Funciones continuas

Funciones continuas
Funciones continuas
Continuidad de una función
Si x0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto
coincide con el valor de la función en dicho punto:
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Gráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe
Función continua en x = 0
Función no continua en x = 0
Una función se dice que es continua si lo es en cualquier punto. Así pues, la gráfica de una función
continua ha de poder dibujarse de un solo trazo.
Discontinuidades
Si una función no es continua en un punto, también se dice que dicha función tiene una discontinuidad en
dicho punto.
Los tipos básicos de discontinuidades son:
• Evitables: la función f tiene una discontinuidad evitable en el punto x0 si existe el límite de la función
en el punto x0 pero no coincide con el valor de la función en ese punto, o bien éste no existe, es decir,
lim f ( x) = a ≠ f ( x0 )
x → x0
• Inevitables: discontinuidades en las que los límites laterales no coinciden. Es decir, f(x) tiene una
discontinuidad inevitable en x0 si:
lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x → x0
x → x0
Son de dos tipos:
o de primera especie o de salto finito, cuando ambos límites laterales son números reales.
o asintótica, cuando los límites laterales son infinitos.
Discontinuidad evitable
Discontinuidad inevitable de
1.ª especie o de salto finito
Discontinuidad asintótica
Asíntotas oblicuas
La función tiene una asíntota oblicua en la recta y = ax + b cuando la x tiende a +∞ o a –∞, y alguno de
los siguientes límites son 0:
lim f ( x) − ( ax + b ) = 0
o bien, lim f ( x) − ( ax + b ) = 0
x →+∞
Asíntota vertical
x →−∞
Asíntota horizontal
Asíntota oblicua
¿Cuándo una función es continua en un punto?
Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto
coincide con el valor de la función en dicho punto. Una función se dice
que es continua cuando es continua en cualquier punto. Gráficamente
puede observarse que una función es continua si su trazado no presenta
cortes.
A partir del concepto de límite en un punto puede definirse el concepto de función
continua en un punto: una función es continua en un punto cuando el límite de la
función en este punto es igual al valor de la función en el punto. Es decir, si x0 es un
número, la función f es continua en este punto si
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Además, una función se dice que es continua si lo es en cualquier punto. Esto puede
observarse en la gráfica de la función: una función es continua cuando su trazado no
contiene cortes. En el siguiente ejemplo se puede observar una función continua y
otra que no lo es (derecha).
Veamos, por ejemplo, que la función f(x) = 3x2 – 2x + 1 es una función continua; es
fácil comprobar que el límite de la función en el punto x0 = –2 es 17. Falta, pues,
calcular el valor de la función en ese punto, f(–2) = 17. Por lo tanto, en este caso se
cumple que:
lim f ( x) = f (−2)
x →−2
Por lo tanto, la función f(x) = 3x2 – 2x + 1 es continua en el punto x0 = –2. Para
demostrar que toda la función f es continua se debería comprobar este hecho para
todo punto x0; normalmente, esto no es necesario hacerlo; esto es así porque la idea
de continuidad en un punto podemos asociarla, como se ha dicho, al hecho de que el
trazo de la gráfica alrededor de ese punto debe hacerse sin separar el lápiz del papel
(porque cuando nos acercamos al punto, el trazo del lápiz se acerca al valor de la
función en ese punto). Así pues, contemplar la gráfica de la función es la forma más
útil (aunque no rigurosa) de saber si la función es continua: siempre que se pueda
dibujar con un solo trazo, sin separar el lápiz del papel, la función será continua.
En el caso del ejemplo, f(x) = 3x2 – 2x + 1, podemos obtener fácilmente su
representación, una parábola:
Esta función es continua porque puede dibujarse con un solo trazo sin levantar el
lápiz del papel. De hecho, todas la funciones polinómicas son continuas por el
mismo motivo. También las funciones exponenciales, logarítmicas, la función seno y
la función coseno son continuas; sólo es necesario recordar sus gráficas, que pueden
dibujarse con un solo trazo. En cambio, la función tangente, cotangente, secante y
cosecante no son funciones continuas. Tampoco son continuas las funciones que
tienen en su expresión un cociente: cuando el denominador es 0, la función no es
continua, entre otras cosas porque en ese punto la función no existe.
¿Qué es una discontinuidad y cuáles son sus tipos?
Si una función no es continua en un punto, también se dice que dicha
función tiene una discontinuidad en dicho punto. Básicamente, existen dos
tipos de discontinuidades: las evitables, cuando existe el límite de la
función en el punto de discontinuidad; y las inevitables, en las que los
límites laterales en dichos puntos son diferentes. En este último caso, si los
límites son números, la discontinuidad es de primera especie o de salto
finito, mientras que si alguno de los límites es infinito, la discontinuidad es
de segunda especie o de salto infinito.
La función tangente, en el punto p/2, no es continua porque ni existe la función en
ese punto, ni sus límites laterales coinciden. De hecho, la gráfica de esta función
muestra claramente los puntos en los que no es continua (llamados puntos de
discontinuidad o, sencillamente, discontinuidades), es decir, puntos en los que la
gráfica "se rompe", de manera que no podría dibujarse de un solo trazo sin levantar
el lápiz; estos puntos son, en este caso, los puntos que no pertenecen al dominio de la
función, como muestra la gráfica de la función tangente:
2
Otras funciones tienen discontinuidades de diferente tipo: por ejemplo, la función:
4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1
g ( x) =
x −1
no es continua cuando en x0 = 1, ya que el valor de esta función no existe, pues el
denominador de la función da 0 en ese valor de x (y no puede dividirse nunca entre
0). Ahora bien, en este caso, puede comprobarse que el valor del límite en ese punto
(haciendo una tabla, por ejemplo) es 2. Además, la gráfica quedaría así:
Es decir, la gráfica sólo se interrumpe en ese punto; de hecho, podríamos modificar
ligeramente la función para que fuese continua añadiendo este único punto que falta.
De esta manera, la gráfica se dibujaría con un solo trazo sin levantar el lápiz del
papel. Este tipo de discontinuidades se denominan evitables, ya que es muy fácil
subsanarlas añadiendo un solo punto; en el caso anterior (de la función tangente) se
denominan discontinuidades de salto infinito por razones evidentes: las ramas por la
izquierda y por la derecha del punto de discontinuidad se alejan de manera incesante.
Así pues, existen dos tipos básicos de discontinuidades:
• Evitables:
La función f tiene una discontinuidad evitable en el punto x0 si existe el límite de la
función en el punto x0 pero no coincide con el valor de la función en ese punto, o
bien éste no existe, es decir,
lim f ( x) = a ≠ f ( x0 )
x → x0
El caso de la función
4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1
x −1
corresponde a este tipo de discontinuidades: en el punto x = 1, la función no existe,
pero el límite en ese punto es 2. Para conseguir que la función sea continua, sólo es
necesario otorgar el valor del límite a la función en ese punto. Es decir, si se define la
función
⎧ 4 x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 4 x − 1
si x ≠ 1
⎪
g ( x) = ⎨
x −1
si x = 1
⎪
2
⎩
sólo se ha modificado la función anterior en un punto, y con este cambio ya se evita
la discontinuidad.
g ( x) =
3
• Inevitables:
Son inevitables las discontinuidades en las que los límites laterales no coinciden. Es
decir, f(x) tiene una discontinuidad inevitable en x0 si:
lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x → x0
x → x0
y son de dos tipos:
o De primera especie o de salto finito, cuando ambos límites
laterales son números reales. Por ejemplo, la siguiente función
tiene una discontinuidad de salto finito en x0 = 1:
o
ya que el límite por la izquierda es 3, mientras que el límite por la
derecha es 2.
Asintóticas, cuando los límites laterales son infinitos. Por ejemplo,
la función tangente tiene discontinuidades de salto infinito en todos
los puntos que no son de su dominio, como puede comprobarse
fácilmente en su gráfica.
¿Qué es una asíntota y cuántos tipos de asíntotas existen?
Una asíntota a una función es una recta que al tender la x a un número, a
+∞, o a –∞, se acerca a la función de manera constante hasta hacerse, para
decirlo de alguna forma, tangente en el infinito. Según su inclinación, las
asíntotas pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
Una asíntota a una función f(x) es una recta que al tender la x a un número, a +∞, o a
–∞ se acerca a la función de manera constante hasta hacerse, para decirlo de alguna
manera, tangente en el infinito. En estas gráficas pueden verse distintos tipos de
asíntotas:
En la gráfica de la izquierda puede verse cómo cuando la x tiende al punto por el que
la recta corta al eje X, la función, por ambos lados, tiende a la recta vertical; en la
gráfica del centro, cuando la x tiende a +∞, la función tiende a la asíntota.
Finalmente, en la gráfica de la izquierda puede observarse que cuando x tiende a −∞,
la recta y la función tienden a acercarse.
Estas gráficas presentan los tres tipos básicos de asíntotas:
• Asíntotas verticales
4
La función tiene una asíntota vertical cuando la x tiende a un valor, y la función
tiende a +∞ o –∞, es decir:
lim− f ( x ) = ∞
o bien lim+ f ( x) = ∞
x →a
x →a
En este caso, la recta x = a es una asíntota vertical. Por ejemplo, en el caso de la
función f(x) = tg x, sabemos que en x = p/2 el límite de la función es +∞ por la
izquierda y −∞ por la derecha. Por lo tanto, la recta x = p/2 es doblemente asíntota
vertical.
p/2
x
• Asíntotas horizontales
La función tiene una asíntota horizontal cuando la x tiende a +∞ o a –∞, y la función
tiende a un valor concreto, es decir:
lim f ( x) = a
o bien lim f ( x) = a
x →+∞
x →−∞
En este caso, la recta y = a es una asíntota horizontal. Por ejemplo, la función
f(x) = 1/x
1
lim = 0
x →+∞ x
Por lo tanto, la recta y = 0 es una asíntota
horizontal, tal como puede verse en la
gráfica adjunta.
• Asíntotas oblicuas
La función tiene una asíntota oblicua en la recta y = ax + b cuando la x tiende a +∞ o
a –∞, y alguno de los siguientes límites son 0:
lim f ( x) − ( ax + b ) = 0
o bien lim f ( x) − ( ax + b ) = 0
x →+∞
x →−∞
2x − x + 2
2
Por ejemplo, la función
f ( x) =
x +1
tiene una asíntota oblicua en y = 2x – 3, ya
que
2 x2 − x + 2
− ( 2 x − 3) = 0
x →+∞
x +1
La gráfica de la función y la asíntota pueden ilustrar este hecho:
lim
5
Ejercicios
1.
Encuentra el dominio y los puntos de corte con los ejes (si existen), de las
siguientes funciones:
a. f(x) = x2 - 2x + 1
b. g(x) = 1/x
c. h(x) = 3
x2 − 1
x+2
x
+1
e. b(x) =
d.
a( x) =
f.
c(x) =
g.
d ( x) =
x2 − 1
x2 − 4
x+5
2. Indica los puntos en los que estas funciones no son continuas. Razona tus
respuestas.
f ( x) = x 2 − 4
x+3
b. f ( x) =
x
⎧1
⎪
si x ≠ 0
c. f ( x ) = ⎨ x
⎪⎩ 1 si x = 0
d. f(x) = ln (ln (sin x)) (difícil)
a.
3. Considera la función
f ( x) =
x3 − 2 x 2 + x
. ¿Qué valor debe asignarse a
8 x3 + 3x
f(0) para que la función f sea continua en x = 0? Explicalo.
4. Considera la siguiente función:
f ( x) =
x2 − 4 x + 3
x3 + 3x 2 − 4
Encuentra el límite de la función cuando x tiende a estos valores: 0, 1, -2,
+∞, -∞. Estudia la continuidad de esta función, diciendo si presenta
discontinuidades, y de qué tipo.
6
Soluciones
1.
a. f(x) = x2 - 2x + 1
El dominio es toda la recta real ya que es un polinomio.
Los puntos de corte son:
Eje Y: Si x = 0, f(x) =1, por lo tanto, (0,1)
Eje X: f(x) = 0 --> x = 1, por lo tanto, (1,0)
b. g(x) = 1/x
El dominio es toda la recta real excepto los números que anulan el
denominador, es a decir, menos 0. Así R\{0}
Los puntos de corte son:
Eje Y: Ya que x no puede ser 0, no existen.
Eje X: Si g(x) = 0 --> no existe ningún x que lo cumpla. Por lo
tanto, no hay puntos de corte.
c. h(x) = 3
El dominio es toda la recta real, porque cualquier número tiene la
imagen igual a 3.
Los puntos de corte son:
Eje Y: si x = 0 --> h(x) = 3, por lo tanto (0,3)
Eje X: h(x) no puede ser nunca 0.
d.
a( x) =
x2 − 1
x+2
El dominio es toda la recta real, excepto aquellos números que
anulan el denominador. Por lo tanto, el dominio es R\{-2}
Los puntos de corte son:
Eje Y: si x = 0 --> a(0) = -1/2, por lo tanto, (0,-1/2)
Eje X: si a(x) = 0 --> x2 - 1 = 0 --> x =1, o bien, x = -1. Por lo
tanto, (1,0), (-1,0)
e. b(x) = x + 1
La base de la raíz ha de ser positiva, por lo tanto, x + 1≥0, es decir,
x≥-1. Así, el dominio es
[-1,+ ∞ )
Los puntos de corte son:
Eje Y: Si x = 0 --> b(0) = 1, por lo tanto, (0,1)
Eje X: Si b(x) = 0 --> x+1=0 --> x = -1, por lo tanto, (-1,0)
f.
g.
c(x) = x − 1
Como en el caso anterior, x2-1≥0, por lo tanto, el dominio es
(- ∞ ,-1]»[1,+ ∞ )
Los puntos de corte son:
Eje Y: si x = 0 --> c(0) no existe, por lo tanto, no hay puntos de
corte.
Eje X: si c(x) = 0 --> x = 1 ó x = -1, Por lo tanto, (-1,0) (1,0).
2
d ( x) =
x2 − 4
x+5
En este caso se ha de cumplir: x2-4≥0, es decir, x pertenece a
(- ∞ , -2]»[2, ∞ ).
además, x+5 no puede ser 0, por lo que x no puede ser -5.
En definitiva, el dominio es: (- ∞ , -5)»(-5,-2]»[2, ∞ )
Los puntos de corte son:
Eje Y: si x = 0 --> no es posible.
Eje X: d(x) = 0 --> x = -2 ó x = 2. Por lo tanto, (2,0), (-2,0)
7
2.
f ( x) = x 2 − 4
Esta función no es continua (más concretamente, no existe) en los
puntos en los que la raíz es negativa, que corresponden a los
puntos del intervalo (-2,2).
x+3
b. f ( x) =
x
La función puede no ser continua en los puntos en los que el
denominador es 0, es decir, cuando x = 0. En este caso, el límite es
igual a infinito, por la derecha y por la izquierda y tampoco existe
la función en este punto.
⎧1
⎪
si x ≠ 0
c. f ( x ) = ⎨ x
⎪⎩ 1 si x = 0
En este caso, los límite por la izquierda y por la derecha de la
función cuando x tiende a 0, es igual a + ∞ , si la x es positiva, y
- ∞ si la x es negativa; en cambio, el valor de la función en este
punto es 1. Por lo tanto la función no es continua.
d. f(x) = ln (ln (sen x))
La única dificultad de este ejercicio es comprobar que el dominio
de la misma es vacio, por lo tanto, no puede hablarse propiamente
de continuidad de la función cuando esta no tiene gráfica.
Veámoslo.
ln (ln (sin x))): el ln solo puede aplicarse a números estrictamente
positivos, por lo tanto, ln (sen x) > 0. Para que se cumpla, la
función debe evaluarse en puntos que sean mayores que 1. Por lo
tanto, sen x > 1. Pero no es posible que el seno sea mayo que 1. En
definitiva, el dominio de esta función es el conjunto vacio.
a.
3.
El límite en el 0 debe ser igual al valor de la función; por lo tanto, si existe,
debe ser el propio límite:
lim f ( x ) = lim
x →0
x3 − 2 x 2 + x
x →0
8 x + 3x
3
= lim
x →0
x2 − 2 x + 1
8x + 3
2
=
1
3
Por lo tanto, f(0) = 1/3
4.
lim f ( x ) =
x →0
−3
lim f ( x ) =
4
x →1
lim f ( x) = +∞
x →−2
−2
9
lim f ( x) = −∞
+
x →−2
lim f ( x ) = 0
−
lim f ( x ) = 0
x→+∞
x→−∞
Es continua en todos los reales, excepto en x = 1, x = 2, porque se trata de
una función racional.
Discontinuidad evitable en x = 1
Discontinuidad asintótica en x = -2
8
9