2. Funciones holomorfas

Problemas de ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA
2.
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Funciones holomorfas
2.1 Sea U un abierto de C y f : U → C. Se definen
1 ∂f
∂f ∂f
=
−i
∂z
2 ∂x
∂y
y
∂f
1 ∂f
∂f =
+i
.
∂z
2 ∂x
∂y
(a) Probar que f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en U si y sólo si
(b) Si f es holomorfa en z0 ∈ U , probar que f 0 (z0) =
∂f
= 0.
∂z
∂f
(z0).
∂z
2.2 Sea U un abierto conexo de C y f : U → C holomorfa. Demostrar que cada una de las
condiciones siguientes implica que f es constante en U :
(a) Im(f (z)) = k ∈ R, para todo z ∈ U .
(b) f¯ es holomorfa en U .
(c) a Re(f (z)) + b Im(f (z)) = c, para todo z ∈ U , con a, b, c ∈ C no todos nulos.
(d) |f (z)| = k ≥ 0, para todo z ∈ U .
(e) arg(f (z)) = φ ∈ R, para todo z ∈ U .
(f) Existe una función h : R → R derivable tal que Re f (z) = h(Im f (z)).
2.3 Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una función entera con derivada f 0 entera y que verifica
∂u ∂v ∂u ∂v
−
= 1.
∂x ∂y ∂y ∂x
Demostrar que f (z) = az + b, donde a y b son constantes complejas y |a| = 1.
2.4 Si f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es entera, su derivada f 0 es entera y
∂u ∂v
+
= 0, probar
∂x ∂y
que f (z) = az + b, con a, b ∈ C y Re(a) = 0.
2.5 Encontrar las funciones holomorfas en C que tienen como parte real:
(a) u(x, y) = e−x (x sen(y) − y cos(y)).
(b) u(x, y) = 2x3 − 6xy 2 + x2 − y 2 − y.
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2.6 Sea f : C → C definida por f (z) =
6
p
|xy|, z = x + iy. ¿Es holomorfa dicha función?
Estudiar las condiciones de Cauchy-Riemann en 0.
2.7 Sea f : C → C de la forma f (x + iy) = u(x) + iv(y), tal que f y f 0 son enteras. Obtener
una expresión de f .
2.8 Sean U un dominio de C y f : U → C una función holomorfa en U tal que existe
α ∈ C con f 0 (z) = αf (z) para cada z ∈ U . Demostrar que para todo z, w ∈ U se tiene que
f (z) = f (w)eα(z−w) .
2.9 Sean U un dominio de C y f, g: U → C funciones holomorfas en U con g 0 (z) 6= 0 para
cada z ∈ U . Se supone que para cada z ∈ U el número f (z)g(z) es real. Demostrar que
existe α ∈ R tal que para todo z ∈ U se tiene que f (z) = αg(z).
2.10 Sean α, β: R → R funciones de clase C 2 (R) con α(0) = 1 y α0 (0) = 0. Si la función f
definida en C por
f (x, y) = ex (α(y) + iβ(y))
es holomorfa en C, determinar las funciones α y β.
2.11 Caracterizar las funciones holomorfas en C tales que:
(a) f (z + ω) = f (z) + f (ω) para todos z, ω ∈ C.
(b) f (z + ω) = f (z)f (ω) para todos z, ω ∈ C.
2.12 (Regla de L’Hôpital) Sean A un abierto de C, a ∈ A y f y g dos funciones de A en
C holomorfas en A, con f (a) = g(a) = 0 y g 0 (a) 6= 0.
(a) Probar que existe un entorno V de a con V ⊂ A tal que g(z) 6= 0 para cada z ∈ V −{a}.
f 0 (a)
f (z)
= 0 .
z→a g(z)
g (a)
(b) Probar que lı́m
2.13 Dado un abierto U de C, se define U ∗ = { z ∈ C / z ∈ U }. Probar que U ∗ es
abierto. Si f es una aplicación holomorfa en U y se define la aplicación f ∗ de U ∗ en C por
f ∗ (z) = f (z), entonces f ∗ es holomorfa en U ∗ y se tiene que (f ∗ )0(z) = f 0 (z) para cada
z ∈ U ∗.
2.14 Expresar en forma binómica las funciones sen(z), cos(z), Sh(z), Ch(z).
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2.15 Hallar los puntos en los que las siguientes funciones, definidas en C, son holomorfas:
ez
.
f1(z) = z, f2 (z) = sen(z), f3 (z) = sen(z), f4(z) = zRe(z), f5(z) = 2
z +3
2.16 Si z = x + iy, probar que
| Sh(y)| ≤ | sen(z)| ≤ Ch(y)
y
| Sh(y)| ≤ | cos(z)| ≤ Ch(y).
Expresar | Sh(z)| y | Ch(z)| en función de x é y.
2.17 Resolver las ecuaciones: (a) sen(z) = 5; (b) Ch(z) = 1 + i.
1
2.18 Sea f una función holomorfa en B(1, 1) tal que para cada z ∈ B(1, 1), f 0 (z) = , y
z
f (1) = 0. Demostrar que esta función es la rama principal del logaritmo.
2.19 Demostrar que no existe ninguna función f holomorfa en C \ {0} tal que ef (z) = z,
z ∈ C − {0}.
2.20 Dados a, b dos números reales distintos, demostrar que la función
f (z) = Log(
z−a
),
z−b
donde Log denota la rama principal del logaritmo, es holomorfa en C \ [a, b].
2.21 Determinar qué rama de la raı́z cuadrada hemos de tomar para que la función
f (z) =
√
z2 − 1
sea holomorfa en A = C − {z ∈ R/ Im(z) = 0, | Re(z)| ≥ 1}.
2.22 Sea f : C → C, w = f (z) = z 2. Determinar las imágenes de las curvas:
a) x = cte;
b) y = cte;
c) y = x;
d) |z| = cte;
e) arg(z) = cte.
Determinar las contraimágenes de las rectas:
f) u = cte;
g) v = cte.
2.23 Determinar los dominios que se aplican en el semiplano superior por cada una de las
siguientes funciones ( a > 0, n ∈ N):
w = zn,
w = eaz ,
w = sen(az),
w = cos(az),
w = Ch(az),
w = Sh(az).
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