Potenciación - Maralboran.org

1
Potenciación
Potencias de exponente positivo
Entrénate
1 Completa estos productos con los
exponentes que faltan:
Las potencias de exponente entero positivo (1, 2, 3, …) son fáciles de interpretar:
a)34 · 3 = 3h b)25 · 22 = 2h
c)45 · 43 = 4h d)5h · 52 = 56
e)73 · 7h = 75 f )43 · 4h = 46
2 Completa las siguientes divisiones
con los exponentes que faltan:
a)a5 : a3 = ah b)x9 : x6 = xh
3 Completa estas potencias con los
exponentes que faltan:
a)(a 2)3 = a h
b)(b 2)2 = b h
c)(c 3)3 = c h
d)(23)h = 26
e)(43)h = 412
f )(54)h = 58
a n = 14243
a·a·…·a
n veces
Por ejemplo: 81 = 8, (– 6)4 = (– 6) · (– 6) · (– 6) · (– 6),
()
2
7
3
=2·2·2
7 7 7
Propiedades
1
a m · a n = a m + n
Por ejemplo: a 3 · a 4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a 3 + 4
2
(a · b )n = a n · b n
Por ejemplo: (a · b)3 = (a · b) · (a · b) · (a · b) =
c)n4 : n2 = nh d)29 : 2h = 24
e)3h : 34 = 32 f )57 : 5h = 52
a1 = a
= (a · a · a) · (b · b · b) = a 3 · b 3
3
(a m )n = a m · n
Por ejemplo: (a 2)3 = a2 · a2 · a2 =
= (a · a) · (a · a) · (a · a) = a 2 · 3
a m = a m – n
a n
4
5
a
b
( )
n
n
= a n
b 6
6–4
Por ejemplo: a 4 = a · a · a · a · a · a = a = a 6 – 4
1
a
·
a
·
a
·
a
a ()
Por ejemplo: a
b
3
3
= a · a · a = a · a · a = a 3
b b b b · b · b b Reducir a una sola potencia.
a)52 · 56 · 53 = 52 + 6 + 3 = 511
(Propiedad
1)
a)52 · 56 · 53
b)(23)4 = 23 · 4 = 212
(Propiedad
3)
(Propiedad
4)
(Propiedad
5)
(Propiedad
2)
b)(23)4
8
8
c) 56
5
5
d)145
7
c) 56 = 58 – 6 = 52
5
5
5
d)145 = 14 = 25
7
7
e)27 · 57
e)27 · 57 = (2 · 5)7 = 107
( )
Actividades
1Calcula las siguientes divisiones como en el ejemplo:
153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27
a)164 : 84
2
d)752 25
20
b)124 : 44 3
e) 213 7
c)323 : 83
4
f ) 354
7
2Reduce a una sola potencia.
a)43 · 44 · 4
3
d)153 3
b)(56)3
e)210 · 510
6
c) 74
7
5
f ) 512 5
3 ·4
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 3.° ESO. Material fotocopiable autorizado.
Ejercicio resuelto
UNIDAD
2
Potencias de exponente cero o negativo
La propiedad
4
solo era válida para m > n.
Veamos qué ocurriría si fuera m = n o m < n:
a 3 = a 3 – 3 = a 0. Pero a 3 = 1. Por tanto, tendría que ser a 0 = 1.
a 3
a 3
Entrénate
1Escribe en forma de fracción:
a)3–2 b)2–3
c)5–1
a 3 = a 3 – 5 = a –2. Pero a 3 =
a·a·a
= 12 8 a –2 = 12
5
5
a a a a · a · a · a · a a 2Expresa como un entero:
a)
1
3–2
b)
1
2–3
c)
1
5–1
Estas igualdades nos sugieren la siguiente definición:
3Calcula.
a)a –3
·
Si a es un número racional distinto de cero y n es entero positivo:
a 5
b)a 2
x3
d) 4 x
·
a –6
a 0 = 1
1
e) 2 3
x ·x
Por ejemplo:
4Calcula.
a)43 · 4–2 b)32 · 3–3
c)42 · 2–2
d)53 · 5–4
e)64 · 6–4
f )35 · 3–2
a –n = 1n
a 6 –2 = 12 6 1 = 62
6 –2
–5
5
= 3 2
() ()
2
3
2 = 2 · 34
3-4
Las propiedades que teníamos para las potencias de exponente positivo también
son válidas para potencias de exponentes enteros cualesquiera.
Actividades
3Simplifica y completa los siguientes productos:
a) a
b
3
c) a
b
–3
© GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 3.° ESO. Material fotocopiable autorizado.
( )
( )
4
· b3 b b) a
b
3
d) a
b
3
b
( ) · (a)
4
· a3 b · a
b
( ) ( )
3
–3
4Expresa como potencia de base 10 esta operación y,
después, halla su resultado:
0,00001 : 10 000 000
5Expresa como fracción simplificada.
a)
34
35
d)4 –1 5 –2
b)5–1
f )(3 2)–2
6Escribe como una potencia de base a y exponente
un número entero:
a) 1–3 a d) 2 1 3
a · a 6
b) a 8 a e) a3 a c)a2 · a –6
b) 1–2 3
c) 1
5
–4
f ) a
a 7Calcula:
a)2–3
()
–1
8Reduce a un único número racional.
c)a –6
2
a) 1 5
g)5 · 3–1 · x –2
d) 3 4
()
()
0
()
b) 1
5
(
–2
( )
c) –1
5
e) 1 · 1
5 2
)
–6
6
–2
() ()
f ) 1
2
· 1
5
6
21