⎞
⎝r⎠
Sistema de
referencia fijo
(esfera quieta y
flujo incidente)
1
1 (
∇ = − 2 er
r
r
2
∫
Volumen del
fluido +
cuerpo
r r
U •U dV *
V*
Ecin =
r
V
ρ
2
(4π B V − V
r r
V2
olc
)
r r
= V dP
Crecimiento de la energía cinética del
fluido
mikViVk 1 r T rr r
= V MV
2
2
Pi = mikVk
r rr r
P=MV
Volc
r
V = (V1 ,V2 ,V3 )
(ver demostración en Landau Lifchitz Fluid
Mechanics)
Como B es lineal con V entonces
Tensor de masas asociado al
escurrimiento con componentes
=
Ecin =
ρ
V * = Vol − Volc
Sistema de referencia
móvil solidario con el
cuerpo
Cantidad de Movimiento impartida al
fluido
r r
r r r r
dP = F dt ⇒ V dP = F (V dt ) Trabajo de la fuerza exterior F sobre
el camino V dt
dEcin
Ecin =
Traslación
r
r V b3
B =
2
φ = B∇⎜ ⎟
Energí
Energía ciné
cinética Impartida al Fluido
por el movimiento del cuerpo
r
r
r
P = 4πρ B − VolcV
Ecin =
mikViVk 1 r T rr r
= V MV
2
2
()
r
mik = mik B
Paradoja de D´Alambert
► La
fuerza que debe entregarse al fluido para que
un cuerpo se desplace es
r
r
r
dP d 4πρ B − VolcV
=
dt
dt
► Si el cuerpo avanza a velocidad constante
r
dP
=0
dt
► La paradoja de D’alembert expresa que en estas
condiciones no se deberí
debería hacer esfuerzo alguno
para hacer avanzar el cuerpo en el fluido.
(
)
6
Análisis de la paradoja
► Si
hubiera que hacer un esfuerzo, se
transmitirí
transmitiría un esfuerzo al fluido, este
cambiarí
cambiaría su cantidad de movimiento y su
energí
energía ciné
cinética.
Excepciones
► Las
ondas superficiales permiten vehiculizar
la energí
energía al infinito y aun aplicando la
teorí
teoría del flujo potencial en este caso el
cuerpo debe hacer un esfuerzo para
avanzar.
► No
habiendo disipació
disipación alguna esta energí
energía
ciné
cinética deberí
debería ser transferida por algú
algún
mecanismo al infinito pero las velocidades
decaen con ~1/r3 por lo que no es posible
Acció
Acción diná
dinámica de la corriente en
flujos reales
►
Un só
sólido que se desplaza
en un fluido real (viscoso)
experimenta en todos los
casos una fuerza en la
direcció
dirección del movimiento
(arrastre) que resiste al
movimiento y otra en
direcció
dirección perpendicular.
ƒ Arrastre
► Coeficiente
ƒ Sustentació
Sustentación
► Coeficiente
► Video
1
2
► Video 3
► Video
de arrastre
CD =
FRe sistencia
1 / 2 ρ U ∞ A2
de Sustentació
Sustentación
CL =
Fsustentación
1 / 2 ρ U ∞ A2
Escurrimiento Real Alrededor de una
esfera
Video 1
Video 2
Video 3
Video 4
Escurrimiento real alrededor de una
elipse
Escurrimiento real alrededor de un
cilindro
► Video
1
► Video 2,
2, 2b
► Video3
Video3
► Video 4
7
Cuerpos aerodinámicos
1,5
1,0
0,5
0,0
cp
-0,5
► Video
1
► Video 2
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
0
1
2
3
4
5
6
θ
Conclusiones
►
En esta clase concentramos nuestra atenció
atención en los
métodos de resolució
resolución indirectos.
►
Consideramos particularmente el mé
método de singularidades
y como nos podemos servir del mismo para describir flujos
alrededor de cuerpos
►
Vimos que el flujo potencial resulta incapaz de predecir
correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpos
sumergido que avanza a velocidad constante.
►
La teorí
teoría sin embargo permite predecir fuerzas en otros
casos particulares de interé
interés
8