Variable Compleja I

Variable Compleja I
3o de Matemáticas/Informática
Curso 2007-2008
Lista 4:
1) Calcular
Teorema y fórmula integral de Cauchy y sus aplicaciones
R
z
dz,
γ z̄
donde γ es el camino que va de −3 a −1 a lo largo del eje real, después va de
−1 a 1 siguiendo la semicircunferencia superior del círculo unidad, luego va de 1 a 3 de nuevo
a lo largo del eje real, y regresa a −3 por la semicircunferencia superior del círculo |z| = 3.
2) Calcular las siguientes integrales:
Z
a)
3) ¾Es cierto que Re
|z−1|=2
Z
dz
2
z + 3i
,
b)
|z|=1
z 2 sen zdz
, |a| 6= 1
(z + a)3
³R
´ R
f
(z)dz
= γ Re(f (z))dz para cualquier f, función continua compleja?
γ
4) Calcular las siguientes integrales trigonométricas usando la integración sobre la circunferencia unidad y la fórmula integral de Cauchy:
Z 2π
1
a)
dt ,
2 + cos t
0
5) ∗ Calcular:
Z
2π
Z
b)
2π
0
cos(2t)
dt
5 − 4 sen t
(cos θ)2n dθ
0
√ R 2π
¾Cuál es el límite limn→∞ n 0 (cos θ)2n dθ?
¡
¢2n
R
Sugerencia: Calcular la integral de línea |z|=1 z + z1
dz
z
usando el desarrollo binomial.
6)
a) Hallar todas las funciones enteras que satisfacen
f (z) = f (z 2 ), para todo z ∈ C
b) Hallar todas las funciones enteras que satisfacen
f (2z) = 2f (z), para todo z ∈ C
c) Hallar todas las funciones holomorfas en el disco unidad D que satisfacen
f (z 2 ) = f (z) + z, y f (0) = 0
(*)
Comprobar que no existe ninguna función entera que satisfaga (*).
7) ∗ Sea α un número irracional y q = e2πiα . Demuéstrese que las únicas soluciones holomorfas
de la ecuación funcional f (z) = f (qz) en la corona Ω = { 21 < |z| <
constantes.
8) Demostrar que no hay ninguna función f ∈ H(D), tal que f
n = 2, 3, 4 . . . .
1
¡1¢
n
3
}
2
=
son las funciones
1
n
¡ ¢
= f − n1 para
9) Hallar todas las funciones holomorfas en el disco D(1; 1) = {z : |z − 1| < 1} y que allí
satisfagan la condición
µ
f
n
n+1
¶
=1−
2n2
1
+ 2n + 1
10) Demostrar que si f es holomorfa en D y
¯ µ ¶¯
¯
¯
¯f 1 ¯ ≤ 1
¯
n ¯ 2n
para
n ≥ 2,
entonces f es idénticamente cero.
Sugerencia: Como f (0) = 0, entonces f (z) = z k g(z) con g(z) holomorfa en D y g(0) 6= 0. Ver
que ésto es imposible.
11) Sea Ω un dominio en C y sea f una función holomorfa en Ω tal que para un cierto M > 0,
se tiene |f (z)| ≤ M para todo z ∈ Ω. Probar que
|f 0 (z)| ≤
M
distancia(z, ∂Ω)
donde ∂Ω denota la frontera de Ω.
Sugerencia: Sea r < distancia(z, ∂Ω). Usar la fórmula integral de Cauchy en D(z; r).
12) Demostrar que si f es holomorfa en |z| < 1 y |f (z)| ≤ 1 − |z|, entonces f ≡ 0. ¾Puede una
función holomorfa satisfacer |f (z)| ≥ 1/(1 − |z|) para |z| < 1?
13) Probar que si una función entera f satisface para todo z ∈ C que
f (z + 1) = f (z)
f (z + i) = f (z)
entonces f es una función constante.
Sugerencia: Usar el teorema de Liouville.
14) Demostrar que si f es holomorfa en C y si |f (z)| ≥ 1, para todo z ∈ C, entonces f es
constante. Análogamente, si para algún a ∈ C y r > 0 se tiene |f (z) − a| ≥ r, para todo z ∈ C,
entonces f es constante. Concluir que si f es holomorfa en C y no constante, entonces, f (C)
es denso en C.
1
y aplicar el teorema de Liouville.
Sugerencia: Considerar g(z) = f (z)−a
15) Sea Ω un dominio acotado en C y f, g funciones holomorfas en Ω y continuas en Ω.
Demostrar:
a) Si |f (z)| = |g(z)| en ∂Ω y f (z)g(z) 6= 0 en Ω, entonces f (z) = cg(z) con |c| = 1.
b) Si Re f = Re g en ∂Ω, entonces f = g + iα con α ∈ R.
16) Sea P (z) un polinomio con coecientes complejos, tal que ninguna de sus raíces tiene
módulo 1. Probar que si γ es el círculo unidad orientado positivamente entonces
Z 0
P (z)
1
dz = número de raíces de P en el disco unidad.
2πi γ P (z)
Ayuda: Si P (z) = b
n
Q
(z − aj ), entonces
j=1
P 0 (z)
P (z)
=
n
P
j=1
2
1
.
z−aj
17) Sea γ unR camino cerrado simple en D, y f una función holomorfa en D e inyectiva. De-
mostrar que γ f (z)f 0 (z)dz es un número imaginario puro.
Ayuda: f = u + iv. Cálculo directo (largo) con fórmula de Green, o bien cambio de variables
y relacionar con un área (ver la lista 3).
18) Supongamos que f es entera, es decir, f es holomorfa en C. Demostrar que:
a) Si lim
z→∞
f (z)
z
= 0 entonces f es constante.
b) Si existe M > 0 tal que |f (z)| ≤ M |z|2 para todo z ∈ C entonces f es un polinomio de
grado ≤ 2 (de hecho un múltiplo de z 2 ).
Ayuda: Se pueden usar las estimaciones integrales de Cauchy.
19) Demostrar que si f es holomorfa en un abierto que contiene al disco unidad cerrado D, y
si |f (z)| = 0 cuando |z| = 1, entonces f (z) = 0 para todo z ∈ D.
Ayuda: Fórmula integral de Cauchy.
20) Demostrar que si f ∈ H(D) y f (D) ⊂ D, entonces |f 0 (0)| ≤ 1.
Ayuda: : Fórmula integral de Cauchy en D(0, r) , r < 1.
21) Sea f holomorfa en C.
a) Probar que si a, b ∈ C y R > 0 es tal que |a| < R , |b| < R, entonces
1
2πi
Z
|z|=R
f (z)
f (a) − f (b)
dz =
(z − a)(z − b)
a−b
Ayuda: Fracciones simples.
b) Usar el apartado anterior para probar el Teorema de Liouville.
Ayuda: Hacer R → ∞.
22) Probar que si f es holomorfa en un dominio Ω y si z ∈ Ω, entonces no se puede cumplir
|f (n) (z)| > n!nn ,
∀n ∈ N
23) ∗ Sea f una función holomorfa en {z ∈ C : |z| < R0 }. Demostrar:
a) Si γ es la circunferencia {z ∈ C : |z| = R} con R < R0 y |w| < R, entonces
1
f (w) =
2πi
Z
γ
R2 − |w|2
f (z)dz
(z − w)(R2 − zw)
b) Si 0 ≤ r < R < R0 , entonces
1
f (re ) =
2π
Z
2π
iθ
0
R2 − r 2
f (Reiψ )dψ
R2 − 2Rr cos(θ − ψ) + r2
24) ∗ Demostrar que las integrales de Fresnel :
Z
∞
Z
∞
2
cos(x ) dx ,
0
0
sen (x2 ) dx
√
2
ambas tienen valor 2π/4, integrando la función eiz sobre el contorno γ compuesto por el
segmento [0, R], el arco circular desde R hasta Reπi/4 y el segmento desde Reπi/4 hasta el origen
y utilizando el teorema de Cauchy.
3
Ayuda: para acotar la integral sobre el arco, es conveniente usar la desigualdad de Jordan vista
en Cálculo I: sen t ≥ (2t)/π , para 0 ≤ t ≤ π/2. ¾Cuál es la interpretación geométrica de esa
desigualdad? (Observar la gráca de la función seno.)
4