[email protected] γ6− 0 γ6+ γ5− γ5+ 1 Versión original (V. Drinfel’d 90’s) γ1− γ1+ γ4− γ4+ ∞ γ3− γ3+ − 1 γ2 γ2+ {z = w} Re(P1 − {0, 1, ∞}) {z = 0} {z = 1} {w = 0} Re(w) {w = 1} Re(z) (esquema de Dror Bar-Natan) π1Betti(Conf(C, n), x0) ≃ PˆB n(C) −→ exp(t̂n) = Aut(Ex0 ) ≃ π1deRham(X) Tenemos entonces un morfismo de monodromı́a 2iπ N 1 0 B(τ ) A(τ ) z1 z2 x2 ↔ y1↔ ... 1 zn el espacio de configuraciones del toro complejo: Conf(T, n) τ Conf(T, n) = Tn − Diag = {(z1, ..., zn) ∈ Tn|zi ̸= zj if i ̸= j} . Sean n ≥ 1, τ ∈ H fijo, T = C/(Z ⊕ τ Z) el toro complejo y sea: 3 Versión Elı́ptica (Calaque-En.-Etingof ’08) 0 e θ(z+x|τ ) i=1 n ! j|j̸=i ( ) ! dzi − yi + k(zi − zj , adxi|τ )(tij ) . ! (−1)n n≥0 ! d1,...,dn≥0 Id1,d2,...,dn ad(x)d1+1(y)...ad(x)dn+1(y). = A0,2,13 A0,1,23 4 Versión Ciclotomico-Elı́ptica (C.-G. (EP)) A0,12,3 Además, el asociador KZB elı́ptico es un asociador elı́ptico: transfiere un cierto número de relaciones como aquella representada a continuación: AKZB (τ ) = Teorema 6 (Enriquez ’15) Las holonomı́as regularizadas de 0 a 1 y de 0 a τ de la conexión ∇KZB generan un par (AKZB (τ ), BKZB (τ )) ∈ (exp(t̂1,2))2 1,2 llamado asociador elı́ptico de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard que es un par de series generadoras de elementos bautizados valores multizeta elı́pticos (regularizados) (Id1,d2,...,dn (τ ), Jd1,d2,...,dn (τ )). Por ejemplo: es plana sobre un cierto fibrado P (no trivial, dado en secciones por ciertas funciones holomorfas pseudo-periódicas) e induce un (iso)morfismo de monodromı́a π̂1(Conf(T, n))(C) ≃ PˆB 1,n(C) → exp(t̂1,n). ∇KZB 1,n = d − Teorema 5 La conexión KZB elı́ptica universal: Sea k(z, x|τ ) := θ(z|τ )θ(x|τ ) − x1 ∈ Hol(C − (Z ⊕ τ Z))[[x]], donde θ(z|τ ) es la función thêta de Euler. . [tij , tik + tjk ] = 0, [xi, tjk ] = [yi, tjk ] = 0, [xi + xj , tij ] = [yi + yj , tij ] = 0. El generador xi puede ser representado bajo la forma xi La C-álgebra de trenzas elı́pticas infinitesimales t1,n es la C-álgebra de Lie libre con generadores x1, . . . , xn y y1, ..., yn donde i = 1, ..., n, y con relaciones [xi, yj ] := tij = tji (para 1 ≤ i ̸= j ≤ n), y, para i, j, k, l diferentes, las relaciones: ' [tij , tkl ] = [xi, xj ] = [yi, yj ] = 0[xi, yi] = − j|j̸=i tij , AΓ(τ ) z1 z2 ... zn 1 M Conf(T, n, Γ = Z/M Z × Z/N Z) D. Calaque-M. Gonzalez: On the twisted elliptic KZB connection; Calaque-Enriquez-Etingof: Universal KZB equations: the elliptic case; B. Enriquez: Quasi-Reflection Algebras and Ciclotomic Associators, Elliptic associators, Analogues elliptiques des valeurs multizeta; V. Drinfeld: On quasi-triangular quasi-Hopf algebras and a group closely connected to Gal(Q/Q); Bosquejo de Bibliografı́a: (Curso Introductorio USFQ 2015, Amarun.net) Teorema 7 La conexión KZB ciclotomico-elı́ptica (que no escribiremos aquı́) sobre Conf(T, n, Γ) es plana, induce un (iso)morfismo de monoΓ dromı́a π̂1(Conf(T, n, Γ))(C) ≃ PˆB 1,n(C) → exp(t̂Γ1,n). 0 B Γ(τ ) τ N Sean M, N ∈ N≥1 y Γ = Z/M Z × Z/N Z. El espacio de configuraciones n n ∞ decoradas del toro complejo es nConf(T, n, Γ) = (C −Diagτ,n,Γ)/(Z⊕τ Z) , donde Diagτ,n,Γ := {(z1, ..., zn) ∈ C |zi − zj ∈ (1/M )Z × (τ /N )Z si i ̸= j}: Sea tn,N la C-álgebra de Lie de trenzas trigonométricas infinitesimales: ij es la C-álgebra de Lie libre con generadores t0i 0 , (i ∈ [1, n]), y t(a) , (i ̸= j ∈ [1, n], a ∈ Z/N Z), y con relaciones: Sea n ≥ 1. El espacio de n-configuraciones del plano complejo es: a = a a = que es además un isomorfismo, llamado formalidad de P Bn. a a a Conf(C, n) := (Cn − Diagn) = {(z1, ..., zn ) ∈ Cn|zi ̸= zj if i ̸= j}. a a a+b b Definición 2 El asociador KZ es la holonomı́a renormalizada de la Su grupo fundamental (topológico) es el grupo de trenzas puras a n hebras + = + KZ 1 −a b a−b b −b conexión ∇3 entre 0 y 1 (siguiendo la parte real de P (C) − {0, 1, ∞}) es P Bn que es generado por las trenzas elementales Pij , 1 ≤ i < j ≤ n, −a − b −b −a −a decir dado por la exponencial a caminos ordenados: ! ! j a 1 i n "# % & a + = + γ(1) $ X n −a Y a −a a + dz ε−X0 ∈ exp(f̂2(X, Y )). ΦKZ := lı́m εX1 P exp Pi,j = = j z z−1 ε→0 γ(0) a ! ! 1 i b a + = a + b−a a−b 1 i j n −a Los valores multizeta son, para r, k1 , . . . , kr ∈ N≥1, k1 ≥ 2, los reales −a b b −b −a que satisfacen las relaciones siguientes ! a = e2aπı/N , para cada a ∈ Z/N Z. 1 Sea ζN (Pij , Pkl ) = 1 if {i, j} y {k, l} son disjuntos, ζ(k1, . . . , kr ) := . k1 kr n . . . n −1 r Teorema 3 La conexión KZ ciclotómica universal : n >n >...>n >0 1 1 2 r (Pkj Pij Pkj , Pkl ) = 1 si i < k < j < l, y n 0i ! ! ! t(a)ij t0 (Pij , Pik Pjk ) = (Pjk , Pij Pik ) = (Pik , Pjk Pij ) = 1 si i < j < k. Teorema 2 El asociador de Knizhnik-Zamolodchikov es una serie genera∇KZ + n,N := d − a z dzi, z zi − ζN i j dora de todos los valores multizeta (regularizados) i.e. tenemos: La C-álgebra de Lie de Kohno-Drinfel’d tn es la C-álgebra de Lie libre i=1 j∈[1,n]−{i} Z/N Z con generadores tij , 1 ! i ̸= j ! n, módulo las relaciones de trenzas infinite! ×, n, Z/N Z) definida en el fibrado exp( t̂ (C))-principal trivial sobre Conf(C n,N ΦKZ(X, Y ) = ζw · w ∈ exp(t̂3) " exp(f̂2(X, Y )), simales, donde card{i, j, k, l} = 4: es plana. Tenemos entonces un morfismo de monodromı́a: w palabra en X,Y tij = tji π̂1(Conf(C×, n, Z/N Z))(C) ≃ PˆB n,N (C) −→ exp(t̂n,N ) donde ζw es el valor multizeta (regularizado) asociado a la palabra w. El aso[tij , tkl ] = 0 que es además un isomorfismo. ciador KZ, y por lo tanto los valores multizeta, satisfacen las relaciones de [tij , tik + tjk ] = 0. Teorema 4 La holonomı́a regularizada entre 0 y 1 en Conf(C×, n, Z/N Z) los asociadores de Drinfel’d: (ver el esquema de Dror Bar-Natan) de la conexión KZ ciclotómica es el asociador KZ trigonométrico ΨKZ ∈ exp(t̂2,N ) → exp(f̂N +1(X, Y1, ...YN ). Es una serie generadora de los Por ejemplo, la tercera relación es valores multizeta ciclotómicos ζ(s1, ..., sd ; z1, ..., zd) definidos como las 2 Versión Ciclotómica (Enriquez ’06) Sea E el fibrado exp(t̂n)-principal trivial sobre Conf(C, n). series convergentes: × × n N N Sea Conf(C , n, Z/N Z) = {(z1, ..., zn ) ∈ (C ) |zi ̸= zj si i ̸= j} el espaKZ ! z1n1 . . . zdnd Definición 1 La conexión KZ universal sobre E es ∇KZ n := d − ωn , ζ(s1, ..., sd ; z1, ..., zd) := , donde ωnKZ es la 1-forma diferencial sobre Conf(C, n) a valores en tn dada cio de configuraciones decoradas del cilindro: ns1 . . . nsdd n1>n2>...>nd>0 1 por la siguiente fórmula: zn2 donde N, d ≥ 1, (s1, s2, ..., sd ) son números naturales, s1 ≥ 2 y (z1, z2, ..., zd) ! ... Conf(C×, n, Z/3Z) Conf(C×, n) son d diferentes raı́ces N -ésimas de la unidad. El asociador KZ trigonométriωnKZ := d log(zi − zj )tij . co es un asociador de Drinfel’d ciclotómico - transfiere las relaciones: z22 1!i<j!n z12 2iπ t(2)23 ↔ 3 0 0 ... ... t01 ↔ Teorema 1 La conexión KZ universal es plana, es decir: 0 0 0 zn 0 z11 z21 0 z1 z2 zn1 3 zn3 z23 z1 1 KZ KZ = y = KZ 2 ... C = dωn + [ωn , ωn ] = 0 ∈ Ω (Conf(C, n), tn). 2 0 0 0 0 asociadas a los siguientes esquemas (de B. Enriquez y H. Furusho): Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Pierre-et-Marie-Curie, Asociación AMARUN. Martı́n González* Sobre cuatro avatares de la conexión KZB universal