Funciones holomorfas - Centro de Matematica

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Introducción al Análisis Complejo - Curso 2012
Práctico 3
Funciones holomorfas
Ÿ1.
Estudiar en qué puntos son derivables las siguientes funciones y en dichos puntos
calcular la derivada.
a ) f (z) = |z|
b ) f (z) = z
c ) f (z) =
1
z
d ) Sea f (z) = log(ϕ(z)), donde ϕ(z) =
del argumento.
Ÿ2.
Ÿ3.
1+z
1−z .
Tomando [0, 2π) como determinación
Sea f (z) = |xy| con z = x+iy . Vericar que se cumplen las ecuaciones de CauchyRiemann en el origen pero f no es derivable en el origen.
p
a ) Sea f denida en todo C y g(z) = f (z). Probar que f es holomorfa en C si y
sólo si g lo es.
b ) Probar que si f es derivable en z = z0 y g es derivable en f (z0 ) entonces g ◦ f
lo es en z0 . Calcuar la derivada (Sugerencia: adaptar la prueba en R).
Ÿ4.
Ÿ5.
Mostrar que si f : C → C, f (z) = u(x, y)+iv(x, y) es derivable entonces el jacobiano
de f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) es J(u,v) = |f 0 (z)|2 .
Una región es un conjunto abierto y conexo. Sea f ∈ H(Ω) donde Ω es una región.
Probar que cada una de las siguientes condiciones implica que f es constante en Ω.
a ) |f (z)| constante en Ω.
b ) f 0 (z) = 0 en Ω.
c ) f (Ω) ⊂ R.
d ) f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) con u, v : R2 → C tal que existen a, b, c con
a2 + b2 6= 0 y au + bv = c
Ÿ6.
a ) Sea T : R2 → R2 una transformación lineal. Probar que existen A, B ∈ C tal
que T (ω) = Aω + B ω̄
b ) Sea ω = f (z) = u + iv donde u(x, y) = Re(f (z)), v(x, y) = Im(f (z)) diferen∆ω
ciable en z . Mostrar que o bien existe lı́m∆z→0
o estos valores acumelan
∆z
sobre una circunferencia
1
Ÿ7.
Una función de variable compleja w = f (z) puede darse bajo la forma:
w = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ)
con z = reiϕ . Mostrar que f (z) es holomorfa en una región Ω si y sólo si u y v son
diferenciables respecto a r y ϕ en Ω y se verica ur = 1r vϕ , vr = − 1r uϕ (condiciones
de Cauchy-Riemann en polares). Vericar que urr + 1r ur + r12 uϕϕ = 0.
Ÿ8.
Ejercicio del examen Febrero 2010 - Facultad de Ingeniería.
a ) Encontrar una función holomorfa que transforme la faja vertical {z ∈ C : −1 <
Re(z) < 1} en el semiplano {z ∈ C : Re(z) > 0}.
b ) Sean a y b dos complejos diferentes. Llamemos Ω al conjunto que resulta de
quitarle el segmento [a, b] al plano complejo.
Hallar una función holomorfa que transforme Ω en el plano complejo menos la
semirecta {(x, y) : y = 0, x ≤ 0}.
c ) Mostrar que existe una función holomorfa que lleva Ω en el disco unitario.
(Sugerencia: Observar que al denir la raíz cuadrada con argumento adecuado,
se puede transformar el plano complejo menos una semirrecta en un semiplano
abierto; y aplicar esto correctamente junto con las partes anteriores.)
Ÿ9.
Sea f : Ω −→ C una función holomorfa con f biyectiva y f 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ Ω. Luego
sean r y s segmentos de recta con r ∩ s = p ∈ Ω y que forman un ángulo θ.
Probar que f (r) y f (s) son curvas que forman un ángulo θ en f (p).
¾Es cierto si f 0 (p) es 0?
Un poco de funciones armónicas.
Ÿ10.
Consideremos Ω ⊂ R2 abierto, una función u : Ω 7→ R se dice armónica cuando
∆u = uxx + uyy = 0. El operador ∆ se llama Laplaciano.
a ) Probar que si f : Ω 7→ C es una función holomorfa, entonces Re(f ) e Im(f )
son funciones armónicas.
b ) Muestre que la función u(x, y) = cosh(y) sin(x) es armónica en el plano y
construya otra función armónica v(x, y) tal que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sea
holomorfa en todo C.
c ) 1) ¾Existe una función v : C → R tal que
f (x + iy) = ex y 3 + iv(x, y)
sea holomorfa?
2) ¾Que condición tiene que cumplir h para que ex h(y) sea parte real de una
función holomorfa?
3) Muestre que las funciones holomorfas de la parte anterior son de la forma
αez + β
2
p
d ) Sea u : C − {0} 7→ R está denida por u(x, y) = log
x2 + y 2 . Observar que
si bien es armónica, no es posible encontrar f : C − {0} 7→ C holomorfa que
cumpla Re(f ) = u.
Ejercicios para entregar:
Ejercicios 7, 8 y 9
Fecha límite: jueves 19 de Abril
3