Ejercicios Práctica 2 Abr-Jul 2016 - LDC

No habría en la sociedad rayos
de sol si los aduladores de nacimiento no los hicieran
penetrar en ella; reriendome a las gentes amables.
El viajero y su sombra, Federico Nietzsche.
Portadores de luz.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
Ejercicios para la Práctica 2Estructuras Algebraicas
NOMBRE
CARNET
NOTA
1. laborioso e ilustrativo Dado el conjunto G = {a, b}, anote las tablas de todos los grupoides ⟨G, ∗⟩ que
se pueden formar con G como base.
a ) Agrupe estos grupoides en clases, en base a que sean o no isomorfos. Poner en el mismo paquete
todas las que sean isomorfas entre sí.
b ) Indique cuáles de estas clases son conmutativas.
c ) Indique cuáles de ellas son asociativas (formada por grupoides asociativos).
d ) ¾Cuáles son monoides?
e ) ¾Cuántos elementos tiene la clase de los grupos?
f ) ¾Cuáles tienen elementos absorbentes?
g ) ¾Cuales tienen elementos idempotentes?
Nota: entienda que si dos estructuras son isomorfas, entonces son estructuralmente iguales, lo cual
quiere decir que en cada una hay elementos que juegan el mismo rol, aun cuando se llamen diferentes.
Esto es, si una tiene neutro la otra también, si una tiene dos absorbentes a izquierda, la otra también
debe tenerlo, etc.
2. aclarativo Halle todas las sub-estructuras de ⟨Z, +⟩. ¾Cuáles de ellas son isomorfas?
3. Considere el conjunto de las clases residuales módulo 6 que denotamos por Z .
a ) Escriba la tabla de la operación de ⟨Z , ∗⟩ e indique que estructura tiene este grupoide.
b ) Dé un ejemplo que ponga en evidenca que para esta multiplicación no se cumplen las leyes de
cancelación como es cumplian en los enteros.
c ) Dado un semigrupo multiplicativo ⟨G, ∗⟩ con elemento nulo 0, y dado a ∈ G ∧ a ̸= 0, se dice que
a es un divisor de cero distinto de cero si y sólo si existe en G un elemento b ∈ G tal que
b ̸= 0 y a ∗ b = 0. Muestre los divisores de cero distintos de cero de ⟨Z , ∗⟩.
d ) ¾Cuales son los elementos invertibles en ⟨Z , ∗⟩?
e ) ¾Cuaáles son los divisores de cero distintos de cero y las unidades de ⟨Z , ∗⟩ y de ⟨Z , ∗⟩?
4. ilustrativo Sea G = ⟨Q, ◦⟩ el grupoide formado por el conjunto Q de los números racionales y la
operación binaria ◦ denida como a ◦ b = a + b − ab. ¾Es G un semigrupo?¾Tiene neutro? ¾Qué
elementos tienen inverso?
5. Alerta rojo Demuestre que si φ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al grupoide ⟨G , ·⟩ y se tiene
que si G es semigrupo, entonces G también lo es.
6
6
6
6
12
8
′
′
Sug.: Tener cuidado tomar
a, b, c
en
G′
y usar que
φ
es sobreyectiva.
6. Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ es un monoide, entones el conjunto de los elementos invertibles de G es un
grupo; esto es, ⟨U(G), ∗⟩ es un grupounidades de G.
7. producto externo Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ y ⟨G , ∗ ⟩ son grupoides, entonces ⟨G × G , ⊙⟩ es un grupoide, donde ⊙ se dene como < g , g > ⊙ < g , g >=< g ∗ g , g ∗ g >.
8. interesante Halle un isomorsmo entre ⟨Z , +⟩ y ⟨Z × Z , ⊕⟩. Recuerde que la suma de Z es modulo
6 y que la de Z × Z es coordenada a coordenada.
′
1
′
1
2
6
2
3
′
′
′
2
1
2
3
2
′
1
′
′
2
6
Ejercicios Complementarios
1.
Demuestre que si φ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al grupoide ⟨G , ·⟩ y se tiene que si
es absorbente, entonces φ(a) es absorbente del grupoide G .
2. Demuestre que si φ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al grupoide ⟨G , ·⟩ y se tiene que si a ∈ G es
un elemento idempotente, entonces φ(a) es un elemento idempotente del grupoide G .
3. aclarativo Dados dos grupoides ⟨G, ∗⟩ y ⟨G , ∗ ⟩, entonces ⟨G × G , ⊙⟩ es un grupoide, si ⊙ se dene
como < g , g > ⊙ < g , g >=< g ∗ g , g ∗ g >. Muestre que si ∗ y · son asociativas, entonces
⊙ también lo es. ¾Qué condición es suciente para que ⟨G × G , ⊙⟩ tenga elemento neutro? Dado un
elemento < x, y >∈ G × G , ¾cuándo tiene inverso y cuál es?¾Cuándo es ⊙ conmutativa?
4. interesante Demuestre que si φ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ en el grupoide ⟨G , ·⟩ y se tiene
que si H es un sub-grupoide de G, entonces φ(H) es un sub-grupoide del grupoide G .
5. medio Denotamos por M [Z ] al conjunto de las matrices cuadradas de 2 × 2 con entradas en Z .
Nota: ∗ denota a la multiplición usual de matrices, pero las operaciones son en Z .
a ) Demuestre que ⟨M [Z ], ∗⟩ es un monoide.
b ) Diga qué elementos tienen inverso.
c ) Diga cuáles son las sub-estructuras de este monoide.
d ) ¾Tiene divisores de cero distintos de cero?
e ) ¾Elementos absorbentes e idempotentes?
6. Demuestre que si ψ es un isomorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ en el grupoide ⟨G , ·⟩, entoces ψ es un
isomorsmo del grupoide ⟨G , ·⟩ en el grupoide ⟨G, ∗⟩.
7. conceptual Pruebe que si G es un grupo abeliano, entonces el conjunto de los elementos de G que
satisfacen la ecuación x = e es un subgrupo de G.
8. fácil Dados los grupoides ⟨B, ∨⟩ y ⟨B, ∧⟩, donde B = {v, f } y sus tablas son:
medio
′
′
a∈G
′
′
1
′
1
′
2
2
1
2
′
′
′
1
′
′
′
2
′
′
′
′
2
2
2
2
2
2
′
−1
′
2
∨
v
f
v
v
v
f
v
f
∧
v
f
v
v
f
f
f
f
) Diga si estos grupoides son o no isomorfos.
b ) Verique si ψ : B → B denida por ψ(v) = f , ψ(f ) = v es o no un isomorsmo entre estos
grupoides.
a
No digáis que, agotado su tesoro,
de asuntos falta, enmudeció la lira;
podrá no haber poetas; pero siempre
habrá poesía.
Mientras las ondas de la luz al beso
palpiten encendidas,
mientras el sol las desgarradas nubes
de fuego y oro vista,
mientras el aire en su regazo lleve
perfumes y armonías,
mientras haya en el mundo primavera,
½habrá poesía!
Mientras la ciencia a descubrir no alcance
las fuentes de la vida,
y en el mar o en el cielo haya un abismo
que al cálculo resista,
mientras la humanidad siempre avanzando
no sepa a dó camina,
mientras haya un misterio para el hombre,
½habrá poesía!
Mientras se sienta que se ríe el alma,
sin que los labios rían;
mientras se llore, sin que el llanto acuda
a nublar la pupila;
mientras el corazón y la cabeza
batallando prosigan,
mientras haya esperanzas y recuerdos,
½habrá poesía!
Mientras haya unos ojos que reejen
los ojos que los miran,
mientras responda el labio suspirando
al labio que suspira,
mientras sentirse puedan en un beso
dos almas confundidas,
mientras exista una mujer hermosa,
½habrá poesía!
Rimas y leyendas, Gustavo Adolfo Becquer.