ejemplos

Algebra Lineal
Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Respecto
1
a)
0
1
b)
1
4
c)
0
0
d)
0
0
e)
0
a las matrices:
−3
1
1 −3
2 −2
−2
1
−3 −1
0
0
1 0
0 0
0
0
3 −3
b) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos:
"
#
1
2 −2
1 −2
1
La condición 1 se cumple por vacuidad: es verdadera porque no existe un renglón de ceros que quede
arriba de uno que no sea de ceros. La condición 2 no
se cumple porque el pivote del renglón 2 no está a la
derecha del pivote del renglón 1. La matriz no está escalonada.
c) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos:
"
#
4 −3 −1
0
0
0
indique cómo se clasifican respecto a los conceptos:
La condición 1 se cumple. La condición 2 sı́ se cumple
porque al haber sólo un pivote no es posible encontrar otro diferente que esté desacomodado respecto
al primero. La matriz es o está escalonada. Como el
pivote no es 1, matriz no cumple la condición 3 y por
lo tanto, es escalonada pero no reducida.
1) Diferente de la forma escalonada
2) Escalonada reducida
3) Escalonada pero no reducida
Solución
Recordemos las definiciones:
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
Condición 1 En caso de tener renglones de ceros,
todos ellos están en la parte inferior de la matriz.
d) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos:
#
"
0 1 0
0
0 0
Condición 2 El elemento delantero de cada renglón
no cero (después del primer renglón) se encuentra a la
derecha del elemento delantero del renglón anterior.
La condición 1 se cumple. La condición 2 sı́ se cumple
porque al haber sólo un pivote no es posible encontrar otro diferente que esté desacomodado respecto al
primero. La matriz es o está escalonada. La condición
3 se cumple, y como abajo y arriba en la columna del
pivote hay sólo ceros, la matriz es escalonada reducida.
Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada y
además cumple:
Condición 3 El elemento delantero de cualquier
renglón no cero es 1.
e) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos:
#
"
0
0
0
0 3 −3
Condición 4 Todos los elementos arriba y abajo de
un 1 delantero son cero.
a) Al ubicar el pivote de cada renglón tenemos:
"
#
1 −3
1
0 1 −3
La condición 1 se cumple por vacuidad: es verdadera
porque no existe un renglón de ceros que quede arriba
de uno que no sea de ceros. La condición 2 se cumple por la posición que tienen los pivotes. Por tanto,
la matriz es escalonada. Como los pivotes son 1, la
condición 3 se cumple; sin embargo arriba del pivote
de la posición (2,2) hay un -3 y por tanto, la matriz
no cumple la condición 4. Ası́ la matriz es escalonada
pero no reducida.
La condición 1 no se cumple por tanto, forma de la
matriz es diferente de la forma escalón 2. De acuerdo al algoritmo de eliminación gaussiana y
respecto a la matriz:


1 4 −2 2
 0 2 −2 3 
0 1
1 3
el siguiente paso es:
1
2
A
R2 ←
B
R1 ← R1 − 2 R2
R2
Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
C
R3 ← R3 −
D
R2 ↔ R3
1
2
R2
2
arriba de ellos y subiendo. Por tanto, debe hacer 1 el pivote del último renglón haciendo un escalamiento
1
R3 ← − R3
2
Solución
Recuerde que eliminación gaussiana primero escalona y
después reduce; y en proceso de escalonamiento, no hace
que los pivotes se hagan uno. La matriz del problema no
está escalonada:


1
4 −2 2


 0 2 −2 3 
0 1
1 3
Para escalonar, utilizará el pivote del renglón 2 para hacer
un cero el elemento (3, 2). La operación que realiza esto
será:
1
R3 ← R3 − R2
2
La opción correcta es C.
Observe que la opción A quiere hacer 1 el pivote del
renglón 2. Esto lo hace Gauss-Jordan, pero no eliminación
gaussiana. La opción B quiere hacer 0 arriba del pivote
del renglón 2; hacer ceros arriba del pivote lo hace eliminación gaussiana hasta que la matriz está escalonada. En
la opción D quiere colocar 1 en el pivote del renglón 2,
pero eliminación gaussiana no requiere pivotes 1 en la fase
de escaolonamiento 3. De acuerdo al algoritmo de eliminación gaussiana y
respecto a la matriz:


1 −2
4 2
 0
2 −4 3 
0
0 −2 0
el siguiente paso es:
A
R2 ← R2 − 2 R3
B
R3 ← − 12 R3
C
R1 ← R1 + 2 R3
D
R2 ←
1
2
R2
Solución
Recuerde que eliminación gaussiana primero escalona y
después reduce; y en proceso de escalonamiento, no hace
que los pivotes se hagan uno. La matriz del problema ya
está escalonada:


1 −2
4 2


−4 3 
 0 2
0
0 -2 0
Eliminación gaussiana inicia la fase de reducción de abajo
para arriba haciendo unos en los pivotes haciendo ceros
La opción correcta es B.
Observe que en las opciones A y C se quiere hacer ceros
arriba del pivote del renglón 3; eliminación gaussiana lo
hace, pero después que el pivote es uno. En la opción D se
hace 1 el pivote del renglón 2; eliminación gaussiana hace
esto desde el último renglón no cero que es el 3 4. Indique en orden las operaciones correspondientes a las
notaciones:
a) R3 ↔ R6
b) R3 ← R3 + 6 R2
c) R3 ← 2 R3
d) R3 ↔ R2
e) R3 ← 6 R3
Dentro de la lista:
1) Multiplicar el renglón 3 por 6
2) Intercambiar los renglones 3 y 2
3) Multiplicar el renglón 3 por 2
4) Sumarle al renglón 6 el renglón 2 multiplicado por 3
5) Sumarle al renglón 3 el renglón 2 multiplicado por 6
6) Intercambiar los renglones 3 y 6
Respuesta:
Solución
Directamente de la definición de las operaciones elementales de renglón:
a) R3 ↔ R6 : Intercambio de los renglones 3 y 6.
b) R3 ← R3 + 6 R2 : Al renglón 3 se le suma 6 veces el
renglón 2.
c) R3 ← 2 R3 : El renglón 3 se multiplica por 2.
d) R3 ↔ R2 : Intercambio de los renglones 3 y 2.
e) R3 ← 6 R3 : El renglón 3 se multiplica por 6.
5. Para la matriz A

6
 −3
−1

2 −6
2 −2 
−3 −7
determine cada elemento (2, 1) de la matriz resultante de
A después de aplicarle
1) R1 ← R1 − 2 R3
2) R1 ← R1 − 2 R2
3) R2 ← −2 R2
4) R2 ↔ R1
Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
5) R1 ↔ R3
Aplique cada operación sobre A en forma independiente,
no las aplique en forma encadenada. Se esperan 5 resultados numéricos.
Solución
Es muy conveniente que conozca cómo realizar las operaciones elementales de renglón en un ambiente de cómputo
cientı́fico. La calculadora TI es una buena opción. Recuerde que aplicada a una matriz a:
la operación de intercambio de renglones
Ri ↔ Rj
se codifica en la TI como
rowSwap(a, i, j)
la operación de escalamiento de renglones
Ri ← c Ri
3
6. Respecto

1
a)  0
0

1

b)
0
0

1
 0
c) 
 0
0

1
 0
d) 
 0
0

1
e)  0
0
a las matrices aumentadas siguientes:

0 0 0 −3
1 
0 1 0
0
0
1 1
1 0
2 0
3 3
1 1
0 5
0 0
1
3

−3
4 
8

−4
4 

3 
0

−2 −2 −1
1
1
4 

0
0 −3 
0
0
0

0 0 3
1 1 4 
0 0 4
se codifica en la TI como
Indique cómo se clasifica el sistema correspondiente:
mRow(c, a, i)
1) Consistente con soluciones infinitas
la operación de eliminación
2) Inconsistente
Ri ← Ri + c Rj
3) Consistente con solución única
se codifica en la TI como
Solución
mRowAdd(c, a, j, i)
Capturaremos la matriz primeramente usando la notación
tradicional como se ilustra en la siguiente figura.
Recuerde que para el análisis de un SEL: Si la matriz aumentada de un sistema
tiene un pivote en la columna de las constantes, el
sistema es inconsiste.
está escalonada y no tiene pivote en la columna de
las constantes, el sistema es consistente y
Aprovecharemos que sólo piden el elemento (2, 1) de la matriz resultante; usaremos el truco que escribir dos comandos en una lı́nea separados por el sı́mbolo de dos puntos
(:) recordando que el primer comando se ejecuta primero.
La siguiente imagen ilustra los cálculos.
• si además tiene pivote en la columna de cada una
de sus variables, el sistema tiene solución única
• si por lo menos tiene una variable en cuya columna no hay pivote, el sistema tiene infinitas
soluciones
Con esto en mente revisamos las matrices aumentadas:
a) Al ubicar los pivotes tenemos

0
0
1 0

0
 0 0 1
0 0
0 1

−3

1 
3
la matriz está escalonada y ninguno de los pivotes
está en la columna de las constantes. Por tanto, el
sistema es consistente. Como en la segunda columna
no se tiene pivote, hay una variable libre. Por tanto,
el sistema es consistente con infinitas soluciones.
Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
b) Al ubicar los pivotes tenemos


1
1 1 −3


4 
 0 1 0
0 2 0
8
notamos que la matriz no está escalonada y aún no
podemos analizar el sistema. Para escalonarlo, hacemos la operación:


1 1 1 −3
R3 ← R3 − 2R2 
−−−−−−−−−−−−→ 0 1 0
4 
0 0 0
0
La matriz queda escalonada, no tiene pivote en la
columna de las constantes y tiene una columna de
las variables sin pivote: concluimos que es consistente con infinitas soluciones.
c) Al ubicar los pivotes en la matriz:


1
3
3 −4


1
4 
 0 1


 0
0 5
3 
0
0
0
0
observamos que está escalonada y ası́ podemoa analizarla: no hay pivote en la columna de las constantes
y en la columna de cada variables tiene pivote. Concluimos que el sistema tiene solución única.
d) Al ubicar los pivotes en la matriz:


1 −2 −2 −1


1
4 
 0 1


 0
0
0 -3 
0
0
0
0
vemos que tiene un pivote en la columna de la constante. Por tanto, el sistema será inconsistente.
e) Al ubicar los pivotes en la

1
0

 0 1
0
0
4
Reporte las coordenadas del vector que multiplica a la variable libre en la solución resultante.
Solución
Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada
Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere
el problema (x, y, z, w):




1 3
0
0 −3
2 6 2 4
2


 3 9 4 1 −14 
0 −2 
 0 0 1



 3 9 3 4 −3  → 
 0 0
0 1
3 
4 12 4 3 −11
0 0
0
0
0
Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema
es consistente (al no haber pivote en la columna de las
constantes) y con soluciones infinitas (al ser y una variable
libre; las variables fijas son aquellas en cuya columna hay
pivote)
Paso 2: Convierta cada renglón no cero en ecuación
El renglón 1 de la reducida que:
x + 3 y = −3
El renglón 2 queda:
z = −2
y el renglón 3 queda:
w=3
Paso 3: De cada ecuación, despeje la variable delantera.
= −3
= −2
= 3
x + 3y
z
w
→ x
→ z
→ w
= −3 − 3 y
=
−2
=
3
matriz:
0
1
0

3

4 
4
Paso 4: Se complementan las soluciones introduciendo las variables libres.
vemos que tiene un pivote en la columna de la constante. Por tanto, el sistema será inconsistente.
x
y
z
w
Recuerde: en general, los renglones de ceros no dan información sobre el sistema: la clave es la ubicación de los
pivotes en la matriz 7. Manejando el orden x, y, z, w escriba en forma vectorial la solución general al sistema:
4w + 2x + 6y + 2z
w + 3x + 9y + 4z
=
= −3 − 3 y
=
y
=
−2
=
3
Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las soluciones
2
= −14
4w + 3x + 9y + 3z
= −3
3 w + 4 x + 12 y + 4 z
= −11
 
x
−3 − 3 y
 y  
y

 
 z =
−2
w
3





Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
5
b) Si un SEL es inconsistente, entonces el sistema no es
homogéneo.
Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo
a las constantes y a las variables libres
 
−3
x
 y   0
 

 z  =  −2
3
w


−3



+y  1 
 0 

0


el vector que multiplica a la variable libre es el vector
< −3, 1, 0, 0 > 8. Cuál es la afirmación correcta sobre las soluciones al sistema de ecuaciones
3x − 3y − 3z
8x + 3y + z
10 x − 3 y − 2 z
= −5
=
d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema
debe de tener el mismo número de incógnitas que de
ecuaciones.
e) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
dentro de las respuestas posibles:
1) No se sabe: puedo construir situaciones donde se cumple y donde no se cumple.
2) Falso: En toda situación que puedo construir no se
cumple.
1
= −2
3) Cierto: En toda situación que puedo construir se cumple.
A
Que el sistema es inconsistente.
B
Que tiene solución única.
C
Que tiene un número infinito de soluciones.
Solución
Solución
Formamos la aumentada y reducimos:



1
0
3 −3 −3 −5

 8
3
1
1 → 0 1
10 −3 −2 −2
0
0
c) Si un SEL homogéneo 8 × 8 tiene una matriz aumentada reducida con 6 pivotes, entonces el sistema tiene
infinitas soluciones.

0
2/25

0 −52/75 
1
61/25
a) Si la aumentada es 10 × 10 el sistema tiene 10 ecuaciones y 9 incógnitas. Los 9 pivotes se van a distribuir sobre estas 10 columnas. Pero como el sistema
es homogéneo la columna de constantes tendrá ceros:
como las operaciones elementales de renglón no cambian las columnas de ceros, la matriz reducida final
también tendrá ceros en su columna de constantes.
Es decir, que no podrá haber pivote en la columna
de constantes. Por lo tanto, los 9 pivotes deberán estar en las columnas de las incógnitas. Resumiendo: no
habrá pivotes en la columna de las consntantes y en la
columna de cada variable habrá pivote. Concluimos
que el sistema tiene solución única. La afirmación
es cierta.
b) Cierto: porque los sistemas homogéneos son siempre
consistentes (la solución con todas las incógnitas cero
es una solución)
c) Como en el inciso a): los 6 pivotes caerán en algunas de las 7 columnas de las incógnitas (habrá una
sin pivote): por tanto, el sistema será consistente con
infinitas soluciones. Cierto
No teniendo pivote en la columna de las constantes y teniendo pivote en la columna de cada variable, concluimos
que el sistema tiene solución única: opción B 9. Indique validez a cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si un SEL homogéneo 10 × 10 tiene una matriz aumentada reducida con 9 pivotes, entonces el sistema
tiene solución única.
d) Si un SEL tiene solución única, entonces el sistema
debe de tener el mismo número de incógnitas que de
ecuaciones. Es falso que deba. Por ejemplo, en el
análisis para


1 0 1
 0 1 2 
0 0 0
da solución única y el sistema es de 3 ecuaciones y 2
incógnitas.
Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
e) Si un SEL 7 × 7 tiene una matriz aumentada reducida con 3 pivotes, entonces el sistema tiene infinitas
soluciones. No hay suficiente información para
concluir. Sabemos que los 3 pivotes caerán en algunas de las 7 columnas. Cabe la posibilidad de que
uno de ellos caiga en la última columna, y en este caso darı́a un sistema inconsistente. Si ninguno de los
3 pivotes cayeran en la columnas de las constantes,
serı́a consistente y como habrá 6 variables en una de
ellas no habrá pivote y en ese caso darı́a infinitas soluciones. Pero resumiendo: caben las dos posibilidades:
inconsistente o infinitas soluciones 10. De acuerdo al algoritmo de Gauss-Jordan y respecto a
la matriz:


2 4
1 2
 0 1
1 3 
0 0 −2 4
el siguiente paso es:
A
R3 ← − 12 R3
B
R1 ←
C
R1 ← R1 − 4 R2
1
2
C
6
R2 ← R2 − 2 R1
Solución
Recuerde que eliminación Gauss-Jordan escalona y reduce
a la vez; avanza poniendo unos en los pivotes y haciendo
ceros abajo pero también arriba y después repitiendo en
los renglones inferiores. En nuestro caso, la primera opción
es hacer 1 el pivote del primer renglón:
R1 ←
1
R1
−2
La opción correcta es A.
Observe que en la opción C se intenta hacer cero el elemento abajo del pivote del primer renglón y hasta es conveniente pues él es múltiplo del pivote del primer renglón,
pero no es lo que hace el algoritmo de Gauss-Jordan. En la
opción B, se intenta hacer uno el pivote del último renglón.
El algoritmo de Gauss-Jordan no inicia de abajo para arriba ni aunque sea más conveniente 12. De acuerdo al método de Montante y respecto a la
matriz:


17 0 0
0
 0 8 3 −2 
0 0 11
5
R1
el siguiente paso es:
Solución
Recuerde que eliminación Gauss-Jordan escalona y reduce
a la vez; avanza poniendo unos en los pivotes y haciendo ceros abajo pero también arriba y después repitiendo
en los renglones inferiores. En nuestro caso aunque la matriz ya es escalonada, Gauss-Jordan no ha terminado con
el primer renglón, de hecho inicia haciendo un uno en el
pivote. y lo que debe hacer es dividir el renglón 1 entre
dos:
1
R1 ← R1
2
La opción correcta es B.
Observe que en la opción A el pivote del renglón 3 se hace
1, pero Gauss-Jordan no tiene dos fases: no hay primero
escalona y luego regresa, eso lo hace eliminación gaussiana.
En la opción C, se intenta hacer cero arriba del pivote del
segundo renglón; pero esto no es lo que hace Gauss-Jordan
que no ha terminado con el primer renglón 11. De acuerdo al algoritmo
la matriz:

−2
 −4
0
el siguiente paso es:
A
R1 ← − 12 R1
B
R3 ←
1
3
R3
de Gauss-Jordan y respecto a
0
1
0
−3
1
3

2
3 
12
1
11
A
R3 ←
B
R2 ← 11 R2
C
R1 ←
D
R2 ← R2 −
1
17
R3
R1
3
11
R3
Solución
Recuerde que Montante tiene dos fases: una donde casi reduce la matriz, pero donde los pivotes no son uno. Y una
segunda fase donde hace las únicas divisiones que hacen
que los pivotes sean uno. En la primera fase opera como el
algoritmo de Gauss-Jordan pero sin hacer unos los pivotes
y escalando los elementos antes de hacerlos cero.
Viendo los pivotes vemos que arriba y abajo del pivote del
primer renglón (17) hay ceros. También arriba y abajo del
pivote del segundo renglón (8) hay ceros. Pero arriba del
pivote del tercer renglón (11) hay un 3. Para hacerlo cero,
Montante primero escala el renglón 2 multiplicandolo por
el mismo pivote:
R2 ← 11 · R2
La opción correcta es B.
1
R3 ) intenta hacer un uno en el piLa opción A (R3 ← 11
vote del renglón 3, pero la primera fase no ha terminado.
1
En la opción C (R1 ← 17
R1 ) intenta hacer un pivote uno
en el renglón 1, pero en Montante las divisiones son hasta
que la matriz está casi reducida (falla en los pivotes uno).
Ma1019, Tarea No 2: Eliminación gaussiana y otros algoritmos para SEL
3
R3 ) implica eliminación con
La opción D (R2 ← R2 − 11
divisiones y ası́ no procede Montante 13. De acuerdo al método de
matriz:

2
1
 5 −3
1
0
7
14. Para la matriz:
Montante y respecto a la

0 2
0 3 
0 3
23 13
1
0 11 −3
indique cuál serı́a el siguiente paso de acuerdo a:
a) Eliminación Gaussiana
b) Método de Gauss-Jordan
el siguiente paso es:
c) Método de Montante
A
R2 ← 2 R2
B
R3 ← R3 −
C
R1 ↔ R3
D
R1 ←
entre las opciones:
1
2
5
2
R1
1) R1 ← 11 R1
2) R1 ←
1
23
R1
3) R1 ← R1 −
R1
4) R2 ←
Solución
Recuerde que Montante tiene dos fases: una donde casi reduce la matriz, pero donde los pivotes no son uno. Y una
segunda fase donde hace las únicas divisiones que hacen
que los pivotes sean uno. En la primera fase opera como el
algoritmo de Gauss-Jordan pero sin hacer unos los pivotes
y escalando los elementos antes de hacerlos cero.
En nuestro caso el pivote del renglón uno debe hacer ceros
los elementos debajo de él y para ello debe hacer que sean
múltiplos del pivote. Esto lo logra escalando los renglones
multiplicandolos por el pivote. Las operaciones serı́an:
1.−
2.−
R2 → 2 R2
R3 → 2 R3
de ellas, la primera viene en la opción A.
Recuerde que Montante no hace divisiones si no hasta el
final. Esto descarta las opciones B y D. La opción C es
atractiva porque no hay mejor inicio que tener un uno pivote, pero el algoritmo NO busca unos para los pivotes
1
11
13
11
R2
R2
Solución
Recuerde que el algoritmo de eliminación gaussiana primeramente escalona la matriz y luego reduce. En este caso
la matriz ya está escalonada: por tanto, eliminación gaussiana prepara la reducción haciendo 1 el elemento pivote
inferior. Por tanto, eliminación gaussiana debe hacer 1 el
elemento (2, 2), lo cual coincide con la opción 4. En el caso del Gauss-Jordan, se realiza la reducción preparando
el pivote de arriba para abajo. Por tanto, Gauss-Jordan
debe hacer uno el elemento (1, 1), lo que coincide con la
opción 2. El método Montante va escalonando y reduciendo la matriz de arriba hacia abajo evitanto las divisiones.
Estando escalonada la matriz, Montante trabajarı́a con
el elemento (2, 2) para hacer cero en la parte superior.
En este caso particular, Montante harı́a que el elemento
(1, 2) fuera múltiplo del pivote (2, 2). Ası́ Montante, debe multiplicar el renglón 1 por el elemento pivote (2, 2).
Esto corresponde a la opción 1. Resumiendo: Eliminación
Gaussiana → 4, Gauss-Jordan → 2, Montante → 1