Una Generalización del Teorema Fundamental del Homomorfismo

Una Generalización del Teorema
Fundamental del Homomor…smo: El Caso
de los Grupos y los Anillos
Daniel Buitrago
[email protected]
Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemático
Directora: Jenny Carvajal Caminos
Matemática Universidad Nacional de Colombia
Fundación Universitaria Konrad Lorenz
Facultad de Matemáticas e Ingenierías
Bogotá, 1 de diciembre de 2010
Agradecimientos
Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que contribuyeron a mi formación a nivel de pregrado en Matemáticas y que muy generosamente compartieron una parte de su vasto
conocimiento conmigo. Agradezco especialmente al profesor Antonio Velasco, a la profesora Jenny
Carvajal y al profesor Oscar Gómez por su constante apoyo y admirable trabajo como docentes.
2
Índice
1. Orígenes Históricos del Álgebra Universal
4
1.1. A Treatise On Universal Algebra. Alfred Whitehead, 1898 . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. On the Structure Of Abstract Algebras. Garret Birkho¤, 1935 . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Universal Algebra. George Grätzer, 1968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4. Alfred North Whitehead (1861-1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5. Garret Birkho¤ (1911-1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Introducción
9
3. Nociones de Teoría de Grupos
11
4. Nociones de Teoría de Anillos
18
5. Nociones de Álgebra Universal
24
5.1. Álgebras Isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2. Teorema de Homomor…smo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6. Los Grupos y los Anillos como Álgebras Universales
30
6.1. Los Grupos como Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.2. Las Subálgebras y los Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.3. Las Congruencias y los Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.4. El kernel del álgebra y el kernel del grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.5. Teorema Fundamental del Homomor…smo en Grupos desde el Álgebra Universal .
38
6.6. Los Anillos como Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.7. Los Homomor…smos en álgebras y en anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.8. Las Subálgebras y los Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.9. Las Congruencias y los Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.10. El kernel del álgebra y el kernel del anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.11. El Teorema Fundamental del Homomor…smo en Anillos desde el Álgebra Universal
47
7. Conclusiones
50
8. Bibliografía
53
3
1.
Orígenes Históricos del Álgebra Universal
De acuerdo con [1] el término Álgebra Universal puede rastrearse hasta la obra de Alfred North
Whitehead A Treatise On Universal Algebra publicado en 1898, aunque la misma fuente a…rma que
Whitehead le atribuye el nombre a James Joseph Sylvester. Sin embargo, la idea del tema surgió
de William Hamilton y Augustus DeMorgan. Dicha idea era buscar la manera de formalizar una
estructura en la que se pudieran comparar las estructuras algebraicas que se estaban estudiando
en la época: Los cuaterniones de Hamilton, la lógica simbólica de Boole, los espacios vectoriales
y los grupos entre otros. Todas estas estructuras eran relativamente recientes (los cuaterniones
fueron tratados por Hamilton en 1843, las Leyes del Pensamiento de Boole se publicó en 1854 y
Evariste Galois acuñó el término de grupo hacia 1830) y la manera de generalizar las propiedades de
ciertos objetos matemáticos como vectores y matrices a través de estructuras algebraicas como los
cuaterniones o los grupos era algo completamente innovador. A continuación se presenta una breve
descripción de las obras por orden cronológico que proporcionaron los principales aportes a la teoría
del Álgebra Universal y evidencian su evolución hasta la de…nición que se maneja actualmente.
1.1.
A Treatise On Universal Algebra. Alfred Whitehead, 1898
La obra escrita por Alfred North Whitehead [6] es un monumental tratado de 7 volúmenes en los
cuales trata temas de Lógica Simbólica, cuanti…cadores, proposiciones, Álgebra de Proposiciones,
interpretaciones de proposiciones, representación de rectas y planos, construcciones de Geometría
Analítica, Teoría de la Medida, Geometría Elíptica e Hiperbólica, Geometría Diferencial y …nalmente Espacios Vectoriales. El objetivo era recopilar todas las abstracciones en las diferentes áreas
que se conocían en la época y describirlas en términos de ’operaciones’que él llamó cálculos. En el
primer libro, capítulo 3, página 18 establece por primera vez el término de álgebra universal de la
siguiente forma: "Álgebra Universal es el nombre empleado para aquellos cálculos que simbolizan
operaciones generales, que se de…nirán después, llamadas Adición y Multiplicación." La intención
de la búsqueda del carácter abstracto del contenido del tratado se pone de mani…esto cuando más
adelante agrega "...Existen ciertas de…niciones generales que se cumplen para cualquier proceso de
adición y otros que se cumplen para cualquier proceso de multiplicación. Estos son los principios
generales de cualquier rama del Álgebra Universal".
4
Con la aparición de los cuaterniones de Hamilton, los matemáticos empezaron a tratar con conjuntos cuyas operaciones de suma y multiplicación diferían de las utilizadas en los números reales.
A éste tipo de conjuntos con ’sumas especiales y ’multiplicaciones especiales’ se re…ere también
Whitehead: "...Existen otras de…niciones especiales que describen tipos especiales de adición o multiplicación. El desarrollo y comparación de estos tipos especiales de adición o multiplicación hacen
parte de las ramas especiales del Álgebra Universal." Lo que muestra la forma en que Whitehead
quiere clasi…car las estructuras del Álgebra Universal.
Cabe resaltar que para entonces ya se tenía un gran avance en el planteamiento de la idea de
grupo y anillo como puede evidenciarse en las páginas 19 y subsiguientes al describir las ´leyes
conmutativa y asociativa’ para la de…nición de adición, así como el elemento neutro (que lo denomina nulo) y sus propiedades, enunciando además la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la suma, entre otras.
Sin embargo, el trabajo de Whitehead tiene un aporte más ilustrativo que teórico, ya que la mayor
parte consiste en presentar y describir su propuesta de álgebra universal junto con algunas de las
propiedades elementales que se deducen de los axiomas y sus posibles aplicaciones a los distintos
campos de la Matemática.
1.2.
On the Structure Of Abstract Algebras. Garret Birkho¤, 1935
Garret Birkho¤ en 1935 publica un artículo [7] en el Proceedings of the Cambridge Philosophical
Society en el que se puede observar el inmenso avance en las de…niciones y notaciones de las estructuras algebraicas. Como él mismo menciona en el primer párrafo de la introducción, a falta de
vocabulario para representar su estudio de estructuras algebraicas, se ve forzado a crear uno. En
esta ocasión, en vez del término álgebra universal, utiliza uno que me parece más apropiado, el de
álgebra asbtracta. Aún así, la idea detrás de este concepto no está lo su…cientemente formada y, al
igual que Whitehead, es pobremente formulada: "...Un álgebra abstracta es, vagamente, cualquier
sistema de elementos y operaciones como un anillo, un campo, un grupo o un álgebra de Boole."
Por otro lado, empiezan a aparecer las semillas de los componentes para formalizar la idea, al
hablar más adelante de un álgebra abstracta como una pareja hC; F i donde C es cualquier clase de
elementos y F una clase de operadores f1 ; f2 ; : : :.
5
Es de resaltar además que para la época ya se manejaba la de…nición de grupo tal cual como
se conoce hoy en día, de manera axiomática y con la noción de elemento neutro y elementos inversos. Las ’leyes’que mencionaba Whitehead las de…ne Birkho¤ como ecuaciones que se cumplen en
las álgebras. Acto seguido pasa a desarrollar gran parte de la teoría de retículos.
En escritos posteriores, especí…camente en Universal Algebra [2] y Survey of Modern Algebra [3]
se disipan todas las posibles dudas sobre el concepto de álgebra y se presenta una forma mucho
más concreta como un conjunto donde se de…nen operaciones sobre él. La aridad de las operaciones, así como la cardinalidad de los conjuntos que se manejan es otro aporte importante. Los
otros elementos a utilizar como la de…nición de homomor…smo e isomor…smo y congruencias han
madurado plenamente y se presentan de la forma en que se conocen hoy en día. A partir de aquí,
de…ne las subálgebras y el homomor…smo entre álgebras, al igual que el teorema fundamental del
homomor…smo entre álgebras entre otros resultados.
1.3.
Universal Algebra. George Grätzer, 1968
Grätzer [1], además de recopilar los resultados y de…niciones conocidos hasta la época sobre el Álgebra Universal, es responsable de mayores avances en la teoría como el teorema de caracterización
para retículos congruentes de álgebras o las estructuras sigma-libres. En su manual incluye una
descripción completa de toda la teoría, así como sus aplicaciones a otras áreas contemporáneas de
la Matemática como la teoría de modelos o la lógica ecuacional. Es la principal fuente de referencia
actual del Álgebra Universal.
Se mostrará ahora una reseña sobre los principales matemáticos involucrados en el desarrollo de la
teoría.
1.4.
Alfred North Whitehead (1861-1947)
Nació en Kent, Inglaterra el 15 de febrero. Se matriculó en el famoso Trinity College de Cambridge
donde obtuvo su Bachelor en 1884. Permaneció dando clases y publicando en el mismo, obras
como [6] y Principia Mathematica en colaboración con Bertrand Russell. Desposa a Evelyn Wade
6
en 1890 con quien tuvo tres hijos. Aunque siempre estuvo interesado en la Teología, nunca se le
conoció pertenencia a alguna religión en particular y se declaraba a sí mismo agnóstico. También
le interesaba la Física al punto de que a partir de 1910 y los años siguientes escribió documentos
sobre temas de ésta en el Imperial College. Además de las ciencias exactas disfrutaba estudiando
la …losofía y publicando ensayos y críticas sobre paradigmas de la ciencia y la enseñanza de las
Matemáticas. Perteneció a prestigiosas sociedades cientí…cas como la Royal Society, la British
Academy y Aristotelian Society. De ésta última fue presidente. En 1924 viajó a Harvard en Estados
Unidos para dictar una cátedra de …losofía y ahí pasó los últimos años de su vida junto a su familia.
1.5.
Garret Birkho¤ (1911-1996)
Nace el 19 de enero en Princeton, New Jersey en Estados Unidos. Hijo del también matemático
George Birkho¤, fue educado en casa hasta los 8 años de edad, a partir de los cuales ingresó a la
escuela pública y cuatro años después a la escuela privada Browne and Nichols, donde fue alumno
de Harry Gaylord y antes de lo previsto, estaba preparado para presentar los examenes de admisión
a la Universidad de Harvard, donde fue admitido en 1928. Por sugerencia de su padre, tomó los
primeros cursos en Física Matemática. Sin embargo, al leer por accidente un documento en la
biblioteca sobre la teoría de grupos …nitos, se interesó de inmediato en el tema. Tanto así, que al
graduarse de Harvard en 1932 y obtener una beca para estudiar en la University of Cambridge,
cambió su elección de supervisor de Física Matemática por uno de Álgebra Abstracta (Phillip
Hall). En 1933 viajó a Munich donde conoció a Carathéodory, quien le sugirió la lectura del texto
de Álgebra de Van der Warden.
Con estos fundamentos, Birkho¤ empezó a trabajar por su cuenta en Álgebra y a publicar los
primeros documentos sobre el tema. Volvió a Harvard y fue encargado del curso de Álgebra en
1936, al tiempo que se centró en la redacción de las que serían sus obras más representativas:
Lattice Theory [9] y Survey of Modern Algebra [3] en coautoría con Saunders MacLane.
Durante la Primera Guerra Mundial, Birkho¤ se interesó por la matemática aplicada a problemas militares como el cálculo de la distancia de un objeto por medio de un radar, o los torpedos
y sus ondas expansivas, lo que lo llevó a publicar trabajos como Hydrodinamics en 1950.
7
Su estrecha relación con otros grandes matemáticos de la época como Harold Morse y John Von
Neumann permitió que aplicara su talento a los campos más diversos como la computación y la
criptografía.
Pasa los últimos años como catedrático George Putnam de Matemática Pura y aplicada en Harvard.
Muere el 22 de noviembre en New York.
8
2.
Introducción
De acuerdo con [1], la idea del Álgebra Universal empezó a gestarse cuando los matemáticos centran
sus estudios en las operaciones sobre conjuntos distintos a los números reales, como los cuaterniones
de Hamilton o la lógica simbólica de Boole, que diferían en mucho a las tradicionales.
Esto abrió el campo para la investigación sobre objetos más generales que se centraran en las
propiedades que cumplían dichos conjuntos independientemente de sus elementos y de cómo estuvieran de…nidas las operaciones sobre ellos. Alfred North Whitehead llamó esta área de estudio
‘Álgebra Universal’en su libro [6]
Sin embargo, según a…rma [1] las nociones que Whitehead se proponía generalizar aún no estaban
lo su…cientemente desarrolladas en la época, por lo que no se lograron importantes resultados.
No fue sino hasta los años 30 que Garret Birkho¤ y Øystein Ore publicaron los primeros resultados de carácter general en sus obras On the Structure of Abstract Algebras [7] y Les Corps
Algébriques et la Théorie des Idéaux [8]. A partir de ahí, las investigaciones sucesivas siguieron
las directrices de estos matemáticos, centrándose principalmente en álgebras libres, teoremas de
homomor…smo e isomor…smo y teoría de retículos algebraicos.
Los resultados alcanzados en estos temas se compendian en la obra Lattice Theory [9] de Birkho¤. Aún así, los avances en lógica y teoría de conjuntos permitieron una presentación mucho
más moderna de lo que hoy se conoce como Álgebra Universal, que se plasma en la obra de referencia mundial para este tema: Universal Algebra de George Grätzer [1].
Bajo esta nueva área de estudio, se prueban entre otras cosas, un teorema fundamental de homomor…smo entre álgebras. De acuerdo con fuentes como Stanley Burris [10] dicho teorema puede
verse como una generalización de los teoremas fundamentales de homomor…smo que existen para
otras estructuras algebraicas como grupos y anillos. La razón principal del trabajo es investigar la
verdadera relación entre el teorema fundamental del homomor…smo entre álgebras y los teoremas
fundamentales de homomor…smo para grupos y para anillos. De encontrarse que en efecto es una
generalización, establecerla y demostrarla. Esto proporcionaría un fundamento matemático a las
a…rmaciones hechas en las fuentes citadas y daría respuesta a la meta propuesta por Whitehead
de (si se logró o no) generalizar ciertas propiedades de las más importantes estructuras algebraicas
9
actuales. Se pretende entonces mostrar que las principales propiedades de la teoría de grupos y la
teoría de anillos se unen bajo un sólo lenguaje: el del Álgebra Universal.
Existen diversas versiones del teorema fundamental del homomor…smo. En el presente documento
se trabaja aquella que a…rma la existencia de un isomor…smo entre la estructura cociente (llámese
grupo cociente o anillo cociente) y la imágen de un homomor…smo sobreyectivo. La razón es que
esta forma del teorema involucra al kernel, que he considerado aspecto importante a estudiar bajo
este contexto.
La estructura del trabajo es la siguiente. En primer lugar se recordarán algunas de…niciones de la
teoría de grupos tales como subgrupo, subgrupo normal, kernel, grupo cociente y homomor…smo
entre grupos, que permitirán establecer y demostrar el teorema fundamental del homomor…smo en
grupos. De manera similar, recordar de…niciones como ideal, anillo cociente y homomor…smo entre
anillos permitirán hacer lo propio para el teorema fundamental del homomor…smo entre anillos.
Por otra parte se presentan las de…niciones de universo, operación n-aria, subuniverso, congruencia,
álgebra universal, álgebra cociente y homomor…smo para así poder comprender el planteamiento
y la demostración del teorema fundamental del homomor…smo entre álgebras universales.
A continuación se procederá a encontrar una demostración de que los grupos y los anillos son
álgebras universales acorde con la de…nición para después probar que los homomor…smos entre
grupos y entre anillos se generalizan por medio del homomor…smo entre álgebras, y de aquí, probar
que …nalmente el teorema fundamental del homomor…smo entre álgebras es una generalización del
propio para grupos y para anillos.
10
3.
Nociones de Teoría de Grupos
Empezaremos por describir la versión del teorema fundamental del homomor…smo para grupos:
Recordemos algunas de…niciones básicas:
De…nición 3.1 (Grupo) Un grupo es una pareja ordenada (G; ) conformada por un conjunto
no vacío G y una función
: G G ! G llamada operación binaria que cumplen con las siguientes
propiedades:
G1: g1
(g2
g3 ) = (g1
g2 )
g3 Para cualesquiera g1 ; g2 ; g3 2 G.
G2: Existe e 2 G tal que para todo g 2 G se cumple que g
G3: Para todo g 2 G existe g
1
2 G tal que g
g
1
=e=g
e=g=g
1
e.
g.
De…nición 3.2 (Subgrupo) Sea (G; ) un grupo. Si la pareja ordenada (G0 ; ) conformada por
un subconjunto G0 de G no vacío y la misma operación binaria
: G0
G0 ! G0 es un grupo, se
denomina entonces subgrupo de (G; ).
Proposición 3.1 (Criterio del subgrupo) Sea (G; ) un grupo. La pareja ordenada (G0 ; )
conformada por un subconjunto G0 de G y la misma operación binaria
: G0
G0 ! G0 es sub-
grupo de (G; ) si y sólo si cumple los siguientes requisitos:
(i) G0 6= ?
(ii) Para todo g10 ; g20 2 G0 se tiene que g10
(g20 )
1
2 G0
Demostración. Parte directa: Supongamos que (G0 ; ) es un subgrupo de (G; ). Luego por de…nición 3.2 se cumple (i). Además, por ser (G0 ; ) un grupo, dado g20 2 G0 existe (g20 )
(de…nición 3.1, G3). Finalmente la operación
en G0 se de…ne como
cumple también con (ii).
11
: G0
1
2 G0
G0 ! G0 por lo que
Parte recíproca: Supongamos que la pareja ordenada (G0 ; ) cumple con (i) y (ii). Sea g 0 2 G0 (que
existe por (i)) luego por (ii),
g0
Ahora, dados e; g 0 2 G0 por (ii),
(g 0 )
(g 0 )
e
1
1
= e 2 G0
= (g 0 )
1
(1)
2 G0
(2)
Ahora, debido a que todos los elementos de G0 son también elementos de G se veri…ca G1. De los
resultados (1) y (2) se veri…can respectivamente G2 y G3. Luego (G0 ; ) es grupo y por tanto,
subgrupo de (G; ).
De…nición 3.3 (Clase) Sea (H; ) un subgrupo de (G; ) y sea g 2 G. Los conjuntos
gH = fg
h j h 2 Hg
Hg = fh
g j h 2 Hg
y
se denominan clase a izquierda y clase a derecha respectivamente.
De…nición 3.4 (Subgrupo normal) Un subgrupo H de un grupo G se denomina normal si las
clases a derecha y a izquierda coinciden. Esto es,
gH = Hg
Para todo g 2 G.
Proposición 3.2 Sea H subgrupo normal de (G; ) y G=H el conjunto de todas las clases de H
(a derecha y a izquierda) y
la operación binaria entre clases de…nida por
: G=H
:
G=H ! G=H
(aH; bH) ! (a
Entonces (G=H; ) es un grupo.
12
b) H
Demostración. Sean a; b; c 2 G. Luego,
(aH
bH)
cH
=
((a
b) H)
=
((a
b)
=
(a
cH
c) H
(b
c)) H
= aH
(b
c) H
= aH
(bH
cH)
que comprueba G1.
Veamos que la clase eH 2 G=H hace el papel de elemento neutro:
aH
eH
=
(a
e) H
= aH
=
(e
a) H
= eH
aH
Lo que comprueba G2.
Ahora para cada aH 2 G=H se veri…cará que a
aH
a
1
H
1
H 2 G=H cumple con G3:
=
a
a
1
H
= eH
=
a
= a
1
1
a H
H
aH
Lo que concluye la prueba.
De…nición 3.5 (Grupo factor) El grupo (G=H; ) de la proposición anterior se denomina grupo
factor o cociente.
De…nición 3.6 (Homomor…smo entre grupos) Sean (G; ) y (G0 ; ) grupos y h : G ! G0
un mapeo tal que
h (a
b) = h (a)
Entonces h se denomina homomor…smo entre G y G’.
13
h (b)
De…nición 3.7 (Kernel) Sea h : G ! G0 un homomor…smo. Se denomina kernel de h y se
denota por ker (h) al conjunto
fg 2 G : h (g) = eg
Donde e es el elemento neutro en G0 .
Lema 3.1 Sea h : G ! H un homomor…smo. Entonces h (eG ) = eH donde eG es el elemento
neutro en G y eH el respectivo en H.
Demostración. Se tiene que
h (eG ) = h (eG eG )
Debido a que h es homomor…smo,
= h (eG ) h (eG )
Luego
h (eG ) = h (eG ) h (eG )
Pero ya que h (eG ) 2 H y H es un grupo, existe su inverso (h (eG ))
1
2 H. Operando este inverso
a ambos lados de la linea anterior:
(h (eG ))
1
h (eG ) = (h (eG ))
1
h (eG ) h (eG )
Los elementos del miembro derecho pueden asociarse por pertenecer a H, por lo que
! eH = (h (eG ))
1
h (eG ) h (eG )
! eH = eH h (eG )
! eH = h (eG )
Lo que concluye la prueba.
Lema 3.2 Sea h : G ! H un homomor…smo. Entonces h g
Demostración. Se tiene que
h (eG ) = h gg
14
1
1
= (h (g))
1
para todo g 2 G.
Aplicando la hipótesis de homomor…smo de h,
= h (g) h g
1
Luego
1
h (eG ) = h (g) h g
Aplicando el lema 3.1 al miembro izquierdo,
1
! eH = h (g) h g
Operando por (h (g))
1
a ambos lados de la igualdad, se tiene
! (h (g))
1
eH = (h (g))
1
h (g) h g
1
h (g) h g
1
Asociando en el miembro izquierdo se llega a
! (h (g))
1
= (h (g))
! (h (g))
1
= eH h g
! (h (g))
1
=h g
1
1
1
Lo que concluye la prueba.
Proposición 3.3 Sea h : G ! H un homomor…smo. Entonces ker (h) es subgrupo de G.
Demostración. Por el lema 3.1 se tiene que eG 2 ker (h), luego ker (h) 6= ?. Sean a; b 2 ker (h).
Debido a que ker (h)
G, existe b
1
2 G. Luego,
h ab
Aplicando el lema 3.2 a h b
1
1
= h (a) h b
1
se tiene que
= h (a) (h (b))
1
Pero observemos que debido a que tanto a como b pertenecen al kernel de h,
= eH (eH )
= eH eH
= eH
15
1
Luego,
h ab
1
Y por tanto dados a; b 2 ker (h) se cumple que ab
= eH
1
2 ker (h) y por la proposición 3.1, ker (h) es
subgrupo de G.
Teorema 3.1 Sea H un subgrupo normal de G. Entonces el mapeo
: G ! G=H de…nido por
(g) = gH es un homomor…smo con kernel H.
Demostración. Sean g1 ; g2 2 G. Entonces, por de…nición:
(g1 g2 ) = (g1 g2 ) H
Debido a que H es subgrupo normal,
Luego
=
(g1 H) (g2 H)
=
(g1 ) (g2 )
es un homomor…smo. Veamos ahora que H es el kernel del homomor…smo:
Sea h 2 H un elemento cualquiera. Luego,
(h)
=
(h) H
= H
Por la clausura sobre el grupo H, pero precisamente la clase H es el elemento neutro del grupo
G=H, luego en efecto H es el kernel de .
De…nición 3.8 (homomor…smo canónico) El homomor…smo
del teorema anterior se de-
nomina natural o canónico.
A continuación se establece el teorema fundamental del homomor…smo para grupos:
Teorema 3.2 (Fundamental del homomor…smo en grupos) Sean G, G0 grupos y
G0 un homomor…smo sobreyectivo. Entonces existe un isomor…smo
=
donde
es el homomor…smo canónico
16
: G ! G= ker ( ).
:G!
: G= ker ( ) ! G0 tal que
Demostración. Sea K = ker ( ). Se de…ne
(gK) =
(g) para todo g 2 G. Luego dados g1 ; g2 2
G,
((g1 K) (g2 K))
Pero
Luego
=
((g1 g2 ) K)
=
(g1 g2 )
es un homomor…smo por hipótesis, luego
=
(g1 ) (g2 )
=
(g1 K) (g2 K)
es un homomor…smo.
Veamos ahora que
es sobreyectivo. Por hipótesis, dado a 2 G0 existe g 2 G tal que
a=
(g)
Y por de…nición,
=
Luego
(gK)
es sobreyectivo.
Comprobemos la inyectividad:
Observemos que el kernel de
es el conjunto de elementos de la forma gK tales que
(gK)
= eG0
=
(k)
Para k 2 K. Luego
(gK) =
(k)
Lo que implica que
g=k
Recordemos que el homomor…smo canónico en grupos está dado por
(g) 2
(G) se tiene que
(g)
=
(gK)
=
( (g))
Lo que concluye la prueba.
17
(g) = gK. luego dado
4.
Nociones de Teoría de Anillos
De…nición 4.1 (Anillo) Un anillo es un conjunto R con dos operaciones binarias cerradas
y
que satisfacen los siguientes axiomas:
(i) (R; ) es un grupo abeliano.
(ii) (a
(iii) (a
b)
c=a
b)
c = (a
(b
c) para cualesquiera a; b; c 2 R.
c)
(b
c) y a
(b
c) = (a
b)
(a
c) para cualesquiera a; b; c 2 R.
Notación 4.1 Dado un anillo R, el elemento neutro del grupo (R; ) se denota por 0.
De…nición 4.2 (Subanillo) Sea (R; ; ) un anillo. Un subconjunto S de R que es subgrupo de
(R; ) y es cerrado bajo la operación
restringida a S se denomina subanillo de R.
De…nición 4.3 (Homomor…smo entre anillos) Sean (R; ; ) y (S; +; ) anillos. Se le denomina homomor…smo entre anillos al mapeo ' : R ! S que satisface las siguientes condiciones
para cualesquiera a; b 2 R:
(i) ' (a
(ii) ' (a
b) = ' (a) + ' (b)
b) = ' (a)
' (b)
De…nición 4.4 (Kernel de un homomor…smo) Sea ' : R ! S un homomor…smo. Se denomina kernel de ' y se denota por ker (') al conjunto
fr 2 R : ' (r) = 0g
Donde 0 es el elemento neutro en S.
Proposición 4.1 Sea (R; ; ) un anillo con elemento neutro aditivo 0. Entonces r 0 = 0 r = 0
para todo r 2 R.
18
Demostración. Observemos que por la propiedad (iii) de los anillos,
(r
0)
(r
0)
= r
(0
= r
(0)
=
(r
0)
0)
0
Luego,
(r
Y debido a que (r
su inverso (r
0)
0)
(r
0) = (r
0)
0
0) pertenece a R (por ser la multiplicación operación binaria cerrada) existirá
1
. Sumando dicho inverso a ambos lados de la igualdad:
! (r
0)
1
(r
0)
(r
!r
0) = (r
0)
1
(r
0)
0
0=0
El razonamiento es simétrico para comprobar que 0
r = 0. Esto concluye la prueba.
Notación 4.2 Sea (R; ; ) un anillo e I un subconjunto de R. Supongamos que r 2 R. Los
conjuntos fr
a j a 2 Ig y fa
r j a 2 Ig se denotan rI y Ir respectivamente.
De…nición 4.5 (Ideal izquierdo, ideal derecho) Sea R un anillo e I un subconjunto de R. Al
subconjunto I se le denomina ideal izquierdo si cumple con:
(i) I es un subanillo de R.
(ii) rI
I para todo r 2 R.
Similarmente, se le denomina ideal derecho si cumple con:
(i) I es un subanillo de R.
(ii) Ir
I para todo r 2 R.
De…nición 4.6 (Ideal) Sea R un anillo e I un subconjunto de R. Al subconjunto I se le denomina
ideal si es tanto ideal izquierdo como derecho.
19
Teorema 4.1 Sea (R; +; ) un anillo e I un ideal de R. Entonces el grupo cociente R=I es un
anillo bajo las operaciones:
: (r + I)
(s + I) = (r + s) + I
: (r + I)
(s + I) = (r s) + I.
Demostración. Primero se comprobará que (R=I; ) es un grupo abeliano. Sean r; s; t 2 R
elementos cualesquiera. Entonces,
(r + I)
(s + I) = (r + s) + I
Debido a que (R; +) es un grupo abeliano,
=
(s + r) + I
=
(s + I)
(r + I)
Luego (R=I; ) es un grupo abeliano.
Ahora se comprobará la asociatividad de
((r + I)
(s + I))
basados en la asociatividad de :
(t + I)
=
((r s) + I)
=
(r s) t + I
(t + I)
= r (s t) + I
=
Por tanto,
(r + I)
((s + I)
(t + I))
es asociativa.
Finalmente se veri…cará que
(t + I)
((r + I)
es asociativa con respecto a
(s + I))
= (t + I)
:
((r + s) + I)
=
(t (r + s)) + I
=
(t r + t s) + I
=
((t r) + I)
=
((t + I)
((t s) + I)
(r + I))
((t + I)
Que ocurre de igual manera cuando (t + I) multiplica por derecha. Luego
Esto nos permite concluír que (R=I; ; ) es un anillo.
20
(s + I))
es distributiva.
Teorema 4.2 Sea I un ideal de un anillo R. Entonces el mapeo
: R ! R=I de…nido por
(r) =
r + I es un homomor…smo entre anillos.
Demostración. Sean r; s 2 R elementos cualesquiera. Se veri…cará primero que
(r + s) =
(r)
(s).
Se tiene que
(r + s)
Ahora se comprobará que
(r s) =
=
(r + s) + I
=
(r + I)
=
(r)
(r)
(s + I)
(s)
(s).
Se tiene que
(r s)
Lo que nos permite concluír que
=
(r s) + I
=
(r + I)
=
(r)
(s + I)
(s)
es un homomor…smo entre anillos.
Proposición 4.2 Sean (R; ; ), (R0 ; +; ) anillos, 00 el elemento neutro aditivo en R0 y
R0 un homomor…smo entre anillos. Entonces K = ker ( ) es un ideal de R.
:R!
Demostración. Primero se veri…cará que K es un subanillo de R. Por la proposición (3.3) se tiene
que K es subgrupo de (R; ). Veamos ahora que K es cerrado bajo
:
Sean k1 ; k2 2 K. Luego,
(k1
k2 )
=
=
(k1 )
00
(k2 )
00
Y por la proposición (4.1),
= 00
Por lo que k1
k2 2 K. Se concluye entonces que K es un subanillo de R.
21
Veamos a continuación que K cumple con el criterio (ii) de de…nición de ideal:
Sea r
k 2 rK con r 2 R. Se tiene entonces que
(r
k)
=
(r)
=
(r)
k
k 2 K y por tanto rK
00
00
=
Es decir, r
(k)
K y K es un ideal izquierdo. De manera similar, sea
r 2 Kr con r 2 R. Se tiene entonces que
(k
Luego k
r 2 K y por tanto Kr
r)
=
(k)
=
00
=
00
(r)
(r)
K y K es un ideal derecho. Se concluye entonces que K es un
ideal.
Teorema 4.3 (Fundamental del homomor…smo entre anillos) Sean (R; +; ), (R0 ; +0 ; 0 ) anillos y
: R ! R0 un homomor…smo sobreyectivo entre anillos. Entonces existe un isomomor…smo
: (R= ker ( ) ; ; ) ! (R0 ; +0 ; 0 ) tal que
de…nidas en el teorema 4.1 y
=
donde
es el homomor…smo canónico
Demostración. Sea K = ker ( ). Se de…ne
(r + K) =
y
son las operaciones entre clases
: R ! R= ker ( ).
(r) para todo r 2 R. Luego dados
r1 ; r2 2 R,
((r1 + K)
Pero
(r2 + K))
=
((r1 + r2 ) + K)
=
(r1 + r2 )
es un homomor…smo por hipótesis, luego
=
(r1 ) + (r2 )
=
(r1 + K) + (r2 + K)
22
Para el caso del producto se de…ne
(rK) =
(r) para todo r 2 R. De esta manera, para r1 ; r2 2 R
se obtiene
((r1 K)
Luego
(r2 K))
=
((r1 r2 ) + K)
=
(r1 r2 )
=
(r1 ) (r2 )
=
(r1 K) (r2 K)
es un homomor…smo.
Se veri…ca ahora la inyectividad.
Observemos que el kernel de
es el conjunto de elementos de la forma r + K tales que
(r + K)
= eR0
=
(k)
Para k 2 K. Luego
(r + K) =
(k)
Lo que implica que
r=k
Se comprueba ahora la sobreyectividad.Veamos ahora que
es sobreyectivo. Por hipótesis, dado
a 2 R0 existe r 2 R tal que
a=
(r)
Y por de…nición,
Luego
=
(r + K)
y
es una consecuencia directa de la forma como se
es sobreyectivo.
La composición de los homomor…smos
de…nieron. Recordemos que el homomor…smo canónico para anillos está dado por
luego dado
(r) 2
(R) se tiene que
(r)
=
(r + K)
=
( (r))
Lo que concluye la prueba.
23
(r) = r + K.
5.
Nociones de Álgebra Universal
Notación 5.1 Sea A un conjunto no vacío y n un entero no negativo. Se denota A0 = f?g y para
n > 0, An denota el conjunto de n-úplas de elementos de A.
De…nición 5.1 (Operación n-aria) Sea A un conjunto no vacío y n un entero no negativo.
Una operación n-aria en A es cualquier función f : An ! A donde n se denomina la aridad de f .
Cuando n < 1 se dice que la operación f es …nitaria.
De…nición 5.2 (Operación nula) Una operación f en A se denomina nula o constante si su
aridad es 0.
De…nición 5.3 (Álgebra Universal) Un álgebra universal o de manera más breve, un álgebra
es una pareja hA; F i donde A es un conjunto no vacío llamado universo y F es una familia de
operaciones …nitarias en A.
Notación 5.2 En el caso en que F sea …nito, es decir F = ff0 ; f1 ; : : : ; fn
denota por hA; f0 ; f1 ; : : : ; fn
1 i,
1g
el álgebra hA; F i se
con la convención de que:
aridad de f0
aridad de f1
aridad de fn
1
De…nición 5.4 (Orden) Dado un conjunto A se denomina orden de A al número de elementos
que contiene.
De…nición 5.5 (Tipo de Álgebra) Dada un álgebra hA; f0 ; f1 ; : : : ; fn
es una sucesión de números enteros no negativos ha0 ; : : : ; a i donde
1i
un tipo de álgebra
< n en la que cada a0
i
representa la aridad de la operación fi .
La idea de tipo de álgebra se utiliza para distinguir la aridad de las operaciones en dos álgebras
distintas.
24
Ejemplo 5.1 Sean hA; F i y hB; F 0 i dos álgebras, donde F = ff0 ; f1 g y F 0 = ff00 ; f10 g. Supongamos
además que tanto f0 , f1 como f00 , f10 son operaciones binarias, luego las álgebras hA; F i y hB; F 0 i
son del mismo tipo (esto es, del tipo h2; 2i).
5.1.
Álgebras Isomorfas
De…nición 5.6 (Homomor…smo entre álgebras) Sean A = hA; F i y B = hB; F 0 i dos álgebras
del mismo tipo . Una función
: A ! B tal que para toda operación n-aria f y para toda sucesión
a1 ; : : : ; an de elementos de A, se tiene que
f A (a1 ; : : : ; an ) = f B ( (a1 ) ; : : : ; (an ))
para
<orden de , se denomina homomor…smo entre álgebras.
De…nición 5.7 (Isomor…smo entre álgebras) Sean A = hA; F i y B = hB; F 0 i dos álgebras del
mismo tipo . Una función
: A ! B biyectiva tal que para toda operación n-aria f y para toda
sucesión a1 ; : : : ; an de elementos de A,
f A (a1 ; : : : ; an ) = f B ( (a1 ) ; : : : ; (an ))
para
<orden de , se denomina isomor…smo entre A y B. Cuando dicha función existe decimos
que A es isomorfo a B y se denota A = B.
De…nición 5.8 (Subálgebra) Sean A = hA; F i y B = hB; F 0 i dos álgebras del mismo tipo. Si
B
A y para toda f B 2 F 0 se tiene que para la correspondiente operación f A 2 F ,
f B = f A restringida a B
Entonces se dice que B es subálgebra de A y se denota B
A.
De…nición 5.9 (Subuniverso) Sea A= hA; F i un álgebra y sea B
A. Si B es cerrado bajo las
operaciones sobre A, esto es, si f 2 F y a1 ; : : : ; an 2 B implica f (a1 ; : : : ; an ) 2 B, entonces el
conjunto B se denomina subuniverso de A.
25
De…nición 5.10 (Relación) Sea A un conjunto. Una relación r en A es un subconjunto de A A.
Si (a; b) 2 r, se escribe arb.
De…nición 5.11 (Relación de Equivalencia) Sea A un conjunto. Una relación r es de equivalencia en A si cumple con:
(i) ara
(ii) arb implica bra
(iii) arb y brc implican arc.
El conjunto de todas las relaciones de equivalencia en A se denota por Eq (A).
De…nición 5.12 (Congruencia) Sea A un álgebra de tipo
operación n-aria f 2 F y ai ; bi 2 A, ai bi (para 1
i
y sea
2 Eq (A) tal que para toda
n) implica
f (a1 ; : : : ; an ) f (b1 ; : : : ; bn )
Entonces
se denomina congruencia sobre A. El conjunto de todas las congruencias sobre un
álgebra A se denota Con A.
De…nición 5.13 (Clase de equivalencia) Sea
a módulo
2 Eq (A) y a 2 A. La clase de equivalencia de
es el conjunto a= = fb 2 A : (b; a) 2 g. El conjunto fa= : a 2 Ag se denota por A= .
De…nición 5.14 (Algebra Cociente) Sea A un álgebra y
ciente de A por
2Con A. Se denomina álgebra co-
y se denota por A= al álgebra cuyo universo es A= y cuyas operaciones
satisfacen
f A= (a1 = ; : : : ; an = ) = f A (a1 ; : : : ; an ) =
Donde a1 ; : : : ; an 2 A.
De…nición 5.15 (Kernel) Sea ' : A ! B un homomor…smo. El kernel de ' se denota ker (') y
se de…ne como el conjunto
ker (') = (a1 ; a2 ) 2 A2 : ' (a1 ) = ' (a2 )
26
5.2.
Teorema de Homomor…smo
De…nición 5.16 (Mapa natural) Sea A un álgebra y sea
2 Con (A). La función v : A ! A=
de…nida por v (a) = a= para todo a 2 A se denomina mapa natural o canónico.
Teorema 5.1 El mapa natural es un homomor…smo sobreyectivo.
Demostración. Sea
2 Con (A) y v el mapa natural. Sea f una operación n-aria en A y
a1 ; : : : an 2 A. Entonces, por de…nición de v,
v f A (a1 ; : : : an ) = f A (a1 ; : : : an ) =
Y por de…nición de algebra cociente,
= f A= (a1 = ; : : : an = )
= f A= (v (a1 ) ; : : : v (an ))
Luego v es un homomor…smo.
Observemos ahora que es sobreyectivo.
Sea b 2 A= . Esto es, b 2 fa= : a 2 Ag. Luego b = a= para algún a 2 A. Esto quiere decir que
existe a 2 A tal que b = a= = v (a). Luego v es sobreyectivo.
De…nición 5.17 El homomor…smo del teorema anterior se denomina homomor…smo natural o
canónico.
Teorema 5.2 (Fundamental del homomor…smo) Supongamos que ' : A ! B es un homomor…smo sobreyectivo. Entonces existe un isomor…smo
v es el homomor…smo canónico.
Demostración. Sea
de…nido por
(a= ) = ' (a)
27
: A= ker (') ! B tal que
v = ' donde
Sea f una operación n-aria cualquiera y a1 ; : : : ; an 2 A. Entonces por de…nición de álgebra cociente
f A= (a1 = ; : : : ; an = ) =
Y por de…nición de
f A (a1 ; : : : ; an ) =
,
= ' f A (a1 ; : : : ; an )
Pero debido a que ' es un homomor…smo por hipótesis, se tiene que
= f B (' (a1 ) ; : : : ; ' (an ))
Nuevamente por de…nición de
se llega a
= f B ( (a1 = ) ; : : : ;
Luego
(an = ))
es un homomor…smo.
Por otro lado, observemos que para cualquier a 2 A,
(
v) (a)
=
(v (a))
=
(a= )
= ' (a)
Comprobemos la inyectividad. Sean ' (a) ; ' (b) 2 ' (B) tales que
' (a) = ' (b)
y
(a= ) =
(b= )
Lo que quiere decir que (a; b) 2 ker ('), por lo que necesariamente
a= = b=
Comprobemos la sobreyectividad. Sea b 2 B. Debido a que ' es sobreyectivo, existe a 2 A tal que
' (a) = b
por la sobreyectividad de v, existe a= 2 A= ker (') tal que
v (a) = a=
28
luego
(v (a))
=
(a= )
= ' (a)
= b
Lo que concluye la prueba.
29
6.
Los Grupos y los Anillos como Álgebras Universales
Esta sección está dedicada a mostrar cómo los conceptos y resultados descritos en las secciones 3
y 4 sobre teoría de grupos y de anillos respectivamente, pueden deducirse de manera más simple
como casos especí…cos de un marco más general como es el del Álgebra Universal. Mi aporte a esta
intención (que está por completo en la presente sección) ha sido investigar y detallar la justi…cación
de cómo sucede dicha deducción tanto para el caso de los grupos como para el de los anillos, y de
paso, mostrar las interesantes conexiones que existen entre los conceptos y resultados elementales
de estas dos teorías que aparentan ser tan distintas.
Para empezar en esta tarea, en cada caso es necesario hacer una ’traducción’ del concepto de
grupo y anillo al Álgebra Universal para así poder trabajar los grupos y los anillos desde dicha
área y …nalmente mostrar cómo se cumplen los resultados de cada teoría desde el Álgebra Universal. En particular, el teorema fundamental del homomor…smo (tanto en grupos como en anillos).
La presente sección se divide en dos subsecciones. Una dedicada a mostrar cómo se deducen los resultados elementales de la teoría de grupos desde el Álgebra Universal y la otra a mostrar lo propio
para la teoría de anillos. En cada subsección se iniciará explicando la ’traducción’o la de…nición a
la que se acude para ver la estructura bajo estudio desde el Álgebra Universal. Luego, se describe la
forma en que el concepto de subálgebra conserva la subestructura bajo estudio para después pasar
a mostrar la relación que guarda el concepto de congruencia con los subgrupos normales (en el caso
de la teoría de grupos) y con los ideales (en el caso de la teoría de anillos), para luego evidenciar cómo se concibe la idea del kernel en cada caso y …nalmente se expone lo concerniente a la prueba del
teorema fundamental del homomor…smo en cada teoría utilizando únicamente particularizaciones
y resultados del Álgebra Universal.
6.1.
Los Grupos como Álgebras
De…nición 6.1 (Grupo-como-álgebra) Sea (G; ) un grupo. La cuaterna G = G; ;
conformada por un conjunto no vacío G, una operación binaria
unitaria
1
: G ! G de…nida por
1
:g!g
1
para todo g 2 G
30
:G
1
;e
G ! G, una operación
y una operación nula e : f?g ! G de…nida por
e:?!e
se denomina grupo-como-álgebra.
Nota 6.1 Observemos que G en la de…nición anterior es un álgebra universal, ya que puede verse
como la pareja G = hG; FG i donde G es el universo y FG la familia de operaciones …nitarias en G,
FG =
;
1
;e .
Ahora se pueden veri…car algunas propiedades de los homomor…smos en grupos desde el Álgebra
Universal:
Sean G = G; ;
1G
; eG y H = H; ;
1H
; eH
dos grupos-como-álgebras y ' : G ! H un
homomor…smo entre álgebras. Entonces dados g1 ; g2 2 G se tiene que
' (g1
g2 ) = ' (g1 )
' (g2 )
' g1 1G = (' (g1 ))
(3)
1H
(4)
' (eG ) = eH
(5)
Donde las líneas (4) y (5) son exactamente los resultados demostrados en los lemas 3.2 y 3.1
respectivamente en la sección sobre teoría de grupos.
Proposición 6.1 Sean G = G; ;
1G
; eG y H = H; ;
1H
; eH dos grupos-como-álgebras y
' : G ! H un homomor…smo entre álgebras. Entonces ' : (G; ) ! (H; ) es un homomor…smo
entre grupos.
Demostración. Del resultado (3) se tiene que ' (g1
g2 ) = ' (g1 )
' (g2 ) luego por la de…nición
3.6, ' es un homomor…smo entre grupos.
Corolario 6.1 Con las mismas hipótesis de la proposición anterior, si además ' : G ! H es
sobreyectivo, entonces ' : (G; ) ! (H; ) es sobreyectivo.
31
Demostración. Sea h 2 H, luego por hipótesis existe g 2 G tal que bajo el homomor…smo entre
álgebras,
' (g) = h
Pero de acuerdo con la proposición anterior, dicho homomor…smo es el mismo para los grupos
(G; ) y (H; ) con los mismos conjuntos de llegada y salida, luego ' : (G; ) ! (H; ) es
sobreyectivo.
Corolario 6.2 Con las mismas hipotesis de la proposicion 6.1, si además ' : G ! H es inyectivo,
entonces ' : (G; ) ! (H; ) es inyectivo.
Demostración. Sea ' el homomor…smo entre álgebras inyectivo. Debido a que ' es el mismo
homomor…smo entre grupos con los mismos conjuntos de llegada y salida, se concluye que éste es
inyectivo.
Corolario 6.3 Con las mismas hipotesis de la proposicion 6.1, si además ' : G ! H es isomor…smo, entonces ' : (G; ) ! (H; ) es un isomor…smo.
Demostración. De los corolarios 6.1 y 6.2 se concluye que ' : (G; ) ! (H; ) es un isomor…smo.
6.2.
Las Subálgebras y los Subgrupos
Aquí surge un interrogante y es por qué el grupo como álgebra se de…ne como la cuaterna
G; ;
1
; e y no simplemente como el grupo mismo (G; ). La respuesta tiene que ver con la
de…nición de subálgebra, y es que, debido al propósito de generalidad del álgebra universal, se
quiere que al tener una estructura como álgebra, las subálgebras sean también subestructuras.
Para el caso de los grupos, al tener un grupo como álgebra, se quiere que las subálgebras sean
subgrupos, que, como se mostrará más adelante, sería imposible si se de…ne el grupo como álgebra
al mismo grupo (G; ).
Proposición 6.2 Sea G = G;
subálgebra de G. Entonces (H;
G;
H)
1G
; eG un grupo-como-álgebra y H = H;
es un subgrupo de (G;
32
G ).
H;
1H
; eH una
Demostración. Debido a que H es un álgebra.se tiene que
H 6= ?
1H
Ahora, por de…nición 5.8, la operación
(6)
se de…ne como la operación
1G
restringido a H. Esto
es,
1H
: H!H
: h ! (h)
luego dado h 2 H, se tiene que (h)
De la misma forma, la operación
1
H
1G
(7)
2 H.
se de…ne como la operación
H
: H
:
G
restringido a H. Esto es,
H!H
(h1 ; h2 ) ! h1
G
h2
(8)
luego de (7) y (8) se deduce que dados h1 ; h2 2 H se cumple que
h1
H
(h2 )
1H
2H
(9)
Ahora, los resultados (6) y (9) corresponden a los requisitos (i) y (ii) respectivamente de la proposición 3.1, que al aplicarla resulta que (H;
H)
es un subgrupo de (G;
G ).
Veamos ahora un contraejemplo que ilustra que, si se hubiera de…nido al grupo como álgebra
únicamente por el grupo (G; ), la anterior proposición no sería cierta.
Ejemplo 6.1 Sea (Z; +) el grupo conformado por los números enteros y la operación de suma
usual. El conjunto (Z+ ; +) conformado por los números enteros positivos con la operación de suma
usual es una subálgebra de (Z; +). Sin embargo, NO es subgrupo de (Z; +), ya que incumple con
las condiciones G2 y G3 de la de…nición 3.1.
6.3.
Las Congruencias y los Subgrupos Normales
Estructuras que aparentemente son muy propias de la teoría de grupos como los subgrupos normales también pueden encontrarse desde el Álgebra Universal a través del concepto de congruencia.
33
Se comprobará que en efecto, los subgrupos normales pueden expresarse como una clase de equivalencia especí…ca de una cierta relación de equivalencia.
Sea G = G; ;
1
; e un grupo-como-álgebra y
una congruencia sobre G. Debido a que
es una
relación de equivalencia, para g 2 G existen las clases de equivalencia
[g] = g= = fx 2 G j x gg
Se puede obtener entonces el siguiente resultado.
Proposición 6.3 Sea G =
G; ;
1
; e un anillo-como-álgebra y
una congruencia sobre G.
Entonces la clase de equivalencia del elemento neutro e es un subgrupo normal N del grupo (G; ).
En símbolos,
e= = fx 2 G j x eg = N
Demostración. De acuerdo con la de…nición 3.4, debe veri…carse que (i) (e= ; ) es subgrupo de
(G; ) y (ii) para todo g 2 G, g (e= ) = (e= ) g.
Para veri…car (i) observemos que dada la re‡exividad de , se tiene que e e, por lo que (e e) 2 e=
y por tanto e= 6= ?.
Ahora sean g1 ; g2 2 e= . Se tiene que
g1 e
(10)
g2 e
(11)
y
Aplicando la de…nición 5.12 de congruencia, se puede usar la operación
1
a la linea (11) para
obtener
g2 1 e
1
! g2 1 e
(12)
Usando nuevamente la de…nición 5.12, se aplica la operación
y (12), con lo que se obtiene
!
g1
g2 1
(e
g1
g2 1
e
34
e)
teniendo en cuenta las lineas (10)
luego g1
g2 1 2 e= y la proposición 3.1 permite concluír que (e= ; ), es subgrupo de (G; ).
Para veri…car (ii) sea a 2 g (e= ) luego
a=g
x
para g 2 G y algún x 2 e= . Por la re‡exividad de
se tiene que
g g
g
1
g
(13)
1
(14)
y por otro lado,
x e
Aplicando la operación
a las lineas (13) y (15) se obtiene
(g
x) (g
! (g
Aplicando nuevamente la operación
x
g
1
e)
x) g
(16)
a las lineas (14) y (16) se llega a
!
luego g
(15)
g
x
g
1
g
x
g
1
g
g
1
e
(17)
2 e= .
Por otro lado,
a = g
x
= g
x
= g
x
=
g
x
e
g
1
g
1
g
g
Y debido al resultado (17) se deduce entonces que a 2 (e= ) g. Por lo tanto, g (e= )
Siguiendo un procedimiento simétrico al anterior se llega a que (e= ) g
entonces que g (e= ) = (e= ) g y e= es un subgrupo normal de (G; ).
35
(e= ) g.
g (e= ). Se conlcuye
6.4.
El kernel del álgebra y el kernel del grupo
Notación 6.1 Con el propósito de distinguirlos, el kernel de un homomor…smo entre grupos se
escribirá kerG y el kernel de un homomor…smo entre álgebras se escribirá kerA .
Sea ' : A ! B un homomor…smo entre álgebras y a; b elementos del universo A de A. Observemos
la relación de…nida por
arb si y sólo si ' (a) = ' (b)
(18)
Se puede veri…car que es de equivalencia (ya que la igualdad es una relación de equivalencia) y por
tanto se pueden construir sus respectivas clases de equivalencia:
[a] = fb 2 A j ' (b) = ' (a)g
Veamos ahora que dichas clases de equivalencia no son más que las clases a izquierda y a derecha
del kernel del grupo.
Proposición 6.4 Sea ' : G ! H un homomor…smo entre los grupos-como-álgebras G = G; ;
y H = H; ;
1H
1G
; eH y g; x elementos del universo G de G. Entonces fx 2 G j ' (x) = ' (g)g =
Kg = gK donde K es el kernel del homomor…smo entre grupos ' : (G; ) ! (H; ).
Demostración. Sea x 2 fx 2 G j ' (x) = ' (g)g luego se tiene entonces que
' (x)
(' (g))
1H
= eH
(19)
utilizando el resultado de la ecuación (4) de la sección 6.1 sobre homomor…smos entre gruposcomo-álgebras,
' (x)
' g
1G
= eH
y por el resultado (3) de la misma sección,
' x
Por lo tanto, x
g
1G
g
1G
= eH
pertenece al kernel del homomor…smo entre los grupos (G; ) y (H; ).
Esto es,
x
g
1G
= k para algún k 2 K
36
; eG
operando a derecha por g se obtiene
x=k
g
Esto es,
x 2 Kg
Similarmente usando la propiedad G3 de la de…nición 3.1 de grupos en la linea (19) se obtiene
(' (g))
1H
' (x)
=
eH
$ ' g
1G
$ ' g
1G
' (x) = eH
x = eH
Luego
g
1G
x = k para algún k 2 K
y operando a izquierda por g se obtiene
x
=
g
k
$ x 2 gK
Observemos ahora que la relación establecida en (18) es exactamente la de…nición de kernel de un
homomor…smo entre álgebras, y la proposición anterior nos indica que sus clases de equivalencia
son sencillamente "traslaciones"del kernel del homomor…smo entre grupos. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de esta relación resulta ser precisamente el grupo cociente
G= kerG ('). Para obtener el kernel del homomor…smo entre grupos a partir del kernel del homomor…smo entre álgebras basta con observar la clase de equivalencia del elemento neutro de G. Es
decir,
[eG ] = fx 2 G j ' (x) = ' (eG )g
Aplicando la linea (5) de la sección 6.1 se sigue que
[eG ] = fx 2 G j ' (x) = eH g
que es tal cual la de…nición 3.7 de kernel de un homomor…smo entre grupos.
Cabe resaltar que la manera de de…nir el kernel de un homomor…smo entre álgebras tiene entre otras ventajas, abarcar el concepto de kernel de un monoide que se de…ne como el conjunto
(a; b) 2 M 2 j ' (a) = ' (b)
donde M es un conjunto no vacío y ' un homomor…smo entre
37
monoides. Esto muestra de paso la interesante conexión que existe entre el kernel de un homomor…smo entre grupos y el kernel de un homomor…smo entre monoides. Así, la de…nición de kernel de
un homomor…smo entre álgebras gana generalidad.
6.5.
Teorema Fundamental del Homomor…smo en Grupos desde el Álgebra Universal
Ahora se cuenta con las herramientas necesarias para adaptar el teorema fundamental del homomor…smo en álgebras a la teoría de grupos, desembocando en el teorema fundamental del homomor…smo en grupos.
Proposición 6.5 Sea ' : A ! B un homomor…smo entre álgebras. Entonces kerA (') es una
congruencia sobre A.
Demostración. Sean a1 ; : : : ; an ; b1 ; : : : ; bn tales que (ai ; bi ) 2 kerA (') para 1
i
n. Luego se
tiene que
' (ai ) = ' (bi ) para 1
i
n
Sea f B una operación cualquiera del álgebra B. Se deduce entonces que
f B (' (a1 ) ; : : : ; ' (an )) = f B (' (b1 ) ; : : : ; ' (bn ))
y por la de…nición 5.6,
' f A (a1 ; : : : ; an ) = ' f A (b1 ; : : : ; bn )
Luego f A (a1 ; : : : ; an ) ; f A (b1 ; : : : ; bn ) 2 kerA (') y por tanto kerA (') es una congruencia sobre
A.
Nota 6.2 Veamos que el conjunto G= kerA (') (de…nición 5.13) esta conformado por todos los
conjuntos de la forma
g= kerA (') = fx 2 G j ' (x) = ' (g)g
que, como se demostró en la proposición 6.4 son las clases a derecha y a izquierda del kernel del
homomor…smo entre los grupos (G; ) y (H; ). Luego,
G= kerA (') = G= kerG (')
38
Proposición 6.6 Sean G = G; ;
1G
; eG y H = H; ;
1H
; eH dos grupos-como-álgebras y
' : G ! H un homomor…smo entre álgebras con kernel kerA ('). Además, sea K = kerG (')
y sea G= kerA (') =
G= kerA (') ; ;
1G= ker
G= kerA ('), la operación binaria entre clases
; eG= ker
la cuaterna conformada por el conjunto
de la de…nición 3.5, la operación unitaria
1G= ker
de…nida por
1G= ker
: G= kerA (') ! G= kerA (')
: gK ! g
1G
K
y la operación nula eG= ker de…nida por
eG= ker
: f?g ! G= kerA (')
: ? ! eG K
Entonces G= kerA (') es un álgebra cociente.
Demostración. Hay que veri…car para cada operación f y g1 ; : : : ; gn 2 G se cumple que
f G= ker A (g1 = kerA ; : : : ; gn = kerA ) = f A (g1 ; : : : ; gn ) = kerA
1. Operaciones binarias:
Sean g1 ; g2 2 G. Luego
g1 K
g2 K = (g1
g2 ) K
2. Operaciones unitarias:
Sea g 2 G. Luego
(gK)
1G= ker
=g
1G
K
3. Operaciones nulas:
Se tiene que eG 2 G. Luego,
eG= ker = eG K
Debido a que al menos eG= ker 2 G= kerA ('), G= kerA (') es no vacío y por tanto G= kerA (') es
un álgebra, lo que concluye la prueba.
39
Lema 6.1 Sean G =
G; ;
1G
; eG
y H =
1H
H; ;
; eH
dos grupos-como-álgebras y ' :
G ! H un homomor…smo entre álgebras con kernel kerA ('). Entonces el mapa
(G= kerG (') ; ) de…nido por
: (G; ) !
(g) = gK donde K = kerG (') es un homomor…smo sobreyectivo.
Demostración. Por la proposición 6.5, kerA (') es una congruencia sobre G. Sea
G= kerA (') el mapa natural de…nido por
5.1,
A
A
A
: G !
(g) = gK. (recordar nota 6.2) Luego por el teorema
es un homomor…smo sobreyectivo. Aplicando ahora la proposición 6.1 y el corolario 6.1 se
tiene que
: (G; ) ! (G= kerG (') ; ) es también un homomor…smo sobreyectivo.
Teorema 6.1 Sean G = G; ;
1G
; eG y H = H; ;
1H
; eH dos grupos-como-álgebras y ' :
G ! H un homomor…smo entre álgebras sobreyectivo. Entonces existe un isomor…smo entre grupos
: (G= kerG ( ) ; ) ! (H; ) tal que
= ' donde
es el homomor…smo canónico
: (G; ) !
(G= kerG ( ) ; ).
De los grupos-como-álgebras se pueden deducir los grupos (G; ) y (H; ) y del homomor…smo
entre álgebras ', por la proposición 6.1 se deduce el homomor…smo sobreyectivo entre grupos
' : (G; ) ! (H; ). Por lo que nos encontramos exactamente en las mismas hipótesis del teorema
3.2 fundamental del homomor…smo para grupos que sin embargo, se demostrará desde el álgebra
universal.
Demostración. Por el teorema 5.2, existe un isomor…smo
' donde
A
A
: G= kerA (') ! H tal que
es el homomor…smo canónico y es el que está dado por
ción 6.1 y 6.3,
A
A
A
=
(gK) = ' (g). Por la proposi-
: (G= kerG ( ) ; ) ! (H; ) es un isomor…smo entre grupos.
Sea x = ' (g) para algún g 2 G. Debido a que
es sobreyectivo, existe gK 2 G= kerG ( ) tal
que
' (g) =
(gK)
Nuevamente, por la sobreyectividad de , existe g 2 G tal que
(gK) =
( (g))
Esto es,
' (g) =
Lo que concluye la prueba.
40
( (g))
(g) = gK, luego
6.6.
Los Anillos como Álgebras
De…nición 6.2 (Anillo-como-álgebra) Sea (R; ; ) un anillo. La quinterna R = R; ; ;
conformada por un conjunto no vacío R, una operación binaria
binaria
:R
R ! R una operación unitaria
1
:r!r
1
1
:R
1
;e
R ! R, una operación
: R ! R de…nida por
para todo r 2 R
y una operación nula e : f?g ! R de…nida por
e:?!e
se denomina anillo-como-álgebra.
Nota 6.3 Igualmente, R resulta ser un álgebra universal.
6.7.
Los Homomor…smos en álgebras y en anillos
Veremos aquí que, similarmente, un homomor…smo entre dos álgebras-como-anillos es un homomor…smo entre anillos.
Proposición 6.7 Sean R = R;
R;
R;
1R
; eR y T = T;
T;
T;
1T
álgebras y ' : R ! T un homomor…smo entre álgebras. Entonces ' : (R;
; eT
R;
dos anillos-comoR)
! (T;
T;
T)
es un homomor…smo entre anillos.
Demostración. Sean r; s 2 R. Luego por la de…nición 5.6 de homomor…smo entre álgebras,
' (r
R
s) = ' (r)
T
' (s)
(20)
' (r
R
s) = ' (r)
T
' (s)
(21)
' r
1R
= (' (r))
41
1T
' (eR ) = eT
El hecho de que el homomor…smo entre álgebras ' va del conjunto R al conjunto T y que cumple
con (20) y (21) nos permite a…rmar que es un homomor…smo entre los anillos (R;
(T;
T;
R;
R)
y
T ).
Corolario 6.4 Con las mismas hipótesis de la proposición anterior, si además ' : R ! T es
inyectivo, entonces ' : (R;
R;
R)
! (T;
T;
T)
también es inyectivo.
Demostración. El homomor…smo entre álgebras ' es el mismo que entre los anillos (R;
R;
R)
y (T;
T;
T)
T;
T ).
Con los mismos conjuntos de llegada y salida, luego ' : (R;
R;
R)
! (T;
es también inyectivo.
Corolario 6.5 Con las mismas hipótesis de la proposición 6.7, si además ' : R ! T es sobreyectivo, entonces ' : (R;
R;
R)
! (T;
T;
T)
también es sobreyectivo.
Demostración. El homomor…smo entre álgebras ' es el mismo que entre los anillos (R;
R;
R)
y (T;
T;
T)
T;
T ).
Con los mismos conjuntos de llegada y salida, luego ' : (R;
R;
R)
! (T;
es también sobreyectivo.
Corolario 6.6 Con las mismas hipótesis de la proposición 6.7, si además ' : R ! T es un
isomor…smo, entonces ' : (R;
R;
R)
! (T;
T;
T)
también es un isomor…smo.
Demostración. Si ' es un isomor…smo, es inyectivo y sobreyectivo. Por la proposición 6.7 y
los corolarios 6.4 y 6.5 se tiene entonces que ' : (R;
R;
R)
homomor…smo inyectivo y sobreyectivo. Esto es, un isomor…smo.
42
! (T;
T;
T)
también es un
6.8.
Las Subálgebras y los Subanillos
Como se comentó en la sección 6.2, el propósito de de…nir los anillos de la forma anillos-comoálgebras es para que las subálgebras conserven las subestructuras y las subálgebras de un anillocomo-álgebra sea un subanillo.
Proposición 6.8 Sea R = R;
R;
una subálgebra de R. Entonces (T;
1R
; eR un anillo-como-álgebra y T = T;
T)
es un subanillo de (R;
R;
T;
R;
T;
T;
1T
; eT
R ).
Demostración. Debido a que T es un álgebra.se tiene que
T 6= ?
Ahora, por de…nición 5.8, la operación
1T
(22)
se de…ne como la operación
1R
restringido a T . Esto
es,
1S
: T !T
: t ! (t)
luego dado t 2 T , se tiene que (t)
De la misma forma, la operación
1
T
1R
(23)
2 T.
se de…ne como la operación
T
: T
:
R
restringido a T . Esto es,
T !T
(t1 ; t2 ) ! t1
R t2
(24)
luego de (23) y (24) se deduce que dados t1 ; t2 2 T se cumple que
t1
T
(t2 )
1T
2T
(25)
Ahora, los resultados (22) y (25) corresponden a los requisitos (i) y (ii) respectivamente de la
proposición 3.1, que al aplicarla resulta que (T;
T)
es un subgrupo de (R;
R ).
Por otro lado se tiene por la de…nición 5.8 de subálgebra, que la operación
la operación
R
restringido a T . Esto es,
T
: T
:
Luego (T;
T;
T)
es un subanillo de (R;
T !T
(t1 ; t2 ) ! t1
R;
R ).
43
R t2
T
se de…ne como
6.9.
Las Congruencias y los Ideales
En la sección 6.4 se pudo observar la relación entre las congruencias en un álgebra y los subgrupos
normales de un grupo-como-álgebra. En cuanto a anillos, se mostrará que las congruencias tienen
que ver con los llamados ideales.
Sea R = R; ; ;
1
; e un anillo-como-álgebra y
una congruencia sobre R. Debido a que
es una relación de equivalencia, para r 2 R existen las clases de equivalencia
[r] = r= = fx 2 R j x rg
De aquí se obtiene el siguiente resultado.
1
Proposición 6.9 Sea R = R; ; ;
; e un anillo-como-álgebra y
una congruencia sobre R.
Entonces la clase de equivalencia del elemento neutro e es un ideal I del anillo (R; ; ). En
símbolos,
e= = fx 2 R j x eg = I
Demostración. De acuerdo con la de…nición 4.6 de ideal, hay que veri…car que (i) (e= ; ; ) es
un subanillo de (R; ; ) y (ii) r (e= )
e= y (e= ) r
e= para todo r 2 R.
Con respecto a (i), de acuerdo con la de…nición 4.2 hay que veri…car que (a) (e= ; ), es subgrupo de (R; ) y (b) la operación
restringida a e= es cerrada.
Veamos que (a) se cumple.
Debido a que
es una relación de equivalencia es re‡exiva y por tanto e e, por lo que al menos
e 2 e= y entonces
e= 6= ?
Ahora sean r1 ; r2 2 e= . Luego,
r1 e
(26)
r2 e
(27)
y
44
Usando la de…nición 5.12 de congruencia, se puede aplicar la operación
1
a la linea (27) para
obtener
r2 1 e
1
$ r2 1 e
(28)
Usando nuevamente la de…nición 5.12, se aplica la operación
teniendo en cuenta las lineas (26)
y (28), con lo que se obtiene
$
r1
r2 1
(e
r1
r2 1
e
e)
r2 1 2 e= y la proposición 3.1 permite concluír que (e= ; ), es subgrupo de (R; ).
luego r1
Veamos ahora que (b) se cumple.
Sean r1 ; r2 2 e= . Luego,
r1 e
y
r2 e
Usando la de…nición 5.12, se aplica la operación
teniendo en cuenta las lineas anteriores, con lo
que se obtiene
(r1
$ (r1
Esto es, (r1
r2 ) (e
r2 ) e
r2 ) 2 e= , con lo que se comprueba la clausura de
(e= ; ; ) es un subanillo de (R; ; ).
Se veri…cará ahora (ii)
Sea (r
e)
x) 2 r (e= ). Se tiene por la re‡exividad de
r r
y x 2 e= , por lo que
x e
45
que
en e= y como consecuencia,
Usando la de…nición 5.12, se aplica la operación
teniendo en cuenta las lineas anteriores, con lo
que se obtiene
(r
$ (r
Luego (r
x) 2 e= . Por tanto, r (e= )
x) (r
e)
x) e
e= . De la misma forma, si se toma (x
se usa un procedimiento simétrico se llega a que (e= ) r
r) 2 (e= ) r y
e= .
Habiendo comprobado (i) y (ii) se concluye que e= es un ideal.
6.10.
El kernel del álgebra y el kernel del anillo.
Dado un homomor…smo ' : R ! T entre los anillos-como-álgebras R = R;
T = T;
T;
T;
1T
; eT , y por ende, entre los anillos (R;
R;
R)
y (T;
T;
R;
R;
T ),
1R
; eR y
el kernel de
dicho homomor…smo entre anillos se obtiene de la misma forma que la descrita en 6.4.debido a
que por de…nición (ver de…nición 4.4), es el mismo del homomor…smo entre los grupos (R;
(T;
R)
y
T ).
Nuevamente se parte de la de…nición de kernel de un homomor…smo entre álgebras:
kerA (') = (a; b) 2 R2 j ' (a) = ' (b)
que resulta ser una relación de equivalencia, para la cual se pueden de…nir las clases de equivalencia
[r] = r= kerA = fx 2 R j ' (x) = ' (r)g
Observemos ahora la clase de equivalencia del elemento neutro e:
[e] = fx 2 R j ' (x) = ' (eR )g
pero ' (eR ) = eT (de…nición 5.6) luego
[e] = fx 2 R j ' (x) = eT g
que es la forma como se de…ne el kernel de un homomor…smo entre anillos.
46
Corolario 6.7 Sean R = R;
R;
1R
R;
; eR
y T = T;
T;
T;
1T
; eT
dos anillos-como-
álgebras y ' : R ! T un homomor…smo entre álgebras. Entonces el kernel K del homomor…smo
' entre los anillos (R;
R;
R)
y (T;
T;
T)
es un ideal del anillo (R;
R;
R ).
Demostración. En la proposición 6.9 se demostró que la clase de equivalencia del elemento neutro e bajo cualquier congruencia es un ideal. Se demostró además en la proposición 6.5 que
en efecto la relación xreR $ ' (x) = ' (eR ) es una congruencia. Por lo tanto, el conjunto
K = fx 2 R j ' (x) = eT g es un ideal del anillo (R;
6.11.
R;
R ).
El Teorema Fundamental del Homomor…smo en Anillos desde el
Álgebra Universal
En esta parte se verá cómo el mismo teorema fundamental del homomor…smo en álgebras que se
usó para demostrar el propio en grupos se aplica también para demostrar el mismo en el caso de
los anillos.
Notación 6.2 Dado un homomor…smo entre anillos ' su kernel se denotará por kerR (')
Proposición 6.10 Sean R = R;
R;
R;
1R
; eR y T = T;
T;
T;
1T
; eT dos anillos-como-
álgebras y ' : R ! T un homomor…smo entre álgebras con kernel kerA ('). Además, sea K =
kerR (') y sea
R= kerA (') = R= kerA (') ; ; ;
1R= ker
las operaciones binarias entre clases
y
; eR= ker la quinterna conformada por el conjunto R= kerA ('),
descritas en el teorema 4.1, la operación unitaria
de…nida por
1R= ker
: R= kerA (') ! R= kerA (')
: rK ! r
1R
K
y la operación nula eR= ker de…nida por
eR= ker
: f?g ! R= kerA (')
: ? ! eR K
Entonces R= kerA (') es un álgebra cociente.
47
1R= ker
Demostración. Hay que veri…car para cada operación f y r1 ; : : : ; rn 2 R se cumple que
f R= ker A (r1 = kerA ; : : : ; rn = kerA ) = f A (r1 ; : : : ; rn ) = kerA
1. Operaciones binarias:
Operación
:
Sean r1 ; r2 2 R. Luego
r1 K
Operación
r2 K
=
(r1
R
r2 )
=
(r1
R
r2 ) K
=
(r1
R
r2 )
=
(r1
R
r2 ) K
R
K
:
Sean r1 ; r2 2 R. Luego
r1 K
r2 K
R
K
2. Operaciones unitarias:
Sea r 2 R. Luego
(rK)
1R= ker
=r
1R
K
3. Operaciones nulas:
Se tiene que eR 2 R. Luego,
eR= ker = eR K
Debido a que al menos eR= ker 2 R= kerA (') se tiene que R= kerA (') es no vacío y por tanto
R= kerA (') es un álgebra, lo que concluye la prueba.
Lema 6.2 Sean R = R;
R;
R;
1R
; eR y T = T;
T;
T;
1T
; eT dos anillos-como-álgebras y
' : R ! T un homomor…smo entre álgebras con kernel kerA ('). Entonces el mapa
(R= kerR (') ; ; ) de…nido por
: (R;
R;
R)
!
(r) = rK donde K = kerR (') es un homomor…smo sobreyectivo.
Demostración. Por la proposición 6.5, kerA (') es una congruencia sobre R. Sea
R= kerA (') el mapa natural de…nido por
A
(r) = rK. Luego por el teorema 5.1,
mor…smo sobreyectivo. Aplicando ahora las proposiciónes 6.7 y 6.5 se tiene que
(R= kerR (') ; ; ) es también un homomor…smo sobreyectivo.
48
A
A
: R !
es un homo-
: (R;
R;
R)
!
Teorema 6.2 Sean R =
R;
R;
R;
1R
; eR
y T =
T;
T;
T;
1T
; eT
dos anillos-como-
álgebras y ' : R ! T un homomor…smo entre álgebras sobreyectivo. Entonces existe un isomor…smo entre álgebras
homomor…smo canónico
: (R= kerR (') ; ; ) ! (T;
: (R;
R;
R)
T;
T)
tal que
= ' donde
es el
! (R= kerR (') ; ; ).
Este es el teorema que hace el papel de fundamental del homomor…smo entre anillos.
Demostración. Por el teorema 5.2, existe un isomor…smo
' donde
A
A
: R= kerA (') ! T tal que
es el homomor…smo canónico y es el que está dado por
ción 6.7 y 6.6,
: (R= kerR (') ; ; ) ! (T;
T;
Sea x = ' (r) para algún r 2 R. Debido a que
T)
A
es sobreyectivo, existe rK 2 R= kerR (') tal
(rK)
( (r))
Esto es,
' (r) =
Lo que concluye la prueba.
49
=
es un isomor…smo entre anillos.
Nuevamente, por la sobreyectividad de , existe r 2 R tal que
(rK) =
A
(rK) = ' (r). Por la proposi-
que
' (r) =
A
( (r))
(r) = rK, luego
7.
Conclusiones
De la misma forma en que campos como la teoría de grupos se crearon a partir de las propiedades
que compartían conjuntos numéricos con una operación u objetos geométricos con cierta transformación, el Álgebra Universal se creó a partir de las similitudes entre las estructuras algebraicas abstractas como los grupos, los anillos, los monoides, los retículos, etc. Dichas similitudes se pusieron
de mani…esto en el caso de los grupos y los anillos a la hora de presentar el desarrollo de la teoría
para llegar al teorema fundamental del homomor…smo. Se observó que fue esencialmente el mismo:
de…nición de subestructura, kernel, homomor…smo, clases, homomor…smo canónico y …nalmente
teorema fundamental del homomor…smo. La sección de Álgebra Universal sin embargo, requirió de
otro tipo de de…niciones a saber: equivalencia y congruencia, que fueron los conceptos claves que
permitieron uni…car los subgrupos normales en la teoría de grupos (sección 6.3) con los ideales en
la teoría de anillos (6.9).
La noción por la cual se pudo mostrar el proceso de ’uni…cación’fue el de estructura-como-álgebra
que se utilizó en las secciones 6.1 y 6.6. Gracias a ella se pudo trabajar con los resultados del
Álgebra Universal sin perder de vista la estructura bajo estudio, esto es, los grupos en la sección
6.1 y los anillos en la sección 6.6 y …nalmente adaptar el teorema fundamental del homomor…smo
en álgebras a grupos y a anillos.
Debido a las similitudes descritas anteriormente, el procedimiento para adaptar el teorema fundamental del homomor…smo en álgebras a otras estructuras como los monoides o los retículos debe
ser el mismo. Sin embargo, valdría la pena estudiar dicho procedimiento para el caso de otro tipo
de estructuras como los grupos topológicos o las álgebras de Lie. En el primer caso, está involucrada la noción de continuidad y por tanto de homeomor…smo. Dos grupos topológicos que sean
isomorfos conllevan un homeomor…smo entre los espacios topológicos que representan, por lo que
el teorema fundamental del homomor…smo implicaría homeomor…smo entre los espacios topológicos involucrados. En el caso de las álgebras de Lie, la operación que se de…ne sobre el conjunto
(llamada paréntesis de Lie) resulta NO ser asociativa en general (al contrario de las operaciones
vistas aquí) y además anticonmutativa.
Es llamativo analizar las causas que dieron origen a la idea de un ’Álgebra Universal’, aunque
un concepto que uni…que todas las estructuras algebraicas y sus propiedades está todavía lejano.
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Aún así, se ha mostrado al inicio los inmensos avances de esta teoría relativamente reciente y hoy
se puede contar como una de las áreas de estudio más completas del Álgebra, con aplicaciones
inclusive a otras ciencias como la Física en la Teoría Cuántica de Campos [4] o la Lógica y la
Computación Cientí…ca [5] entre otras.
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Referencias
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[2] BIRKHOFF, G. Selected Papers On Algebra and Topology. Birkhäuser, 1987, pág 146.
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[6] WHITEHEAD, A. A Treatise On Universal Algebra. Cambridge University Press, 2009.
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