Capítulo Dos (Nuevo)

Lo que alguien es comienza a delatarse cuando su talento declina,cuando deja de mostrar lo que él es capaz
de hacer. El talento es también un adorno; y un adorno
es también un escondrijo.
Más allá del bien y del mal, Federico Nietzsche.
Capítulo 2
Estructuras Algebraicas
En este capítulo presentamos las estructuras algebraicas básicas que se pueden construir con un conjunto y una operación binaria. Empezamos deniendo
qué es una operación binaria y mostrando que la misma se puede representar
con una tabla si el conjunto sobre el que está denida es nito. Luego denimos
la estructura algebraica más elemental: el grupoideun conjunto junto con una
operación binaria denida sobre el conjuntoAl imponer ciertas propiedades
sobre la operación binaria obtenemos estructuras más complejas como el semigrupo, el monoide y por último el grupo. Finalmente, presentamos el concepto
de homomorsmo que nos permitirá comparar estructuras y subestructuras algebraicas.
2.1. Operación Binaria
Denición 2.1 (Operación Binaria) Dado un conjunto no vacío A una operación binaria sobre A es una función µ : A × A → A
Es importante que se entienda que una operación binaria es una función. (Cuando digamos función debe entenderse total; un sinónimo puede ser aplicación.)
Por lo tanto cada elemento de
A×A
debe tener exactamente una imagen en
A.
Si esto ocurre diremos que la operación está bien denida.
Notación: Para denotar a la imagen mediante la operación µ del par < a, b >,
en lugar de escribir
µ(< a, b >)
se escribe
a µ b.
Para denotar a las operaciones
en lugar de usar una letra se suelen usar símbolos como:
⊕, ⊗.
∗, ·, +, −, ∩, ∪, ◦, ∧, ∨,
Z , por comodidad,
En ciertas ocasiones, como el de la multiplicación en
se omite el símbolo:
ab
signica
a · b.
Alerta: Puesto que esta denición es la base de todas las estructuras algebraicas
y por consiguiente del álgebra es importante que la misma quede bien clara
desde un principio. El siguiente ejemplo intenta aclarar esta denición.
17
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
18
Ejemplo 2.1
IN denimos la operación bia ∗ b = máx (a, b), donde máx hace
1. Sobre el conjunto de los números naturales
naria de
∗ : IN × IN → IN
como
≤
referencia a la relación de orden
denida sobre el conjunto de los nú-
meros naturales. Esta operación está bien denida, porque todo par de
números naturales es comparable mediante
IN se le asocia un único
2 ∗ 5 = 5, 4 ∗ 4 = 4, etc.
de
elemento de
Nótese que no ocurre lo mismo si
lidad porque, por ejemplo,
2̸ | 3
y
IN :
≤.
A todo par de elementos
el mayor de los dos. Ejemplo:
máx se reere a la relación de divisibi3̸ | 2, y en consecuencia máx (2, 3) no
existe.
2. La suma sobre el conjunto de los números enteros es una operación binaria,
pro no lo es sobre el sub-conjunto de enteros
3. Sobre
A = {−1, 0, 1}, pues 1+1 ̸∈ A.
Z a ∗ b = (a + b) − 2, donde + y − son la suma y resta usuales sobre
el conjunto de los enteros. Este es un ejemplo de una operación binaria
denida en base a otras operaciones previamente denidas.
4. La resta es una operación binaria sobre el conjunto de los números enteros
pero no lo es sobre el conjunto de los enteros positivos. Justique esta
armación.
5. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son ambas operaciones binarias sobre el conjunto de los enteros positivos. Justique esta
armación. ¾Lo son sobre el conjunto de los divisores positivos de 30? ¾Y
sobre el conjunto de los enteros positivos menores o iguales que 30?
6. sobre el conjunto de los números enteros no negativos denimos las operación el primero con el símbolo
∗
y con la siguiente regla:
a ∗ b = a. La
2∗5 = 2
operación el primero está bien denida. ¾Por qué? Por ejemplo:
y
5 ∗ 2 = 5.
7. A continuación denimos una operación binaria exhibiendo el conjunto
A = {1, 2} y los pares que pertenecen a la
2 ∗ 1 = 1 y 2 ∗ 2 = 1. Note que ∗ está bien
operación:
1 ∗ 1 = 1, 1 ∗ 2 = 2,
denida.
En la operación denida en la parte 1. del ejemplo anterior se tiene que
y que
5 ∗ 2 = 5,
lo mismo ocurre para cualquier par
a, b ∈ IN
2∗5 = 5
puesto que
el mayor de dos números no se altera al cambiar de orden. Diremos que
2
y
5
conmutan mediante esta operación y si todo par de elemento conmutan, diremos
que la operación es conmutativa. Nótese que no ocurre lo mismo en la operación
denida en la parte 7.:
1∗2=2
mientras que
2 ∗ 1 = 1.
Denición 2.2 (Operación Binaria Conmutativa) Una operación binaria
◦ sobre A se dice que es conmutativa si para todo par a, b de elementos de A
se cumple que
a◦b=b◦a .
2.1. Operación Binaria
Vicente Yriarte
19
Ejercicio 2.1 Muestre cuáles de las operaciones binarias denidas en el ejemplo anterior son o no conmutativas.
A asignacomo su nombre lo dicea cada par de
A un único elemento de A. Si quisiéramos asignarle a una terna de
elementos de A como, por ejemplo, < a, b, c > un elemento de A tendremos dos
formas: asociamos a, b, esto es, efectuamos el producto a ∗ b y luego hallamos
(a ∗ b) ∗ c, o hallamos b ∗ c y luego a ∗ (b ∗ c). Observe que hemos conservado
Una operación binaria sobre
elementos de
el orden de los elementos en la ternano los conmutamos pues no sabemos si
∗
(a ∗ b) ∗ c
es conmutativa. En general, los elementos
y
a ∗ (b ∗ c)
no tienen
porque ser iguales. Si son iguales diremos que la terna se puede asociar y si toda
terna se puede asociar diremos que la operación es asociativa. La conclusión
es que cuando queremos efectuar cadenas de operaciones tenemos que indicar
el orden en que deben efectuarse dichas operaciones a menos que sepamos de
4-tupla
< a, b, c, d > se puede efectuar de las siguientes formas (a∗b)∗(c∗d), a∗(b∗(c∗d)),
a ∗ ((b ∗ c) ∗ d), ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d y (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d.
antemano que la operación es asociativa. Por ejemplo, el producto de la
Denición 2.3 (Operación Binaria Asociativa) Una operación binaria ◦
sobre A se dice que es asociativa si para toda terna a, b, c de elementos de A
se cumple que
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
Ejercicio 2.2 Muestre cuáles de las operaciones binarias denidas en el ejemplo anterior son o no asociativas.
2.1.1. Tabla de una Operación
Dada una operación binaria
∗ sobre un conjunto nito A, se puede construir
a ∗ b para cada par de elementos de A de la
una tabla que contenga el valor de
siguiente manera:
(i − ésimo
elemento de la izquierda)
entrada en la
i−ésima
la y
∗ (j − ésimo
j−ésima
elemento del tope)
=
columna de la tabla
Un ejemplo de ello se muestra en la siguiente tabla que representa una operación
binaria
∗ sobre el conjunto {a, b, c}. De la tabla se tiene, por ejemplo, que a ∗c =
*
a
b
c
a
b
a
b
b
a
b
a
c
c
a
b
Cuadro 2.1: Ejemplo de una Tabla de una Operación Binaria
b, c ∗ a = c,
y que
b ∗ b = b.
Las tablas son muy útiles para expresar de manera
resumida una operación binaria. Otros ejemplos de operaciones binarias sobre
conjuntos nitos se muestran en la tabla 2.2.
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
20
∗1
a
b
c
∗2
a
b
c
∗3
a
b
c
a
a
b
c
a
a
a
c
a
a
b
c
b
b
c
a
b
a
a
c
b
a
b
c
c
c
a
b
c
c
c
b
c
a
b
c
Cuadro 2.2: Otros Ejemplos de Operaciones Binarias
Sobre un conjunto con tres elementos se pueden construir
39 tablas diferentes
el elemento que ocupa cada casilla se puede elegir de tres formas diferentes y
hay nueve casillas.
La tabla de una operación binaria es simétrica con respecto a la diagonal
principal si y sólo si la operación es conmutativa. Esta armación nos permite
decidir observando la tabla si una operación es conmutativa; o si sabemos que la
operación es conmutativa nos facilita el proceso de construcción de la tabla de
la operación, pues sólo tenemos que calcular algo más de la mitad de la tabla.
No hay una regla similar para chequear asociatividad.
Ejemplo 2.2
La operación binaria de la Tabla 2.3 es conmutativala tabla es simétrica,
pero no es asociativa porque, por ejemplo,
que
(1+1)+(−1) = 1+(−1) = 0 mientras
1 + (1 + (−1)) = 1 + 0 = 1.
+
-1
0
1
-1
-1
-1
0
0
-1
0
1
1
0
1
1
Cuadro 2.3: Una Operación Binaria no Asociativa
Ejercicio 2.3 ¾Qué puede decir de la conmutatividad y de la asociatividad de
las operaciones binarias denidas en la Tabla 2.2?
2.2. ¾Qué es un Grupoide?
La más elemental de las estructuras algebraicas consiste sólo de un conjunto
base
G
y una operación binaria sobre dicho conjunto. A continuación presenta-
mos su denición.
Denición 2.4 (Grupoide) Un grupoide es un conjunto G junto con una operación binaria denida sobre G. Formalmente es un par ordenado ⟨G, ∗⟩.
Es muy importante que se entienda que un grupoide es un par ordenado cuya
primera coordenada es un conjunto
G
y cuya segunda coordenada es una ope-
ración binaria denida sobre dicho conjunto
no es el conjunto
G
sino el par
U.
G.
Esto es, el grupoide
U = ⟨G, ∗⟩
Sin embargo, por simplicidad de la exposi-
ción, cuando se tiene claro cuál es la operación binaria de la que se habla, se
2.2. ¾Qué es un Grupoide?
suele decir:
el grupoide G;
G
lenguaje. Al conjunto
Vicente Yriarte
21
el lector debe estar prevenido contra este abuso del
del grupoide se le suele llamar conjunto subyacente y
al número de elementos de dicho conjunto se denomina
|G|.
de y se representa por
el orden
del grupoi-
Esto permite hacer una primera clasicación de los
grupoides en nitos e innitos.
Sub-grupoides
A continuación daremos la base para denir sub-estructuras de una estructura dada. Una sub-estructura
S de una estructura E es, en general, una estructura
cuya primera coordenada es un subconjunto no vacío de la primera coordenada
de la estructura
E
y cuya segunda coordenada es una restricción de la segunda
coordenada de la estructura a la primera coordenada de la sub-estructura.
Denición 2.5 (Conjunto Cerrado Bajo una Operación) Dado un gru-
poide ⟨G, ∗⟩ y un subconjunto H de G decimos que el conjunto H es cerrado
bajo la operación del grupoide si y sólo si para todo par h1 , h2 ∈ H se tiene que
h1 ∗ h2 ∈ H , esto es, ssi ∗|H×H es una función de H × H en H .
En dicho caso
mos como
⟨H, ∗⟩
⟨H, ∗|H×H ⟩
es en sí un grupoide que por simplicidad denota-
y decimos que
⟨H, ∗⟩
es un subgrupoide de
⟨G, ∗⟩.
Denición 2.6 (Sub-grupoide) Dado un grupoide ⟨G, ∗⟩ se dice que ⟨S, ∗⟩
es un sub-grupoide de ⟨G, ∗⟩, y se abrevia S es sub-grupoide de G, si y sólo si
⟨S, ∗⟩ es un grupoide con la misma operación de G.
Ejemplo 2.3
En el primer grupoide de la Tabla 2.4 se observa que los conjuntos
{a, b} {a, d}
y
{a, b, c}
son cerrados con respecto a la operación
cerrados con respecto a la operación
∗2 ?
∗1
a
b
c
d
∗2
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
c
c
b
b
a
d
c
c
c
c
b
a
c
c
d
a
b
d
d
a
c
d
d
d
c
b
a
∗1 .
{a}, {d},
¾Cuáles son
Cuadro 2.4: Sub-grupoides
Ejercicio 2.4 Halle todos los sub-grupoides de los grupoide dados por las operaciones binarias de la Tabla 2.2.
El objetivo de las próximas secciones será
dividir y conquistar. Aclaramos: cla-
sicar los grupoides por características comunes para estudiarlos, con menor
esfuerzo.
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
22
2.3. Tipos de Grupoides
El grupoide es una estructura muy general. Para poder hacer un estudio
sistemático de los grupoides es necesario que los clasiquemos en base a que
posean o no ciertas propiedades estructurales como la asociatividad, la conmutatividad, y otras que mencionaremos luego.
2.3.1. Semigrupo
De todas las posibles operaciones binarias que se pueden formar sobre un
conjunto sólo algunas son asociativas. Si la operación binaria de un grupoide es
asociativa se dice que el grupoide es
asociativo y se llama semigrupo
Alerta: Algunos de los elementos de
G
pueden satisfacer la propiedad aso-
Toda terna debe satisfacer la
propiedad para que sea asociativo. A continuación se resalta la denición.
ciativa y el grupoide puede no ser asociativo.
Denición 2.7 (Semigrupo) Un semigrupo es un grupoide en el que la opera-
ción binaria es asociativa, esto es, un conjunto junto con una operación binaria
asociativa.
Una consecuencia importante de la asociatividad de la operación binaria de un
grupiode
⟨G, ∗⟩
es que si se tiene que multiplicar
n
elementos de
G,
no importa
cuáles se multipliquen primero si se respeta el orden de aparición de los elementos
y se multipliquen en cada paso dos consecutivos. Por ejemplo, todas las cinco
formas de multiplicar los elementos a1 , a2 , a3 , a4 dan el mismo valor:
((a1 ∗a2 )∗a3 )∗a4 = (a1 ∗a2 )∗(a3 ∗a4 ) = (a1 ∗(a2 ∗a3 ))∗a4 = a1 ∗((a2 ∗a3 )∗a4 ) = a1 ∗(a2 ∗(a3 ∗a4 ))
Por lo tanto, en el momento de efectuar un producto uno puede empezar multiplicando los términos consecutivos que permitan evaluar más fácilmente la
a1 ∗ a2 es
G y ∗ es asociativa. Las demás igualdades se prueban de manera
expresión. La primera igualdad de la expresión es verdadera porque
un elemento de
similar aplicando una o más veces la propiedad asociativa a tres elementos de
G.
Esto se formaliza en el siguiente teorema.
Teorema 2.1 Si ⟨G, ∗⟩ es un grupoide asociativo, entonces dos productos cua-
lesquiera de los elementos a1 , a2 , . . . , an de G son iguales si dichos elementos
aparecen en el mismo orden en cada producto.
En base a este teorema si en un semigrupo se da el orden de los elementos
de un producto es innecesario el uso de paréntesis. Por lo tanto, escribiremos
a1 a2 · · · an , sin paréntesis, para indicar el producto de los elementos
{a1 , a2 , . . . , an } en ese orden. En particular, si n es un entero positivo y
a es un elemento de G en el semigrupo ⟨G, ·⟩, para indicar el producto de a
n veces
z }| {
n
n
por si mismo n veces se usa la expresión a , esto es, a = a · a · · · a. Si es el
n veces
z
}|
{
m n
m+n
grupoide ⟨G, +⟩ se suele usar na = a + a + · · · + a. Se tiene que a a = a
m n
mn
y (a ) = a
y en notación de suma ma + na = (m + n)a y m(na) = (mn)a.
solamente
de
2.3. Tipos de Grupoides
Vicente Yriarte
23
∗1
a
b
c
∗2
a
b
c
∗3
a
b
c
a
b
c
a
a
c
a
a
a
c
c
b
b
c
a
b
b
a
b
c
b
c
a
b
c
a
b
c
c
b
c
a
c
b
b
b
Cuadro 2.5: Ejemplo de Grupoide Asociativo
De los tres grupoide de la gura 2.5 el primero es un semigrupo pero los
otros dos no. Chequeelo. El primero y el último son conmutativos. En el pri4
3
4
mero se pude usar la notación de potencia. Por ejemplo, a =, b = y c =.
Pero en los otros dos no se puede usar esta notación: en la segunda tabla si se
computa
(a ∗2 a) ∗2 a = c ∗2 a = b
mientras que
a ∗2 (a ∗2 a) = a ∗2 c = a.
Note
que esto no es consecuencia de la no conmutatividad de esta operación porque
4
cuando en la tercera tabla, que es conmutativa, se computa b se tienen dos
4
2
2
valores distintos dependiendo de la forma de asociar: b = b ∗3 b = a ∗3 a = c
4
3
o b = b ∗3 b = c ∗3 b = b lo cual es una inconsistencia.
Si un grupoide es un semigrupo, entonces todos sus subgrupiodes son semigrupos, porque la asociatividad la heredan del grupoide, esto es, para toda
terna
a, b, c
en el subgrupoide se tiene que
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
porque
a, b, c
son elementos del semigrupo y toda terna de elementos del semigrupo cumple
con dicha propiedad.
2.3.2. Grupoide Conmutativo
Denición 2.8 (Grupoide Conmutativo) Un grupoide conmutativo es un
grupoide en el que la operación binaria es conmutativa. Esto es, el grupoide
⟨G, ∗⟩ es conmutativo si y sólo si para todo a, b ∈ G se tiene que a ∗ b = b ∗ a.
Ejercicio 2.5 Construya todas las tablas de los grupoides que se pueden formar
a partir del conjunto A = {a, b} y diga cuáles son conmutativas. ¾Cuántas de
estas tablas corresponden a operaciones asociativas? ¾Cuántos grupoides conmutativos se pueden hacer sobre un conjunto con n elementos?
Si un grupoide es asociativo y conmutativo se dice que es un semigrupo conmutativo. Ejemplo de grupoide no conmutativo y no asociativo es el grupoide
de los enteros con la operación sustracción. Dé otros ejemplos.
Ejercicio 2.6 Demuestre que si un grupoide es conmutativo, todos sus subgrupoides son conmutativos.
2.3.3. Neutros y Monoides
e con la propiedad de que para todo
a ◦ e = e ◦ a = a se dice que dicho elemento es
Si en un grupoide existe un elemento
elemento
a∈A
un elemento
se cumple que
neutro del grupoide.
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
24
⟨Z, +⟩
n+0=0+n=n y
Por ejemplo, en el grupoide
n∈Z
se tiene que
el
en
cero
es el neutro porque para todo
⟨Z, ·⟩
es el
1.
Teorema 2.2 El elemento neutro de un grupoide, si existe, es único.
Prueba: Por absurdo, supongamos que e y e′ son elementos neutros distintos
⟨G, ∗⟩. Como e es neutro se tiene que e∗e′ = e′ , y como e′ es neutro
′
se tiene que e ∗ e = e. Esto es una contradicción pues, por ser ∗ una operación
′
′
binaria, la imagen de e ∗ e es única. En consecuencia e = e .
2
del grupoide
Si un elemento
ei
de un grupoide
⟨G, ∗⟩
cumple que
∀g ∈ G(ei ∗ g = g)
se dice
neutro a izquierda de G, y si un elemento ed del grupoide ⟨G, ∗⟩
cumple que ∀g ∈ G(g ∗ ed = g) se dice que ed es un neutro a derecha de G.
que
ei
es un
∗1
a
b
c
∗2
a
b
c
∗3
a
b
c
a
a
a
a
a
a
a
c
a
a
a
a
b
a
b
c
b
b
b
b
b
a
b
c
c
b
c
a
c
c
a
c
c
a
c
b
Cuadro 2.6: Neutros y elementos Absorbentes
En la primera tabla de la tabla 2.6 el elememto
a
c
y
son neutros a derecha y en la tercera tabla
b
b es un neutro, en la segunda
es neutro a izquierda.
Teorema 2.3 Si ⟨G, ∗⟩ es un grupoide, ei es un neutro a izquierda de G y ed
es un neutro a derecha de G, entonces ei = ed .
Prueba:
ed es neutro a derecha de G se tiene que ∀g ∈ G(g ∗ ed = g),
ei ∗ ed = ei y como ei es neutro a izquierda de G se tiene que
∀g ∈ G(ei ∗ g = g), en particular, ei ∗ ed = ed . Luego como ∗ es una operación
binaria todo par tiene una única imagen por lo tanto ei = ed
2
Como
en particular,
Una consecuencia inmediata de este teorema es que si un grupoide tiene
neutro a derecha y neutro a izquierda, entonces tiene neutro.
Ejercicio 2.7 Demuestre que si un grupoide tiene dos neutros a derecha, entonces no es conmutativo.
ad de un grupoide ⟨G, ∗⟩ cumple que ∀g ∈ G(g ∗ ad = ad ) se dice
ad es un absorbente a derecha de G, y si un elemento ai del grupoide
⟨G, ∗⟩ cumple que ∀g ∈ G(ai ∗ g = ai ) se dice que ai es un absorbente a
izquierda de G. Si un elemento es absorbente a izquierda y a derecha se dice
que es un absorbente. En la primera tabla de la gura 2.6 el elememto a es un
absorbente a izquierda, en la segunda b es absorbente a izquieda y en la terceraa
a es un absorbente.
Si un elemento
que
Si un semigrupo tiene neutro se suele denominar
monoide. Observe que un
monoide debe ser un semigruposer asociativoy tener neutro. Note que un
grupoide puede tener neutro y no ser un monoide. A continuación se resalta la
denición.
2.3. Tipos de Grupoides
Vicente Yriarte
25
Denición 2.9 (Monoide) Un monoide es un semigrupo con elemento neutro
o equivalentemente un grupoide asociativo con elemento neutro.
El lector puede comprobar que muchos de los grupoides que hemos presenta−
dos son monoides. Ejemplos son ⟨IN , +⟩, ⟨Z, ·⟩, ⟨Z
∪ {0}, ·⟩. A continuación
mostraremos el caso más importante de los monoides que estudiaremos.
X
Sea X un conjunto no vacío y sea X
el conjunto de las aplicaciones de
X
en X . Denimos MX = ⟨X , ◦⟩, donde ◦ es la composición de aplicaciones.
X
Ejercicio 2.8 Demostrar que MX es un grupoide asociativo con elemento neutro.(Un monoide)
Más adelante mostraremos que todo monoide es equivalente a un submonoide
de
MX
para algún
X.
Un monoide puede tener subgrupiodes, si un subgrupoide de un monoide
contiene el neutro, entonces es un submonoide. Alerta: el neutro de la subestructura debe ser el mismo que el de la estructura. Puede darse el caso que
un monoide tenga como subgrupoide un monoide que tenga un neutro que no
sea el del monoide original. En dicho caso dicho monoide no es submonoide del
original. Construya un ejemplo donde ocurra esto.
Ejercicio 2.9 Dar un ejemplo de un monoide que contenga un subgrupoide que
no sea un monoide. Considere el caso nito y el innito.
2.3.4. Inversos y Grupos
Denición 2.10 (Inverso) Dado un elemento a de un grupoide con elemento
neutro e, si existe a′ ∈ Atal que a ◦ a′ = a′ ◦ a = e se dice que a′ es un inverso
de a.
inverso a derecha inverso a izquierda
También se dene
e
respectivamente
′
′
′′
como sigue: a es inverso a derecha de a si y sólo si a ∗ a = e y a es inverso a
′′
izquierda de a si y sólo si a ∗ a = e. Está claro que si a es inverso a derecha de
b,
entonces
b
es inverso a izquierda de
a.
Alerta: Para que tenga sentido hablar de inverso de un elemento, el grupoide
tiene que tener un elemento neutro. Además, en un grupoide con neutro no
necesariamente todos los elementos tienen un inverso. A los elementos que tienen
inverso se les denomina elementos
invertibles.
Teorema 2.4 En un monoide el inverso de un elemento, si existe, es único.
Ejercicio 2.10 Pruebe el teorema anterior y construya un grupoide en el que
haya un elemento con dos inversos.
Teorema 2.5 En el monoide MX = ⟨X X , ◦⟩ los elementos invertibles son justamente las funciones biyectivas.
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
26
Una consecuencia de la asociatividad es la siguiente proposición que se deja
como ejercicio.
Ejercicio 2.11 Demuestre que en un monoide, si un elemento tiene inverso, el
mismo es único.
∗1
a
b
c
d
∗2
a
b
c
d
∗3
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
a
d
b
b
a
a
c
b
b
a
d
c
c
c
d
d
b
c
c
a
a
d
c
c
d
a
b
d
d
a
b
a
d
d
c
d
b
d
d
c
b
a
Cuadro 2.7: Inversos en Grupoides
En la primera tabla de la Tabla 2.7
a derecha de
b; d
b
es inverso a izquierda de
es inverso a izquierda de
b
neutro es su propio inverso. En la Segunda tabla
y
c, c
tiene los mismos dos inversos y
d
c,
y
c
y es su propio inverso;
b
es inverso
a
por ser
tiene dos inversos que son
b
no tiene inverso. Y en la tercera tabla
cada elemento es inverso de sí mismo.
Denición 2.11 (Idempotencia) En un grupoide un elemento
idempotente si y sólo si a ∗ a = a.
a se llama
El neutro es un elemento idempotente, también son idempotentes los elementos
absorbentes a derecha o a izquierda, los neutros a izquierda o a derecha. En 2.8
todos los elementos del primer grupoide son idempotentes, en el segundo sólo
es idempotente y en tercero
a
y
b
b
son idempotentes.
∗1
a
b
c
d
∗2
a
b
c
d
∗3
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
b
a
c
d
a
a
a
a
a
b
b
b
d
a
b
a
b
d
c
b
d
b
c
a
c
c
d
c
a
c
c
d
a
b
c
b
c
a
d
d
d
a
a
d
d
d
c
b
b
d
c
d
b
a
Cuadro 2.8: Elementos Idempotentes
Finalmente deniremos una estructura en la que la operación binaria sea asociativa, haya un elemento neutro y todo elemento tenga un inverso. Presentamos
dos deniciones equivalentes.
Denición 2.12 (Grupo) Un grupo es un monoide en el que todo elemento
tiene inverso.
Denición 2.13 (Grupo) Un grupo
⟨G, ∗⟩ es un conjunto G junto con una
operación binaria sobre G, tal que satisfacen los siguientes condiciones:
G1 La operación binaria es asociativa.
2.4. Homomorsmos
Vicente Yriarte
27
G2 Existe un elemento e en G tal que para todo x ∈ G(x ∗ e = e ∗ x = x).
G3 Para cada elemento g ∈ G existe un elemento g −1 ∈ G tal que g ∗ g −1 =
g −1 ∗ g = e.
La operación de un grupo no tiene por que ser conmutativa; de serlo al grupo
se le denomina conmutativo o abeliano en honor al matemático noruego Niel
Abel. Esta estructura se estudiará con mayor detalle en el próximo capítulo.
2.4. Homomorsmos
A continuación presentaremos la noción de homomorsmo. Esta noción es
muy importante para las matemáticas y aparecerá posteriormente en otras estructuras más complejas que estudiaremos más adelante en este libro. Es por
ello menester diferenciar sobre qué tipo de estructura se está deniendo.
Homomorsmos de Grupoides
Denición 2.14 (Homomorsmo) Un homomorsmo de un grupoide ⟨G, ∗⟩
a un grupoide ⟨G′ , ·⟩ es una función ϕ : G → G′ tal que para todo g1 , g2 ∈ G
ϕ(g1 ∗ g2 ) = ϕ(g1 ) · ϕ(g2 )
Si
ϕ es sobreyectiva el homomorsmo se denomina epimorsmo, si es inyectiva
se llama
monomorsmo y si es biyectiva se denomina isomorsmo.
Teorema 2.6 Si
entonces
ϕ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al grupoide ⟨G′ , ·⟩,
(a) Si G es un grupoide con elemento neutro e, entonces G′ también lo es y
ϕ(e) es su elemento neutro.
(b) Si g ′ ∈ G es inverso de g ∈ G, entonces ϕ(g ′ ) es inverso de ϕ(g) en G′ .
(c) Si G es abeliano, entonces G′ también lo es
Prueba:
′
(a) Como por hipótesis G es un grupoide, tenemos que probar so′
′
lamente que ϕ(e) es neutro de G . Sea y ∈ G , como ϕ es sobreyectiva se tiene
x ∈ G tal que ϕ(x) = y , luego ϕ(x) = ϕ(x ∗ e) = ϕ(x) · ϕ(e). Hemos
y = y · ϕ(e). De manera análoga se prueba que y = ϕ(e) · y y en
′
consecuencia ϕ(e) es, en efecto, el neutro de G .
′
′
′
(b) Sea x ∈ G y x ∈ G su inverso. Luego, x ∗ x = x ∗ x = e lo cual implica
′
′
′
′
que ϕ(e) = ϕ(x ∗ x ) = ϕ(x) · ϕ(x ) y que ϕ(e) = ϕ(x ∗ x) = ϕ(x ) · ϕ(x). Por lo
′
′
tanto ϕ(x) · ϕ(x ) = ϕ(x ) · ϕ(x) = ϕ(e).
′
(c) Sean u, w ∈ G , como ϕ es sobreyectiva existen x, y ∈ G tales que ϕ(x) = u
y ϕ(y) = w , como G es conmutativo se tiene que x ∗ y = y ∗ x y por consiguiente
ϕ(x ∗ y) = ϕ(y ∗ x), pero por otro lado como ϕ es un homomorsmo se tiene
que ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) · ϕ(y) y ϕ(y ∗ x) = ϕ(y) · ϕ(x), de donde concluimos que
que existe
probado que
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
28
ϕ(x) · ϕ(y) = ϕ(y) · ϕ(x),
esto es, que
u · w = w · u.
2
Este teorema establece que la imagen de un homomorsmo conserva ciertas
propiedades estructurales del grupoide original. La asociatividad también se
preserva en un homomorsmo. Ello se deja como ejercicio.
Ejercicio 2.12 Demuestre que si
ϕ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al
grupoide ⟨G′ , ·⟩, entonces se tiene que si G es semigrupo, entonces G′ también
lo es
Corolario 2.7 Si
entonces
ϕ es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al grupoide ⟨G′ , ·⟩,
(a) Si G es monoide, entonces G′ también lo es
(b) Si G es grupo, entonces G′ también lo es
Homomorsmos de Grupos
Denición 2.15 (Homomorsmo) Un homomorsmo de un grupo ⟨G, ∗⟩ a
un grupo ⟨G′ , ·⟩ es una función ϕ : G → G′ tal que ∀g1 , g2 ∈ G
ϕ(g1 ∗ g2 ) = ϕ(g1 ) · ϕ(g2 )
Denición 2.16 (Kernel de un Homomorsmo) Dado un homomorsmo
entre dos grupoides ⟨G, ∗⟩ y ⟨G′ , ∗′ ⟩ con elementos neutros e y e′ , el kernel del
homomorsmo ϕ es el conjunto de elementos de G cuya imagen es e′ , esto es,
ker (ϕ) = {g ∈ G : ϕ(g) = e′ }
Denición 2.17 Dada una función ϕ : A → B y un subconjunto S de A se
llama imagen de S mediante ϕ y se denota por ϕ(S) al conjunto de los elementos
de B que son imágenes de algún elemento de S , esto es, ϕ(S) = {x ∈ B : (∃a ∈
S)(ϕ(a) = x)}
Denición 2.18 (Imagen de un Homomorsmo) Dado un homomorsmo
ϕ : G → G′ se denomina imagen del homomorsmo a la imagen del conjunto G
mediante el homomorsmo; es simplemente la imagen de G mediante la función
ϕ, que se denota como ϕ(G).
Teorema 2.8 (Cayley) Todo semi-grupo con elemento neutro es isomorfo a
un sub-semi-grupo de un MX para algún X .(Si S es un monoide, entonces existe
un monomorsmo de S en MS )
2.5. Ejercicios Resueltos
Vicente Yriarte
29
2.5. Ejercicios Resueltos
Ejercicio Resuelto 2.1 Sobre el conjunto Z de los números enteros se dene
la siguiente operación: a ∗ b = a + b + 1. ¾Es ∗ conmutativa? ¾Es asociativa?
¾Tiene elemento neutro? ¾Inversos?
Respuesta:
Conmutatividad: Sean
b ∗ b = b + a + 1,
a ∗ b = b ∗ a.
a, b ∈ Z ,
a∗b = a+b+1
por un lado
y por el otro
y puesto que la suma de enteros es conmutatva se tiene que
a, b, c ∈ Z , por un lado (a∗b)∗c = (a+b+1)∗c = a+b+1+c+
1 = a+b+c+2 y por el otro a∗(b∗c) = a∗(b+c+1) = a+b+c+1+1 = a+b+c+2.
Luego, se tiene que (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Elemento neutro: El elemento neutro es −1, pues para todo a ∈ Z se tiene que
a ∗ (−1) = a + (−1) + 1 = a y (−1) ∗ a = (−1) + a + 1 = a. Pudimos deducirlo
anotando a ∗ x = a + x + 1 = a y de la parte nal concluir que x = −1.
Inversos: Sea a ∈ Z , su inverso si existe, debe ser único pues estamos en un
monoide, y de ser b debe cumplir que a ∗ b = b ∗ a = −1 y como ∗ es conmutativa basta con a∗b = −1, pero como a∗b = a+b+1 = −1, sale que b = −a−2. ♡
Asociatividad: Sean
Ejercicio Resuelto 2.2 Sea M2 [Z] el conjunto de las matrices cuadradas de
2 × 2 con entradas en el conjunto Z de los números enteros, y sea + la suma
usual de matrices; aclaro: C = A + B ssi [cij ] = [aij + bij ]. Demuestre que +, es
una operación binaria conmutativa, asociativa, con elemento neutro y que todo
elemento tiene un inverso.
Respuesta:
A, B ∈ M2[[Z], debemos
que A + B ∈
] probar [
]
a11 a12
b11 b12
M2 [Z], como A, B ∈ M2 [Z], entonces A =
y B =
a21 a22
b21 b22
con los aij , bij ∈ Z , luego su suma es:
[
] [
] [
]
a11 a12
b11 b12
a11 + b11 a12 + b12
+
=
a21 a22
b21 b22
a21 + b21 a22 + b22
Dadas dos matrices
suma de matrices
y puesto que la suma de enteros es entero se tiene que la
es
una operación binaria. La conmutatividad es una consecuencia inmediata de la
conmutatividad de la suma de enteros. La asociatividad también es una consecuencia inmediata de la asociatividad de la suma de los[ enteroslos
detalles se
]
0 0
dejan al lector. El elemento neutro es la matriz
:
pues para toda
0 0
nula
A ∈ M2 [Z]
[
se tiene que:
a11
a21
a12
a22
]
+
[
0
0
0
0
]
[
=
a11 + 0
a21 + 0
a12 + 0
a22 + 0
]
[
=
a11
a21
a12
a22
]
y se probó que la suma de matrices es conmutativa. Por último el inverso de la
matriz A es la matriz −A pues:
[
a11
a21
a12
a22
]
[
+
−a11
−a21
−a12
−a22
]
[
=
0
0
0
0
]
♡
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
30
Ejercicio Resuelto 2.3 Sea X = {0, 1} y sea X⟨X el conjunto
de las funciones
⟩
de X en X , escriba la tabla del grupoide MX = X X , ◦ donde ◦ representa la
composición de funciones. Diga cuál es su estructura y halle sus sub-esructuras.
Respuesta:
Empecemos por anotar y nombrar las cuatro funciones de
(
X , a saber: ρ0 =
0
0
1
1
)
(
,
ρ1 =
0
1
1
0
)
(
,
τ0 =
0
0
1
0
)
(
,
τ1 =
0
1
1
1
)
,
X
en
A continuación
hacemos las composiciones con el n de rellenar la tabla de la operación: Como
claramente
ρ0
es el neutro la primera la y la primera columnas se llenan inme-
diatamente. Luego
Se observa que
τ0
ρ1 ◦ ρ1 = ρ0 , ρ1 ◦ τ0 = τ1 , ρ1 ◦ τ1 = τ0 ,
◦
ρ0
ρ1
τ0
τ1
ρ0
ρ1
ρ0
ρ1
ρ1
ρ0
τ0
τ1
τ1
τ0
τ0
τ1
τ0
τ1
τ0
τ1
τ0
τ1
τ0
τ1
etc. La tabla queda:
τ1 son elementos absorbentes a izquierda; que ρ0 es el ele◦ es asociativaes composición de funciones, que es siempre
MX es un monoide.
y
mento neutro; que
asociativa, luego
Hallemos sus sub-estructuras:
es un sub-monoide, mientras que
{ρ0 } es cerrado y tiene al neutro, por lo tanto
{τ0 } y {τ1 } si bien son cerrados, no contienen
al elemento neutro, luego son sólo sub-semigrupos.
De tamaño dos, tenemos a
{ρ0 , ρ1 }resaltado
en en amarillo en la tablaque
es un sub-monoide y es conmutativo, además es un grupo, pero no es un sub-
MX no es un grupo. Además tenemos también que {ρ0 , τ0 }, {ρ0 , τ0 },
{τ0 , τ1 } son cerrados, los dos primeros son sub-monoides porque incluyen al neu-
grupo, pues
tro, pero el último es sólo un sub-semigrupo.
Con tres elementos tenemos que
{ρ0 , τ0 , τ1 } es cerrado y por lo tanto como con-
tiene al neutro es un sub-monoide. Finalmente con cuatro elementos, el grupoide
completo es un sub-monoide.
♡
Ejercicio Resuelto 2.4
Respuesta:
♡
Ejercicio Resuelto 2.5 Sea
M2 [Z] el conjunto de las matrices cuadradas de
2 × 2 con entradas en el conjunto Z de los números enteros, y sea + la suma
usual de matrices; Halle sub-estructuras de este grupo abeliano.
Respuesta:
M2 [2Z] el conjunto de las matrices cuadradas de 2×2 con entradas
2Z de los enteros pares es claramente sub-conjunto de M2 [Z] y
en el conjunto
2.5. Ejercicios Resueltos
Vicente Yriarte
31
como la suma de dos enteros pares es un entero par, es un grupoide, que es asociativo porque
M2 [Z]
lo es, entonces es un sub-semigrupo, que además contiene
a la matriz nula que es el neutro de
cada elemento en
sub-grupo
M2 [Z].
M2 [2Z]
M2 [Z],
por lo tanto es un monoide, además
M2 [2Z], por lo tanto M2 [2Z] es un
decir de M2 [3Z], M2 [4Z], en general de
tiene inverso en
Lo mismo podemos
M2 [nZ].
Si consideramos las matrices con entradas en
Z +,
se tiene que
M2 [Z + ],
si
bien es cerrado no contiene a la matriz nula ni al inverso de ninguno de sus
+
elementos, por lo tanto es sólo un sub-semigrupo de M2 [Z]. También M2 [2Z ],
+
+
M2 [Z ], en general todos los M2 [nZ ] son sub-semigrupos de M2 [Z].
+
Por otro lado si consideramos las matrices con entradas en Z ∪ {0}, se tiene
+
que M2 [Z ∪ {0}], es un sub-monoide de M2 [Z]. De nuevo, en general se tiene
+
que M2 [nZ ∪ {0}], es un sub-monoide de M2 [Z].
También el conjunto de las matrices triángular-superior y el conjunto de las
matrices digonal son sub-grupos de
M2 [2Z];
compuébelo. Es claro que ésta es
una lista muy incompleta, se deja al lector muestre algunas más.
♡
Ejercicio Resuelto 2.6 Dados los grupoides ⟨G, ∗⟩ y ⟨G, ◦⟩, donde G = {a, b}
las opraraciones ∗ y ◦ vienen dadas por sus tablas:
∗
a
b
a
b
b
b
a
a
◦
a
b
a
b
a
b
b
a
1. Diga si estos grupoides son o no isomorfos.
2. Verique si ψ : B → B denida por ψ(a) = b, ψ(b) = a es o no un
isomorsmo entre estos grupoides.
Respuesta:
(a) Parecen no ser isomorfas pues en uno se obserban una propie-
dad a izquierda que en el otro se observa a derecha y no son conmutativos.
ι(a) = a, y ι(b) = b
ι(a ∗ b) = ι(a) = a, mientras que ι(a) ◦ ι(b) = a ◦ b = b. Si tomo como
biyección a ϕ(a) = b, ϕ(b) = a, nos queda que: ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) = b, mientras que ϕ(a) ◦ ϕ(b) = b ◦ a = a, luego tampoco es homomorsmo. Y puesto que
no hay más biyecciones de {a, b} en {a, b} estos dos grupoides no son isomorfo. ♡
(b) Claramente la identidad no es un homomorsmo pues,
y
Ejercicio Resuelto 2.7 Muestre que los grupoides dados por las siguientes dos
tablas son isomorfos.
∗
a
b
a
a
a
b
a
a
◦
a
b
a
b
b
b
b
b
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
32
Respuesta:
Necesitamos una biyección
dos biyecciones de
{a, b}
en
{a, b}
es absorbente en la primera tabla y
(
permutación
ψ =
a b
b a
)
ψ : {a, b} → {a, b};
a
y debo cambiar el rol de
b
, esto es:
como hay sólo
y de
b,
pues
a
lo es en la segunda consideraremos a la
ψ(a) = b
y
ψ(b) = a. ψ
es claramente
biyectiva, veamos que es un homomorsmo: para ello consideraremos todos los
pares
< x, y >∈ {a, b} × {a, b}
y veriquemos que
ψ(a ∗ a) = ψ(a) = b
ψ(b ∗ b) = ψ(a) = b
ψ(a ∗ b) = ψ(a) = b
ψ(b ∗ a) = ψ(a) = b
y
y
y
y
ψ(x ∗ y) = ψ(x) ◦ ψ(y).
ψ(a) ◦ ψ(a) = b ◦ b = b
ψ(b) ◦ ψ(b) = a ◦ a = b
ψ(a) ◦ ψ(b) = b ◦ a = b
ψ(b) ◦ ψ(a) = a ◦ b = b
(2.1)
Nota: puesto que las operaciones son conmutativas, la última se pudo haber
omitido. Luego, en efecto,
ψ
es un isomorsmo.
♡
Ejercicio Resuelto 2.8 Demuestre que si
⟨G, ∗⟩ y ⟨G′ , ·⟩ son grupoides, la
aplicación φ : G → G
entre ellos y ⟨H, ·⟩ es sub-grupoide
⟨ es un homomorsmo
⟩
de ⟨G′ , ·⟩, entonces φ−1 (H), ∗ es un sub-grupoide de ⟨G, ∗⟩.
′
Respuesta:
−1
Claramente φ
(H) ⊆ G, y no es vacío, basta con probar que la
∗ es cerrada en φ−1 (H). Sean x, y ∈ φ−1 (H), entonces existen elementos en H , digamos a, b, tales que φ(x) = a y φ(y) = b, luego, puesto que H
es cerrado, se tiene que a ◦ b ∈ H y por ser φ un homomorsmo se tiene que
a ◦ b = φ(x) ∗ φ(y) = φ(x ∗ y), en consecuencia x ∗ y ∈ φ−1 (H).
♡
operación
Ejercicio Resuelto 2.9 Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ y ⟨G′ , ·⟩ son grupoides y
φ:
G → G′ es un homomorsmo, entonces ⟨φ(G), ·⟩ es un sub-grupoide de ⟨G′ , ·⟩.
Respuesta:
G′ ; debemos mostrar que
φ(G) es cerrada bajo la operación ·. Sean x, y ∈ φ(G), entonces por denición
de φ(G) existe elementos en G, digamos a, b tales que φ(a) = x y φ(b) = y , y
′
como a, b ∈ G y G es grupoide a∗b ∈ G, por lo tanto como φ : G → G , entonces
′
φ(a ∗ b) ∈ G y por denición de φ(G), se tiene que φ(a ∗ b) ∈ φ(G), pero por
propiedad de homomorsmo, se tiene que φ(a ∗ b) = φ(a) · φ(b) = x · y , esto es
x · y ∈ φ(G).
♡
Claramente
φ(G)
es sub-conjunto de
2.6. Ejercicios
Vicente Yriarte
33
2.6. Ejercicios
1. Determine cuáles de las siguientes operaciones binarias denidas a continuación son conmutativas y cuáles son asociativas.
a)
b)
c)
d)
e)
Sobre
Z +,
dena
∗
por:
a ∗ b = ab
Sobre
Z +,
dena
∗
por:
a ∗ b = ab + 1
Sobre
Q,
Sobre
Z
Sobre
Z,
2. Sobre
Z ×Z
dena
+
∗
dena
dena
∗
∗
a∗b=a−b
por:
a ∗ b = 2a+b
por
por:
a ∗ b = a + 2b
se dene la operación
⊙
como sigue:
< u, v > ⊙ < w, x >=< uw, vw + x > .
¾Está
⊙
bien denida? ¾Es conmutativa? ¾Es asociativa? ¾Tiene neutro?
¾elementos invertibles?
3. Demuestre que para todo conjunto
A, se tiene que las operaciones de unión
P(A). ¾Son
e intersección de conjuntos son operaciones binarias sobre
conmutativas? ¾Son asociativas? Constrúyase un ejemplo con un conjunto
A
de dos elementos.
4. Construya un grupoide no asociativo con neutro.
5. Demuestre que si un grupoide tiene dos netros a derecha (o a izquierda),
entonces no tiene neutro.
∗ denida de IR 2 × IR 2 en IR 2 por
< x1 , y1 > ∗ < x2 , y2 >=< x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 > es una operación
2
2
binaria sobre IR . (b) Determinar qué estructura tiene ⟨IR , ∗⟩
√
√
Se dene el conjunto de los enteros de Gauss como Z[ 2] = {a + b 2 :
√
a, b ∈ Z}. Sobre Z[ 2] se denen las siguientes dos operaciones en base a
6. (a) Demostrar que la relación
7.
las operaciones de los enteros:
√
√
√
(a1 + b1 √2) + (a2 + b2√ 2) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) 2
√
(a1 + b1 2) ∗ (a2 + b2 2) = (a1 a2 + 2b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 ) 2 √
Demostrar que estas operaciones están bien denidas y que ⟨Z[ 2], +⟩
√
⟨Z[ 2], ∗⟩ son respectivamente un grupo abeliano y un monoide.
y
8. Construya un monoide que contenga un subgrupoide que no sea un monoide.
9. Dado un conjunto nito
de
X
en
X.
X
X
se denota por X
al conjunto de las funciones
MX = ⟨X X , ◦⟩ es un monoide. ¾Cuáles son
Demostrar que
los elementos invertibles de MX ? Si X = {1, 2, 3}, muestre y enumere los
X
elementos de X
y construya la tabla de la operación de
.
composición
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
34
F el conjunto de las aplicaciones fi : IR − {0, 1} → IR − {0, 1} con
1
x
1 ≤ i ≤ 6 denidas por f1 (x) = x, f2 (x) = x1 , f3 (x) = 1−x
, f4 (x) =
x−1 ,
x−1
f5 (x) = x y f6 (x) = 1−x. Demuestre que la composición de aplicaciones
es una operación binaria sobre F y construya la tabla de la operación.
10. Sea
11. Sea
G
Q de los números racionales
a ∗ b = a + b − ab. ¾Está bien denida
¾Existe un elemento neutro en ⟨Q, ∗⟩? ¾Es
el grupoide formado por el conjunto
con la operación binaria denida por
∗? ¾Es ⟨Q, ∗⟩ un semigrupo?
⟨Q, ∗⟩ un monoide? ¾Qué elementos
12. Denotamos por
M2 [Q]
del grupoide tienen inverso?
al conjunto de las matrices cuadradas de
entradas racionales. Demuestre que
⟨M2 [Q], ∗⟩
2×2
es un monoide. Nota:
con
∗
es
la multiplicación usual de matrices.
13. En cada una de las siguientes tablas: a) Muestre si son o no semigrupos.
b) Muestre el neutro, si lo tienen, y explique si son o no monoides. c) ¾Qué
elementos tienen inverso?
∗1
a
b
c
d
∗2
a
b
c
d
∗3
a
b
c
d
a
a
a
a
a
a
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
b
c
a
d
b
b
b
a
d
d
c
c
c
c
c
c
b
d
a
c
c
c
d
a
d
d
d
d
d
d
d
d
b
c
a
d
d
d
d
d
G = ⟨Z, +⟩ el semigrupo de los enteros con la adición usual, y sea H =
⟨2Z, +⟩ el semigrupo de los enteros pares con la adición usual. Demuestre
que la aplicación g : Z → 2Z denida por g(x) = 2x es un homomorsmo
de Z en 2Z . ¾Será un epimorsmo? ¾Qué es?
14. Sea
15. Demuestre que si un grupoide tiene un elemento absorbente, el mismo es
único.
16. Demuestre que si
ai
G y ad es
G, entonces ad = ai , y en consecuenia G tiene un
es absorbente a izquierda de un grupoide
absorbente a derecha de
elemento absorbente.
17. Sean
⟨G, ∗⟩
y
⟨G′ , ·⟩
grupoides y
ellos, demuestre que si
′
sub-grupoide G
18.
medio
poide
H
Demuestre que si
⟨G′ , ·⟩
a∈G
es un homomorsmo entre
es un sub-grupoide de
φ
fácil
G,
entonces
es un epimorsmo del grupoide
es absorbente del grupoide
′
elemento absorbente del grupoide G .
19.
y
φ : G → G′
G,
φ(H)
es un
⟨G, ∗⟩ al gruφ(a) es un
entonces
Demuestre que si φ es un homomorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al
⟨G′ , ·⟩ y a ∈ G es un elemento idempotente de G, entonces φ(a)
′
es un elemento idempotente del grupoide G .
grupoide
2.6. Ejercicios
20.
35
medio Denotamos por M2 [Z2 ] al conjunto de las matrices cuadradas de
2×2 con entradas en Z2 . Nota: ∗ denota a la multiplición usual de matrices,
pero las operaciones son en Z2 .
a)
b)
c)
d)
e)
21.
Vicente Yriarte
Demuestre que
⟨M2 [Z2 ], ∗⟩
es un monoide.
Diga qué elementos tienen inverso.
Diga cuáles son las sub-estructuras de este monoide.
¾Tiene divisores de cero distintos de cero?
¾Elementos absorbentes e idempotentes?
aclarativo
⟨G, ∗⟩ y ⟨G′ , ∗′ ⟩, entonces ⟨G × G′ , ⊙⟩ es
′
′
′ ′
un grupoide, si ⊙ se dene como < g1 , g1 > ⊙ < g2 , g2 >=< g1 ∗ g2 , g1 ∗
′
g2 >. Muestre que si ∗ y · son asociativas, entonces ⊙ también lo es. ¾Qué
′
condición es suciente para que ⟨G × G , ⊙⟩ tenga elemento neutro? Dado
′
un elemento < x, y >∈ G × G , ¾cuándo tiene inverso y cuál es?¾Cuándo
es ⊙ conmutativa?
Dados dos grupoides
22. Demuestre que si ψ es un isomorsmo del grupoide
⟨G′ , ·⟩, entoces ψ −1 es un isomorsmo del grupoide
⟨G, ∗⟩.
23. Demostrar que la relación de
⟨G, ∗⟩
⟨G′ , ·⟩
isomorsmo denida sobre el conjunto de los
grupoides es una relación de equivalencia. Se abrevia:
y se representa por
24. Sea
Z[x]
en el grupoide
en el grupoide
H
es isomorfo a
el conjunto de los polinomios en la indeterminada
cientes en
Z.
G
H ≃ G.
Si denotamos por
+
x
y con coe-
a la suma usual de polinomios. ¾Qué
estructura algebraica de las estudiadas tiene
⟨Z[x], +⟩?
Justique su res-
puesta.
25. Demuestre que si un grupoide tiene dos elementos absorbentes a derecha,
entonces no es conmutativo.
26. Demuestre que en un grupo el único elemento idempotente es el neutro.
27. Demuestre que si el grupoide
G
tiene un elemento absorbente a derecha y
uno a izquierda, estos son iguales.
28. Marque cada una de las siguientes proposiciones con verdadero o falso.
En un grupo puede haber elementos absorbentes.
En un semigrupo puede haber elementos con dos o más inversos.
En un grupo puede haber varios elementos idempotentes.
En un grupoide puede haber elementos con más de un inverso.
Todo monoide es asociativo.
En un grupo de dos o más elementos no hay elementos absorbentes.
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
36
En un monoide ningún elemento tiene inverso.
29.
fácil
Dados los grupoides
⟨B, ∨⟩
y
⟨B, ∧⟩,
donde
B = {v, f }
y las tablas
de sus operaciones son:
∨
v
f
a)
b)
v
v
v
∧
v
f
f
v
f
v
v
f
f
f
f
Diga si estos grupoides son o no isomorfos.
ψ:B→B
Verique si
denida por
ψ(v) = f , ψ(f ) = v
es o no un
isomorsmo entre estos grupoides.
30.
ilustrativo
Sea
G = ⟨Q, ◦⟩
¾Es
31.
G
Q de los
◦ denida como a◦b = a+b−ab.
el grupoide formado por el conjunto
números racionales y la operación binaria
un semigrupo?¾Tiene neutro? ¾Qué elementos tienen inverso?
Alerta rojo
grupoide
Demuestre que si
⟨G′ , ·⟩
φ
y se tiene que si
es un epimorsmo del grupoide ⟨G, ∗⟩ al
′
es semigrupo, entonces G también lo
G
es.
Sug.: Tener cuidado tomar
32. Demuestre que si
tos invertibles de
de
33.
a, b, c
en
G′
y usar que
φ
es sobreyectiva.
⟨G, ∗⟩ es un monoide, entones el conjunto de los elemenG es un grupo; esto es, ⟨U(G), ∗⟩ es un grupounidades
G.
producto externo
⟨G, ∗⟩ y ⟨G′ , ∗′ ⟩ son grupoides, en′
donde ⊙ se dene como < g1 , g1 >
Demuestre que si
′
tonces ⟨G × G , ⊙⟩ es un grupoide,
⊙ < g2 , g2′ >=< g1 ∗ g2 , g1′ ∗′ g2′ >.
34. Considere el conjunto de las clases residuales módulo
6 que denotamos por
Z6 .
a)
Escriba la tabla de la operación de
⟨Z6 , ∗⟩
e indique que estructura
tiene este grupoide.
b)
Dé un ejemplo que ponga en evidenca que para esta multiplicación no
se cumplen las leyes de cancelación como es cumplian en los enteros.
c)
d)
e)
35.
⟨G, ∗⟩ con elemento nulo 0, y dado
a ∈ G ∧ a ̸= 0, se dice que a es un divisor de cero distinto de cero
si y sólo si existe en G un elemento b ∈ G tal que b ̸= 0 y a ∗ b = 0.
Muestre los divisores de cero distintos de cero de ⟨Z6 , ∗⟩.
Dado un semigrupo multiplicativo
¾Cuales son los elementos invertibles en
¾Cuaáles son los
⟨Z12 , ∗⟩
interesante
y de
coordenada.
⟨Z8 , ∗⟩?
Halle un isomorsmo entre
que la suma de
⟨Z6 , ∗⟩?
divisores de cero distintos de cero y las unidades de
Z6
es modulo
6
⟨Z6 , +⟩ y ⟨Z2 × Z3 , ⊕⟩. Recuerde
Z2 × Z3 es coordenada a
y que la de
2.6. Ejercicios
36.
aclarativo
Vicente Yriarte
37
Halle todas las sub-estructuras de
⟨Z, +⟩. ¾Cuáles de ellas son
isomorfas?
37. Sea
⟨G, ∗⟩
x
un monoide y sea
un elemento de
G,
denotemos por
x′
al
x, demuestre que para todo par a, b de elementos de G, se tiene
′
′
que si a, b tienen inverso, a ∗ b también tiene inverso y es b ∗ a , esto es:
′
′
′
(a ∗ b) = b ∗ a .
inverso de
38. Dado un conjunto nito
⟨ X en⟩ X
= X X , ◦ es
X,
◦a
denotamos por
XX
al conjunto de las fun-
ciones de
y por
la composición de funciones. Demuestre que
MX
un monoide. ¾Cuál es el elemento neutro? ¾Cuáles son
los elementos invertibles? ¾Hay elementos absorbentes? ¾Cuáles son? ¾Es
X
conmutativo? Para el caso X = {a, b} muestre X
etiquetelas: f0 , f1 , . . .
y construya la tabla de la operación. ¾Cuáles son las sub-estructuras de
este monoide? ¾Qué sub-estructura tienen?
Z[x] el conjunto de los polinomios en la indeterminada x con coecienZ . Recuerde que un polinomio de Z[x] de grado n es una expresión
2
n
algebraica de la forma a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x donde an ̸= 0 si n ̸= 0.
Si denotamos por + a la suma usual de polinomios, ¾qué estructura algebraica de las estudiadas tiene ⟨Z[x], +⟩? Muestre algunas sub-estructuras.
39. Sea
tes en
Justique cuidadosamente sus respuestas.
40. Demuestre que para todo conjunto A, se tiene que la unión e intersección
P(A), esto es, que
⟨P(A), ∪⟩ y ⟨P(A), ∩⟩ son grupoides. Muestre sus neutros y elementos ab-
de conjuntos son operaciones binarias denidas sobre
sorbentes si los tienenjustifíquelos. ¾Son conmutativas? ¾Asociativas?
¾Qué elementos tienen inverso? ¾Qué estructura tienen estos grupoides?
Para los casos,
A = {a, b}
A = {a, b, c}
y
escriba sus tablas y señale
las propiedades que puede observar de las tablas. Muestre las tablas de
algunas sub-estructuras.
41. Construya las tablas de los grupoides
⟨Z4 , +⟩ y ⟨Z4 , ·⟩,
4. Estudie las
conjunto de las clases residuales módulo
donde
Z4
es el
propiedades de
estos grupoides a partir de las tablas y diga qué estructura tienen. Nota:
para la suma o el producto de dos elementos, se operan como enteros y se
toma el resto de dividir entre
4.
Oserve que
2 · 2 = 0,
sin embargo ningún
factor es cero.
42.
movimientos rígidos-del-cuadrado
un cuadrado con los números
nesillas del reloj,
Etiquete los vértices indistinguibles de
0, 1, 2, 3,
en el
sentido contrario a las ma-
para hacerlos distinguibles. Considere el eje perpendi-
cular al plano del cuadrado que pasa por su centro de gravedad y observe el efecto que tiene sobre los vértices del cuadrado de una rotación de
0, 90, 180, 270 grados respectivamente y expreselas como funciones que llamará ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 respectivamente. Considere además los ejes de rotación
que pasan por dos vértices no adyacentes y halle dos nuevas rotaciones o
espejos (reexiones) y llámelas
µ0
a la que pasa por
0
y por
2,
y
µ1
a la
Capítulo 2. Estructuras Algebraicas
38
que pasa por
1 y por 3. Por último contruya dos nuevas rotaciones usando
los ejes de simetría que pasan por los puntos medios de dos lados opuestos
y denote por
µ2
a la que su eje bisecta al secmento
su eje bisecta al secmento
ciones
12.
01
y por
µ3
a la que
Denotemos a este conjunto de transforma-
D4 . Contruya la tabla de estas transformaciones con la opración de
composición y estudie sus propiedades. ¾Es conmutativo? ¾Qué estructura tiene? Halle todas sus sub-estructuras. De ser un grupo halle todos sus
subgrupos.
43.
bonito e ilustrativo
Construya la tabla del grupo multipkicativo cuyos
1, a, a2 , a3 , b, c, d, e si se sabe que c = ab, d = a2 b, e =
a b, a = 1, b = 1 y ba = a3 b. Además determine los sub-grupos de este
elementos son:
3
4
2
grupo y dibuje su diagrama de Hasse.
44.
medio
Sea F el conjunto de las aplicaciones fi : IR − {0, 1} → IR − {0, 1}
1
1
con 1 ≤ i ≤ 6 denidas por f1 (x) = x, f2 (x) =
x , f3 (x) = 1−x , f4 (x) =
x
x−1
y f6 (x) = 1 − x. Demuestre que la composición de
x−1 , f5 (x) =
x
aplicaciones es una operación binaria denida sobre F , escriba su tabla y
indique la estructura del grupoide justicando sus propiedades. Halle las
sub-estructuras y diga que estructura tienen.
⟨Z, +⟩ y ⟨2Z, +⟩, demustre que la función φ : Z → 2Z
φ(x) = 2x es un homomorsmo entre ellos. ¾Es epimors-
45. Dados los grupoides
denida como
mo? ¾Que tipo de morsmo es? ¾Cuál es su
46.
relevante
Demostrar que la relación de
kernel
?
isomorsmo
denida sobre el
conjunto de los grupoides es una relación de equivalencia. Se dice:
isomorfo a
G
y se anota
H ≃ G.
H
es
Esto parte al conjunto de todos los gru-
poides es clases, en cada clase están los que son iguales por isomorsmo