guia de ejercitacion teorica

Análisis Matemático B
Guía de Ejercitación Teórica
ECUACIONES DIFERENCIALES
=
1. Analice si la familia de curvas
=
′+ 1+
+ √1 +
es la solución general de la ecuación diferencial
′
+
Decida si la relación
=1
es también solución para
−1 <
< 1 . En caso afirmativo,
¿qué tipo de solución es?
2. Compruebe si la solución general de la ecuación diferencial
=
=
−1
es la familia de curvas
.
Observando la ecuación diferencial, ¿puede determinar una solución singular?
=
3. Encuentre valores reales de m tales que
−5
+6 =0
4. Demuestre que
sea solución de la ecuación diferencial
(sin resolverla)
=
=
e
−4
son ambas soluciones de
+ 6 = 0.
a) ¿Son también soluciones c1y1 y c2y2, con c1 y c2 constantes arbitrarias?
b) ¿Es la suma y1+y2 una solución?
5. Demuestre que
=2 +2 e
=
/2 son ambas soluciones de
=
+
/2
a) ¿Son también soluciones c1y1 y c2y2, con c1 y c2 constantes arbitrarias?
b) ¿Es la suma y1+y2 una solución?
6. Siendo
A, B, C, D, F
funciones continuas no nulas y tales que no hay dos iguales, y
a, b, c
constantes reales no nulas y distintas entre sí, indicar el tipo de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales
a) A(y)dx + B(x)dy = C(y)dx + D(x)dy
2
e)
(
&) * &
+ &
(
& ) & ,- *
+
3
b) A(x)y y' + B(x)/y + C(x)y = 0
c) A(x)B(y)y' + yC(x)D(y) = 0
$
d) ! − " #
%&
&
'! = 0
f)
g) ! = " #
=1
$
$
=
%&
%&
&
'!
7. Demuestre que toda ecuación diferencial de la forma dy/dx = f(ax + by +c) con b≠0 puede reducirse
a una ecuación diferencial a variables separables por medio de la sustitución u = ax + by + c .
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8. Demuestre que dada la ecuación diferencial homogénea dx/dy = f(y/x), la sustitución x = vy con
v=v(y), reduce la ecuación a una de variables separables.
9. Analice si la familia de rectas
=
+.
general de la ecuación diferencial =
donde c es una constante arbitraria, es la solución
+. ′ .
Ejemplifique y verifique.
10. Calificar a la siguiente proposición de verdadera o falsa, justificando la respuesta
=
Las familias de curvas
y
+3
=
son mutuamente ortogonales.
11. Calificar a la siguiente proposición de verdadera o falsa, justificando la respuesta
Si
= 1 22
e
= 1 2 cos
son dos soluciones particulares de una ecuación diferencial
lineal homogénea de segundo orden, la solución general es
12. Verificar que
=
Analizar por qué
=
+
es una solución particular de la ecuación diferencial
−2
= 0.
no es solución, siendo c una constante arbitraria
13. Determinar la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, cuya ecuación
característica tiene como únicas raíces a r1 = r2 = 0 y r3 = -2.
Escribir su solución general.
14. Determinar la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, del menor orden
posible, que tenga a y1 = sen 2x e y2= x ex como soluciones particulares.
Hallar su solución general.
15. Sabiendo que y1 = x e y2 = x ln x son dos soluciones particulares l.i. de la ecuación diferencial
−
general de
+
= 0, utilizar el método de variación de los parámetros para determinar la solución
−
+
= 4 ln
16. Determinar la ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes tal que una solución
particular es y = x3 – x , y la ecuación característica de la homogénea asociada tiene como únicas
raíces a r1=1, r2 = i y r3 = -i
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