So bre cua tro ava ta res de la co nex íon K Z B u n iv ersal

[email protected]
γ6− 0
γ6+
γ5−
γ5+
1 Versión original (V. Drinfel’d 90’s)
γ1−
γ1+
γ4−
γ4+
∞
γ3−
γ3+
−
1 γ2
γ2+
{z = w}
Re(P1 − {0, 1, ∞})
{z = 0}
{z = 1}
{w = 0}
Re(w)
{w = 1}
Re(z)
(esquema de Dror Bar-Natan)
π1Betti(Conf(C, n), x0) ≃ PˆB n(C) −→ exp(t̂n) = Aut(Ex0 ) ≃ π1deRham(X)
Tenemos entonces un morfismo de monodromı́a
2iπ
N
1
0
B(τ )
A(τ )
z1 z2
x2 ↔
y1↔
...
1
zn
el espacio de configuraciones del toro complejo:
Conf(T, n)
τ
Conf(T, n) = Tn − Diag = {(z1, ..., zn) ∈ Tn|zi ̸= zj if i ̸= j} .
Sean n ≥ 1, τ ∈ H fijo, T = C/(Z ⊕ τ Z) el toro complejo y sea:
3 Versión Elı́ptica (Calaque-En.-Etingof ’08)
0
e
θ(z+x|τ )
i=1
n
!
j|j̸=i
(
)
!
dzi − yi +
k(zi − zj , adxi|τ )(tij ) .
!
(−1)n
n≥0
!
d1,...,dn≥0
Id1,d2,...,dn ad(x)d1+1(y)...ad(x)dn+1(y).
=
A0,2,13
A0,1,23
4 Versión Ciclotomico-Elı́ptica (C.-G. (EP))
A0,12,3
Además, el asociador KZB elı́ptico es un asociador elı́ptico: transfiere un
cierto número de relaciones como aquella representada a continuación:
AKZB (τ ) =
Teorema 6 (Enriquez ’15) Las holonomı́as regularizadas de 0 a 1 y de 0 a
τ de la conexión ∇KZB
generan un par (AKZB (τ ), BKZB (τ )) ∈ (exp(t̂1,2))2
1,2
llamado asociador elı́ptico de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard que
es un par de series generadoras de elementos bautizados valores multizeta
elı́pticos (regularizados) (Id1,d2,...,dn (τ ), Jd1,d2,...,dn (τ )). Por ejemplo:
es plana sobre un cierto fibrado P (no trivial, dado en secciones por ciertas funciones holomorfas pseudo-periódicas) e induce un (iso)morfismo de
monodromı́a π̂1(Conf(T, n))(C) ≃ PˆB 1,n(C) → exp(t̂1,n).
∇KZB
1,n = d −
Teorema 5 La conexión KZB elı́ptica universal:
Sea k(z, x|τ ) := θ(z|τ )θ(x|τ ) − x1 ∈ Hol(C − (Z ⊕ τ Z))[[x]], donde θ(z|τ ) es la
función thêta de Euler.
.
[tij , tik + tjk ] = 0, [xi, tjk ] = [yi, tjk ] = 0, [xi + xj , tij ] = [yi + yj , tij ] = 0.
El generador xi puede ser representado bajo la forma xi
La C-álgebra de trenzas elı́pticas infinitesimales t1,n es la C-álgebra de Lie
libre con generadores x1, . . . , xn y y1, ..., yn donde i = 1, ..., n, y con relaciones
[xi, yj ] := tij = tji (para 1 ≤ i ̸= j ≤ n), y, para i, j, k, l diferentes, las relaciones:
'
[tij , tkl ] = [xi, xj ] = [yi, yj ] = 0[xi, yi] = − j|j̸=i tij ,
AΓ(τ )
z1 z2
...
zn
1
M
Conf(T, n, Γ = Z/M Z × Z/N Z)
D. Calaque-M. Gonzalez: On the twisted elliptic KZB connection;
Calaque-Enriquez-Etingof: Universal KZB equations: the elliptic case;
B. Enriquez: Quasi-Reflection Algebras and Ciclotomic Associators, Elliptic
associators, Analogues elliptiques des valeurs multizeta;
V. Drinfeld: On quasi-triangular quasi-Hopf algebras and a group closely
connected to Gal(Q/Q);
Bosquejo de Bibliografı́a: (Curso Introductorio USFQ 2015, Amarun.net)
Teorema 7 La conexión KZB ciclotomico-elı́ptica (que no escribiremos aquı́) sobre Conf(T, n, Γ) es plana, induce un (iso)morfismo de monoΓ
dromı́a π̂1(Conf(T, n, Γ))(C) ≃ PˆB 1,n(C) → exp(t̂Γ1,n).
0
B Γ(τ )
τ
N
Sean M, N ∈ N≥1 y Γ = Z/M Z × Z/N Z. El espacio de configuraciones
n
n
∞ decoradas del toro complejo es nConf(T, n, Γ) = (C −Diagτ,n,Γ)/(Z⊕τ Z) ,
donde Diagτ,n,Γ := {(z1, ..., zn) ∈ C |zi − zj ∈ (1/M )Z × (τ /N )Z si i ̸= j}:
Sea tn,N la C-álgebra de Lie de trenzas trigonométricas infinitesimales:
ij
es la C-álgebra de Lie libre con generadores t0i
0 , (i ∈ [1, n]), y t(a) , (i ̸= j ∈ [1, n],
a
∈ Z/N Z), y con relaciones:
Sea n ≥ 1. El espacio de n-configuraciones del plano complejo es:
a =
a
a =
que es además un isomorfismo, llamado formalidad de P Bn.
a
a
a
Conf(C, n) := (Cn − Diagn) = {(z1, ..., zn ) ∈ Cn|zi ̸= zj if i ̸= j}.
a
a
a+b
b
Definición 2 El asociador KZ es la holonomı́a renormalizada de la
Su grupo fundamental (topológico) es el grupo de trenzas puras a n hebras
+
=
+
KZ
1
−a b
a−b
b
−b
conexión ∇3 entre 0 y 1 (siguiendo la parte real de P (C) − {0, 1, ∞}) es
P Bn que es generado por las trenzas elementales Pij , 1 ≤ i < j ≤ n,
−a − b
−b
−a
−a
decir dado por la exponencial a caminos ordenados:
!
!
j
a
1 i
n
"#
% &
a
+
=
+
γ(1) $ X
n
−a
Y
a −a
a
+
dz ε−X0 ∈ exp(f̂2(X, Y )).
ΦKZ := lı́m εX1 P exp
Pi,j =
=
j
z
z−1
ε→0
γ(0)
a
!
!
1 i
b
a
+
= a
+
b−a
a−b
1 i j n
−a
Los valores multizeta son, para r, k1 , . . . , kr ∈ N≥1, k1 ≥ 2, los reales
−a
b
b
−b
−a
que satisfacen las relaciones siguientes
!
a = e2aπı/N , para cada a ∈ Z/N Z.
1
Sea ζN
(Pij , Pkl ) = 1 if {i, j} y {k, l} son disjuntos,
ζ(k1, . . . , kr ) :=
.
k1
kr
n
.
.
.
n
−1
r
Teorema
3 La conexión KZ ciclotómica universal :
n
>n
>...>n
>0
1
1
2
r
(Pkj Pij Pkj , Pkl ) = 1 si i < k < j < l, y
n 0i
!
!
! t(a)ij
t0
(Pij , Pik Pjk ) = (Pjk , Pij Pik ) = (Pik , Pjk Pij ) = 1 si i < j < k.
Teorema 2 El asociador de Knizhnik-Zamolodchikov es una serie genera∇KZ
+
n,N := d −
a z dzi,
z
zi − ζN
i
j
dora
de
todos
los
valores
multizeta
(regularizados)
i.e.
tenemos:
La C-álgebra de Lie de Kohno-Drinfel’d tn es la C-álgebra de Lie libre
i=1
j∈[1,n]−{i} Z/N Z
con generadores tij , 1 ! i ̸= j ! n, módulo las relaciones de trenzas infinite!
×, n, Z/N Z)
definida
en
el
fibrado
exp(
t̂
(C))-principal
trivial
sobre
Conf(C
n,N
ΦKZ(X, Y ) =
ζw · w ∈ exp(t̂3) " exp(f̂2(X, Y )),
simales, donde card{i, j, k, l} = 4:
es plana. Tenemos entonces un morfismo de monodromı́a:
w palabra en X,Y
tij = tji
π̂1(Conf(C×, n, Z/N Z))(C) ≃ PˆB n,N (C) −→ exp(t̂n,N )
donde ζw es el valor multizeta (regularizado) asociado a la palabra w. El aso[tij , tkl ] = 0
que es además un isomorfismo.
ciador KZ, y por lo tanto los valores multizeta, satisfacen las relaciones de
[tij , tik + tjk ] = 0.
Teorema 4 La holonomı́a regularizada entre 0 y 1 en Conf(C×, n, Z/N Z)
los asociadores de Drinfel’d: (ver el esquema de Dror Bar-Natan)
de la conexión KZ ciclotómica es el asociador KZ trigonométrico
ΨKZ ∈ exp(t̂2,N ) → exp(f̂N +1(X, Y1, ...YN ). Es una serie generadora de los
Por ejemplo, la tercera relación es
valores multizeta ciclotómicos ζ(s1, ..., sd ; z1, ..., zd) definidos como las
2 Versión Ciclotómica (Enriquez ’06)
Sea E el fibrado exp(t̂n)-principal trivial sobre Conf(C, n).
series convergentes:
×
×
n
N
N
Sea Conf(C , n, Z/N Z) = {(z1, ..., zn ) ∈ (C ) |zi ̸= zj si i ̸= j} el espaKZ
!
z1n1 . . . zdnd
Definición 1 La conexión KZ universal sobre E es ∇KZ
n := d − ωn ,
ζ(s1, ..., sd ; z1, ..., zd) :=
,
donde ωnKZ es la 1-forma diferencial sobre Conf(C, n) a valores en tn dada cio de configuraciones decoradas del cilindro:
ns1 . . . nsdd
n1>n2>...>nd>0 1
por la siguiente fórmula:
zn2
donde N, d ≥ 1, (s1, s2, ..., sd ) son números naturales, s1 ≥ 2 y (z1, z2, ..., zd)
!
...
Conf(C×, n, Z/3Z)
Conf(C×, n)
son d diferentes raı́ces N -ésimas de la unidad. El asociador KZ trigonométriωnKZ :=
d log(zi − zj )tij .
co es un asociador de Drinfel’d ciclotómico - transfiere las relaciones:
z22
1!i<j!n
z12 2iπ
t(2)23 ↔
3
0
0
...
...
t01
↔
Teorema 1 La conexión KZ universal es plana, es decir:
0
0
0
zn
0 z11 z21
0 z1 z2
zn1
3
zn3
z23 z1
1 KZ KZ
=
y
=
KZ
2
...
C = dωn + [ωn , ωn ] = 0 ∈ Ω (Conf(C, n), tn).
2
0
0
0
0
asociadas a los siguientes esquemas (de B. Enriquez y H. Furusho):
Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Pierre-et-Marie-Curie, Asociación AMARUN.
Martı́n González*
Sobre cuatro avatares de la conexión KZB universal