cociente de polinomios

Departamento de Matemáticas
COCIENTE DE POLINOMIOS
.
q
p
p −1
Sean a n = a 0 n + a1n + ... + a p y b n = b0 n + b1n q −1 + ... + bq , con p, q ∈ N .
Estudiemos el
a
∞
lim n =
n →∞ b n
∞
Método: se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia de la n del
denominador.
Casos:
Caso I: grado Numerador = grado Denominador
3n 2 + 5n − 7
5 7
3+ − 2
2
2
3n + 5n − 7 ⎛ +∞ ⎞
n n = 3+ 0−0 = − 3
n
lim
=⎜
= lim
= lim
⎟
2
n →∞
2
−2 n 2 + n − 3 ⎝ −∞ ⎠ n →∞ −2n + n − 3 n →∞ −2 + 1 − 3 −2 + 0 − 0
2
n n
n2
Caso II: grado Numerador < grado Denominador
−n 2 − 3n + 4
1
3
4
− 2− 3+ 4
2
4
−n − 3n + 4
⎛ −∞ ⎞
n
n
n = −0 − 0 + 4 = 0
=⎜
= lim 4
= lim n
lim
⎟
3
2
4
3
2
1
2
1
n →∞
n + n + 2n + 1 ⎝ +∞ ⎠ n →∞ n + n + 2n + 1 n →∞ 1 + +
+ 3 1+ 0 + 0 + 0
2
n n
n
n4
Caso III: grado Numerador > grado Denominador
2n 3 − 4n 2 + 5n − 1
5 1
2n − 4 + − 2
3
2
2
2n − 4n + 5n − 1 ⎛ +∞ ⎞
n n = ∞ − 4 + 0 − 0 = −∞
n
=⎜
= lim
= lim
lim
⎟
2
8 1
n →∞
n →∞
−3 + 0 − 0
⎝ −∞ ⎠ n →∞ −3n + 8n − 1
−3 n 2 + 8n − 1
−3 + − 2
2
n n
n
Resumen:
⎧ a0
si
p=q
⎪b
0
p
p −1
a 0 n + a1n + ... + a p ⎪⎪
a
lim n = lim
p<q
= ⎨ 0 si
n →∞ b n
n →∞ b n q + b n q −1 + ... + b
0
1
q
⎪±∞ si p > q (*)
⎪
⎪⎩
(*) El signo depende de los signos de a0 y b0.
1
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Observación:
Algunos límites se reducen a este tipo:
⎛ 3n 2 + 1 n 2 + 2 ⎞
−
lim ⎜⎜
⎟⎟ = ( ∞ − ∞ )
n →∞
⎝ n − 4 3n − 1 ⎠
Realizando la diferencia:
(
)
(
)
3n 2 + 1 ⋅ ( 3n − 1) − n 2 + 2 ⋅ ( n − 4 )
3n 2 + 1 n 2 + 2
=
−
=
n − 4 3n − 1
( n − 4 ) ⋅ ( 3n − 1)
(
9n 3 − 3n 2 + 3n − 1 − n + 2n − 4n 2 − 8
⎛
lim ⎜⎜
n →∞
⎝
) = 9n
+ n2 + 7
⇒
3n 2 − 13n + 1
3
3n 2 − n − 12n + 1
3n 2 + 1 n 2 + 2 ⎞
9n 3 + n 2 + 7 ⎛ ∞ ⎞
−
= ⎜ ⎟ = +∞
⎟⎟ = lim 2
n − 4 3n − 1 ⎠ n →∞ 3n − 13n + 1 ⎝ ∞ ⎠
2